Ejercicios universitarios de Analisis real 151

Vista previa del material en texto

22. Muestre que toda transformación lineal es diferenciable y que 𝑑𝑓(𝑥) ∙ 𝑣 = 𝑓 ∙ 𝑣 para cualquier 𝑥, 𝑣 ∈ ℝ𝑚 
 
Afirmamos que 𝑓 es diferenciable en 𝑥 ∈ ℝ𝑚 
- Existen las derivadas parciales, es decir, ∃ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
(𝑥), ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑚 
Demostración: 
 
lim
𝑡→0
𝑓(𝑥 + 𝑡𝑒𝑖) − 𝑓(𝑥)
𝑡
= lim
𝑡→0
𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑡𝑒𝑖) − 𝑓(𝑥)
𝑡
= lim
𝑡→0
𝑡𝑓(𝑒𝑖)
𝑡
= lim
𝑡→0
𝑓(𝑒𝑖) = 𝑓(𝑒𝑖) 
 
- Para todo 𝑞 = (𝑞1, … , 𝑞𝑛) tal que 𝑥 + 𝑞 ∈ ℝ
𝑚, se tiene que 
𝑓(𝑥 + 𝑞) − 𝑓(𝑥) = ∑ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
(𝑥) ∙ 𝑞𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑟(𝑞) 
 
Demostración: 
𝑓(𝑥 + 𝑞) − 𝑓(0) = ∑ 
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
(𝑥) ∙ 𝑞𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑟(𝑞) 
𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑞) − 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓(𝑒𝑖) ∙ 𝑞𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑟(𝑞) 
𝑓(𝑞) = ∑ 𝑓(𝑒𝑖) ∙ 𝑞𝑖
𝑛
𝑖=1
+ 𝑟(𝑞) 
𝑟(𝑞) = 𝑓(𝑞) − ∑ 𝑓(𝑒𝑖) ∙ 𝑞𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Ahora, 
lim
𝑞→0
𝑟(𝑞)
‖𝑞‖
= lim
𝑞→0
𝑓(𝑞) − ∑ 𝑓(𝑒𝑖) ∙ 𝑞𝑖
𝑛
𝑖=1
‖𝑞‖
 
= lim
𝑞→0
𝑓(𝑞) − ∑ 𝑓(𝑒𝑖 ∙ 𝑞𝑖)
𝑛
𝑖=1
‖𝑞‖
 
= lim
𝑞→0
𝑓(𝑞) − [𝑓(𝑞1, 0, … ,0,0) + 𝑓(0, 𝑞2, … ,0,0) + ⋯ + 𝑓(0,0, … , 𝑞𝑚−1, 0) + 𝑓(0,0, … ,0, 𝑞𝑚) ]
‖𝑞‖
 
= lim
𝑞→0
𝑓(𝑞) − 𝑓(𝑞1, 𝑞2, … , 𝑞𝑚−1, 𝑞𝑚)
‖𝑞‖
= lim
𝑞→0
𝑓(𝑞) − 𝑓(𝑞)
‖𝑞‖
= 0 
∴ lim
𝑞→0
𝑟(𝑞)
‖𝑞‖
= 0 
 
P.P. 𝑑𝑓(𝑥) ∙ 𝑣 = 𝑓 ∙ 𝑣 , 𝑥 = (𝑥1, … , 𝑥𝑚) , 𝑣 = (𝑣1, … , 𝑣𝑚) 
 
𝑑𝑓(𝑥) ∙ 𝑣 =
𝜕𝑓
𝜕𝑣
(𝑥) = ∑
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
(𝑥)
𝑛
𝑖=1
∙ 𝑣𝑖 = ∑ 𝑓(𝑒𝑖)
𝑛
𝑖=1
∙ 𝑣𝑖 = ∑ 𝑓(𝑒𝑖 ∙ 𝑣𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 𝑓(𝑒1 ∙ 𝑣1) + ⋯ + 𝑓(𝑒𝑚 ∙ 𝑣𝑚) = 𝑓(𝑣) = 𝑓 ∙ 𝑣