Resumen Calculo II

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Función real: Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una 
función f, de A en B denotada por f: A → B es una 
correspondencia que cumple las sig condiciones: Cond de 
existencia: Todos los elementos de A están relacionados con 
B. Cond de Unicidad: Cada elemento de A esta relacionado 
con un único elemento de B 
Simetría: Función par: f: R → R es par <-> V x E dom f, f(x) = f(-
x) 
Función impar: R → R es Impar <-> V x E dom f, f(x) = -f(-x) 
 
Función biunívoca o función inyectiva: es biunívoca si para todo 
par de elementos x1 y x2 del dominio de f con x1!= x2, se 
cumple que f(x1) != f(x2). Método grafico: se trazan rectas que 
interceptan a la gráfica de f, si lo hace en un solo punto es 
biunívoca. 
 
A.V: La recta x= a es AV de la gráfica si: x -> a+ f(a) -> +8. x -> 
a- f(a) -> +8. 
x -> a+ f(a) -> -8. x -> a- f(a) -> -8 
 
 
 
A.H: La recta y = k es AH de la grafica si: x-> +8 f(x) -> +-K o 
x-> -8 f(x) -> +-K 
A*X^n / B*X^m, si n>m no hay AH, m>n hay AH y es 0, n=m 
existe y es A/B 
 
Función exponencial: presenta la forma f(x) = a^x donde a>0 y 
a!=1. Dom f= R, si 0<a<1 f es decreciente, si a>1 es creciente, f 
no tiene AV, f tiene AH, es biunívoca, su f-1 es la función 
logarítmica 
 
Función Logarítmica: f(x) = loga X donde a>0 y a!=1, dom f = 
(0, 8), rgo= R, f presenta AV, es biunívoca y f no tiene AH. 
 
Función Seno: Dom(-8, 8) Rgo= -1,1, Impar, P =2pi 
Función cos: Dom(-8, 8) Rgo= -1,1, par, P =2pi 
Función tg: Dom= para todo x != n*pi/2, n perteneciente a Z 
Rgo= -1,1, Impar, P =2pi 
 
Función Inversa: Sea la función biunívoca f esta definida por la 
ecuación y= f(x), es decir: f= {(x, y) / y = f(x)}, la función inversa 
será: 
F^-1(y) = {(x, y) / x = f^-1 (y)} donde “y” es la variable 
independiente y x la dependiente. Si f es biunívoca, se 
restringe el dominio para poder formar f^-1 
 
 
 
Función Compuesta: Están relacionadas de forma tal que el 
rango de una de ellas coincide con el dominio de la otra. La 
condición para que pueda definirse la composición es que la 
imagen de f este incluida en el dom de g. Rgo F c= 
dom g 
 
Limite de una función: la función y = f(x) tiende al limite L 
cuando X se aproxima hacia a y se simboliza Lim x->a f(x) = L 
con a, L perteneciente a R 
Si para todo E (L, ), arbitrariamente prefijado, existe un E*(a, 
δ) contenido en el dominio de f tal que: f(x) E (L, ) para todo 
xE * (a, ). 
 
 
 
 
Limite Lateral Izquierdo: Lim x-> a- f(x) = L- si dado   0 
existe  > 0 tal que si x->a- 
a-< x < a -> |f(x) – L-| <  
 
 
 
Limite Lateral derecho: Lim x -> a+ f(x) = L + si dado   0 
existe  > 0 tal que si x->a+ 
A<x<A +  -> -> |f(x) – L+| < . 
 
 Condición de Existencia: a) existe Lim x->a- f(x). 
b) existe Lim x->a+ f(x). 
c) Lim x->a- f(x) = Lim x->a+ f(x). 
 
 
Función continua en un punto: f es continua en punto de 
abscisa c si: 
a)  f (c) 
b)  lim x->c f(x) 
c) Lim x->c f(x) = f(c) 
 
Función discontinua en un punto: es discontinua si no se 
verifica cualquiera de las 3 condiciones de continuidad. 
Tipos de discontinuidades: Evitables: Cuando existe el lim en el 
punto 
Inevitables: cuando no existe el limite 
Finita: cuando existen los limites laterales, pero no son iguales 
Infinitas: uno de los limites es infinito (no existe) 
 
Función continua en un intervalo abierto: es continua en un 
intervalo abierto 
(a, b) si es continua en todos los puntos de ese intervalo 
 
Función continua en un intervalo cerrado: Es continua en un 
intervalo cerrado [a, b] si es: 
i) Continua en todos los puntos del intervalo abierto 
(a, b) 
ii) Continua por la derecha de a 
iii) Continua por la izquierda de b 
 
Teorema de Bolzano: Sean a, b ∈ R con a<b y f una función 
continua en [a, b], verificando que f(a) < 0 y f(b) > 0 (o f(a)>0 y 
f(b)<0). Entonces existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0. 
 
 
 
Teorema del valor Intermedio: Sea y =f(x) una función continua 
en el intervalo cerrado [a, b] y k un numero cualquiera entre f(a) 
y f(b), entonces existe al menos un numero c en (a, b) tal que 
f(c) = k. 
 
 
 
Teorema de Weierstrass: Toda función continua en el intervalo 
cerrado [a, b], tiene al menos un máximo y mínimo absolutos 
en [a, b] 
 
 
 
Cociente incremental: y / x = f(x) – f(a) / x-a indica la rapidez 
promedio de variación de la función f en el intervalo [a, x]. 
 
 
Derivada de una función en un punto: Sea f una función 
definida en un entorno de un numero a, y sea x cualquier 
numero real perteneciente a ese entorno con x != a. Si 
Lim f(x) – f(a) / x - a 
x->a 
Existe, se llama derivada de f con respecto a X en el punto a y 
se simboliza con f’ (a), es decir: 
F’(a) = lim f(x) – f(a) / x - a 
 x->a 
 
Condición de existencia derivada en un punto: 
Si Existe f’ –(a) = lim f(x) – f(a) / x - a 
 x->a- 
Si Existe f’ +(a) = lim f(x+) – f(a) / x - a 
 x->a+ 
Si f’ –(a) = f’ +(a) 
 
Derivabilidad de una función en un punto: Se dice que una 
función f es derivable en x = a si existe la derivada en x= a, 
osea existe f’(a). Geométricamente una función es derivable en 
un punto si su recta tangente en el mismo es única y de 
pendiente finita. 
 
Continuidad y derivabilidad: Si una función es derivable en un 
punto a, entonces f es continua en a, el reciproco de este 
teorema no es cierto porque una función continua en un punto 
no es necesariamente derivable en el mismo punto 
 
Derivadas de Orden Superior: 
Sea y = f(x), su función derivada f’ está dada por: 
 si el límite existe. Si la 
derivada de f’ existe se llama derivada segunda de f y se 
denota f’’(x) de modo que: si 
el límite existe 
 
La derivada de una función en un punto de abscisa a, mide la 
pendiente de la recta tangente a la gráfica f en dicho punto. 
 
Extremos relativos: Máximo Relativo: Sea una función f y un 
punto Xo perteneciente al dom f, se dice que f(Xo) es un 
máximo relativo de f si existe un intervalo (a, b) que contiene a 
Xo tal que f(x) <= f(Xo) para todo x perteneciente (a, b) incluido 
el dom f 
 
Mínimo Relativo: Sea una función f y un punto Xo perteneciente 
al dom f, se dice que f(Xo) es un mínimo relativo si existe un 
intervalo (a, b) que contiene Xo tal que f(x) >= f(Xo) para todo x 
perteneciente (a, b) incluido en el dom f. 
Condición necesaria para la existencia de extremos relativos: 
Teorema de Fermat: Si f(Xo) es un ext relativo de f y existe 
f’(Xo), entonces f’(Xo)=0 
 
Punto Crítico: Si Xo es un número del dom de f, y si: 
F’(Xo) = 0 o f’(Xo) no existe, entonces Xo es un punto crítico de 
f. 
 
Extremos Absolutos: Máximo Absoluto: en un punto Xo 
perteneciente al dom f tal que f(x) < f(Xo) para todo x 
perteneciente al dom f. El numero f(Xo) es el valor máximo 
absoluto de la función 
 
Mínimo Absoluto: en un punto Xo perteneciente al dom f tal que 
f(x) > f(Xo) para todo x perteneciente al dom f. El numero f(Xo) 
es el valor mínimo absoluto de la función 
 
Diferencia entre extremo absoluto y relativo: Un extremo 
relativo puede ser máximo o mínimo relativos, y es un concepto 
propio de intervalos donde la función es derivable. Esta es una 
primera diferencia respecto a los extremos absolutos, donde la 
función no tenía porque ser derivable. 
 
Punto de inflexión: Sea una función f continua en Xo. Un punto. 
(x0, f(x0)) es PUNTO DE INFLEXIÓN de la gráfica de f, si la 
curva tiene allí recta tangente y si existe un intervalo (a, b) que 
contiene a Xo 
 
Teorema de Rolle: Sea una función continua en [a, b] y 
derivable en (a, b) con f(a) = f(b) entonces existe al menos un 
punto x = c en (a, b) tal que f’ (c) = 0 
Geométricamente el teorema afirma que existe al menos un 
punto sobre la curva entre A y B, donde la recta tangente es 
horizontal y por lo tanto paralela a la recta secante AB. 
 
 
Teorema de Lagrange o del valor medio del calculo diferencial: 
Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b) entonces existe al 
menos un punto x = c en (a, b) tal que: f(c) = f(b) –f(a) / b – a 
Geométricamente el teorema del valor medio afirma que existe 
al menos un punto sobre la curva entre A y B, donde la recta 
tangente es paralela a la recta secante a la curva que pasa por 
los puntos A y B 
 
 
Teorema de Cauchy: Sean f y g funciones continuas en [a, b] 
derivables en (a, b) con g’ (x)!=0 para todo x en (a, b), entonces 
existe al menos un numero c en (a, b) tal que: f’(c)/ g’(c) = f(b) – 
f(a) / g(b) – g (a). 
La interpretación geométrica del teorema nos dice que si f(x) y 
g(x) cumplen las hipótesis, existe al menos un punto c entre a y 
b en el que la pendiente de la recta tangente a f es k veces de 
la recta tangente a g, f’(c) = k. g’(c) 
 
Primera Regla de L’Hopital: 0/0 
Sean f y g funciones continuas en [a, b] derivables en (a, b), 
con g’(x) != 0 para todo x en (a, b) y lim x -> a f(x) = 0 ; lim x-> a 
g(x) = 0, entonces si existe 
Lim x->a f(x) / g(x), se verifica que: lim f(x)/g(x) = lim 
f’(x)/g’(x) 
 x->a x->a 
Segunda Regla de L’Hopital: 8/8 
Sean f y g funciones continuas en [a, b] derivables en (a, b), 
con g’(x) != 0 para todo x en (a, b) y lim x -> a f(x) = 8 ; lim x-> a 
g(x) = 8, entonces si existe 
Lim x->a f(x) / g(x), se verifica que: lim f(x)/g(x) = lim 
f’(x)/g’(x) 
 x->a x->a 
 
Diferencial de una función: es igual al producto de su derivada 
por la diferencial de la variable independiente. F’(x) = dy/ dx. La 
derivada f’(x) puede ser considerada como la razón de la 
diferencial de la función respecto a la diferencial de la variable 
independiente. Consideramos la representación gráfica de la 
función y = f(x). 
 
 
La derivada de la función f mide la tg trigonométrica del angulo 
que forma la recta tg a f en P con el semieje positivo de las x: 
f’(X) = tg fi = MN/PN (1) donde PN= x. ==> la expresión (1) 
queda: MN = f’(X)* x (2). El segundo miembro de (2) es según 
la diferencial de la función, MN = f’(X)* x = dy. Luego MN es la 
diferencial de la función. 
 
 
 
 
Primitiva o Antiderivada: Toda función F(x) diferenciable en un 
intervalo I se llama primitiva o antiderivada de la función f(x) en 
dicho intervalo si 
F’(x) = f(x) para todo x perteneciente a I. 
La integral Indefinida: de f es el conjunto de todos los 
antiderivantes de f. 
 
Antiderivada General: Si F es una antiderivada o primitiva 
particular de f en el intervalo I, toda antiderivada general de f en 
I esta dada por F(x) + C con c=constante de integración.  f(x)dx 
= F(x) + C. x = variable de integración, f(x) = integrando y lo 
otro es la integral indefinida de f. 
 
Método de Integración por partes: Este método permite 
resolver integrales de funciones que pueden expresarse como 
el producto de una función por la derivada de otra función:  
u(x) dv = u(x). v(x) -  v(x)du. La expresión obtenida 
denominada formula de integración por partes se utiliza para 
transformar una integral en otra. Esto será útil como método de 
integración cuando la integral del segundo miembro sea 
inmediata o al menos más fácil que la del primer miembro. 
 
 
Método practico para elegir la función U(x): ILATE: Inversa, 
Logarítmica, Algebraica, Trigonométrica, Exponencial. 
 
Método de Integración por sustitución Trigonométrica: permite 
integrar ciertos tipos de funciones algebraicas en donde las 
integrales indefinidas son funciones trigonométricas, si el 
integrando tiene una expresión de la forma: 
Raíz(a2-x2) o raíz(a2+x2) o raíz(x2-a2), donde a > 0, la 
sustitución adecuada transforma la integral original en una que 
contiene funciones trigonométricas que son más fáciles de 
resolver. 
 
Método por descomposición en fracciones parciales: permite 
integrar funciones de la forma f(x)/g(x) donde f y g son 
funciones polinomiales. Clasificación: Fracciones Racionales 
Propias: es cuando el grado de f(x) < grado de g(x) 
Fracciones Racionales Impropias: es cuando el grado de f(x) > 
grado de g(x) 
 
Raíces reales simples: g(x) = (x-a) (x-b) 
 
Raíces reales múltiples: g(x) = (x-a)^n (x-b)^m 
 
 
 
Integral definida: Sea una función f continua definida para a<= 
x<=b, la integral definida de f en a en b, simbolizada como  ^b 
a f(x).dx está dada por: 
 si el limite existe. 
Una función f definida en [a, b] se dice Integrable en [a, b] si 
existe el limite de las sumas de Riemann de f. 
 
 
Regla de Barrow: Sea f una función continua en el intervalo 
cerrado [a, b] y sea una primitiva de f en [a, b] tal que F’(x)=f(x) 
para todo x perteneciente a [a, b] 
➔ 
 
Teorema del valor medio del calculo integral: Si f es una 
función continua en [a, b], donde f(x) >= 0, entonces existe un 
punto c perteneciente a (a, b) tal que: