Mate_2__TP_2_2014

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Trabajo Práctico 2: Derivación Matemática II 
 
 
 
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1. En cada uno de los siguientes casos: 
 
i. Calcular )(' 0xf usando la definición de derivada 
ii. Hallar la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de cada función f , en el punto de abscisa 
x0. 
iii. Representar gráficamente la función y las correspondientes rectas. 
 
a) 1xen4xxf 0
3 )( 
 
b) 2xenx5xf 0 )( 
 
Sugerencia: Podrás revisar el trabajo realizado en este ejercicio en la simulación llamada recta tangente que se encuentra 
en Web Campus, en la sección de recursos digitales. 
 
2. Determinar cuáles de las siguientes gráficas no tienen recta tangente en x = a. Justificar. 
 
 a) b) 
 
 
 c) d) 
 
 
 
3. Para cada una de las siguientes funciones 
 
a) Analizar continuidad y derivabilidad. 
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b) Representar gráficamente. 
 
i) 






3x1x
3x7x
xf
2
)( 
ii) 







1xs i2x3
1xs i
1x
1
xf )( 
 
4. Obtener, aplicando reglas de derivación, las funciones derivadas de: 
 
a) 2xxxf  cos)( 
b) 
3
x
xf
ln
)(  
c) 
x
1
x5xxf 23 )( 
d) xe
2
xsen3
xf )( 
e) 
3
2
r
rsenr
rf

)( 
f) 
h1
h1
hf


)( 
g)  
3 t
1
tt2tf )( 
h) 3 2x xxtg2xf )( 
i) 6
2
x
xsen7xf
x
)( 
j) s
s
stg
sf )(
 
5. 
a) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 5x3xexf 2x )( en el punto de abscisa x = 0. 
b) Hallar el punto de la gráfica de 9x9xxf 3 )( en el que la recta tangente es y – 3x = 7. 
c) Hallar el o los puntos de la gráfica de 6x12x3x2xf 23 )( en los que la recta tangente es horizontal. 
 
6. 
a) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 2x1xf )( en el punto de abscisa x0 = 1. 
b) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de 1exg x )( en el punto de abscisa x1 = 0. 
c) Determinar el punto de intersección entre las rectas tangentes halladas en los ítems anteriores y graficar. 
 
 
 
En economía frecuentemente se utiliza el concepto de marginal para hacer referencia a la variación que 
experimenta una función ante cambios muy pequeños de la variable a partir de cierto valor dado. Por ejemplo, el 
beneficio marginal (BM) mide el cambio que experimenta la función de beneficio (B) cuando, a partir de cierto 
nivel de producción, se aumenta o disminuye dicho nivel en una cantidad muy pequeña. 
Matemáticamente, la función de beneficio marginal es expresada como la derivada de la función de Beneficio con 
respecto a la cantidad q: 
dq
Bd
BM 
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7. Un fabricante de productos advierte que el costo semanal de producir x kilos de cierto fertilizante está dado por 
x4020000xC )( pesos y el ingreso obtenido por la venta de x kg por semana está dado por 
2x010x100xI .)(  . 
 
a) Si se incrementa la producción semanal de 3100 kg a x kg, hallar la expresión que representa la tasa de cambio 
promedio del beneficio por los kilogramos extras producidos ¿A qué valor tiende la tasa de cambio promedio del 
beneficio cuando la producción de 3100 kg se incrementa en cantidades cada vez más pequeñas? 
b) A partir del ítem anterior deducir cuál es el beneficio marginal para una producción de 3100 kg. Interpretar 
económicamente considerando el contexto del problema. 
 
8. Un productor alimenticio tiene una función de costo medio dada por 
 
 
q
100
2q20qCMe  . 
 
donde q representa los kilogramos de determinado alimento producidas por semana. 
 
a) Calcular el costo total de producir 20 Kg. 
b) Calcular la función de costo marginal y el costo marginal para una producción de 20 Kg. Interprete 
económicamente el resultado obtenido 
 
9. 
a) Dadas las siguientes funciones, hallar los dominios de f y de g, para que sea posible efectuar las composiciones 
gf  y fg  . Luego, hallar dichas funciones compuestas. 
 
xsenxgexxfi i i
1x2xgxxfi i
3x4xgexfi
2x3
2
2x



)()()
)()()
)()()
 
 
b) Derivar cada una de las funciones resultantes de las composiciones del apartado anterior. 
 
10. Hallar las funciones derivadas de las siguientes funciones: 
 
a) )cos()( x2xf  
b) x2xf ).cos()(  
c) 3 xxf )ln()(  
d) 






x
1
sen2xf 2).ln()( 
e) 2xxf  )cos()( 
f) )()( t2tsenetf 3t
3
  
g)   12rrf )( 
 
h) ))cos(ln()ln().cos()( ttttf  
i) x3xf )( 
j) )()( tsenetf  
k) ))(ln()( x4senxf  
l) 5
2t
3
tf
2


)( 
m) )ln()( r3rf  
n) )ln()( x4
2x
x2
xf 


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11. La función de ingreso para un monopolista es q900qqI )( , siendo q la cantidad de unidades vendidas de un 
cierto artículo. 
a) Calcular la función de ingreso marginal 
b) ¿Cuál es el ingreso obtenido por vender el artículo 501? 
c) ¿Cuál es el ingreso marginal para un nivel de producción de 500 unidades? Comparar el resultado con el obtenido 
en el ítem anterior. 
 
12. Hallar la ecuación explícita de las rectas tangentes y de las rectas normales a las curvas que son gráficos de las 
siguientes funciones en los puntos cuyas abscisas se indican. 
 
a) x31x
2
1
xf 2  )ln()( x0= 0 
b) 3 3 4x2xxf )( x0 = -2 
 
13. Hallar las derivadas segundas de las funciones de los ítems a), b), c) del ejercicio 4, y a), b), c) del ejercicio 10.