Matematica Unidad I

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INSTITUTO SUPERIOR “PBRO. ALEJANDRO S. FARIAS” 
 
 
 
 
Unidad 1: 
Conjuntos numéricos y polinomios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JÁCHAL - SAN JUAN 
 
 
Conjuntos numéricos- operaciones básicas 
 
La noción de número es tan antigua como el hombre mismo, pero pasaron muchos 
siglos de trabajo hasta lograr el desarrollo actual de la idea del número. 
Los números que utilizamos para ejecutar diversas operaciones matemáticas son 
elementos de un conjunto numérico. En un principio los números se utilizaban para 
contar objetos, pero poco a poco surgieron problemas que con el conjunto numérico 
usado para contar no tenían solución, como por ejemplo las deudas, por lo que 
necesariamente este conjunto tuvo que ampliarse, formalizarse y definir operaciones 
en el hasta llegar al conjunto numérico que en la actualidad se usa para resolver 
diferentes aplicaciones matemáticas. 
Conjunto de números naturales (ℕ): estos constituyen el conjunto numérico más 
simple, se denota con el símbolo (ℕ) y el conjunto se representa: 
ℕ = {1, 2, 3, 4, … } 
A estos números se los puede representar gráficamente a través de la llamada Recta Numérica 
 
 
Vemos que el conjunto tiene infinitos elementos y todos son positivos. Con dichos 
números podemos realizar cualquier operación de adición o multiplicación sin ninguna 
limitación, es decir, si un número 𝑎 ∊ ℕ y otro número 𝑏 ∊ ℕ, su suma (𝑎 + 𝑏) ∊ ℕ y 
su producto (𝑎. 𝑏) ∊ ℕ 
Ejemplos: 
4 + 5 = 9 34 + 123 = 157 
4.5 = 20 34.123 = 4182 
 
Con respecto a la resta se presenta: 
Si a>b se cumple que (a-b) ∊ ℕ; ejemplo: 15-7=8 
Si a=b, el resultado (a-a)=0 ∉ ℕ y es así como nace la necesidad de incorporar el cero 
(0) al conjunto N, a este nuevo conjunto ampliado lo denominaremos N0 
ℕ0{0, 1 ,2 ,3, 4,…} 
Si a<b, el resultado (a-b) ∉ ℕ y es así como surgen los números denominados negativos 
(-1, -2, -3, …) estos unidos al conjunto ℕ forman el conjunto de los números enteros. 
En N se cumplen las siguientes propiedades: 
• Tiene primer elemento, el cual es el número 1, no tiene último elemento. 
• Todo número natural tiene sucesor. 
• Un número natural y su sucesor se llaman consecutivos. 
• Es un conjunto infinito 
• Todos excepto el primero tiene antecesor 
• Entre dos números naturales consecutivos no hay ningún número natural, por 
ello decimos que es un conjunto discreto. 
Conjunto de números enteros (ℤ): Se denota con el símbolo “ℤ” y su conjunto se 
representa: 
ℤ ={…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} 
A los números que pertenecen a este conjunto se los puede representar gráficamente 
a través de la Recta Numérica 
 
En ella tendremos el cero como origen y a partir de este, a su derecha consideramos 
los números positivos y a su izquierda los números negativos. 
Con los numero enteros podemos sumar, restar y multiplicar sin limitaciones, sin 
embargo, al dividir se presentan algunos problemas debido a que los resultados no 
siempre son números enteros, cuando tenemos divisiones que no son exactas y es aquí 
donde aparecen los números fraccionaros y por lo tanto surge otro conjunto numérico, 
que es el conjunto de los números racionales 
En ℤ se cumplen las siguientes propiedades: 
• Todo número entero tiene un único antecesor y un único sucesor. 
• Es un conjunto infinito que no tiene primer ni último elemento. 
• Es un conjunto discreto 
• Se puede establecer en ellos una relación de orden de modo que a a<b si y solo 
si a-b es un numero negativo 
Definición. 
Llamaremos numero racional al cociente entre n y m (
𝑛
𝑚
) con n, m ∈ ℤ y m ≠ 0 
Llamaremos a n y m numerador y denominador respectivamente. 
 
El conjunto de números racionales es muy extenso por lo tanto representarlos en un 
conjunto o en una recta numérica sería imposible puesto que nunca terminaríamos de 
ubicarlos ya que entre dos números racionales cualesquiera existen infinitos números 
racionales. A diferencia de los números enteros, si se da un número fijo perteneciente 
a los racionales no se puede determinar cuál es su inmediato sucesor. 
En los conjuntos de los números racionales son siempre posibles las operaciones de 
suma, resta, multiplicación y división (excepto la división entre cero) y su resultado 
será siempre un número racional, no obstante, el conjunto de los números racionales 
no es suficiente para resolver cierto tipo de operaciones, por ejemplo, en el caso que 
se presenten algunas raíces tales como: √2 , √3 u operaciones con algunos números 
importantes para la matemática como 𝜋=3,14159… y e=2,711828… 
Esta situación plantea la necesidad de una nueva ampliación del campo numérico, más 
allá de los racionales, los llamados números irracionales. 
El conjunto ℚ se caracteriza por: 
• No tiene primer ni último elemento 
• El conjunto de los racionales es infinito 
• No se puede hablar de sucesor en este conjunto pues entre dos números 
racionales siempre existe otro numero racional 
De esta propiedad se deduce: “entre dos números racionales existen infinitos números 
racionales” 
Conjunto de números irracionales (𝕀): 
Definición. 
Se denotan con el símbolo (𝕀). Los números de infinitas cifras no periódicas se llaman 
números irracionales., ejemplo: 𝜋=3,14159… 
Propiedad. 
Si la raíz cuadrada de un número natural no es otro número natural entonces es un 
número irracional. 
Conjunto de los números reales (R): Sabemos que: 
ℕ ⊂ ℤ y que ℤ ⊂ ℚ por tanto ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ 
El conjunto Q unido al conjunto 𝕀 tiene como resultado al conjunto el conjunto de los 
números reales, se denotan (ℝ). 
Expresándolo en símbolos: ℚ ∪ 𝕀 = ℝ 
Todos los números que pertenecen a ℝ tienen su representante en la recta numérica, 
los números reales completan la recta numérica pues cualquier punto que se escoja 
dentro de la recta numérica tendrá su correspondiente en ℝ 
En este conjunto siempre es posible realizar las operaciones de adición (suma), 
sustracción (resta), producto (multiplicación), división (salvo la división por cero), 
potencia y raíz (salvo la raíz par de un número negativo) y logaritmación 
Clasificación de los números reales: 
 
 Enteros (ℤ) Positivos {Naturales (ℕ)} 
 Racionales (ℚ) Negativos 
 
 Fraccionarios Positivos 
Números Reales (ℝ) Negativos 
 
 Irracionales (𝕀) Positivos 
 Negativos 
 
 
Conjunto de números complejos (ℂ): Si se quiere obtener el valor de √−36, seria 
necesario encontrar un numero que elevado al cuadrado sea igual a -36, sin embargo 
sabemos que el cuadrado de cualquier número real es mayor o al menos igual que el 
número cero, por tanto no es posible calcular el valor de √−36 en el conjunto de los 
números reales. 
Para que este tipo de operaciones pueda resolverse se introducen los números 
imaginarios. Se define 𝑖 = √−1 como unidad imaginaria. 
Ahora podemos encontrar el valor de √−36 = √36. (−1) = √36. √−1 = 6. 𝑖, donde 
6. 𝑖 es un numero imaginario. 
La introducción de los números imaginarios nuevamente amplia el conjunto numérico 
que trabajamos y de este modo aparece el conjunto numérico de los números 
complejos que denotaremos con el símbolo ℂ. 
Los números complejos tiene forma binómica 𝑎 + 𝑏. 𝑖 donde 𝑎 y 𝑏 son números reales 
e 𝑖 es la unidad imaginaria. 
Un número complejo también puede expresarse como par ordenado de números 
reales, por ejemplo: 
3 − 6𝑖 es un número complejo donde 3 es la parte real y −6 la parte imaginaria. Este 
número expresado comopar ordenado resulta (3,-6) es decir la parte real se ubica en 
la primera posición del par ordenado mientras que la parte imaginaria ocupa la 
segunda. 
Cabe destacar que tanto la parte real como la parte imaginaria pueden tomar el valor 
cero por tanto si consideramos que la parte imaginaria del numero complejo toma el 
valor cero solo quedaría la parte real, es decir, si acotamos el conjunto de los 
complejos a los complejos cuya parte imaginaria es cero entonces el resultado será los 
números reales por lo cual podemos decir que los reales están incluidos en los 
complejos, por otra parte si en un numero complejo la parte real es cero, se denomina 
a este número imaginario puro. 
Nota: Para ser precisos, podemos realizar un isomorfismo entre los números reales y 
los imaginarios cuya parte imaginaria es cero, el concepto de isomorfismo supera los 
conocimientos de este curso por lo que simplemente diremos que estos conjuntos son, 
abusando del lenguaje, equivalentes o iguales. 
 
Modulo de un número complejo. 
Definición. 
Llamaremos módulo de un complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y lo representaremos |𝑧| al número 
real positivo o nulo √𝑎2 + 𝑏2. Esto es: 
|𝑧| = √𝑎2+𝑏2 
Propiedades: 
Sea z=a+bi se verifica: 
(1) |𝑧| ≥ 0 ; |𝑧| = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑧 = 0 
(2) |𝑧| = |�̅�| = |−𝑧| 
(3) |𝑧|2 = 𝑧. �̅� 
(4) |𝑧. 𝑢| = |𝑧|. |𝑢| 
(5) |
𝑧
𝑢
| =
|𝑧|
|𝑢|
 𝑠𝑖 𝑢 ≠ 0 
(6) 𝑠𝑖 𝑧 𝑦 𝑢 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑧 + 𝑢 = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 |𝑧| +
|𝑢| ≥ 1 
(7) |𝑧 + 𝑢| ≤ |𝑧| + |𝑢| 
(8) ||𝑧| − |𝑢|| ≤ |𝑧| − |𝑢| 
(9) 𝑧−1 =
�̅�
|𝑧|2
, 𝑧 ≠ 0 
 
(10) 
𝑧
𝑢
=
𝑧.𝑢
|𝑢|2
 
 
Interpretación geométrica de un número complejo. 
Teniendo en cuenta que los números complejos se han definido como pares de 
números reales, es natural que para representarlos lo hagamos en un sistema de 
coordenadas cartesianas ortogonales. Dado 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ∈ ℂ (o z=a+bi), le asociamos el 
punto P del plano de abscisa a y ordenada b es decir P(a,b). Recíprocamente todo 
punto P(a,b) del plano corresponde al número complejo z=(a,b). El punto P recibe el 
nombre de afijo de z. 
 
Si z es un numero complejo real, entonces su afijo esta sobre el eje de las abscisas, que 
por esta razón se llama eje real. Si z es un imaginario puro, entonces su afijo esta sobre 
el eje de las ordenadas y recibe el nombre de eje imaginario. 
Teniendo en cuenta que |𝑧| = √𝑎2+𝑏2, se ve que el módulo de 𝑧 ≠ 0 es la longitud 
del segmento 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ y lo indicaremos 𝜌 = |𝑧|. 
Representación trigonométrica de un número complejo. 
Sea 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0, en consecuencia 𝜌 = |𝑧| ≠ 0. Llamaremos argumento principal 
de z y lo indicaremos con 𝑎𝑟𝑔(𝑧) = 𝜙, a la medida radial del sector angular de borde 
(𝑋+, 𝑙), donde l es la semirrecta con origen en O que contiene al segmente 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ , 
orientado positivamente (en sentido anti horario) y a menos de un múltiplo entero de 
2π, como el indicado en la figura: 
 
Entonces se verifican: 
𝑎 = 𝜌 . 𝑐𝑜𝑠 𝜙 
𝑏 = 𝜌 . 𝑠𝑒𝑛 𝜙 
Y podemos escribir 𝑧 = 𝜌 . 𝑐𝑜𝑠 𝜙 + 𝑖𝜌 . 𝑠𝑒𝑛 𝜙, o también 
𝑧 = 𝜌 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜙 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜙) 
Estas últimas formas de indicar a z reciben el nombre de representación 
trigonométrica de z. 
a, b, 𝜌 y 𝜙 están ligados por las siguientes relaciones: 
𝜌 = |𝑧| = √𝑎2+𝑏2 
𝑡𝑔𝜙 =
𝑏
𝑎
 
Angulo de un número complejo. 
Dado un numero complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0, para calcular 𝜙 podemos aplicar, 
𝑡𝑔𝜙 =
𝑏
𝑎
 de donde 𝜙 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑏
𝑎
 
Puede ser conveniente determinar primero un ángulo del primer cuadrante 𝜙⋇, 
haciendo 𝜙⋇ = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
|𝑏|
|𝑎|
 y luego encontrar 𝜙 considerando el signo de a y b como 
sigue: 
(a) Si 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0, pertenece al primer cuadrante y entonces 𝜙 = 𝜙⋇ 
(b) Si 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0, pertenece al segundo cuadrante y entonces 𝜙 = 𝜋 − 𝜙⋇ 
(c) Si 𝑎 < 0 y 𝑏 < 0, pertenece al tercer cuadrante y entonces 𝜙 = 𝜋 + 𝜙⋇ 
(d) Si 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0, pertenece al cuarto cuadrante y entonces 𝜙 = 2𝜋 − 𝜙⋇ 
 
Representación polar de un número complejo. 
Dado 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 ≠ 0. Si 𝜌 𝑦 𝜙 son el módulo y argumento principal de z 
respectivamente, llamaremos representación polar de z y la representaremos con 〈𝑧〉, 
al par 〈 𝜌, 𝜙〉, esto es: 
 〈𝑧〉 = 〈 𝜌, 𝜙〉 
 
Igualdad de un complejo. 
(I) Sean 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 (o z=(a,b)) y 𝑢 = 𝑐 + 𝑑𝑖 (o u=(c,d)) dos complejos, 
entonces es claro que z=u si y solo si a=c y b=d. 
(II) Sean 𝑧 = 𝜌 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜙 + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜙) y 𝑢 = 𝜌´( 𝑐𝑜𝑠 𝜙´ + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 𝜙´), dos 
complejos no nulos, con 𝜌 > 0 y 𝜌´ > 0 , tales que z=u entonces z=u si y 
solo si 𝜌 = 𝜌´ y 𝜙 = 2𝑘𝜋 + 𝜙´. 
 
Operaciones con los conjuntos numéricos 
Reglas de los signos: son reglas muy sencillas pero que debemos manejarlas 
correctamente debido que una colocación equivocada de un signo nos cambia 
radicalmente un resultado. 
Para sumar, nos manejamos con la denominada suma algebraica: 
1. Cuando sumamos números positivos, se suman la cifras y se mantiene el signo 
positivo en el resultado; Ej. 5+2+3=10 
2. Cuando sumamos números negativos se suman las cifras y se mantiene el signo 
negativo en el resultado; Ej. -4-7-2=-13 
3. Cuando tenemos un numero negativo y uno positivo los números se restan y al 
resultado se le coloca el signo del número cuyo valor absoluto es mayor; Ej. 
 43-22=21 41-65=-24 
4. Si se multiplican o dividen signos iguales el resultado es positivo, por el 
contrario si se multiplican o dividen signos distintos el resultado es negativo. 
Signos de agrupación: Estos signos nos indican que las cantidades encerradas en ellos 
deben considerarse como un todo, es decir como una sola cantidad y también se 
utilizan para señalarnos el orden el que deben efectuarse las operaciones. 
Los signos de las agrupaciones más utilizadas son: el paréntesis (); el corchete [] y la 
llave {}; para dar más claridad a las expresiones es recomendable usarlos en el mismo 
orden e igualmente, cuando se efectúan las operaciones y debemos proceder a 
eliminarlos se recomienda a seguir el mismo orden. 
Para la supresión o eliminación de los signos de agrupación se debe tener en cuenta la 
siguiente regla general: 
1. Cuando los signos de agrupación están precedidas por el signo más (+), se 
elimina el signo y las cantidades que están dentro de él conservan con el mismo 
signo; Ej. 2. 𝑥 + (3𝑦 − 4𝑧) = 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 
2. Cuando los signos de agrupación están precedidos por un signo menos (-), se 
elimina el signo y a las cantidades que están dentro de él, se les cambia el signo 
a cada una; Ej. 7𝑥 − (−3𝑦 + 5𝑧) = 7𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 
3. Cuando los signos de agrupación están precedidos por un numero cualquiera 
que lo multiplica o divide, se multiplica cada elemento dentro de los signos de 
agrupación por el numero que esta fuera, esto se llama propiedad distributiva, 
teniendo en cuenta en cada operación, la regla de los signos; Ej. 
6(6 − 3 + 8) = 36 − 18 + 48 = 66 
−3(2𝑥 + 3𝑦2 − 5𝑧 − 4) = −6𝑥 − 9𝑦2 + 15𝑧 + 12 
(5𝑥 − 3𝑥2 + 7𝑦 − 𝑧)(−2) = −10𝑥 + 6𝑥2 − 14𝑦 + 2𝑧 
 
Operaciones con números racionales (ℚ): 
Fracciones equivalentes: dos fracciones son equivalentes cuando sus valores son 
iguales; cuando tenemos una fracción y queremos calcular su verdadero valor, 
simplemente dividimos el numerador (arriba) entre el denominador (abajo): Ej 
3
5
=
6
10
= 0,6 
12
4
=
24
8
=
6
2
= 3 
6
8
=
3
4
= 0,75 
Siempre que podamos debemos buscar la fracción equivalente de numerador y 
denominador más pequeños para obtener una fracción más simple. A tal proceso de lo 
denomina simplificación de fracciones y se realiza dividiendo el numerador y el 
denominador por el mismo número siempre que el resultado en ambos miembros sea 
un entero; Ej. 
15
6
 15:3=5 6:3=2 luego será 
15
6
=
5
2
 
Relación divide. 
Dados a, b ∈ ℤ con b ≠ 0, diremos que b divide a a (o que aes múltiplo de b ), y lo 
indicaremos 
b:a, si existe k ∈ ℤ , tal que a = b.k. 
 
A partir de esta relación, diremos que a dividido en b es igual a k, y lo indicamos a : b = 
k , si 
a = b.k, para algún k ∈ ℤ. 
 
De lo anterior tenemos que dados a, b ∈ ℤ con b ≠ 0, a : b ∈ ℤ , si y sólo si a es 
múltiplo de b. 
Factorización única. 
Todo numero entero distinto de 0, 1, -1, se puede escribir como producto de ±1 por 
enteros primos positivos, y esta descomposición es única, salvo el orden de los 
factores. 
Números fraccionarios y decimales. 
Todo número racional admite una representación decimal, que es la que se obtiene al 
dividir el numerador por el denominador. 
2364
12
= 197 
−
30
10
= −3 
1
2
= 0,5 
7
4
= 1
3
4
 = 1,75 (𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑜) 
1
3
= 0,3333 . . . . = 0, 3̂ (𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑢𝑟𝑎) 
1
6
= 0,166666666666 . . . . = 0,16̂ (𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑚𝑖𝑥𝑡𝑎) 
Esto da lugar a dos tipos de expresiones decimales, las exactas y las periódicas. 
Si la expresión es exacta, se coloca como numerador el numero entero que resulta de 
suprimir el punto decimal y como denominador la unidad seguida de tantos ceros 
como cifras se encuentran a la derecha del punto decimal en la expresión decimal 
original. 
Ejemplo: 
0,5 =
5
 10
 
 
Si la expresión es periódica, se coloca como numerador el resultado de restar al 
número entero formado por parte entera, seguida del anteperiodo y de la primera 
repetición del periodo, el entero formado por la parte entera con el anteperiodo. 
Como denominador tantos nueves como cifras tenga el periodo seguidos de tantos 
ceros como cifras tenga el anteperiodo. 
(𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛) − (𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛)
𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 9 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠 𝑦 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜𝑠 0 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠
 
Ejemplo: 
0,16̂ = 
016 − 1
90
 
3,253̂ = 
3253 − 32
990
 
218,74̂ = 
21874 − 2187
90
 
 
Suma o resta de fracciones: El procedimiento para sumar o restar es idéntico; se 
presentan dos casos: 
1. Con igual denominador: para resolverlas se conserva el mismo 
denominador en el resultado y se suman y/o restan los numeradores; Ej.: 
4
3
+
7
3
=
4+7
3
=
11
3
 
8
5
+
4
5
−
6
5
=
8+4−6
5
=
6
5
 
 
2. Con diferentes denominadores: para resolverlos tenemos varios métodos: 
 
a. Ej.: 
4
5
+
3
2
=
2.4 + 5.3
5.2
=
8 + 15
10
=
23
10
 
 
6
7
−
4
5
=
5.6 − 7.4
7.5
=
30 − 28
35
= −
2
35
 
 
Procedimiento: 
o Se multiplican los denominadores entre si y ese resultado es el 
nuevo denominador (sin tener en cuenta los signos). 
o Se multiplica el numerador de la primera fracción por el 
denominador de la segunda se coloca el nuevo numerador con el 
signo de la primer fracción 
o Se multiplica el denominador de la primera fracción por el 
numerador de la segunda y se coloca el nuevo numerador con el 
signo de la segunda fracción. 
o Se resuelve ese numerador y se mantiene el denominador. 
o Si se puede, se debe simplificar el resultado. 
 
b. Método usando el m.c.m. (Máximo común múltiplo): 
Ejemplo: si queremos encontrar el resultado de la operación: 
 
5
4
−
2
5
+
1
6
 
 4 2 5 5 6 2 
 2 2 1 3 3 
 1 1 
 
 4=22 5=5 6=2.3 
 m.c.m. = 22.5.3 = 60 
 
 
5
4
−
2
5
+
1
6
=
15.5−12.2+10.1
60
=
75−24+10
60
=
61
60
 
 
 
Procedimiento: 
o Se le calcula el m.c.m. de los denominadores y este se coloca como 
denominador del resultado. 
o Se divide ese denominador (m.c.m.) entre cada denominador y a 
este resultado se lo multiplica por su correspondiente numerador y 
se va ubicando en el nuevo nuevo numerador teniendo en cuenta la 
regla de los signos. 
o Se resuelve este nuevo numerador y se mantiene el denominador. 
o Si se puede, debe simplificarse el resultado. 
- Nota: si la división del m.c.m. entre cada denominador no es un 
numero natural, debe revisarse porque está mal calculado. 
Ejemplo: 
7
20
+
5
4
+
3
2
=
7 + 25 + 30
20
=
62
20
=
31
10
 
 
 20 2 4 2 2 2 
 10 2 2 2 1 
 5 5 1 
 1 
20=22.5 4=22 2=2 m.c.m. = 20 
 
Multiplicación o producto de fracciones: El producto de dos o más fracciones es otra 
fracción, cuyo numerador es el producto de de los numeradores y el denominador es 
el producto de los denominadores, se debe tener en cuenta la regla de los signos. En el 
producto de fracciones se puede simplificar cualquier numerador con cualquier 
denominador. 
Ejemplos: 
4
3
.
5
7
=
4.5
3.7
=
20
21
 
(−
2
3
) .
9
8
=
(−2).9
3.8
=
(−1). 3
1.4
= −
3
4
 
(−
5
3
) . (−
8
7
) =
(−5). (−8)
3.7
=
40
21
 
6
7
. (−
5
12
) .
21
3
=
6. (−5). 21
7.12.3
=
1. (−5). 1
1.6.1
= −
5
6
 
 
División o cociente de fracciones: El cociente de dos fracciones es otra fracción que 
resulta de multiplicar la primera fracción por el inverso de la segunda. También puede 
calcularse en forma cruzada, esto es, el numerador de la primera fracción por el 
denominador de la segunda, esto será el numerador del resultado, y multiplicar el 
denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda, esto será el 
denominador del resultado. Se debe tener en cuenta la regla de los signos. 
Ejemplo: 
7
3
:
5
8
=
7
3
.
8
5
=
56
15
 o 
7
3
:
5
8
=
7.8
3.5
=
56
15
 
4
3
: (−
13
7
) =
4
3
. (−
7
13
) = −
28
39
 o 
 
4
3
: (−
13
7
) = −
4.7
3.13
= −
28
39
 
• Considerando que las fracciones son un cociente entre el numerador y el 
denominador, se puede presentar el caso: 
2
3
5
2
=
2
3
:
5
2
=
2
3
.
2
5
=
4
15
 𝑜 
2
3
5
2
=
2
3
:
5
2
=
2.2
3.5
=
4
15
 
 
Propiedades de las operaciones definidas en el conjunto de números reales: 
 
• Propiedades de la suma: 
➢ Conmutativa: 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 
➢ Asociativa: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) 
➢ Existencia del elemento neutro: Existe 0 tal que 𝑎 + 0 = 𝑎 
➢ Existencia del opuesto: Para cada número 𝑎 perteneciente a los reales, 
existe – 𝑎 también perteneciente a los reales tal que 𝑎 + (−𝑎) = 0 
• Propiedades del producto: 
➢ Conmutativa: 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 
➢ Asociativa: 𝑎. 𝑏. 𝑐 = (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐) 
➢ Existencia del elemento neutro: Existe 1 tal que 𝑎. 1 = 𝑎 
➢ Existencia del inverso: Para cada número 𝑎 ≠ 0 perteneciente a los 
reales, existe 
1
𝑎
 también perteneciente a los reales tal que 𝑎.
1
𝑎
= 1 
• Propiedad distributiva que combina las operaciones de suma y producto: 
(𝑎 + 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐 
(𝑎 − 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 − 𝑏. 𝑐 
𝑐. (𝑎 + 𝑏) = 𝑐. 𝑎 + 𝑐. 𝑏 
𝑐. (𝑎 − 𝑏) = 𝑐. 𝑎 − 𝑐. 𝑏 
(𝑎 + 𝑏): 𝑐 = 𝑎: 𝑐 + 𝑏: 𝑐 esta igualdad, considerando el inverso de c, también 
puede expresarse como producto del siguiente modo: 
(𝑎 + 𝑏).
1
𝑐
= 𝑎.
1
𝑐
+ 𝑏.
1
𝑐
=
𝑎
𝑐
+
𝑏
𝑐
 
(𝑎 − 𝑏): 𝑐 = 𝑎: 𝑐 − 𝑏: 𝑐 o bien (𝑎 − 𝑏).
1
𝑐
= 𝑎.
1
𝑐
− 𝑏.
1
𝑐
=
𝑎
𝑐
−
𝑏
𝑐
 
 
• Raíz y potencia en ℤ y ℚ (enteros y racionales): 
Definición. 
Para cada número racional positivo a, y para cada entero positivo n, existe un 
único número racional positivo b, tal que: 𝑏𝑛 = 𝑎. 
El número b se llama raíz enésima positiva de a y se representa b = √𝑎
𝑛 
 
Elementos de una raíz: 
Índice de la raíz Índice de la raíz 
 √𝑎
𝑐 √
𝑎
𝑏
𝑐
 
 Radicando Radicando 
 
Para encontrar el valorde la raíz, debemos encontrar un número que 
multiplicado tantas veces como indica el índice, tenga como resultado el 
radicando; Ej.: 
 
√216
3
= 6 
√
25
16
2
=
5
4
 
- Nota: no se puede calcular la raíz en los reales si el exponente es par y 
el radicando negativo. Tampoco se puede calcular una raíz si el índice es 
cero. 
 
Extracción de factores fuera del signo radical. 
Se puede extraer factores fuera del signo radical cuando el exponte de dichos factores 
sea mayor o igual que el índice. Por ejemplo: 
√45 = √32. 5=√32. √5 = 3√5 
√16
3
= √24
3
=√23. 2
3
= √23
3
√2
3
= 2 √2
3
 
 
Adición y sustracción de radicales. 
Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando. Al 
sumar o restar términos semejantes podemos obtener una expresión de un solo 
termino. Ejemplo: 
6√7 + 4√7 = (4 + 6)√7 = 10√7 
Si los radicales no son semejantes la suma o resta se resuelve teniendo en cuenta los 
siguientes pasos: 
(i) Factorizar los radicandos 
(ii) Extraer factores fuera del radical 
(iii) Identificar términos semejantes 
(iv) Operar. 
 
Racionalización de denominadores: 
Racionalizar un denominador significa transformar una fracción cuyo denominador es 
un número irracional en otra fracción igual a la dada cuyo denominador sea racional. 
Es decir, significa hacer desaparecer del denominador todo signo radical. 
(a) Para racionalizar una fracción de la forma 
𝑎
√𝑏𝑚
𝑛 , con b ≠ 0, se procede: 
 
𝑎
√𝑏𝑚
𝑛
=
𝑎
√𝑏𝑚
𝑛
 . 
√𝑏𝑛−𝑚
𝑛
√𝑏𝑛−𝑚
𝑛
= 
𝑎 √𝑏𝑛−𝑚
𝑛
√𝑏𝑛
𝑛
=
𝑎 √𝑏𝑛−𝑚
𝑛
𝑏
 
 
(b) Si el denominador es un binomio de la forma √𝑎 ± √𝑏 o 𝑎 ± √𝑏 𝑜 √𝑎 ± 𝑏, se 
procede utilizando diferencia de cuadrados, es decir: 
 (𝑝 + 𝑞) . (𝑝 − 𝑞) = 𝑝2 − 𝑞2. 
 
 
 
Elementos de una potencia: 
 
 Exponente Exponente 
𝑎𝑐 (
𝑎
𝑏
)
𝑐
 
 Base Base 
 
I. Cuando el exponente es un número natural resolvemos la potencia 
multiplicando la base tantas veces como indica el exponente; Ej.: 
 
53=5.5.5=125 (
4
3
) 4 =
4
3
.
4
3
.
4
3
.
4
3
=
256
82
 
 
II. Cuando el exponente es un número negativo, debemos convertir el 
exponente en un número positivo, para hacer esto, debemos invertir 
la base; Ej.: 
 
(
3
4
)
−2
= (
4
3
)
2
=
16
9
 
6−3 = (
1
6
)
3
=
1
216
 
 
III. Cuando el exponente es un número fraccionario debemos ubicar el 
numerador del exponente como la potencia de la base y al 
denominador como el índice de la raíz cuyo radicando será la base 
elevada al numerador; Ej.: 
(
1
8
)
2
3
= √(
1
8
)
23
= √
1
64
3
=
1
4
 
 
- Nota: Teniendo en cuenta esta propiedad, toda raíz puede con índice 
entero puede contemplarse como una potencia de exponerte racional, 
por lo cual, toda propiedad de potencia también se aplica a la raíz 
considerando el radicando como base y el inverso del índice como 
exponente. Es decir: √𝑎
𝑛
= 𝑎
1
𝑛 
 
Reglas de signos en potencia con exponente natural: 
1. Base positiva y exponente par, el resultado es positivo; Ej.: (
5
4
)2=
25
16
 
2. Base positiva y exponente impar, el resultado es positivo; Ej.: 43=64 
3. Base negativa y exponente par, el resultado es positivo; Ej.: (−
2
3
)4=
16
81
 
4. Base negativa y exponente impar, el resultado es negativo; Ej.: (-5)3=-15 
- Nota: Estas reglas se aplican en cualquier base que pertenezca a los 
reales. 
 
Propiedades de la potencia: 
a) Potencia con exponente Cero: Todo número elevado a la cero, es igual a 
uno, es decir: 𝑎0 = 0 
Ejemplos: 70=1 (−
3
5
)
0
= 1 3𝑥0 = 1 
b) Potencias con exponente uno: Para todo número de la base, si el 
exponente es uno, el resultado es igual al mismo número de la base, así 
mismo, todo número igual a sí mismo elevado al exponente uno, es 
decir: 𝑎1 = 𝑎 
Ejemplos: (-6)1=-6 (
𝑦
3
)
1
=
𝑦
3
 𝑥 = 𝑥1 
 
c) Producto de potencias de igual base: Se coloca la misma base y se 
suman los exponentes, es decir: 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
Ejemplos: 72.7=72+1 =73 (-6)3.(-6)5=(-6)3+5=(-6)8 
 (
2
3
)3.(
2
3
)-4.(
2
3
) 5=(
2
3
)2+(-4)+5=(
2
3
)4 
d) Cociente de exponentes de igual base: se coloca la misma base y se 
restan los exponentes, es decir: 𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 
Ejemplo: (
8
5
)
5
: (
8
5
)
6
= (
8
5
)
5−6
= (
8
5
)
−1
 𝑥3: 𝑥−4 = 𝑥3−(−4) = 𝑥7 
(
5
2
3
5
1
3
) = 5
2
3
−
1
3 = 5
1
3 = √5
3
 
(
2
3
)
2
(
2
3
)
−7 = (
2
3
)
2−(−7)
= (
2
3
)
9
 
e) Potencia de una potencia: Se conserva la base y se multiplican los 
exponentes. 
Ejemplo: (43)5 = 43.5 = 415 ((−7)2)−3 = (−7)2.(−3) = (−7)−6 =
(−
1
7
)
6
 
(6
2
3)
6
5
= 6
2.6
3.5 = 6
2.2
1.5 = 6
4
5 = √64
5
 
f) Potencia de un producto: Se multiplica cada factor por el exponente del 
producto, es decir: (𝑎𝑛 . 𝑏𝑚)𝑙 = 𝑎𝑚.𝑙 . 𝑏𝑛.𝑙 
Ejemplo: (3.5. 23)2 = 32. 52. 26 ((
2
3
)
−2
. (
1
4
)
3
. 5)−2 =
(
2
3
)
4
. (
1
4
)
−6
. 5−2 
g) Potencia de un cociente: se multiplica cada factor por el exponente del 
cociente, es decir: (𝑎𝑛: 𝑏𝑚)𝑙 = 𝑎𝑚.𝑙: 𝑏𝑛.𝑙 o también, (
𝑎𝑚
𝑏𝑛
)
𝑙
= 
𝑎𝑚.𝑙
𝑏𝑛.𝑙
 
Ejemplo: (53: 44)2 = 56: 48 (
3
6
)
2
=
32
62
 
Propiedad. 
Si la raíz cuadrada de un número natural no es otro número natural entonces es un 
número irracional 
Propiedades de ℝ: 
(R1) Es infinito 
(R2) no tiene primer ni último elemento 
(R3) Entre dos números reales existe siempre un número infinito de números reales. El 
conjunto de los números reales es denso. 
(R4) Ningún número real tiene antecesor ni sucesor. 
(R5) Es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤. 
 
Definición de valor absoluto. 
 
Para todo a ∈ ℝ, llamaremos valor absoluto de a y lo indicaremos |a|, al número real 
definido por 
|𝑎| = {
𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0 
− 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
 
 
Definición de recta real. 
El conjunto de los números reales se representa sobre una recta llamada recta 
numérica o recta real. 
Para cada punto de la recta numérica representa un único número real y reciproca a 
cada número real le corresponde un único punto de la recta. 
Se fija un origen que representa al número cero, se considera un segmento unidad, a la 
derecha del cero se representan los reales positivos y a la izquierda los reales 
negativos. 
Para comparar dos números reales a y b. si a-b es positivo, entonces a < b y el punto 
asociado a b a la derecha del punto asociado a a. Si b-a es negativo, entonces b < a y el 
punto asociado a b esta a la izquierda del punto asociado a a. 
 
Representación en la recta de un irracional. 
Ejemplo 1: √2 
Según el teorema de Pitágoras, tomando como hipotenusa de un triángulo rectángulo 
cualquiera tendremos que sus catetos tienen que ser iguales a 1, esto es: 
 
Tomando con el compas la longitud de esta hipotenusa y transportándola a partir del 
origen hacia la derecha sobre la recta numérica determinaremos la ubicación del 
punto irracional √2 
 
Ejemplo 2: √3 
En este caso, por el teorema de Pitágoras, tendremos: √3 = √(√2)
2
+ 12 
Esto quiere decir que √3 es la hipotenusa del triangulo rectángulo con catetos 1 y √2. 
Luego procediendo como en el ejemplo 1 determinamos el punto √2 y a partir de ese 
punto trazamos un segmento perpendicular a la recta de longitud 1. Esto es: 
 
Tomando con el compás la longitud de esta hipotenusa y transportándola a partir del 
origen hacia la derecha sobre la recta numérica determinaremos la ubicación del 
punto irracional √3 
 
 
Definición: log𝑎 𝑥 = 𝑏 ↔ 𝑥 = 𝑏
𝑎 
Para que tenga sentido la expresión de logaritmo, se requieren tres expresiones a 
saber: 
𝑥 > 0, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1 
 
De la definición se deduce que la logaritmación es la operación inversade la 
potenciación, se deduce que: 
1- log𝑏𝑏 = 1 
2- log𝑏1 = 𝑜 
3- log𝑏𝑎
𝑛 = 𝑛. log𝑏𝑎 
También se demuestran las siguientes propiedades: 
1- log𝑎𝑏 + log𝑎𝑐 = log𝑎(𝑏. 𝑐) 
2- log𝑎𝑏 − log𝑎𝑐 = log𝑎(𝑏: 𝑐) 
3- log𝑎𝑏 =
log𝑐𝑏
log𝑐𝑎
 
 
Problema: 
Un capital inicial de $10000 se coloca al 3% efectivo de interés mensual compuesto. Se 
pide calcular los intereses acumulados luego de: 
a) 5 meces. 
b) 5 meces y 18 días. 
La formula del monto generado por un capital ”C” colocado a interés compuesto a la 
tasa “i” durante un periodo “t” es: 
M = C. (1 + i)t 
La formula es válida siempre que la tasa de interés y el periodo de la colocación se 
midan en la misma unidad de tiempo (por ejemplo en meses). 
La fórmula para calcular interés es: 
𝐼 = 𝑀 − 𝐶 
 
Por lo que podemos resolver los problemas planteados: 
a) El interés generado en 5 meces: 
 𝑀 − 𝐶 = 10000. (1 + 0,03)5 − 10000 = 1592,74 
b) El interés generado en 5 meces y 18 días: 
 𝑀 − 𝐶 = 10000. (1 + 0,03)5+(18:30) − 10000 = 1654,58 
 
Una aplicación de logaritmos: 
En el problema de colocación financiera teníamos una capital de $10000 colocado al 3% de 
interés mensual efectivo. Nos preguntamos ahora por cuánto tiempo deberá permanecer 
colocado el capital para generar $2000 de interés. 
Solución: 
Generar 2000 de interés es lo mismo que generar 12000 de monto, entonces planteemos: 
12000 = 10000. (1 + 0,03)𝑡 
Claramente la incógnita a determinar es “t”, el tiempo que debe permanecer colocado 
para generar 2000 de interés. Operando resulta: 
1,02 = 1,03𝑡 
El logaritmo es función por lo que podemos aplicar logaritmo miembro a miembro. 
𝑙𝑜𝑔1,02 = 𝑙𝑜𝑔1,03𝑡 
Por propiedad: 
𝑙𝑜𝑔1,02 = 𝑡. 𝑙𝑜𝑔1.03 
𝑙𝑜𝑔1,02
𝑙𝑜𝑔1.03
= 𝑡 = 6,168 
El capital debe colocarse aproximadamente 6 meces y 5 días para generar $2000 de 
interés. 
Cotas y extremos de un conjunto. 
Los conjuntos de números pueden ser finitos o infinitos, los reales o los naturales son 
ejemplos de conjuntos infinitos. En virtud de los racionales y reales, sabemos que 
entre dos racionales (reales), existe siempre otro racional (real). 
Se dice un conjunto es infinito numerable si sus elementos se pueden corresponder 
biunívocamente con el conjunto de los naturales. 
Ejemplo: 
𝑃 = {𝑥 ∊ ℕ0: 𝑥 = 2𝑘; 𝑘 ∊ ℕ0} 
Es decir el conjunto de números pares positivos, pueden corresponderse con los 
números naturales de la siguiente manera: 
Definamos la función f como f(x)=2.x de esta forma definida la función, si tomamos 
como dominio el conjunto ℕ0 y como condominio el conjunto P entonces f es una 
función biyectiva, es decir, existe una correspondencia biunívoca por tanto el conjunto 
de los números pares es infinito numerable. En la siguiente unidad profundizaremos 
funciones biyectivas. 
Se puede demostrar que el conjunto Z y Q son infinitos numerables, en cambio el 
conjunto de números reales es infinito no numerable al igual que cualquier intervalo 
de este último conjunto. 
Los conjuntos de números más usados son el conjunto de los números naturales, 
reales y ciertos subconjuntos de ℝ que definiremos a continuación. 
Intervalo cerrado de extremos a y b: [a,b]={x∊ℝ: a ≤ x ≤ b} 
Intervalo abierto de extremos a y b: (a,b)={x∊ℝ: a < x < b} 
Intervalo semiabierto por izquierda: (a,b]={x∊ℝ: a < x ≤ b} 
Intervalo semiabierto por derecha: [a,b)={x∊ℝ: a ≤ x < b} 
Semirecta de los puntos a la derecha (izquierda) de k, con k incluido: [k,∞)={x∊ℝ: x ≥ k} 
((-∞,k]={x∊ℝ: x ≤ k}) 
Semirecta de los puntos a la derecha (izquierda) de h, con h excluido: 
 [h,∞)={x∊ℝ: x > h} ((-∞,h]={x∊ℝ: x < k}) 
Entorno de centro “a” y radio “r”: E(a,r)= {x∊ℝ: a-r< x< a+r} 
Entorno reducido de centro “a” y radio “r”: E*(a,r)= {x∊ℝ: x≠a, a-r< x< a+r} 
Definicion. 
Se dice que un conjunto A perteneciente a ℝ está acotado si se cumplen a la vez las 
siguientes condiciones: 
I- ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∃𝑘 ∶ 𝑥 < 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ 
II- ∀𝑥 ∈ 𝐴, ∃ℎ ∶ 𝑥 > ℎ, ℎ ∈ ℝ 
Nota: si un conjunto cumple solamente la primera condición, se dice que esta acotado 
superiormente, k se denomina cota superior. Si cumple solamente la segunda 
condición se dice que esta acotado inferiormente, h se denomina cota inferior. 
Observaciones: 
• Si el conjunto A es finito entonces esta acotado. Alcanza con ordenar los 
elementos de A de menor a mayor, el menor es la cota inferior y el mayor es la 
cota superior. 
• Si k es cota superior de A, entonces cualquier elemento mayor que k es cota 
superior, recíprocamente, si h es cota inferior de A, entonces cualquier 
elemento menor que h es cota inferior. 
• Si el conjunto A es infinito, entones no está acotado superiormente o 
inferiormente. Ejemplos: 
El conjunto de los números naturales esta acotado inferiormente pero no 
superiormente. 
El conjunto de los números enteros negativos esta acotado superiormente pero 
no inferiormente. 
El conjunto de los números reales no está acotado. 
 
Si un conjunto A admite cotas superiores, la menor de las cotas superiores se 
denomina supremo, además si el supremo pertenece al conjunto A, este se denomina 
máximo. 
Si un conjunto A admite cotas inferiores, la menor de las cotas inferiores se denomina 
ínfimo, además si el ínfimo pertenece al conjunto A, este se denomina mínimo. 
Símbolo de la sumatoria: 
Los elementos de un conjunto a veces se pueden escribir mediante una fórmula, lo que 
permite simplificar en gran medida la notación, por ejemplo: el conjunto de los 
números pares puede simbolizarse como “2.n” donde n∊ℕ0. Análogamente la 
expresión “2n+1” simboliza al número natural impar cualquiera y n2 representa a 
los números naturales que son cuadrado perfectos. 
En muchas aplicaciones es necesario realizar operaciones tales como la suma o el 
producto de números que “tienen la misma forma” porque pertenecen a conjuntos 
cuyos elementos están relacionados mediante una fórmula general. En tales casos 
la suma de dichos números puede escribirse usando la letra sigma en mayúscula 
(Σ). La expresión: 
∑ 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎(𝑖)
8
𝑖=1
 
Indica que deben sumarse 8 elementos los cuales resultan de sustituir el índice “i” 
en la “formula(i)” por números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Entonces: 
∑ 2. 𝑖
8
𝑖=1
= 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.4 + 2.5 + 2.6 + 2.7 + 2.8 
∑ 3𝑖 = 31 + 32 + 33 + 34
4
𝑖=1
 
¿Cómo puede escribirse la suma (17+21+25+29+33+37+41) mediante el símbolo de la 
sumatoria? Es necesario explicitar la formula y determinar el recorrido del índice “i”. 
para encontrar la formula, puede observarse que se trata de sumandos impares, que 
van saltando de 4 en 4. Entonces, una formula apropiada es (4.i+1) con i=4, 5, 6, 7, 8, 9, 
1 0. 
(17 + 21 + 25 + 29 + 33 + 37 + 41) = ∑(4. 𝑖 + 1)
10
𝑖=4
 
Obsérvese que (4.i-3) también sirve como fórmula para resolver el problema, en tal 
caso, ¿Qué valores debería tomar “i”? 
Sea A un conjunto con n números, a cada uno de ellos lo simbolizaremos con xi. 
𝐴 = {𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛} 
La suma de todos los elementos de A será entonces: 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Supongamos ahora que los elementos del conjunto se pueden disponer en un cuadro 
de doble entrada (filas y columnas), disposición que se conoce con el nombre de 
matriz. 
 
 
 
 C1 C2 C3 Cn 
F1 x11 x12 x13 x1n 
F2 x21 x22 x23 x2n 
F3 x31 x32 x33 x3n 
 
Fm xm1 xm2 xm3 xmn 
 
 
Esta matriz tiene m filas (F1, F2, F3, … , Fm) y n columnas (C1, C2, C3, … , Cn) la suma de sus 
elemento de la primera columna es ∑ 𝑥𝑖1
𝑚
𝑖=1 . La suma de los elementos de la segunda 
fila es ∑ 𝑥2𝑖
𝑛
𝑖=1 . 
Para facilitar la notación es conveniente utilizar distintos índices para filas y columnas, 
entoces la suma de los elementos de la primera columna se puede expresar como: 
∑ 𝑥𝑗1
𝑚
𝑗=1 . 
Si se trata ahora de sumar todos los elementos de la matriz se puede utilizar una 
“doble sumatoria”. 
∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
 
Propiedades de la sumatoria. 
1) Constante multiplicativa:∑ 𝑘. 𝑥𝑖 = 𝑘. ∑ 𝑥𝑖 
2) Sumatoria de sumas: ∑(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖) = ∑ 𝑥𝑖 + ∑ 𝑦𝑖 
3) Inversión de índices: ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗 = ∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗𝑖𝑗𝑗𝑖 
Si en lugar de sumar los elementos xi se trata de multiplicarlos, entonces se utiliza la 
expresión productoria mediante el símbolo pi mayúscula. 
𝑥1. 𝑥2. 𝑥3. … . 𝑥𝑛 = ∏ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 
Por ejemplo, representar el producto de 2x4x6x8x10x…x34 mediante el símbolo 
productoria, se tiene: 
∏ 2. 𝑖
17
𝑖=1
 
Para representar el producto de 1x2x3x4x5x6x…x32 será entonces: 
∏ 𝑖
32
𝑖=1
 
Particularmente, esta última multiplicación puede expresarse de otra manera, el 
producto de un número k por todos sus antecesores naturales recibe el nombre de 
factorial y se nota k!. En nuestro ejemplo será 32! 
 
 
 
 
 
Polinomios. 
Expresiones algebraicas. 
Definición: 
Una expresión algebraica es una expresión que contiene números y letras, vinculados 
mediante las operaciones aritméticas. 
Expresiones algebraicas racionales: 
Es toda combinación de números y variables (que se denotan con letras), en ella las 
variables están vinculadas por las operaciones: suma, resta, multiplicación, división y 
potenciación. 
Ejemplo. 
(𝑥 − 1)2 2𝑥3 + 2𝑥 + 3 
Las expresiones algebraicas racionales se clasifican en: expresiones algebraicas 
racionales enteras, fraccionarias e irracionales. 
 
Expresiones algebraicas racionales enteras 
Son expresiones en las que las variables están afectadas por las operaciones de suma, 
resta, multiplicación y potenciación con exponentes naturales. 
Ejemplo: 
(𝑥 − 3)2 − 3𝑥 𝑦4 + 3𝑥𝑦 + √8
3
𝑥4 −
4
5
𝑥3 
 
Esta última es una expresión algebraica racional entera pues las operaciones de 
radicación y división afectan a los coeficientes y no a las variables. 
 
Expresiones algebraicas racionales fraccionarias. 
Son expresiones en las que alguna de las variables forma parte de un divisor o 
presenta exponente negativo. 
Ejemplo: 
𝑥2 − 6𝑥 + 9
𝑥 − 3
 𝑎4 −
1
3
𝑦2 + 4𝑥−2 
 
Expresiones algebraicas irracionales. 
Son expresiones algebraicas en las que alguna de las variables aparece afectada por 
radicales o exponente fraccionario. 
Ejemplo: 
√𝑥
3 − 2𝑥 𝑦
2
3 − 𝑥3 − √𝑦
5 
Termino algebraico. 
Definición. 
Un término algebraico es el producto de un factor numérico por una o más variables. 
En cada término algebraico se distingue el coeficiente numérico (que incluye el signo y 
constantes matemáticas) y la parte literal (que incluye variables). 
 
Monomio. 
Definición. 
Los monomios son expresiones algebraicas enteras de un solo término. 
En todo monomio se diferencian dos partes: 
• el coeficiente, que es un número, 
• la parte literal, formada por letras. 
Ejemplo. 
2𝑥𝑦3 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 
Suma de monomios. 
Para sumar dos monomios ambos monomios deben tener la o las mismas variables y el 
exponente de estas debe ser igual. Luego se suman los coeficientes de dichos 
monomios. 
Ejemplo: Sea 𝑚1 = 2𝑥
2. 𝑦3 y 𝑚2 = 7𝑥
2. 𝑦3 
𝑚1 + 𝑚2 = 2. 𝑥
2. 𝑦3 + 7. 𝑥2. 𝑦3 = 9. 𝑥2. 𝑦3 
Grado de un monomio. 
Se llama grado de un monomio a la suma de los exponentes de todas las letras que 
aparecen en el. 
Ejemplo. 
27𝑦3𝑥𝑧2 
Es un monomio donde: 27 es el coeficiente, 𝑦3𝑥𝑧2 es la parte literal del monomio, y es 
de grado 6. 
Definición: 
Un polinomio es una suma algebraica de monomios. 
Llamaremos polinomio en la variable x o simplemente polinomio a toda expresión de 
la forma 
𝑚1 + 𝑚2 + · · · + 𝑚𝑟, 
Donde los 𝑚1, 𝑚2,· · · , 𝑚𝑟 son monomios en la variable x. 
 
Es decir: 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 con 𝑎𝑛 ≠ 0 
Donde 𝑎𝑖 . 𝑥
𝑗 ; i: 1, 2,…, k y j: 1, 2,…,n son monomios . 
Diremos que: 
La expresión anterior es la forma completa de 𝑝(𝑥) 
𝑎𝑛 , … , 𝑎1, 𝑎0 son los coeficientes de 𝑝(𝑥) 
𝑎𝑛 es el coeficiente principal de 𝑝(𝑥) 
𝑎0 es el término independiente de 𝑝(𝑥) 
𝑛 es el grado de 𝑝(𝑥) 
𝑝(𝑥) = 0 no tiene grado. 
Nota: para llegar a la forma completa de 𝑝(𝑥) , todo monomio dentro de este debe tener la 
potencia de sus variable diferente, en caso de que tengan la misma potencia esos monomios 
se suman. 
Nota: a partir de este momento trabajaremos con polinomios de una variable. 
Nota: es conveniente ordenar los polinomios de manera que cada uno de los monomios que lo 
componen estén ordenados de manera decreciente respecto a sus grados. 
Suma de polinomios. 
Para sumar dos polinomios 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 y 𝑞(𝑥) = 𝑏𝑚 . 𝑥
𝑚 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0 
Debemos sumar cada monomio que tengan el mismo grado de ambos polinomios. 
Ejemplo: 𝑝(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 y 𝑞(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥 + 7 
𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 + 4𝑥3 − 3𝑥 + 7 = 4𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 6𝑥 
Producto de un polinomio por una constante. 
Dada una constante 𝑎 ∊ ℝ y un polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛 . 𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 el producto de la 
constante por el polinomio se realiza siguiendo la propiedad distributiva, luego: 
𝑎. 𝑝(𝑥) = 𝑎. 𝑎𝑛. 𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎. 𝑎1𝑥 + 𝑎. 𝑎0 
Ejemplo: 
Dados: 𝑝(𝑥) = 2𝑥2 + 2𝑥 − 1 y la constante 
1
3
 
1
3
. 𝑝(𝑥) =
2
3
𝑥2 +
2
3
𝑥 −
1
3
 
Polinomio normalizado. 
Se denomina polinomio normalizado a todo polinomio cuyo coeficiente principal es 1. 
Para normalizar un polinomio, multiplicamos a dicho polinomio por el inverso del 
coeficiente principal. 
Producto de dos polinomios: 
Para realizar el producto entre dos polinomios solamente debemos seguir la propiedad 
distributiva. 
Ejemplo: 
Dados: 𝑝(𝑥) = 2𝑥2 − 1 y 𝑞(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥 
𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = (2𝑥2 − 1). (4𝑥3 − 3𝑥) 
𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = 8𝑥5 − 6𝑥3 − 4𝑥3 + 3𝑥 
𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥) = 8𝑥5 − 10𝑥3 + 3𝑥 
 Grado de un polinomio. 
Se denomina grado de un polinomio y denota con 𝑔𝑟(𝑝(𝑥)) al grado más alto de todos los 
monomios que lo componen. 
Teorema: 
Sea 𝐾 cuerpo entonces 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] no nulos entonces: 
𝑔𝑟(𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)) = 𝑔𝑟(𝑝(𝑥)) + 𝑔𝑟(𝑞(𝑥)) 
Es decir, el grado del producto de dos polinomios es igual a la suma de los grados de 
dichos polinomios individualmente. 
Teorema: 
 
Sea 𝐾 cuerpo entonces 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] es inversible en 𝐾[𝑥] si y sólo si 𝑝(𝑥) = 𝑎 ∈ 𝐾 −
{0} 
Es decir: solamente tienen inverso los polinomios que son una constante distinta de 0. 
Ejemplo: 𝑝(𝑥) = 5 tiene inverso 
Nota: los polinomios que poseen inverso se llaman polinomios unitarios. 
TEOREMA: 
Sea 𝐾 cuerpo y 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] no nulos 
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛. 𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0, 𝑐𝑜𝑛 𝑎𝑛 ≠ 0 
𝑞(𝑥) = 𝑏𝑚 . 𝑥
𝑚 + ⋯ + 𝑏1𝑥 + 𝑏0, 𝑐𝑜𝑛 𝑏𝑚 ≠ 0 
Entonces 𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥) si y sólo si 𝑚 = 𝑛 y 𝑎𝑖 = 𝑏𝑖 para todo 𝑖 = 0,1, … 𝑛 
Es decir, dos polinomios son iguales si tienen la mima cantidad de monomios y cada 
monomio de un polinomio tiene un correspondiente en el otro con el cual comparten 
grado y coeficiente. 
Ejemplo: 𝑞(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥 es igual a 𝑝(𝑥) = −3𝑥 + 4𝑥3 
Relación divide: 
Definición: Sea 𝐾 cuerpo y 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] diremos que 𝑞(𝑥) divide a 𝑝(𝑥) si existe 𝑠(𝑥) ∈
𝐾[𝑥] tal que 
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥). 𝑠(𝑥) 
División de polinomios: 
La división de polinomios se realiza de acuerdo a las reglas y propiedades de la división 
de números reales aunque la indeterminada 𝑥 no sea un número real. 
Dados dos polinomios 𝑃 y 𝑄, al dividir 𝑃(𝑥) por 𝑄(𝑥) significa encontrar dos 
polinomios 𝐶(𝑥) y 𝑅(𝑥) llamados cociente y resto respectivamente tales que: 
1. 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
2. 𝑔𝑟𝑅(𝑥) < 𝑔𝑟𝑄(𝑥) ó 𝑅(𝑥) es nulo. 
Para efectuar la división de los polinomios debes cuidar que estén ordenados en forma 
decreciente que el polinomio dividiendo este completo. 
 
Algoritmo de la división: 
Sea 𝐾 cuerpo y 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] con 𝑞(𝑥) ≠ 0 entonces existen 𝑐(𝑥), 𝑟(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] tales que 
𝑝(𝑥) = 𝑞(𝑥). 𝑐(𝑥) + 𝑟(𝑥), 𝑐𝑜𝑛 𝑟(𝑥) = 0 𝑜 𝑔𝑟(𝑟(𝑥))< 𝑔𝑟(𝑞(𝑥)) 
Además 𝑐(𝑥) y 𝑟(𝑥) son únicos. 
Máximo común divisor: 
Sea 𝐾 cuerpo y 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥], no simultáneamente nulos, diremos que un polinomio 𝑑(𝑥) 
es el máximo común divisor de 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) si 
(D1) 𝑑(𝑥)|𝑝(𝑥) y 𝑑(𝑥)|𝑞(𝑥) 
(D2) Si existe 𝑠(𝑥) tal que 𝑠(𝑥)|𝑝(𝑥) y 𝑠(𝑥)|𝑞(𝑥) entonces 𝑠(𝑥)|𝑑(𝑥) 
Nota: notaremos al máximo común divisor de dos polinomios 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) como sigue, 
(𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥)) = 𝑠(𝑥) 
Siendo 𝑠(𝑥) el máximo común divisor de 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) 
Lema: 
Sea 𝐾 cuerpo y 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] con 𝑞(𝑥) ≠ 0 si 𝑟(𝑥) es el resto de dividir 𝑝(𝑥) en 𝑞(𝑥) 
entonces el máximo común divisor de 𝑝(𝑥) y 𝑞(𝑥) es igual al máximo común divisor de 𝑞(𝑥) y 
𝑟(𝑥) 
Polinomio irreducible: 
Definición: Sea 𝐾 cuerpo y 𝑝(𝑥) ∈ 𝐾[𝑥] diremos que 𝑝(𝑥) es irreducible si 
(I’1) 𝑝(𝑥) ≠ 0 
(I’2) 𝑝(𝑥) no es un polinomio unitario 
(I’3) si 𝑞(𝑥)|𝑝(𝑥) entonces 𝑞(𝑥) = 𝑘 o 𝑞(𝑥) = 𝑘. 𝑝(𝑥) con 𝑘 ∈ 𝐾 − {0} 
Es decir que 𝑝(𝑥) es irreducible si no es constante y sus únicos divisores son los triviales (no se 
puede expresar como producto de dos polinomios de grado positivo) 
Propiedad: 
1. Si en una división se multiplica o divide el dividendo y el divisor por un mismo 
polinomio, el cociente no se altera, pero el resto queda dividido o multiplicado 
por dicho polinomio. 
𝑃(𝑥). 𝑁(𝑥): 𝑄(𝑥). 𝑁(𝑥) 
𝑃(𝑥). 𝑁(𝑥) = (𝑄(𝑥). 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥)). 𝑁(𝑥) 
𝑃(𝑥). 𝑁(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝑁(𝑥). 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥). 𝑁(𝑥) 
 
2. El resto de la división de un polinomio 𝑃(𝑥) por 𝑥 + 𝑎 es igual al valor de 𝑃 
para 𝑥 = −𝑎 
𝑃(𝑥) = (𝑥 + 𝑎). 𝐶(𝑥) + 𝑅(𝑥) 
Reemplazando 𝑥 = −𝑎 
𝑃(−𝑎) = (−𝑎 + 𝑎). 𝐶(−𝑎) + 𝑅(−𝑎) 
𝑃(−𝑎) = 𝑅(−𝑎) 
Raíz de un polinomio: 
Se dice que 𝑎 es raíz o cero de un polinomio 𝑝(𝑥) si remplazando el valor de 𝑎 en la 
variable del polinomio entonces 𝑝(𝑥) = 0 
 
Teorema de Gauss. 
Si un número racional 
𝑝
𝑞
 con 𝑝 y 𝑞 relativamente primos es raíz del polinomio 𝑝(𝑥) =
𝑎𝑛𝑥
𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 de grado n con coeficientes enteros y 𝑎0 ≠ 0 entonces 𝑝|𝑎0 y 
𝑞|𝑎𝑛 
Corolario. 
Si el polinomio 𝑝(𝑥) = 𝑥𝑛 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 con coeficientes enteros y 𝑎0 ≠ 0 tiene 
raíces racionales, éstas son enteras y se encuentran entre los divisores de 𝑎0. 
 
Regla de Ruffini: 
Para calcular los coeficientes del cociente de una división de un polinomio por otro de 
la forma 𝑥 + 𝑎 se adopta una disposición práctica conocida con el nombre de Regla de 
Ruffini. 
Escribiremos tres filas y dos columnas, a su vez a la segunda columna la dividiremos en 
tantas columnas como grado tenga el polinomio que ocupa el lugar del dividendo. 
En la primera columna solo notaremos el opuesto de 𝑎 en la segunda fila. 
En la segunda columna, primera subdivisión, primera fila notaremos el coeficiente 
principal al igual que en la tercera fila, la segunda fila queda libre en esta subdivisión. 
Siguiendo, en la primera fila continuando con las subdivisiones se notan los 
coeficientes del polinomio dividendo ordenado de manera decreciente y completa. 
En la segunda fila segunda subdivisión se nota el producto del opuesto de a por el 
número que ocupa el lugar de la subcolumna anterior y fila siguiente. 
En la tercera fila se nota la suma de los elementos de la columna que comparte. 
Siguiendo el procedimiento, en la fila dos se notan el producto del opuesto de a por el 
elemento que ocupa el lugar de la fila siguiente y columna anterior. 
Nota: trabajaremos en práctica esta sección para mejorar su explicación. 
 
Factorizacion: 
Factorizar un polinomio 𝑝(𝑥) significa expresarlo como el producto de una constante 
por uno o más polinomios irreducibles mónicos. 
Nota: el teorema fundamental de la aritmética garantiza que todo polinomio de grado 
positivo puede factorizarse. 
Factor común. 
Extracción de factor común consiste en expresar un polinomio como producto de un 
monomio por un polinomio. 
Es el proceso inverso de la aplicación de la propiedad distributiva. 
𝑝(𝑥). 𝑚(𝑥) + 𝑞(𝑥). 𝑚(𝑥) = (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)). 𝑚(𝑥) 
Donde 𝑚(𝑥) es un monomio y 𝑝(𝑥), 𝑞(𝑥) son polinomios 
 
Factor común por grupos. 
Extracción de factor común por grupos consiste en expresar un polinomio como 
producto de dos polinomios. 
𝑝(𝑥). 𝑟(𝑥) + 𝑞(𝑥). 𝑟(𝑥) + 𝑝(𝑥). 𝑠(𝑥) + 𝑞(𝑥). 𝑠(𝑥) = (𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)). (𝑟(𝑥) + 𝑠(𝑥)) 
 
Diferencia de cuadrados. 
(𝑥 + 𝑎). (𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑥𝑎 + 𝑎𝑥 + 𝑎2 = 𝑥2 − 𝑎2 
 
Trinomio cuadrado perfecto. 
(𝑎𝑥 ± 𝑏)2 = 𝑎2𝑥2 ± 2𝑎𝑏𝑥 + 𝑏2 
 
Cuatrinomio cubo perfecto. 
(𝑎𝑥 + 𝑏)3 = 𝑎3𝑥3 − 3𝑎2𝑏𝑥2 + 3𝑎𝑏2𝑥 + 𝑏3 
 
La generalización de estos dos últimos resultados es el Binomio de Newton: 
Teorema. 
Para todo 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ y 𝑛 ∈ ℕ se verifica 
(𝑎 + 𝑏)𝑛 = ∑ (
𝑛
𝑖
) 𝑎𝑖 . 𝑏𝑛−𝑖
𝑛
𝑖=0
 
 
Función polinómica: 
Consideremos un polinomio formal en la indeterminada 𝑥 
𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 
Cuyos coeficientes pertenecen al conjunto de los números reales. Si le damos una 
interpretación de la indeterminada 𝑥, reemplazándola por un número real, la expresión 𝑃(𝑥) 
deja de ser un polinomio forma y se convierte en un elemento de ℝ. 
Podemos definir entonces una función: 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥
1 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥
𝑛 
Una función de este tipo se denomina función polinómica. 
𝑥 es ahora una variable que toma valores en ℝ. La función 𝑓 hace corresponder a cada 
elemento de 𝑥 ∊ ℝ un valor 𝑓(𝑥) ∊ ℝ, llamado “valor de la función en 𝑥”. 
Casos particulares de funciones polinómicas. 
Función constante: 𝑓(𝑥) = 𝑘 o 𝑦 = 𝑘 (grado cero) 
Función afín: 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 (grado 1) 
Función cuadrática: 𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎1𝑥
2 (grado 2) 
Nota: se profundizara funciones en la próxima unidad. 
 
 
 
Practica. 
 
1) Radicales 
• Extraiga los factores de los radicales 
a) √54
3
 b) √75
2
 c) √48
4
 d) √686
3
 
 
• Adición y sustracción de radicales. 
a) 5 √3
2
+ 2 √3
2
 b) 7 √6
3
− 7 √6
3
 c) 4 √54
3
+ 5 √54
3
 
 
• Racionalización de denominadores. 
a) 
5
√7
2 b) 
7
√32
3 c) 
3
√23
5 d) 
2
√24
3 
2) Calcule aproximando a 2 decimales. 
a) (1+0,03)24 b) (1-0,2)2,5 c) log 2+log 5 d) log 6 – log 3 e) log34 
 
 
3) Números imaginarios. 
• Suma y resta de números imaginarios. 
a) (−2 − 3𝑖) + (3 + 4𝑖) b) (5 + 𝑖) − (−3 + 2𝑖) c) (3 + 2𝑖) − (4 + 3𝑖) 
 
• Producto de números imaginarios. 
a) (2 − 3𝑖). (−3 + 4𝑖) b) (−5 + 𝑖). (3 + 2𝑖) c) (3 + 2𝑖). (4 + 3𝑖) 
 
• Represente gráficamente los siguientes números complejos. 
a) (2 − 3𝑖) b) (−3 + 4𝑖) c) (3 + 2𝑖) d) (-2,4) e)(3,-7) 
f) 5 . 𝑐𝑜𝑠 30° + 𝑖. 5 . 𝑠𝑒𝑛 30° g) 3 . 𝑐𝑜𝑠 120° + 𝑖. 3 . 𝑠𝑒𝑛 120° 
h) <5,30°> i) <2,20°> 
• Elija 4 de los números complejos anteriores, uno de cada tipo de escritura 
(binomial, par ordenado, trigonométrica y polar), calcule el módulo y expréselo 
de todas las demás maneras. 
 
4) Sumatorias, cotas y extremos de un conjunto. 
• Una canasta de consumo alimenticio compone de 6 artículos con los siguientes 
datos. 
Articulo (i) Cantidad (Qi) Precio (Pi) Costo (Ci) 
Leche 20 22 15 
Vino 12 40 32 
Carne 10 60 35 
Pan chico 40 15 10 
Queso 4 48 30 
Yerba 5 25 20 
 
Se pide: 
a) Calcular el valor de la canasta a precios de venta. 
b) Calcular el valor de la canasta a precio costo. 
c) Calcular el margen comercial total. 
d) Calcular el margen de contribución por producto de la canasta 
 
• Una canasta de consumo alimenticio compone de k artículos (k>100) con los 
siguientes datos. 
 
Articulo (i) Cantidad (Qi) Precio (Pi) Costo (Ci) 
1 Q1 P1 C1 
2 Q2 P2 C2 
3 Q3 P3 C3 
… … … … 
k Qk Pk Ck 
 
Se pide: 
Planear utilizando el símbolo de sumatoria. 
a) Calcular el valor de la canasta a precios de venta. 
b) Calcularel valor de la canasta a precio costo. 
c) Calcular el valor de la canasta a precios de venta de los primeros 20 
artículos. 
d) Calcular el valor de la canasta a precio costo de los últimos 15 articulos. 
e) Calcular el margen comercial total. 
 
• Calcular las siguientes sumatorias. 
a) ∑ 𝑖26𝑖=1 
b) ∑ (3. 𝑖 − 2)12𝑖=1 
c) ∑ 𝑖16𝑖=4 
d) ∑ 𝑖100𝑖=1 (para este ítem hay una formula desarrollada por Gauss) puede 
buscarla. 
• Escribir usando la formula de sumatoria. 
a) 1+3+5+7+…+45 
b) 1+2+4+8+16+…+1024 
c) 3+9+27+…+19683 
• Hallar, si existen, una cota inferior, una cota superior, además encontrar 
supremos e ínfimos. 
 
a) A={1,2,3,…,123} 
b) B={x∊ℝ:x=1+1/n, n∊ℕ} 
c) C={ x∊ℝ: x∊(2/3, 4]} 
d) D={x∊ℝ : x es divisor de 2} 
e) E={ x∊ℝ: x-3=0} 
f) F={ x∊ℝ: x2+2.x-3=0} 
 
5) polinomios. 
• Sean los polinomios P(x)=2x3-3x2+5x-1 y Q(x)=3x2-2x+1 
a) Calcular P+Q 
b) Calcular 2.Q y (3/2).Q 
c) Calcular 2.P - 3.Q 
d) P-(2.x).Q 
e) P.Q 
• Hallar el desarrollo de: 
a) (x2-2)2 
b) (2x-3x3)2 
c) (1/2.x2+2x)3 
d) (x2-2).(x2+2) 
• Realizar las siguientes operaciones: 
a) 
1
𝑥2
+
1
𝑥
 
b) 
1
𝑥
−
1
𝑥−1
 
c) 
𝑥
𝑥+1
+
𝑥−1
𝑥
 
d) 
𝑥
𝑥2−1
+
𝑥−1
𝑥+1
 
e) 
𝑥3−3𝑥+2
𝑥3−3𝑥+2
− 3𝑥2 + 3 
• Realice las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini cuando se pueda. 
a) (x3-7x2+14x-21): (x-2) 
b) (2𝑦4 −
10
3
𝑦3 +
19
30
𝑦2 −
1
5
𝑦): (
2
3
𝑦2 − 𝑦) 
c) (x2+7x+12):(x+3) 
d) (2𝑥5 −
5
3
𝑥3 +
1
2
𝑥 −
1
6
): (𝑥 + 1) 
e) (x5+32):(x+2) 
 
• Encuentre las raíces de los siguientes polinomios: 
a) S(x)=x2+2x-3 
b) T(x)=(x2-2x)2 
c) M(x)=(
2𝑥−5
𝑥2−1
+
𝑥−1
𝑥+1
) 
d) N(x)=𝑥3 −
1
2
𝑥2 −
13
2
𝑥 − 3 
e) O(x)=(x-3).(x+1).(x-2/3).(x2+2x-3)