Polinomios y sus raíces

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POLINOMIOS Y SUS RAÍCES
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Juan Gamarra Carhuas
Semana 16
- ÁLGEBRA
Competencias:
 Conoce las raíces simétricas y recíprocas.
 Construye polinomios en función de sus
raíces.
 Usa las definiciones y propiedades para 
resolver problemas contextualizados.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción 
3. Definición de raíces Recíprocas.
4. Reconstrucción de una ecuación
2. Definición de raíces simétricas.
5. Problemas diversos.
- ÁLGEBRA
Introducción
Con las ecuaciones lineales, cuadráticas, cubicas, etc., podrás
modelar y resolver diversas situaciones o relaciones en los
negocios, la ciencia y la medicina como ya has podido ir
observando. Por ejemplo, es útil para determinar la altura que
alcanza una pelota o un proyectil, además, maximizar las
ganancias; es decir, la diferencia entre los ingresos (dinero que
entra) y los costos de producción (dinero que sale).
También resolver una ecuaciones cuadráticas por ejemplo nos
permitirá hallar los valores que maximicen las ganancias en un
negocio.
- ÁLGEBRA
RAÍCES SIMÉTRICAS
Sea la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠
0; de raíces 𝑥1 𝑦 𝑥2 no nulas, diremos que
Ejemplos
𝑥1 𝑦 𝑥2 son raíces simétricas
Sea la ecuación cuadrática 3𝑥2 + (𝑚 − 2)𝑥 + 1 = 0
de raíces simétricas, se cumple 
𝑥1 + 𝑥2 = 0
−
𝑚− 2
3
=
𝑚 − 2
3
=
𝑚 − 2 =
𝑚 = 2
Regla práctica:
𝑥1 𝑦 𝑥2 son raíces simétricas
Sea la ecuación cuadrática 3𝑥2 + (𝑚 − 2)𝑥 + 1 = 0
de raíces simétricas, se cumple 
Ejemplos
𝑏 = 0
𝑚 − 2 =
𝑚 = 2
RAÍCES RECÍPROCAS
Sea la ecuación cuadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑎 ≠
0; de raíces 𝑥1 𝑦 𝑥2 no nulas, diremos que
𝑥1 𝑦 𝑥2 son raíces recíprocas
↔ 𝑥1 + 𝑥2 = 0
0
0
0
↔ 𝑏 = 0
0
↔ 𝑥1. 𝑥2 = 1
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Ejemplos
Sea la ecuación cuadrática 4𝑥2 + 7𝑥 + (𝑛 + 1) = 0
de raíces recíprocas, se cumple 
𝑥1. 𝑥2 = 1
𝑛 + 1
4
=
𝑛 + 1 =
𝑛 = 3
Ejemplos
𝑎 = 𝑐
4 =
𝑛 = 3
Regla práctica:
𝑥1 𝑦 𝑥2 son raíces recíprocas
Sea la ecuación cuadrática 4𝑥2 + 7𝑥 + (𝑛 + 1) = 0
de raíces recíprocas, se cumple 
RAÍZ DE UN POLINOMIO
↔ 𝑎 = 𝑐
𝑛 + 1
1
4
Sea 𝑃(𝑥) un polinomios grado mayor o igual a 1.
Si 𝑃(𝑘) = 0 entonces 𝐾 es raíz del polinomio 𝑃(𝑥)
y viceversa.
- ÁLGEBRA
Ejemplos
Sea P(𝑥) = 𝑥
2 − 1
Ejemplos
RECONSTRUCCIÓN DE POLINOMIOS 
CUADRÁTICO EN FUNCIÓN DE SUS RAÍCES
Sean las raíces 𝑥1 𝑦 𝑥2 de un polinomio cuadrático,
el polinomio se reconstruye utilizando la siguiente
relación:
P(𝑥) = 𝑎 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
Donde: 𝑎 ≠ 0, es el coeficiente principal
𝑃(1) = 1
2 − 1 = 0
Evaluando
𝑥 = 1
Entonces diremos que 1 es raíz de 𝑃(𝑥).
𝑃(−1) = −1
2 − 1 = 0𝑥 = −1
Entonces diremos que −1 es raíz de 𝑃(𝑥).
𝑃(2) = 2
2 − 1 = 3𝑥 = 2
Entonces diremos que 2 NO es raíz de 𝑃(𝑥).
𝐓𝐄𝐎𝐑𝐄𝐌𝐀 𝐃𝐄𝐋 𝐅𝐀𝐂𝐓𝐎𝐑
Sea 𝑃(𝑥) un polinomio de grado 𝑛 ≥ 1.
P(𝑥) = 𝑥
2 − 1
Sabemos que 𝑃(1) = 1
2 − 1 = 0
1 es raíz de 𝑃(𝑥).
(𝑥 − 1) es un factor de 𝑃(𝑥).
𝑘 es raíz de 𝑃(𝑥) ↔ (𝑥 − 𝑘) es factor de 𝑃(𝑥).
- ÁLGEBRA
Ejemplos
RAÍCES FACTOR POLINOMIO MÓNICO
3 𝑦 5 𝑥 − 3 𝑥 − 5 P(𝑥) = 𝑥 − 3 𝑥 − 5
Reconstruya el polinomio cuadrático mónico cuyas
raíces se encuentran en la siguiente tabla:
−7 𝑦 − 4 𝑥 + 7 𝑥 + 4 P(𝑥) = 𝑥 − 3 𝑥 − 5
−4 𝑦 9 𝑥 + 4 𝑥 − 9 P(𝑥) = 𝑥 − 3 𝑥 − 5
3 𝑦 − 7 (𝑥 − 3) 𝑥 + 7 P(𝑥) = 𝑥 − 3 𝑥 − 5
Halle el polinomio cuadrático de coeficientes
racionales si 𝑃(4) = 24, y una de sus raíz es
𝐀𝐏𝐋𝐈𝐂𝐀𝐂𝐈Ó𝐍
𝑥1 =
1
2 − 3
Resolución
La raíz del polinomio pedida es:
𝑥1 =
1
2 − 3 Racionalizando
la raíz:𝑥1 =
1
2 − 3
×
(2 + 3)
(2 + 3)
𝑥1 = 2 + 3 Por teorema de 
paridad de raíces:𝑥2 = 2 − 3
1
𝑃(𝑥) = Calculando
𝒂
𝑃(4) = 𝑎 4 − 2 − 3 4 − 2 + 3 = 24
𝑎 2 − 3 2 + 3 = 24
1
𝑎 = 24
∴ 𝑃(𝑥) =
Luego el polinomio pedido es
𝑎 𝑥 − 2 − 3 𝑥 − 2 + 3
24 𝑥 − 2 − 3 𝑥 − 2 + 3
- ÁLGEBRA
𝐀𝐏𝐋𝐈𝐂𝐀𝐂𝐈Ó𝐍
Si 𝛼 > 𝛽 son solución de la ecuación 𝑥2 − 5𝑥 − 14 = 0,
halle polinomio cuadrático mónico de raíces 𝛼 𝑦 𝛽²
Resolución
De la ecuación
En la actualidad, la edad de Alex es el doble de edad de
Juan más 2 años. Hace 3 años la relación de sus edades
era como 3 es a 1. Reconstruye el polinomio cuadrática
y mónico con las edades de Alex y Juan de hace 5 años:
• 𝑥2 − 5𝑥 − 14 = 0
𝒙
𝒙
−𝟕
𝟐
−𝟕𝒙
𝟐𝒙
−𝟓𝒙
𝑥 − 7 𝑥 + 2 = 0
𝑥 = 7 ˯ 𝑥 = −2
De dato sabemos que 𝛼 > 𝛽
𝛼 = 7 ˯ 𝛽 = −2
𝛽² = −2 ²
𝛽² = 4
∴ 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 7 (𝑥 − 4)
𝐀𝐏𝐋𝐈𝐂𝐀𝐂𝐈Ó𝐍
Resolución
De dato:
Actual
𝟐𝒙 + 𝟐 Edad de Alex
Edad de Juan𝒙
Hace 3 añosHace 5 años
𝟐𝒙 − 𝟏
𝒙 − 𝟑
𝟐𝒙 − 𝟏
𝒙 − 𝟑
=
𝟑
𝟏
Sabemos que 𝟐𝒙 − 𝟏 = 𝟑𝒙 − 𝟗→
𝟖 = 𝒙→
Arriba en el problema nos piden:
𝟖
𝟏𝟖
𝟏𝟑
𝟑
∴ 𝑃(𝑥) =𝟏 𝑥 − 13 (𝑥 − 3)
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