División de polinomios I

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DIVISIÓN DE POLINOMIOS I
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Juan Gamarra Carhuas
Semana 09
- ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Comprender el significado de dividir
polinomios y sus condiciones a cumplir.
✓ Aplicar el método de Horner y la regla de
Ruffini para dividir polinomios.
✓ Utilizar los criterios para dividir 
polinomios en la resolución de problemas.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. División de Polinomios
3. Criterios para dividir polinomios
4. Método de Horner
2. Propiedades de la división
5. Regla de Ruffini
- ÁLGEBRA
Contraseña secreta
Manuel quiere entrar a un club privado, pero para hacerlo
requiere una contraseña que desconoce. Entonces, se detiene
a un lado y escucha a hurtadillas a miembros del club dando
la contraseña al entrar. Cuando un miembro del club camina
hasta la puerta, el guardia dice “dos”, y este responde “tres”,
así que lo deja ingresar. Luego, otro miembro viene a la
puerta; esta vez cuando el guardia dice “tres” el hombre
responde “cuatro”, y entra. David esta seguro de que
entiende el patrón y camina hacia la puerta. Entonces, el
guardia dice “cuatro”, entonces David responde “cinco”. Para
sorpresa de nuestro amigo, el guardia no lo deja entrar.
Rpta: 1
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS
Es una operación donde a partir de dos
polinomios: Dividendo "𝐷(𝑥)" y divisor "𝑑(𝑥)”, se
hallan 2 polinomios únicos llamados cociente
"𝑞 𝑥 " y residuo "𝑅 𝑥 ".
Es decir:
𝐷 𝑥 𝑑 𝑥
𝑞 𝑥
𝑅 𝑥
Donde se cumple:
𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥
° 𝐷 𝑥 ≥ ° 𝑑 𝑥 > ° 𝑅 𝑥Además
Ejercicio 
Calcule la suma de coeficientes del residuo de la
división
3𝑥4 + 2𝑥2 − 7𝑥 + 5
2𝑥2 − 3𝑥 + 1
Resolución
Piden: suma de coeficiente de 𝑅 𝑥 = 𝑅 1
Sabemos que: 𝐷 𝑥 = 𝑑 𝑥 𝑞 𝑥 + 𝑅 𝑥
𝑥 = 1: 𝐷 1 = 𝑑 1 𝑞 1 + 𝑅 1
3 + 2 − 7 + 5 = (2 − 3 + 1)𝑞(1)+𝑅 1
3 = 0. 𝑞 1 + 𝑅(1)
3 = 𝑅(1)
3. 14 + 2. 12 − 7.1 + 5 = 2. 12 − 3.1 + 1 𝑞 1 +𝑅 1
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PROPIEDADES 
° 𝑞 𝑥 = ° 𝐷 𝑥 − ° 𝑑 𝑥
Ejemplo
3𝑥5 + 2𝑥3 + 5𝑥 + 4
𝑥2 − 6𝑥 + 2
° 𝑞 𝑥 = 5 − 2 = 3
CLASES DE DIVISIÓN
• División exacta si: 𝑅 𝑥 = 0
• División Inexacta si: 𝑅 𝑥 ≠ 0
Máx. ° 𝑅 𝑥 = ° 𝑑 𝑥 −1
Ejemplo
6𝑥4 + 𝑥3 + 𝑥 + 7
5𝑥2 − 𝑥 + 1
° 𝑅 𝑥 podría ser 1 o 0
Como ° 𝑑 𝑥 = 2
• En la división:
° 𝐷 𝑥 = 5 ° 𝑑 𝑥 = 2
4𝑥2 + 𝑥7 + 𝑥 − 9
6𝑥3 − 8𝑥2 + 2
° 𝑞 𝑥 = 7 − 3 = 4
• En la división:
° 𝐷 𝑥 = 7 ° 𝑑 𝑥 = 3
• En la división:
→ Máx. ° 𝑅 𝑥 = 2 −1 = 1
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CRITERIOS PARA DIVIDIR POLINOMIOS
Si queremos efectuar la división de dos
polinomios por cualquier método, el dividendo y
el divisor deben estar completos y ordenados en
forma descendente, donde los exponentes de la
variable se reduce de 1 en 1; si faltan términos en
forma práctica se completa con ceros
Ejemplo:
1) Sea el polinomio 
𝐷 𝑥 = 4𝑥3 − 3𝑥 + 5𝑥4 + 8𝑥2 − 1
Ordenando en forma descendente, tenemos:
𝐷 𝑥 =
2) Sea el polinomio 𝐷 𝑥 = 2𝑥5 − 6𝑥 + 9 − 3𝑥2
Ordenando en forma descendente, tenemos:
𝐷 𝑥 = 2𝑥5 − 3𝑥2 − 6𝑥 + 9
Completamos con ceros las potencias que
faltan:
𝐷 𝑥 = 2𝑥5
3) En la división
ordenarla y completarla con ceros:
𝐷 𝑥
𝑑 𝑥
5𝑥4 +4𝑥3 +8𝑥2 −3𝑥 −1
−3𝑥2 − 6𝑥 + 9+0𝑥4 + 0𝑥3
=
𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 − 1
𝑥2 + 0𝑥 − 1
𝑥5 + 0𝑥4 + 0𝑥3 + 0𝑥2 + 0𝑥 − 1
𝑥2 + 0𝑥 − 1
𝑥5 − 1
𝑥2 − 1
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MÉTODO DE HORNER
Es un método general que permite la división
de polinomios de cualquier grado.
𝑎0𝑥
4 + 𝑎1𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥 + 𝑎4
𝑏0𝑥
2 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2
Esquema
𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4𝑏0
𝑏1
𝑏2
𝑞0 𝑞1 𝑞2 𝑟0 𝑟1
* *
* *
* *
÷,×,+
Coeficientes 
del cociente
Coeficientes 
del residuo
Coeficientes del dividendo 
C
o
ef. D
iv
iso
r
×
−
1
𝑞 𝑥 = 𝑞0𝑥
2 + 𝑞1𝑥 + 𝑞2 𝑅 𝑥 = 𝑟0𝑥 + 𝑟1
−
−
Ejemplo:
Efectué la siguiente división:
Ordenando y completando, tenemos
4𝑥4 + 0𝑥3 − 23𝑥2 + 16𝑥 + 0
2𝑥2 + 5𝑥 − 1
Aplicamos el método de Horner
4 0 −23 16 02
−5
1
2 -5 2 1 2
-10 2
25 -5
-10 2
-10
4÷
÷
÷
𝑞 𝑥 = 2𝑥2 − 5𝑥 + 2 𝑅 𝑥 = 𝑥 + 2∧
Veamos: 
+
° 𝑑(𝑥)
−23𝑥2 + 4𝑥4 + 16𝑥
5𝑥 + 2𝑥2 − 1
4𝑥4 + 0𝑥3 − 23𝑥2 + 16𝑥 + 0
2𝑥2 + 5𝑥 − 1
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REGLA DE RUFFINI
Se aplica cuando el divisor es un polinomio lineal
Ejemplo:
Esquema
𝑀𝑥 + 𝑁
𝑥 = −
𝑁
𝑀
𝑎0 𝑎1 𝑎2 𝑎3 𝑎4
𝑎0 𝑏0 𝑏1 𝑏2 𝑅
𝑀 𝑀 𝑀 𝑀
𝑞0 𝑞1 𝑞2 𝑞3
divisor
Coeficientes del dividendo
Cociente falso
Cociente real
Resto
𝑞 𝑥 = 𝑞0𝑥
3 + 𝑞1𝑥
2 + 𝑞2𝑥 + 𝑞3 R 𝑥 = 𝑅∧
Efectué la división:
3𝑥 + 2 = 0
𝑥 = −
2
3
3 −1 4 9 14
3
−2 2 −4 0 −6
−3 6 0 9 −5
÷ 3
Cociente falso
Cociente real
3 3 3 3 3
1 −1 2 0 3
Entonces:
𝑞 𝑥 = 𝑥4 − 𝑥3 + 2𝑥2 +3 R 𝑥 = −5∧
𝑎0𝑥
4 + 𝑎1𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥 + 𝑎4
𝑀𝑥 + 𝑁
Veamos: 
= 0
* * * *
3𝑥5 − 𝑥4 + 4𝑥3 + 4𝑥2 + 9𝑥 + 1
3𝑥 + 2
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