Funciones especiales

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Funciones especiales I
Teoría
ÁLGEBRA
Docente: Lic. Juan Gamarra Carhuas
Semana 37
- ÁLGEBRA
Objetivos:
✓ Conocer la función inyectiva , sobreyectiva y
biyectiva.
✓ Resolver problemas algorítmicos y/o
contextualizados con el apoyo teórico eficaz de
las funciones especiales
✓ Conocer la función inversa y sus propiedades.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. Introducción
4. Función biyectiva
5. Definición de función inversa.
2. Función inyectiva.
6. Cálculo de la función inversa
3. Función sobreyectiva.
- ÁLGEBRA
Ingeniería inversa
A lo largo de la historia la técnica de la ingeniería
inversa ha estado presente en los seres humanos y en el
acto común de pensar. El tema de descubrir los secretos
que guardan todas las cosas ha sido una preocupación
constante en la humanidad.
¿Qué es la ingeniería inversa?
La ingeniería inversa es un proceso mediante el cual se
observa cómo está construido y cómo funciona un
objeto, proceso, programa o sistema con la intención de
mejorarlo o duplicarlo. La observación se puede basar
en aspectos muy diversos, como averiguar cuáles son
sus componentes, cómo estos interactúan entre sí o se
fabricó el producto.
- ÁLGEBRA
FUNCIÓN INYECTIVA
Una función es inyectiva ,si dos elementos
diferentes cualesquiera de su dominio tienen
imágenes diferentes; es decir:
Si 𝑎 ≠ 𝑏 entonces 𝑓 𝑎 ≠ 𝑓 𝑏
Ejemplo:
𝑨 𝑩
2
4
−1
0
3
5
7
8
𝒇
Forma equivalente de la definición de función
inyectiva
𝑨 𝑩
6
1
9
12
3
5
7
𝐠
∀𝑎; 𝑏 ∈ Dom𝑓
𝒇 es inyectiva 𝐠 no es inyectiva 
Si 𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 entonces 𝑎 = 𝑏 ∀𝑎; 𝑏 ∈ Dom𝑓
Dada la función
Aplicación:
Resolución
𝑓(𝑥) =
3𝑥 + 5
𝑥 − 2
, 𝑥 > 2
¿𝑓 es inyectiva?
⟶ 𝑓 𝑥 =
3𝑥 + 5
𝑥 − 2
= 3 +
11
𝑥 − 2
Si: 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) ⟶ 3 +
11
𝑎 − 2
= 3 +
11
𝑏 − 2
⟶ 𝑎 = 𝑏
∴ 𝑓 es inyectiva
- ÁLGEBRA
Prueba de la recta horizontal 
Una función es inyectiva si y solo si no hay
una recta horizontal que corte su grafica
mas de una vez.
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
Función no inyectiva Función inyectiva 
Ejemplo:
1. 𝑓 𝑥 = 7𝑥 + 3
𝑦
𝑥
3
−3/7
∴ 𝑓 es inyectiva
2. 𝑔 𝑥 = 𝑥
2 + 3 𝑦
𝑥
Coordenadas del vértice:
0; 3
𝟑∴ 𝑔 𝑛𝑜 es inyectiva
- ÁLGEBRA
𝑓 2 = 5 ↔ 2 = 𝑓 5
−1
𝑓 1 = 6 ↔ 1 = 𝑓 6
−1
𝑓 4 = 7 ↔ 4 = 𝑓 7
−1
Se cumple que:
FUNCIÓN INVERSA 
Sea 𝑓 una función inyectiva con dominio A y
rango B. Entonces la función inversa 𝑓−1 tiene
dominio B y rango A y esta definida por
𝑓 𝒚
−1 = 𝑥 ↔ 𝒚 = 𝑓 𝒙
Siempre que 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 en B
Ejemplos:
a) Sea 𝑓 = 2; 5 ; 1; 6 ; 4; 7 ; 3; 8
→ 𝑓−1 = 5; 2 ; 6; 1 ; 7; 4 ; 8; 3
Dom𝑓 = 2; 1; 4; 3 =Ran𝑓−1
Ran𝑓 = 5; 6; 7; 8 = Dom𝑓−1
b) Sea 𝑓 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2 / 𝑥 ∈ ;2−ۦ ሿ3 ∧ 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 1
Entonces
Ran𝑓
−2 < 𝑥 ≤ 3 Por 2 y luego más 1
−3 < 2𝑥 + 1 ≤ 7
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Como el Ran𝑓 = ;3−ۦ ሿ7 ∴ Dom𝑓−1 = ;3−ۦ ሿ7
Regla de correspondencia de la función inversa 𝑓 𝑥
−1
Paso1: Despejar 𝑥 a partir de 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 2𝑥 + 1 ↔ 𝑦 − 1 = 2𝑥
↔
𝑦 − 1
2
= 𝑥
Paso2: intercambiar y con x
𝑓(𝑥)
−1 =
𝑥 − 1
2
𝑓𝑦
−1 =
Dom𝑓−1 =
- ÁLGEBRA
Propiedades de la función inversa
Sea 𝑓 una función inyectiva con dominio A y
rango B. La función inversa 𝑓−1 cumple las
siguientes propiedades.
• Dom𝑓−1=Ran𝑓 ∧ Ran𝑓−1=Dom𝑓
• 𝑓 𝑎
−1 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑓 𝑏 𝑓 3
−1 = 𝑛 ↔ 3 = 𝑓𝑛
Halle la función inversa y su respectivo dominio
de la siguiente función sabiendo que 𝑓 es
inyectiva.
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 5
2
; 𝑥 ∈ [−1; 3ሿ
Ejemplo
Resolución
Sea
2𝑦 = 𝑥 + 5
Intercambiando 𝑦 por 𝑥.
2𝑦 − 5 = 𝑥
∴ 𝑓−1 𝑥 = 2𝑥 − 5;
𝑓−1
𝑦
=
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑓 −1 ; 𝑓(3)
= 2; 4
𝐷𝑜𝑚𝑓−1 = 2; 4
𝑥 ∈ 2; 4
Ran𝑓Dom𝑓−1 =
Regla de correspondencia de la función inversa 𝑓 𝑥
−1
𝒚 = 𝒇 𝒙
𝒚 =
𝒙 + 𝟓
𝟐
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