Funciones reales

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Teoría de funciones
ÁLGEBRA
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca 
Semana 32
- ÁLGEBRA
Objetivos:
 Conocer la definición de una función y sus
partes.
 Calcular el dominio y rango de una función.
 Resolver problemas diversos relacionados
con la teoría de funciones.
- ÁLGEBRA
ÍNDICE
1. La dependencia y las funciones
3. Dominio y rango
4. Regla de correspondencia
2. Función
5. Cálculo del dominio y rango
- ÁLGEBRA
LA DEPENDENCIA Y LAS FUNCIONES
 En matemáticas el concepto de función
constituye una de las herramientas más
poderosa para describir fenómenos.
 Las funciones expresan dependencia, pueden
referirse a situaciones cotidianas como por
ejemplo:
 La cuenta en el recibo de agua en cada mes
depende de la cantidad de metros cúbicos
consumidos.
 El costo por usar una cabina de internet
depende de su duración.
 La sombra proyectada por un edificio
depende de su altura.
- ÁLGEBRA
FUNCIÓN
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos. La función 𝑓 de
𝐴 en 𝐵 es un conjunto de pares ordenados 𝑥; 𝑦
tal que a 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde un único
elemento 𝑦 ∈ 𝐵.
Notación: 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 𝐴
𝑓
𝐵o
Gráficamente
𝒙
𝑨 𝑩
𝑓
𝒚• •
Conjunto de
partida
Conjunto de
llegada
Ejemplo
−2
𝑨 𝑩
𝑓
4
1
3
5
7
25
9
𝑓 = −2; 4 ; 3; 9 ; 5; 25
4
𝑨 𝑩
𝑅
2
2
9
5
3
−3
¿ 𝑅 es función?
No , pues al elemento
9 de 𝐴 , le
corresponde no uno,
sino dos elementos
de 𝐵 (3 y −3).
•
•
¿ 𝑓 es función?
Si, pues los
elementos de 𝐴, que
si se relacionan, lo
hacen con un solo
elemento de 𝐵.
𝑅 = 4; 2 ; 9; 3 ; 9:−3
- ÁLGEBRA
DOMINIO Y RANGO
CONDICIÓN DE UNICIDAD DE LA FUNCIÓN
Sea f una función.
𝒙; 𝑦Si ∧ 𝒙; 𝑧 ∈ 𝑓 → 𝑦 = 𝑧∈ 𝑓
𝑔 = 6;−3 ; 8; 4 ; 6; 𝑝𝑔 = 𝟔;−3 ; 8; 4 ; 𝟔; 𝑝
Si 𝟑; 𝑛 ∈ 𝑓 ∧ 𝟑; 4 ∈ 𝑓 → 𝑛 = 4
3
𝑨 𝑩
ℎ
5
𝑚 − 9
3 − 𝑚
6
• Sea 𝑓 una función
• Sea ℎ una función
• Sea 𝑔 una función
→ 𝑝 = −3
Como 
→ 3 − 𝑚 = 𝑚 − 9 → 𝑚 = 6
Ejemplo
∧ 𝟓;𝑚 − 9 ∈ 𝑔𝟓; 3 − 𝑚 ∈ 𝑔
Dominio de 𝑓
Es el conjunto formado por las primeras componentes
de los pares ordenados que pertenecen la función.
Rango de 𝑓
Es el conjunto formado por las segundas componentes
de los pares ordenados que pertenecen la función.
Dom𝑓 = −2; 3; 5 Ran𝑓 = 4; 9; 25
⊆ 𝐵
Dom 𝑓 = 𝑥/ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓
Dom 𝑓 = 𝑦/ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓
Ejemplo
𝑓 = −2; 4 ; 3; 9 ; 5; 25
Sea la función 𝑓 ∶ 𝐴 ⟶ 𝐵
⊆ 𝐴
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REGLA DE CORRESPONDENCIA
Ejemplo
Sea 𝑓:𝑨 → 𝑩 una función tal que 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓. La
regla de correspondencia de 𝑓 es la igualdad que
relaciona 𝑥 e 𝑦.
Notación 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑥: variable independiente
𝑦: variable dependiente
𝟏
𝑨 𝑩
𝑓
𝟐
𝟑
𝟒
𝒙
6
9
14
21
𝑦
= 𝑓 𝟏
La igualdad entre 𝑥 e 𝑦 es: 𝑦 = 𝒙𝟐 + 5
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
= 𝟏𝟐 + 5
= 𝟐𝟐 + 5
= 𝟑𝟐 + 5
= 𝟒𝟐 + 5
= 𝒙𝟐 + 5 = 𝑓 𝒙
= 𝑓 𝟑
= 𝑓 𝟒
= 𝑓 𝟐
𝑓 𝑥 = x2 + 5o
𝐍𝐨𝐭𝐚:
Una función está bien definida si se
conoce su dominio y su regla de
correspondencia.
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
La función 𝑓:𝑨 → 𝑩 es una función real de
variable real, si 𝑨 y 𝑩 son subconjuntos de ℝ.
• 𝑓: −1; 6 ⟶ ℝ
𝑥 2𝑥 − 3⟶
De donde podemos plantear que:
Dom𝑓 = −1; 6 ∧ 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3
• 𝑔 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ × ℝ −1 < 𝑥 ≤ 5 ∧ 𝑦 = 3𝑥 − 1
• ℎ 𝑥 = 2𝑥 − 3; 𝑥 ∈ 2; 14
Ejemplo
- ÁLGEBRA
CÁLCULO DE DOMINIO Y RANGO
Sea la función
𝑓 ∶ 𝑨 → 𝑩
𝒙 → 𝒇 𝒙
Esta dada por la variación de 𝑥, si esta no se
conoce, entonces:
Dominio de 𝑓
Dom 𝑓 = 𝐶𝑉𝐴 𝑑𝑒 𝑓 𝑥
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
∈ ℝ𝐩𝐚𝐫 𝑯 𝒙 ∈ ℝ 𝑄 𝑥 ≠ 0𝑯 𝒙 ≥ 0⇔ ⇔
Para hallar el 𝐶𝑉𝐴 consideramos:
Ejercicios
Halle el dominio de la función 𝑓 si
𝑓 𝑥 = 6 + 𝑥 −
3
1 − 𝑥 + 4 −𝑥
Resolución
No tenemos el conjunto de partida, entonces
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐶𝑉𝐴.
𝑓 𝑥 esta bien definida si: 
6 + 𝑥 ≥ 0 ∧ −𝑥 ≥ 0
∧ 𝑥 ≤ 0−6 ≤ 𝑥
∴ 𝑥 ∈ −6; 0
Halle el dominio de la función 𝑔: 0; 5 → ℝ si
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 −
2
𝑥 − 3
𝐶𝑉𝐴: 𝑥 − 1 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 3 ≠ 0
𝑥 ≥ 1 ∧ 𝑥 ≠ 3
𝐶𝑉𝐴 = 1 ;+∞ − 3
Dom 𝑓 = 0; 5 ∩ 1 ;+∞ − 3 = 1; 5 − 3
= 𝐷𝑜𝑚 𝑓
Ejercicios
Resolución
- ÁLGEBRA
Sea la función
𝑓 ∶ 𝑨 → 𝑩
𝒙 → 𝒇 𝒙
Esta dada por la variación de 𝒇 𝒙 , y se obtiene a
partir del dominio.
Rango de 𝑓
Ejercicios
Halle el rango de la función 𝑓 si
𝑓 𝑥 = 2 −
16
𝑥 + 5
; 𝑥 ∈ −4; 3
Halle el rango de
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 2 + 5; si 𝑥 ∈ −1; 4
Como 𝑥 ∈ −4; 3 → −4 < 𝑥 ≤ 3
→ 1 < 𝑥 + 5 ≤ 8
+5
1
𝑥 + 5
≥
1
8
invertimos
𝑓 𝑥
× −16
−
16
𝑥 + 5
≤ −2
+2
2 −
16
𝑥 + 5
≤ 0
∴ Ran𝑓 ∈ −14; 0
Como 𝑥 ∈ −1; 4
∴ Ran𝑔 = 5; 14
→ −1 < 𝑥 ≤ 4
→ −3 < 𝑥 − 2 ≤ 2
→ 𝑥 − 2 2≤0 < 9
→ 𝑥 − 2 2 + 5≤5 < 14
−2
2
+5
𝑔 𝑥
Resolución
Ejercicios
Resolución
→ 1 >
→ −16 <
→ −14 <
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