MATEMATICAS_FINANCIERAS_CON_CALCULADORA

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MATEMATICAS FINANCIERAS 
CON CALCULADORA Y EXCEL 
 
 
 
 
José Joaquín Vidarte 
M.B.A of A.U ( C ) 
 
 
Universidad de San Buenaventura 
Seccional Cali 
Facultad de Ciencias Económicas 
Administración de Negocios 
 
 
Cali, 2015 
 
 
 
2 
 
1 Tabla de contenido 
 
1 Tabla de contenido .............................................................................................................. 2 
2 INTRODUCCIÓN .............................................................................................................. 5 
3 CAPITULO 1 ...................................................................................................................... 6 
3.1 El DINERO.................................................................................................................. 6 
3.2 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO............................................................. 6 
3.3 CAPTACION .............................................................................................................. 9 
3.4 COLOCACION ........................................................................................................... 9 
3.5 EL SISTEMA FINANCIERO ..................................................................................... 9 
3.6 Funciones del sistema financiero ............................................................................... 12 
3.7 INTERMEDIARIOS FINANCIEROS ...................................................................... 13 
3.8 MERCADOS FINANCIEROS.................................................................................. 13 
3.9 MERCADO MONETARIO ...................................................................................... 14 
3.10 MERCADO ACCIONARIO ................................................................................. 14 
3.11 EL MERCADO DE BONOS ................................................................................. 15 
3.12 COMO FUNCIONA EL SISTEMA FINANCIERO ............................................. 15 
4 CAPITULO 2 .................................................................................................................... 16 
4.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 16 
4.2 “VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO:.............................................................. 16 
4.3 RELACION CON LA INFORMACION CONTABLE ............................................ 17 
4.4 TASA MINIMA REQUERIDA DE RETORNO (TMRR) Y COSTO DE 
OPORTUNIDAD ................................................................................................................. 18 
4.5 INTERES ................................................................................................................... 18 
4.6 INTERES SIMPLE.................................................................................................... 19 
4.7 CALCULO DEL TIEMPO ENTRE DOS FECHAS DETERMINADAS. ............... 23 
4.8 FORMAS PARA CALCULAR EL INTERES SIMPLE .......................................... 26 
4.9 INTERÉS BANCARIO: ............................................................................................ 26 
4.10 INTERÉS COMERCIAL ....................................................................................... 26 
4.11 INTERÉS EXACTO, REAL O RACIONAL. ....................................................... 27 
4.12 INTERES BASE 365 ............................................................................................. 27 
4.13 DESCUENTO ........................................................................................................ 29 
3 
 
4.14 TASA VERDADERA COBRADA EN EL DESCUENTO. ................................. 31 
5 CAPÍTULO 3 .................................................................................................................... 33 
5.1 GENERALIDADES .................................................................................................. 33 
5.2 INTERES SIMPLE.................................................................................................... 33 
5.3 INTERES COMPUESTO.......................................................................................... 34 
5.4 MANEJO CALCULADORA FINANCIERA FC-100V o FC-200V ...................... 37 
5.5 MANEJO CON EXCEL. .......................................................................................... 38 
5.6 ECUACIONES DE VALOR ..................................................................................... 41 
6 CAPÍTULO 4 .................................................................................................................... 49 
6.1 Que diferencia existe entre la tasa activa o de colocación y la tasa pasiva o de 
captación? ............................................................................................................................. 49 
6.2 Explique la diferencia entre tasas vencidas y anticipadas: ...................................... 49 
6.3 TASAS DE CAPTACIÓN DEL MERCADO COLOMBIANO? ............................. 57 
7 CAPITULO 5 .................................................................................................................... 71 
7.1 INTRODUCCION. .................................................................................................... 71 
7.2 CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES ........................................................ 72 
7.3 ANUALIDADES DIFERIDAS ................................................................................. 77 
7.4 ANUALIDADES PERPETUAS o PERPETUIDADES. .......................................... 78 
7.5 ANUALIDADES GENERALES .............................................................................. 79 
7.6 SISTEMAS DE AMORTIZACION .......................................................................... 82 
7.7 ABONOS IGUALES A CAPITAL e INTERESES SOBRE SALDOS.................... 83 
7.8 PAGOS O CUOTA O SERVICIO DE LA DEUDA IGUALES ANUALES 
VENCIDAS (MENSUAL, TRIMESTRAL, SEMESTRAL, ETC.) .................................... 84 
7.9 PAGOS O CUOTA O SERVICIO DE LA DEUDA IGUALES ANUALES 
ANTICIPADAS (MENSUAL, TRIMESTRAL, SEMESTRAL, ETC.) ............................. 90 
7.10 PAGOS O CUOTA QUE AUMENTAN EN UNA CANTIDAD CONSTANTE 
($500.000 POR EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES 
ARITMETICAS CRECIENTES o GRADIENTES ARITMETICOS) ............................... 94 
7.11 PAGOS O CUOTA QUE DISMINUYEN EN UNA CANTIDAD CONSTANTE 
($500.000 POR EJEMPLO )CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES 
ARITMETICAS DECRECIENTES) ................................................................................... 96 
7.12 PAGOS O CUOTA QUE CRECEN EN UN % CONSTANTE (10% POR 
EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES GEOMETRICAS 
CRECIENTES) .................................................................................................................... 98 
7.13 PAGOS O CUOTA QUE DECRECEN EN UN % CONSTANTE (10% POR 
EJEMPLO) CON RELACION A LA ANTERIOR.(SERIES GEOMETRICAS 
CRECIENTES) .................................................................................................................... 99 
7.14 PAGOS O CUOTAS IGUALES Y UNA CUOTA EXTRA .............................. 101 
4 
 
7.15 LEASING (Tomado de Fedeleasing) ................................................................... 103 
7.16 QUE ES EL LEASING? ...................................................................................... 103 
7.17 CUALES SON LAS CARACTERÍSTICAS DEL CONTRATO DE LEASING?
 103 
7.18 MODALIDADES DE LEASING ........................................................................ 104 
7.19 CUALES SON LOS ELEMENTOS ESENCIALES DEL LEASING 
FINANCIERO? .................................................................................................................. 105 
7.20 CUALES SON LOS ELEMENTOS ESENCIALES DEL LEASING 
OPERATIVO? ...................................................................................................................105 
7.21 EN QUE SE DIFERENCIA EL LEASING FINANCIERO DEL LEASING 
OPERATIVO? ................................................................................................................... 105 
7.22 CAPITALIZACION ............................................................................................ 108 
7.23 EJERCICIO EN CLASE ...................................................................................... 111 
8 CAPÍTULO 6 .................................................................................................................. 112 
8.1 COMO FINANCIAR LA EMPRESA? ................................................................... 112 
8.2 CUAL ES EL COSTO DE FINANCIAR LOS ACTIVOS? ................................... 113 
8.3 CONCLUSIONES ................................................................................................... 114 
9 CAPITULO 7 .................................................................................................................. 115 
9.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................... 115 
9.2 Evaluación institucional .......................................................................................... 115 
9.3 Evaluación técnica ................................................................................................... 115 
9.4 Evaluación financiera .............................................................................................. 116 
9.5 Evaluación económica ............................................................................................. 116 
9.6 Evaluación social ..................................................................................................... 116 
9.7 Evaluación ambiental .............................................................................................. 116 
9.8 Métodos que tienen en cuenta el valor del dinero en el tiempo para evaluar 
financieramente un proyecto. ............................................................................................. 117 
9.9 EJERCICIO DE APLICACIÓN .............................................................................. 127 
9.10 EVALUACIÓN FINANCIERA DEL PROYECTO ........................................... 133 
9.11 MATEMÁTICA FINANCIERA ......................................................................... 136 
9.12 TALLER DE REPASO # 1 .................................................................................. 136 
10 Capítulo 8 ........................................................................................................................ 150 
10.1 Temas especiales en matemáticas financieras ..................................................... 150 
10.2 Ambigüedades del método de la Tasa Interna de Retorno (TIR) en la valoración de 
inversiones. ......................................................................................................................... 158 
11 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................ 166 
5 
 
 
2 INTRODUCCIÓN 
 
“Se habla mucho de depositar confianza, 
pero nadie dice que interés te pagan.” 
(Quino, Manolo, en,…y yo digo) 
 
La Guía “APRENDA UD MISMO MATEMATICAS FINANCIERAS CON 
CALCULADORA Y EXCEL”, será de mucha utilidad para el micro y pequeño 
empresario, los ejecutivos de mercadeo y ventas, los administradores de empresa, 
los hombres de negocios, los estudiantes de Administración de empresas y 
Negocios, Contaduría, Economía e Ingenierías y para cualquier persona que 
“consideren el estudio como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso 
mundo del saber”, como decía Albert Einstein, y desean aprender Matemáticas 
Financieras. 
 
En la presente Guía, expongo los conceptos fundamentales de las Matemáticas 
Financieras comenzando por una breve descripción del sistema financiero 
colombiano, el interés simple y compuesto, descuentos, valor del dinero en el 
tiempo, tasas de interés y las equivalencias de las mismas, los flujos de caja 
uniformes y variables, anualidades y perpetuidades, valor actual y valor futuro de 
una anualidad, productos activos y pasivos del sistema financiero, amortización, 
tabla de amortización, costo del capital y los conceptos básicos de la evaluación de 
proyectos los cuales son ilustrados con ejemplos y ejercicios del mundo real de los 
negocios utilizando como herramientas fundamentales las calculadoras financieras y 
la hoja de cálculo Excel. Los conceptos se presentan de tal forma que cualquier 
persona, por si misma esté en capacidad de abordar todos los temas para su 
beneficio. 
 
Finaliza la Guía con las Funciones financieras de Excel, y las respectivas fórmulas, 
un Glosario de términos económico financieros, Ejercicios tipos resueltos aplicando 
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funciones financieras de Excel y Plantillas de la hoja de cálculo con cada una de las 
funciones tratadas en la Guía. 
 
 
3 CAPITULO 1 
EL SISTEMA FINANCIERO COLOMBIANO 
3.1 El DINERO 
El dinero puede ser entendido como un bien o una mercancía que actúa como 
un medio de cambio en las transacciones. No obstante, en la teoría económica 
existen tres funciones esenciales asociadas al dinero: unidad de cuenta, deposito de 
valor y medio de pago. Puede tomar la forma de papel moneda, dinero plástico, 
tarjeta debito y crédito y cheques. 
Como unidad de cuenta corresponde a que a través de esta unidad monetaria( sirve 
de medida de valor) se fijan los precios y se llevan las cuentas, como depósito de 
valor es un activo financiero que sirve para acumular riqueza y como medio de 
cambio es aceptado en la sociedad para la realización de transacciones y la 
cancelación de deudas, evitando así el trueque directo. 
3.2 EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO. 
El principio fundamental de las finanzas es el valor del dinero en el tiempo, ya 
que éste es el que rige las decisiones en el tiempo de los agentes económicos. El 
valor del dinero en el tiempo es un principio fundamental para realizar los 
presupuestos y tomar decisiones de consumo o ahorro, y su forma de medición 
corresponde a la tasa de interés y el mercado de las tasas de interés determina el 
valor del dinero en el tiempo en una economía. Esta tasa es definida por la 
interacción entre la oferta y la demanda por fondos (dinero) en la economía. 
Entonces el valor del dinero en el tiempo estará determinado por el nivel de tasas de 
interés en el mercado. Si las tasas de interés y por ende la inflación son bajas, éste 
valor es relativamente bajo, mientras que si las de interés son altas, el valor es 
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relativamente altas y entonces bajas tasa de interés estimularán el consumo y la 
inversión, en tanto que unas tasas de interés altas estimulan el ahorro. 
En consecuencia, el principio del valor del dinero en el tiempo contribuye 
considerablemente a elegir entre ahorrar e invertir, cuando se trata de decisiones 
financieras, es así si la tasa de interés actual es muy baja frente a las expectativas 
sobre las tasas de interés en el futuro es preferible consumir o gastar en el presente, 
pero si la tasa de interés en el presente es alta frente a las expectativas del nivel de 
tasas de interés en el porvenir, entonces es mejor invertir o ahorrar para consumir 
en el futuro. 
Desde el punto de vista de la teoría económica el principio del valor del 
dinero en el tiempo se basa en algunos conceptos de la teoría del consumidor que 
permiten afirmar, que la postergación del consumo actual implica la exigencia de una 
mayor cantidad de consumo en el futuro para alcanzar una satisfacción equivalente, 
es decir una insatisfacción en el presente debería ser compensada para mantener el 
nivel de satisfacción del individuo. Esta compensación viene dada por la mayor 
capacidad de consumo futuro, esto corresponde a la tasa margina de sustitución del 
consumidor. Estepostulado afirma que existe una tasa a la cual un comprador está 
dispuesto a sacrificar el consumo de un bien a cambio de otro mientas se mantenga 
el mismo nivel de satisfacción., entonces una persona(natural o jurídica) está 
dispuesta a aplazar consumo o, lo que es lo mismo a ahorrar en el presente 
únicamente en la medida en que el excedente recibido por el dinero atesorado no 
sea menor que la cantidad de dinero que le garantice como mínimo , el mismo nivel 
de satisfacción al consumir en el futuro. Esto da origen al concepto de equivalencia 
que se puede entender como el punto de indiferencia entre tener una suma de 
dinero en el presente y tener otra en el futuro, lo cual permite definir los conceptos 
de equivalencia entre valor presente y valor futuro a través de la compensación que 
implica la tasa de interés. 
En palabras simples, el interés es lo que se paga por un agente económico 
(unidad deficitaria o prestatario: firma, inversionista, consumidor, gobierno, etc.) por 
el uso temporal de los fondos o recursos de otro agente económico( unidad 
superavitaria o prestamistas), lo que implica que el interés tiene dos connotaciones: 
un costo o gasto para quien pide el dinero prestado es decir para la unidad 
superavitaria y simultáneamente, un ingreso para quien cede los recursos 
temporalmente, es decir la unidades superavitarias o prestamistas. 
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El interés compensa a los prestamistas por el efecto de la inflación, es decir 
de los incrementos en los precios lo que implica retribuir, por lo menos, la pérdida de 
la capacidad adquisitiva durante el tiempo que duró el crédito y también debe 
compensar al prestamista por el riesgo que éste toma. 
Para un agente especializado en otorgar préstamos o créditos como un 
banco, el interés permite cubrir el costo de permanecer en esa actividad, incluyendo 
el valor de otorgar el crédito (oficinas, publicidad, estudio de riesgo y provisiones) y 
además proporciona la utilidad o el beneficio para el establecimiento de crédito para 
mantenerse en el negocio. 
En cambio los prestatarios o unidades deficitarias están dispuestos a tomar 
dinero prestado con el ánimo de aumentar la capacidad de gasto en el presente, 
sacrificando consumo futuro o ante la expectativa de mayores ingresos y pagar 
intereses para adquirir bienes, financiar gastos educativos, etc. 
En los mercados existen diversas tasas de interés, unas más altas que otras, 
cuya diferencia se explica por los siguientes factores: 
 Riesgo, en que incurren los prestamistas por el no pago o riesgo de default, 
a mayor riesgo mayor será la tasa de interés. Algunos prestamistas reducen 
el riesgo exigiendo una garantía colateral al deudor. Existen diferentes tipos 
de riesgos: 
 El riesgo del mercado que es el mas común y uno de los mas 
importantes al momento de elegir y monitorear el comportamiento de la 
inversión y refleja las pérdidas en el precio del activo por cambis en la 
tasa de interés, la tasa de cambio y el precio del activo. 
 El riesgo de crédito o riesgo de solvencia o riesgo del emisor, 
debido a la probabilidad del no pago de las obligaciones financieras. 
 El riesgo de liquidez de un título valor debido a los cambios en el 
mercado secundario. 
 El take profit y el stop loss hace referencia a un nivel hasta donde 
estaría dispuesto un inversor a perder cuando tiene el mercado en 
contra. El “take profit” se refiere al precio con el que un inversionista se 
siente cómodo para vender y recoger utilidades. 
 Plazo del crédito, a mayor plazo la tasa de interés será mayor 
 El margen de intermediación puede ser definido como la diferencia entre las 
tasas de interés a las cuales captan (tasas pasivas o tasas de captación) u 
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obtienen recursos los bancos y las tasas de interés a la cuales colocan o 
prestan los recursos ( tasas activas o tasas de colocación). 
 
3.3 CAPTACION 
 
En Colombia se realiza a través de los depósitos que se realizan en cuenta de 
ahorro, cuentas corrientes sobre los cuales se reconocen tasas de interés muy bajas 
que apenas superan la inflación y certificados de depósito a término fijo (CDT) que 
son la base para definir la DTF que es la tasa que reconocen las entidades 
financieras sobre depósitos a 90 días, sirviendo además como indicador al cual se 
indexan los créditos de mediano y largo plazo en Colombia. 
 
3.4 COLOCACION 
La colocación se refiere al producto que venden los establecimientos de crédito. 
Para personas naturales los productos son crédito de consumo, sobregiro, tarjetas 
de crédito y crédito hipotecario. Pero el sistema bancario incluye además 
microcrédito y el crédito comercial que se presenta bajo las modalidades de crédito 
ordinario, el de tesorería, el preferencial y el corporativo. 
 
3.5 EL SISTEMA FINANCIERO 
El sistema financiero (Figura 1) es el canal a través del cual los ahorros llegan a ser 
invertidos, y el dinero y los derechos financieros son transferidos y liquidados 
(pagados) o también el conjunto de instituciones que permiten la integración entre 
ahorro e inversión en una sociedad, lo que implica la existencia de un conjunto de 
normas, entidades y prácticas socialmente aceptadas y establecidas con el ánimo de 
permitir una comunicación fluida entre las unidades superavitarias( con excedentes 
de liquidez) y las unidades deficitarias( tienen problemas de liquidez). 
Las instituciones del sistema financiero son las que permiten llevar a cabo las 
decisiones inter temporales de los agentes económicos. Estas instituciones se 
pueden resumir esencialmente como intermediarios financieros, mercados 
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financieros y sistema de pagos. El sistema bancario administra diariamente millones 
de pesos en millones de transacciones en nombres de individuos y empresas; los 
mercados financieros facilitan el comercio y las transacciones y los grandes 
sistemas de telecomunicaciones posibilitan as órdenes y pagos entre entidades 
financieras, empresas y personas. 
 
En el sistema económico participan numerosas instituciones o entidades que 
realizan diversas operaciones entre ellas, acuden a diferentes mercados que facilitan 
el intercambio de bienes y utilizan una amplia gama de medios o instrumentos para 
cumplir sus objetivos. 
 
 
 
Figura 1 
 
Fuente: Misión de estudios del mercado de capitales-Ministerio de Hacienda, 
Fedesarrollo, Banco Mundial. 
 
11 
 
En la Figura 2 se muestran las instituciones que participan en los mercados 
financieros (Emisores, inversionistas, intermediarios, otros agentes, entidades de 
vigilancia y control) , las operaciones que se realizan en los mercados financieros( 
contado, a plazo , emisión, administración, negociación, ventas en corto, repos, 
carruseles) , los instrumentos de control que utilizan los mercados financieros 
(Omas, encajes, restricciones),los instrumentos de operación(monedas, divisas, 
títulos de propiedad, títulos de deuda, índices), los mercados ( de divisas, acciones, 
renta fija, deuda) y los sistemas de transacción o mecanismos de negociación( a 
viva voz, electrónicos, ruedas especiales, subastas) 
 
En la Figura 3, se presentan las instituciones o entidades participantes en los 
mercados financieros 
 
Figura 2 
 
Fuente: Vega R, Vitelio. Mercado de Capitales. Universidad Libre . 2005 
 
 
 
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Figura 3 
 
Figura 3 
Fuente: Vega R, Vitelio. Mercado de Capitales. Universidad Libre . 2005 
 
3.6 Funciones del sistema financiero 
Según Robert Merton, premio Noble de Economía 1977, las principales funciones 
del sistema financiero son: 
 Proveer un sistema de pagos para el intercambio de bienes y servicios, es 
decir que los pagos sean efectivos. 
 Proporcionar un mecanismo para la agrupación o reunión de fondos para 
responder a demandas de recursos de gran escala. 
 Proveer una forma par transferir recursos económicos a través del tiempo y 
de regiones geográficas e industrias. Proporcionar una forma para administrar la incertidumbre y controlar el riesgo. 
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 Proporcionar una forma para tratar la información asimétrica y los problemas 
de incentivo cuando una parte en las transacciones financieras tiene 
información que la otra no posee. Como los costos que implican monitorear el 
riesgo moral (prestar fondos que sean utilizados para fines distintos) y el 
riesgo de selección adversa (prestar a “malas pagas”) son muy altos, estos no 
pueden ser asumidos por un prestamista individual, entonces las entidades 
financieras especializadas pueden reducir esos costos y hacer un monitoreo 
mas adecuado sobre los deudores y el destino real de los fondos. 
3.7 INTERMEDIARIOS FINANCIEROS 
INTERMEDIARIOS BANCARIOS: también denominados establecimientos de 
crédito, además de intermediar pueden generar recursos financieros que son 
aceptados como medio de pago. En este grupo se encuentran el Banco Central y los 
bancos comerciales. 
INTERMEDIAROS NO BANCARIOS: se diferencian de los intermediarios bancarios 
en que no pueden emitir recursos financieros, es decir sus pasivos, no pueden ser 
dinero. En este grupo se encuentran, los fondos de pensiones, las fiduciarias, las 
compañías de seguros y las firmas comisionistas de bolsa. 
 
3.8 MERCADOS FINANCIEROS 
Los mercados financieros abarcan un amplio conjunto de técnicas e 
instrumentos para tomar prestado y prestar. Estos sistemas facilitan las decisiones 
de inversión, consumo y ahorro en una economía. Los tomadores de préstamos son 
las empresas, los individuos y los gobiernos con una variedad de necesidades de 
fondos (recursos dinerarios). Los prestamistas son empresas o individuos con 
ahorros o excedentes de caja para invertir. Por ejemplo los bancos comerciales, de 
inversión y compañías de seguros intermedian entre quienes prestan dinero y los 
que lo toman prestado. Los mercados financieros de mayor importancia son el de 
bonos, por ser el mercado en el cual se determinan las tasas de interés, el 
accionario, que tiene un efecto mayor sobre la riqueza de las personas y las 
decisiones de inversión de las empresas, y el cambiario puesto que sus 
fluctuaciones tienen amplias consecuencias económicas. 
14 
 
Es importante diferenciar entre mercado primario que es aquel en que se realizan las 
emisiones iniciales de instrumentos de mercado de crédito, mientras que el mercado 
secundario implica que una vez un instrumento de deuda ha sido emitido, el 
comprador está en capacidad de venderlo antes de su vencimiento en el mercado de 
capitales. 
3.9 MERCADO MONETARIO 
Mercado Monetario es el mercado en el cual los instrumentos financieros de 
corto plazo son emitidos y transados, mientras que los mercados donde son 
negociados instrumentos financieros cuyos vencimientos son superiores a un año, 
se conocen como mercado de capitales. 
Los principales instrumentos financieros que forman parte del mercado monetario 
son las operaciones repo, las aceptaciones bancarias, los papeles comerciales, los 
certificados de depósito y algunos instrumentos de deuda pública. 
 
3.10 MERCADO ACCIONARIO 
El mercado accionario, también conocido como mercado de renta variable, es 
aquel donde la rentabilidad de la inversión está relacionada con las utilidades 
obtenidas por la empresa emisora de título de renta variable a través del pago de 
dividendos, así como la valorización del precio de la acción en bolsa. 
En Colombia, los instrumentos financieros negociados en este mercado son 
acciones. Boceas (bonos convertibles en acciones), derechos de suscripción y 
títulos provenientes de procesos de titularización, donde la rentabilidad no está 
asociada a una tasa de interés específica. El comportamiento del mercado 
accionario se mide utilizando indicadores como el IGBC(índice general de la bolsa 
de Colombia), el cual está formado por una cesta de activos financieros constituida 
por un número de acciones variables que representan las 36 acciones más 
importantes que se transan en la bolsa(l índice pasó de tener 32 acciones en el 
periodo que va de julio a septiembre del 2010 a 36. El 2011 ha sido un año de 
acciones debutantes en la Bolsa de Valores de Colombia (BVC) y eso es lo que 
muestra la última composición de la canasta del índice general (IGBC) para el 
periodo julio-septiembre). 
 
15 
 
 
3.11 EL MERCADO DE BONOS 
 
El tenedor de un bono le está prestando planta a la entidad emisora y ésta se 
compromete a pagar una tasa de interés durante la vida del bono y a devolver los 
fondos tomados en préstamo cuando el bono venza o madure. 
Los principales bonos son bonos del tesoro, TES, emitidos por el gobierno nacional, 
los emitidos por las compañías o BONOS CORPORATIVOS y las Titularizaciones 
Hipotecarias. 
N general, los bonos son considerados menos riesgosos que las acciones por 
razones como es el caso de que los bonos prometen devolver el valor del dinero 
invertido al tenedor cuando este vence, mientras que las acciones no. 
 
3.12 COMO FUNCIONA EL SISTEMA FINANCIERO 
Los canales a través de los cuales se da el flujo de fondos son: 
FINANCIACION DIRECTA 
FINANCIACIÓN INDIRECTA 
 
FINANCIACION DIRECTA: los prestatarios toman fondos prestados directamente de 
los prestamistas a través de los mercados financieros por venderles instrumentos 
financieros (securities). Los instrumentos financieros son activos para la persona que 
los compra, pero al mismo tiempo, son pasivos (deuda) para la firma que los vende 
o emite. 
 
FINANCIACION INDIRECTA: es el esquema tradicional de los establecimientos 
bancarios o de crédito, cuyo negocio y función al interior del sistema financiero es la 
intermediación entre prestamistas y prestatarios. 
 
 
 
 
 
16 
 
 
4 CAPITULO 2 
INTERE S SIMPLE 
4.1 INTRODUCCIÓN 
Las matemáticas financieras son el conjunto de conceptos y técnicas 
cuantitativas de análisis, útiles para la evaluación y comparación económica de 
alternativas relativas a inversión, financiación y operación y que facilitan la toma de 
decisiones. 
Las matemáticas financieras son útiles en: 
 Determinar el costo de una alternativa de financiación. 
 Determinar la rentabilidad de una inversión. 
 Establecer planes de financiación para ventas a crédito. 
 Seleccionar el mejor plan de amortización de deudas. 
 Calcular el costo de capital. 
4.2 “VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO: 
 El valor del dinero a través del tiempo está relacionado con el concepto de 
oportunidad de inversión, considerando en estos aspectos como la inflación, 
devaluación y riesgo. El concepto del valor del dinero a través del tiempo concluye 
que considerando el factor tiempo y el interés es determinante el momento en que 
realmente se produce el ingreso y el egreso en el flujo de caja. 
 
 
 
El valor del dinero en el tiempo es generalmente representado como la tasa de 
interés y la inflación como la pérdida de poder adquisitivo de la moneda; por lo tanto, 
si la tasa de interés es superior a la tasa de inflación del período, el rendimiento real 
$ = f (t) 
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de la inversión será positivo; así, es posible afirmar que aún si la inflación fuera 
cero, el valor del dinero en el tiempo existiría, ya que todo capital debería producir un 
rendimiento. Igualmente, si la tasa de interés efectiva producida por la inversión, es 
inferior a la tasa de inflación del período produciría rendimientos negativos. 
 
Para una mejor comprensión definiremos lo siguiente: 
 
 ALTERNATIVA DE INVERSION : Es una solución única para una situación 
dada, donde se considera la oportunidad de entregar ciertos fondos para recibir 
beneficios en el futuro. Dentro de esto se consideran tres aspectos: Ingresos, 
egresos y tiempos determinados. 
 
 EQUIVALENCIA: Diferentes sumas de dinero en diferentes tiempos pueden tener 
igual valor económico. 
 
 INTERES: Es la compensación o precio que se paga o recibe por el usufructo del 
dinero.( I ) 
 
 TASA DE INTERES: Es lo que se paga o se recibe por el uso del dinero (i). 
 
 TIEMPO (n) : Es el periodo durante el cual se usufructúa el dinero. 
 
 LINEA DE TIEMPO : Es el diagrama donde se presentan los flujos de ingresos 
y egresos de efectivo. 
 
4.3 RELACION CON LA INFORMACION CONTABLE 
 
Para el estudio de las Matemáticas financieras nos olvidaremos parcialmente 
de los aspectos contables, dado que como hemos dicho, nos interesa es el 
comportamiento de los flujos de fondos a través del tiempo; sin embargo, en la 
Evaluación de Proyectos debemos tener en cuenta aspectos como la causación de 
impuestos, amortización de diferidos, depreciaciones. 
18 
 
 
De lo anterior podemos realizar el siguiente paralelo: 
 
MANEJO CONTABLE MANEJO FINANCIERO 
Registro histórico. Proyección. 
Valor histórico. Valor corriente. 
No considera el valor del dinero en el 
tiempo. 
Considera el valor del dinero en el 
tiempo. 
Causación. Caja 
Decisiones previas. Políticas a tomarse. 
 
4.4 TASA MINIMA REQUERIDA DE RETORNO (TMRR) Y COSTO DE 
OPORTUNIDAD 
Cuando un inversionista piensa comprometer su capital, espera que le 
proporcione una tasa “razonable” de rendimiento, que debe ser superior a algunas 
tasas prestablecidas; estas son las que generalmente pueden recibirse de una 
entidad bancaria o de cualquier otra inversión segura. La tasa “razonable” debe ser 
mayor que las tasas prestablecidas, en razón a que otras inversiones presentan 
riesgos e incertidumbres. Esta tasa “razonable” se conoce con el nombre de tasa 
mínima de rendimiento requerida (TMRR). En otras palabras la TRMM es la tasa 
mínima que espera recibir el inversionista para atreverse a comprometer su capital, 
llamada también la TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD (TIO) 
Otro término importante, es el del Costo de Oportunidad, del cual podría decirse que 
son los beneficios que podría obtener una inversión y a los cuales renuncia el 
inversionista por destinar los fondos a otra inversión. En conclusión, podemos decir 
que la TRMM y el Costo de oportunidad están íntimamente ligados y que en un 
momento determinado el costo de oportunidad puede ser la TRMM. (Tomado de 
Matemáticas financieras de Edinson Torrado Picón)” 
 
4.5 INTERES 
 Reconocimiento del valor del dinero en el tiempo. 
19 
 
 Suma pagada por el uso del dinero o beneficio de una inversión. 
 Es la diferencia entre la suma que el deudor paga al final del período y la 
suma que recibe en préstamo. 
 La tasa se expresa en términos porcentuales y se refiere a un período de 
tiempo. 
 
4.6 INTERES SIMPLE 
 
Consideremos ahora dos personas (naturales o jurídicas): 
 La persona A que presenta excedentes de liquidez, a quien vamos a llamar 
UNIDAD SUPERAVITARIA o PRESTAMISTA y B que presenta problemas de 
liquidez a quien llamaremos UNIDAD DEFICITARIA o PRESTATARIO. 
Supongamos que B (prestatario) solicita $10.000.000 a A (prestamista), para 
solucionar problemas de liquidez a 3 meses de plazo. A, accede a realizar el 
préstamo con la condición de que B, reconozca una tasa de interés del 1,5% 
mensual. 
De lo anterior, aparecen entonces las siguientes variables a utilizar en la matemática 
financiera: 
 
El CAPITAL o P o VP, que para nuestro caso asciende a $10.000.000. 
El PLAZO o TIEMPO, n ó t, que corresponde a los 3 meses. 
LA TASA DE INTERÉS, i%, que es del 1,5% mensual. 
EL MONTO o VALOR FUTURO (F o VF) 
Lo anterior, lo podemos representar en un diagrama que vamos a llamar el FLUJO 
DE CAJA. 
 
El diagrama de tiempo, también es conocido con los nombres de diagrama 
económico o diagrama de flujo de caja. Es una de las herramientas más útiles para 
la definición, interpretación y análisis de los problemas financieros. Un diagrama de 
tiempo, es un eje horizontal que permite visualizar el comportamiento del dinero a 
medida que transcurren los periodos de tiempo, perpendicular al eje horizontal se 
colocan flechas que representan las cantidades monetarias, que se han recibido o 
desembolsado (FLUJO DE FONDOS O DE EFECTIVO). Por convención los 
20 
 
ingresos se representan con flechas hacia arriba y los egresos con flechas hacia 
abajo). 
Al diagrama económico o de tiempo, hay que indicarle la tasa de interés 
(efectiva o periódica) que afecta los flujos de caja, la cual; debe ser concordante u 
homogénea con los periodos de tiempo que se están manejando, es decir; si los 
periodos de tiempos son mensuales, la tasa de interés debe ser mensual, si los 
periodos de tiempos son trimestrales, la tasa de interés que se maneja debe ser 
trimestral; si los periodos de tiempos son semestrales, la tasa de interés debe ser 
semestrales, y así sucesivamente. 
Un diagrama de tiempo tiene un principio y un fin, el principio es conocido como el 
hoy (ubicado en el cero del diagrama), y allí se encontrará el presente del diagrama 
(P), mientras que en el fin, se ubicará el futuro del diagrama económico (F) y la 
terminación de la obligación financiera. Hay que tener en cuenta, que un diagrama 
económico, contempla presentes y futuros intermedios, es decir, un periodo de 
tiempo puede ser el presente de uno o varios flujos de caja, o un periodo de tiempo 
podrá ser un futuro de uno o varios flujos de caja, todo depende entonces de la 
ubicación del periodo de tiempo versus la ubicación de los flujos de caja. 
Es importante anotar que en las matemáticas financieras: Sólo se permiten sumar, 
restar o comparar flujos de caja (ingresos y/o egresos) ubicados en los 
mismos periodos del diagrama económico. 
 
Consideraciones 
1) El momento en que el prestamista entrega el dinero, y el prestatario lo recibe se 
conoce con el nombre de presente o momento cero. 
2) El valor entregado inicialmente se denomina valor presente o simplemente P. 
3) El segmento de recta representa el tiempo de la operación financiera (n) 
4) La suma entregada al final recibe el nombre de valor futuro, monto o simplemente 
F. Cuando una persona ahorra o deposita dinero en una institución financiera que 
reconoce una tasa de interés, la relación entre las partes se asimila al escenario 
prestamista – prestatario. Para este caso, el ahorrador o depositante asume el papel 
de prestamista y la institución financiera será el prestatario. 
 
Entonces, el flujo de caja para el inversionista se representa: 
21 
 
 
 
 
En el flujo de caja para el prestamista, hay una salida de dinero en el punto 0 (el 
hoy) y un ingreso de dinero en el punto 3, que hemos llamado F. 
 
Y para el prestatario, cuál será el FLUJO DE CAJA? 
 
 
En el flujo de caja para el prestatario, hay una ingreso de dinero en el punto 0 (hoy) 
y una salida de dinero en el punto 3, que hemos llamado F. 
 
¿Y que es F? 
F es el MONTO O VALOR FUTURO que recibe el prestamista o lo que debe 
devolver el prestatario a los 3 meses, que es el momento en que se vence el plazo. 
 
Y como se calcula el valor del MONTO O VALOR FUTURO F? 
 
Sumando el CAPITAL o P o VP o PV mas el INTERES (I) devengado en la 
operación financiera. F= P + I 
 
¿Y cómo se calcula el INTERES o I? 
 
22 
 
 De acuerdo con el principio fundamental de las finanzas, el “Interés (I) es 
directamente proporcional al capital (P), la tasa de interés (i%) y el plazo(n)” 
 
(A) 
 
Para el caso que nos ocupa, el INTERES se calcula así: 
 I = $10.000.000 x 0,015 x 3 = $450.000 
¿Que significan estos $450.000? 
Lo que debe pagar el PRESTARIO para poder USAR el dinero del PRESTAMISTA 
durante 3 meses, pagando una tasa de interés del 1,5% mensual o lo que recibe el 
PRESTAMISTA, por dar en USO su dinero. 
 
Luego, se define el concepto de INTERES, como lo que se paga o se recibe por el 
uso del dinero. 
 Entonces, para calcular el MONTO o VF o F, sumamos el CAPITAL (P) + INTERES 
(I) 
 
 F = $10.000.000 + $450.000 = $10.450.000 
 
Es importante tener en cuenta que “debe existir concordancia entre la tasa de interés(i%) y el plazo (n)” (PRINCIPIO DE CONCORDANCIA FINANCIERA) 
 
¿Esto que significa? 
Que si la tasa de interés es mensual (ej. 1,5% mensual), el plazo (n) debe estar 
expresado en meses. 
 
Si la tasa de interés es bimestral (ej. 3% bimestral), entonces el plazo o tiempo debe 
estar expresado en bimestres. 
 
Si la tasa de interés es trimestral (ej. 4,5% trimestral), entonces el plazo o tiempo 
debe estar expresado en trimestres. 
 
23 
 
Si la tasa de interés es semestral (ej. 9% semestral), entonces el plazo o tiempo 
debe estar expresado en semestres. 
 
Si la tasa de interés es anual (ej. 18% anual), entonces el plazo o tiempo debe estar 
expresado en años. 
 
4.7 CALCULO DEL TIEMPO ENTRE DOS FECHAS DETERMINADAS. 
 
Se pueden calcular, el número de días reales o el número de días 
aproximados. 
Recuerde que el año tiene 365 días o 366 días si es bisiesto. 
¿Como saber si un año es bisiesto? 
Si al dividir por cuatro, se obtiene un entero, el año será bisiesto. 
Ejemplo: 
Año 2004 .Realizamos la siguiente operación: 2004/4=501, luego es bisiesto. 
Año 2006 .Realizamos la siguiente operación: 2006/4=501.5, luego no es bisiesto. 
 
Calcular el número de días reales y el número de días aproximado, entre Octubre 13 
de 2003 y el 6 de julio de 2004. 
 
Número días reales: 
 
Buscamos en la tabla de TABLA NÚMERO DE DÍAS que aparece mas 
abajo, el día que corresponde al 13 de octubre que es día 286.Como el 31 de 
diciembre es el día 365, entonces el número de días entre estas dos fechas es de 
79. 
Igualmente, buscamos el día 6 de julio y corresponde al día 187. Como 2004, es año 
bisiesto debemos sumar 1 día (el 29 de febrero).Luego el número de días entre el 1 
de enero de 2004 y el 6 de julio de 2004, será 187+1=188 lo que nos da que el 
número de días reales entre las dos fechas es de 267(79+188). 
 
24 
 
 
Número de días aproximado: 
 
 
 Año Mes Día 
 2004 07 06 
 2003 10 13 
 0 8 Meses 23 días 
Como de 6 no se puede restar 13, prestamos 1 mes de 30 días, quedando 36-13=23 
días. 
Ahora nos quedan 5 meses , del cual no podemos restar 10, razón por la cual 
préstamos a 2004, un año de 12 meses que sumados con los 6 que quedan, nos 
dan 18 y al restar los 10, nos quedan 8 meses que equivalen a 8x30= 240 días. El 
año 2004 queda convertido en 2003. 
Entonces el número de días aproximado será = 240 + 23 = 263. 
Observamos que el número de días reales (267) es mayor que los días aproximados 
(263). 
Como hacerlo con calculadora financiera? 
Casio FC-100 o FC-200V? 
Realice el siguiente procedimiento: 
Teclee DAYS y vaya colocando las fechas de menor a mayor. 
Dias reales: 
Days Calc. 
Set : 365 
`d1 10132003 EXE `d1=10132003 
`d2 07062004 EXE `d2=07062004 
Dys SOLVE 267 
Días aproximados: 
Cuando tecleamos DAYS y aparece Days Calc, hacemos EXE y aparece: 
Date mode 
1:360 (año comercial) y 2:365 (año exacto) 
25 
 
Presionamos EXE estando en 1:360 y volvemos a Days Calc. Con REPLAY nos 
desplazamos hacia abajo a Dys y hacemos SOLVE, apareciendo 263. 
 
Tabla número de días 
 
 
Dia Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto Sept. Oct. Nov. Dic. día 
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1 
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2 
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3 
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4 
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5 
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6 
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7 
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8 
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9 
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10 
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11 
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12 
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13 
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14 
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15 
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16 
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17 
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18 
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19 
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20 
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21 
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22 
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23 
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24 
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25 
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26 
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27 
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28 
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29 
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30 
31 31 90 151 212 243 304 365 31 
 
26 
 
 
4.8 FORMAS PARA CALCULAR EL INTERES SIMPLE 
Definamos primero el concepto de TASA NOMINAL 
La tasa nominal está relacionada con e interés simple, mientras que la tasa 
efectiva guarda relación con el interés compuesto. 
Es la tasa del año, pero se puede expresar en forma mensual, bimestral, trimestral, 
semestral o anual. 
 
Por ejemplo, el 15 % nominal anual, significa que la operación se contrató al 15% 
para todo el año, pero que se paga al año vencido. 
 
Si se dice que es del 16% nominal trimestral o 16%N.T.V o 16%N.T, significa que 
durante todo el año se paga el 16%, pero los intereses se pagan por trimestre 
vencido. 
 
Y ahora expliquemos las diferentes denominaciones del INTERES SIMPLE teniendo 
en cuenta si el tiempo transcurrido se considera real o aproximado y si el año se 
toma como año comercial, es decir 360 días o año real es de cr 365 días o 366 si es 
bisiesto. De acuerdo con lo anterior podemos definir entonces: 
 
4.9 INTERÉS BANCARIO: 
 
En el cual si la tasa de interés se expresa en nominal anual y el número de días 
entre dos fechas son reales, se deben convertir en años, para que haya 
concordancia entre n e i%, dividiendo el número de días reales entre 360. El 
INTERES calculado se denomina INTERES BANCARIO. 
 
4.10 INTERÉS COMERCIAL 
 
27 
 
Ahora si la tasa de interés se expresa en nominal anual y el número de días entre 
dos fechas son aproximados, se deben convertir en años, para que haya 
concordancia entre n e i %, dividiendo el número de días aproximado entre 360, así 
El INTERES calculado se denomina INTERES COMERCIAL. 
 
4.11 INTERÉS EXACTO, REAL O RACIONAL. 
Ahora si la tasa de interés se expresa en nominal anual y el número de días entre 
dos fechas son reales, se deben convertir en años, para que haya concordancia 
entre n e i%, dividiendo el número de días reales entre 365 o entre 366 si el año 
bisiesto. El INTERES calculado se denomina INTERES EXACTO, REAL O 
RACIONAL. 
4.12 INTERES BASE 365 
Si la tasa de interés se expresa en nominal anual y el número de días entre dos 
fechas son reales (sin tener en cuenta para nada si es o no bisiesto), se deben 
convertir en años, para que haya concordancia entre n e i%, dividiendo el número 
de días reales entre 365 (sin importar si el año es bisiesto) .El INTERES calculado 
se denomina INTERES BASE 365. 
 
3.12.1 EJEMPLO 
Un pagaré por valor de $10.000.000 se firma del 13 de octubre de 2003, con 
vencimiento el 6 de julio de 2004 a una tasa del 15% nominal anual. Se pide calcular 
el INTERES y el MONTO a la fecha de vencimiento. 
A.- interés bancario 
B.- Interés comercial 
C.- Interés exacto 
D.- Interés base 365 
 
Días reales=267 
Días aproximados=263 
INTERES BANCARIO I= 10.000.000 x 0,15 x 267 / 360 =$1.112.500 
 F= 10.000.000 + 1.112.500 = 11.112.500 
 
28 
 
INTERES COMERCIAL I= 10.000.000x0, 15x 263/360=$1.095.833.33F= 10.000.000 + 1.095.833.33=$11.095.833.33 
 
INTERES EXACTO I=10.000.000 x0,15 x 267 /366 =$1.094.262,30 
 F=10.000.000 + 1.094.262.30 =$11.094.262,30 
 
INTERES BASE 365 I=10.000.000 x 0,15 x 266/ 365 = $1.093.150.68 
 F=10.000.000 + 1.093.150.68 = $11.093.150.68 
CONCLUSION: 
El más costoso a interés simple es el INTERES BANCARIO y el más bajo el 
INTERÉS BASE 365. 
 
3.12.2 CALCULADORA FINANCIERA. 
 
3.12.2.1 Para interés bancario: 
Al presionar SMPL, aparece: 
Simple int. 
Set : 360 
Dys=267 
I% = 15 
PV= (-)10000000 
SI : SOLVE SI = 1.112.500 Luego presione ESC 
Con REPLAY vaya a 
SFV : SOLVE SFV=11.112.500 Presione ESC 
Con REPLAY vaya a: 
ALL : SOLVE SI = 1.112.500 
 SFV=11.112.500 
3.12.2.2 Para interés comercial 
Al presionar SMPL, aparece: 
Simple int. 
Set : 360 
Dys=267 
I% = 15 
PV= (-)10000000 
29 
 
SI : SOLVE SI = 1.095.833.33 Luego presione ESC 
Con REPLAY vaya a 
SFV : SOLVE SFV=11.095.833.33 Presione ESC 
Con REPLAY vaya a: 
ALL : SOLVE SI = 1.095.833.33 
 SFV=11.095.833.33 
 
¿Cómo se calcula para INTERES EXACTO e INTERES BASE 365? 
 
4.13 DESCUENTO 
Como entender el concepto de descuento? 
Volvamos al ejercicio anterior en el cual se planteó la firma de un Pagaré el 13 de 
Octubre de 2003 con vencimiento el 6 de Julio de 2004. 
 Ud. como tenedor decide esperar la fecha de vencimiento (julio 6 de 2004), 
recibiría a interés bancario la suma de $11.112.500, lo que significa que el interés 
devengado por los $10.000.000 durante 267 días es de $1.112.500. 
Pero el 15 de enero por problemas de liquidez, resuelve negociar su pagaré. Un 
amigo suyo le ha comentado que las entidades financieras realizan una operación 
que consiste en que Ud. le presenta el título valor y ésta anticipa su importe y 
gestiona el cobro, operación que es conocida como DESCUENTO. 
La entidad financiera decide descontarle el pagaré y cobra una tasa del 18% 
Nominal anual. 
Cuál es el VALOR DEL DESCUENTO y cuál es el VALOR REAL recibido por el 
tenedor en la fecha del descuento? 
Por definición el DESCUENTO se calcula sobre el MONTO a recibir. 
 
 
En donde: 
D = Descuento 
F = Monto a recibir en el momento del vencimiento 
d % = tasa de descuento 
n = tiempo que falta para el vencimiento (días reales) 
30 
 
 
Miremos como queda el FLUJO DE CAJA para la operación de descuento. 
 
¿Cuáles son las variables cuyo valor se conoce? 
Fecha de descuento Enero 15 de 2002 
Fecha de vencimiento Julio 6 de 2004 
Tasa de descuento 18% 
Monto a recibir (F) $11.112.500 
 
Que debemos calcular? 
´n número de días reales para el vencimiento 
D Valor del descuento 
VL = F – D = Valor líquido a recibir el día del descuento. 
 
Cómo calcular n? 
La fecha de vencimiento, el 6 de julio de 2004, es el día 187 del año 
Y la fecha de descuento, enero 15 de 2004, es el día 15 del año. 
 
Entonces los días que faltan para el vencimiento es n=187-15+1=173 
 
Se agrega 1, porque entre el día 15 de enero y el 6 de julio de 2004 está el 29 de 
febrero por ser año bisiesto. 
D= 11.112.500 X 0.18 X (173/360) =$961.231.25 
VL=$11.112.500-$961.231,25=$10.151.268.75 
Que representa entonces los $961.231,25? 
El descuento o costo de oportunidad del tenedor inicial del Pagaré. 
 
31 
 
4.14 TASA VERDADERA COBRADA EN EL DESCUENTO. 
 
Consideremos el Flujo de Caja que aparece abajo, corresponde a dicho flujo de caja 
después de conocido el descuento y se puede interpretar diciendo que hoy, enero 15 
de 2004, entrego $10.151.268.75, durante 173 días, es decir hasta el vencimiento, 
fecha en la cual recibo $11.112.500. 
Entonces, nos podemos preguntar: 
Cuál es la tasa de interés que hace que $10.151.268.75, sean equivalentes a 
$11.112.500 durante los 173 días? 
Para responder a ésta pregunta supongamos que el Descuento es el INTERÉS 
cobrado en ésta operación. 
 
 
 
Recuerde que I = P x i% x n 
Remplacemos y despejemos i%. 
961.231.25=10.151.268.75 x i% x(173/360) 
I% =19,70% 
De lo anterior, se puede inferir que la verdadera tasa cobrada (19,70%) es mayor 
que la tasa de descuento (18%). 
 
 
TALLER 1 
 
1.-Calcule en número de días reales y aproximados entre las siguientes fechas sin 
utilizar la calculadora financiera: 
A.- De enero 18 de 2008 al 10 de Febrero de 2009 
32 
 
B.- De Octubre 13 de 2010 al 7 de Junio de 2011. 
C.- Del 25 de marzo de 2011 al 7 de noviembre de 2011. 
 
2.- Se firma un pagaré el 25 de Febrero de 2011 por valor de 20.000.000 con 
vencimiento el 24 de Agosto de 2011, a una tasa del 18% anual. 
Se pide: 
A.- ¿Que es un pagaré? 
B.- Calcular el interés bancario y el monto al vencimiento de la obligación 
C.- Calcular el interés comercial y el monto al vencimiento de la obligación 
D.- Calcular el interés exacto y el monto al vencimiento de la obligación 
E.- Calcular el interés base 365 y el monto al vencimiento de la obligación 
F.- Si el tenedor desea descontar el pagaré por problemas de liquidez el 18 de julio 
del 2011, a un inversionista que le ofrece descontar a una tasa del 22% anual, cuál 
será el VALOR DEL DESCUENTO y cuál será el VALOR LIQUIDO que recibe el 
tenedor? 
 
3.- Se firma un pagaré el 18 de Octubre de 2007 por valor de 50.000.000 con 
vencimiento el 16 de Junio de 2011, a una tasa del 15% anual. 
Se pide: 
A.- Calcular el interés bancario y el monto al vencimiento de la obligación 
B.- Calcular el interés comercial y el monto al vencimiento de la obligación 
C.- Calcular el interés exacto y el monto al vencimiento de la obligación 
D.- Calcular el interés base 365 y el monto al vencimiento de la obligación 
F.- Si el tenedor desea descontar el pagaré por problemas de liquidez el 1 de marzo 
del 2008, a un inversionista que le ofrece descontar a una tasa del 18% anual, cuál 
será el VALOR DEL DESCUENTO y cuál será el VALOR LIQUIDO que recibe el 
tenedor? 
 
 
 
 
 
 
 
33 
 
5 CAPÍTULO 3 
 INTERES COMPUESTO. 
5.1 GENERALIDADES 
El siguiente ejercicio nos permite mostrar la diferencia entre un capital 
colocado a interés simple y a interés compuesto. 
 
Se da en préstamo $1.000.000 a una tasa del 16% nominal trimestre vencido, a un 
plazo de 1 año (cuatro trimestres). 
Se pide calcular el valor del MONTO al final de cada uno de los periodos 
trimestrales, utilizando: 
INTERES SIMPLE 
INTERES COMPUESTO 
 
5.2 INTERES SIMPLE 
Las variables que podemos identificar del enunciado del ejercicio son: 
CAPITAL = P = $1.000.000 
PLAZO O TIEMPO= n =1 AÑO = 4 TRIMESTRES 
TASA DE INTERÉS = 16% Nominal trimestre vencido 
Como la tasa de interés ( i% ) esta expresada como el 16% nominal, esto 
significa que en el año se cobra el 16%, pero como se complementa diciendo que es 
trimestre vencido, entonces significa que los intereses se pagan al final de cada 
trimestre y que la tasa trimestral es , it = 16% / 4 = 4 % trimestral. 
Calculemos el INTERES del primer trimestre: I=1.000.000x0, 04x1=$40.000 
Esto significa que el MONTO acumulado al final del PRIMER TRIMESTRE es 
F=1.000.000+40.000=$1.040.000 
 
Como estamos trabajando a INTERES SIMPLE, esto significa que el capital 
para el segundo periodo es el MISMO $1.000.000, pues en interés simple, los 
34 
 
intereses ganados, se retiran al finalizar cada periodo, es decir el CAPITAL no 
cambia para los siguientes periodos: 
Realice lo mismo para cada uno de los siguientes trimestres 
Entonces aparecerá como en la siguiente tabla 
 
 
En el gráfico anterior se muestra la relación entre el plazo y el MONTO 
ACUMULADO. 
 
¿Cómo calcular la tasa efectiva para cualquiera de los periodos? 
Tomemos como ejemplo el segundo trimestre. El interés acumulado que se muestra 
en la tabla parala operación financiera asciende a $80.000. Si dividimos éste valor 
entre el Capital ($10.000.000), nos da una tasa efectiva semestral del 8%, y así 
sucesivamente. 
 
5.3 INTERES COMPUESTO 
 
Vamos a considerar que los INTERESES pagados o recibidos, no se retiran cada 
periodo, sino que se suman al capital, proceso conocido como CAPITALIZACION 
(CAPITAL INICIAL + INTERESES DEL PERIODO). 
35 
 
De la tabla que se inserta podemos observar que el para el primer periodo el interés 
devengado, el MONTO acumulado y la tasa efectiva, son iguales como en el 
interés simple. 
 
Para el segundo semestre, el CAPITAL INICIAL, es ahora $1.040.000, que 
corresponde al Monto acumulado en el primer trimestre. El interés para el segundo 
trimestre, es I=10.040.000x0.04x1= $81.600 y el monto es de $1.081.600 y la TASA 
EFECTIVA SEMESTRAL es ahora del 8,16%, superior al 8% del interés simple. 
 
En la gráfica se muestra que el INTERES COMPUESTO crece MAS RAPIDAMENTE 
 que el INTERES SIMPLE. 
 
 
 
 
 
Realicemos ahora un gráfico, donde se muestre en el eje de las abscisas el número 
de periodos (cuatro trimestres) y en el eje de las ordenadas el monto acumulado a 
interés simple y a interés compuesto. 
 
36 
 
Del análisis del grafico se muestra que el INTERES COMPUESTO crece en forma 
potencial, mientras que el interés simple, lo hace linealmente. 
La tabla dada mas abajo, muestra el monto a interés simple e interés compuesto en 
función del tiempo. 
La gráfica es el resultado de esta tabulación. 
 
 
 
FORMULAS 
¿Y con qué formulas calculamos el interés simple y el interés compuesto? 
 
INTERES SIMPLE INTERES COMPUESTO 
 
F= Px( 1 + n x i% ) F=Px( 1 + i% )n 
 
37 
 
Para el caso que estamos analizando, si queremos calcular el MONTO a finalizar el 
año, se tiene: 
Para INTERES SIMPLE F = 1.000.000x (1 + 4 x 0,04) = $1.160.000 
 
Para INTERES COMPUESTO F = 1.000.000x (1 + 0,04)4 = $1.169.859 
 
5.4 MANEJO CALCULADORA FINANCIERA FC-100V o FC-200V 
 
¿Como resolver el ejercicio anterior con calculadora? 
 
4.3.1 A INTERES SIMPLE 
En la primera fila de funciones de su calculadora seleccione la tecla SMPL 
En el DISPLAY aparece: 
Simple Int. 
Set : 360 
Dys=360 (año comercial) 
I % = 16 Exe 
PV = (-) 1000000 EXE PV= -1000000 
SI : SOLVE SI= 160000 ESC 
SFV : SOLVE SFV= 1160000 (MONTO PEDIDO) 
ALL : SOLVE SI = 160000 
 SFV=1160000 
 
4.3.2 - A INTERES COMPUESTO 
En la primer fila de funciones de su calculadora selecciones a la izquierda la tecla 
CMPD 
En el DISPLAY aparece: 
Compound Int. 
Set : End 
N = 4 EXE 
I % =4 EXE 
PV = (-) 1000000 EXE 
PMT = 0 EXE 
38 
 
FV = SOLVE o EXE FV=1.169.858,56 
P/Y = 1 
C/Y = 1 
También se puede hacer de la siguiente forma: 
 Compound Int. 
 Set : End 
 N = 1 EXE 
 I % =16 EXE 
 PV = (-) 1000000 EXE 
 PMT = 0 EXE 
 FV = SOLVE o EXE FV=1.169.858,56 
 P/Y = 1 
 C/Y = 4 
 
La diferencia reside que en el primer caso N=4 (trimestres), I%=4 ( tasa de interés 
trimestral), pero C/Y =1. 
 
En el segundo caso N=1 (1 AÑO), la tasa es del 16% (tasa nominal anual) y la 
periodicidad se designa con C/Y=4 ( 4 trimestres por año) 
 
5.5 MANEJO CON EXCEL. 
4.4.1.- INTERES COMPUESTO 
Abra la hoja de cálculo Excel. 
En B2 escriba CAPITAL 
En C2 , 1.000.000 
En B3 , PLAZO EN TRIMESTRES 
En C3 , 4 
En B4 escriba TASA DE INTERES 
En C4 escriba 4% 
Y en B6 escriba MONTO 
39 
 
 
 
Sitúese en C6 
Vaya a la barra de Funciones y haga CLICK en fx. 
Aparece la ventana INSERTAR FUNCION. 
Vaya luego a O Seleccionar una categoría y busque Financieras. 
Luego en: SELECCIONAR FUNCION, busque y señale VF (MONTO) 
Haga CLICK en Aceptar 
 
 
Aparece entonces la ventana ARGUMENTOS DE FUNCION 
 
Vaya a Tasa y luego haga clic en C4 
Luego en Nper y haga clic en C3 
Deje Pago en blanco 
Sitúese ahora en Va y señale –C2 
En Tipo deje en blanco o coloque 0, para Interés Vencido. 
40 
 
Luego haga CLICK en ACEPTAR. 
 
 
 
Entonces, aparece la respuesta en C6, el valor de $1.169.858,56 
 
 
 
Y para finalizar esta diferencia entre interés simple e interés compuesto miremos el 
siguiente ejemplo, solo a modo de ejercicio: 
En 1626, Peter Minuit quien fue Director general de la colonia neerlandesas de 
Nuevos Países Bajos entre 1626 y 1633 y fundador de la colonia sueca de Nueva 
Suecia en 1638, compró el 24 de mayo de 1626, según la tradición la isla de 
Manhattan a los aborígenes, en 60 guilders, lo que supuestamente equivaldría a 24 
dólares estadounidenses. 
¿Cuál sería el monto o valor futuro el 24 de mayo de 2010, si el interés devengado 
fuera en promedio del: A) del 5% y B) del 10% anual.? 
 
41 
 
5.6 ECUACIONES DE VALOR 
En el contexto financiero, frecuentemente una obligación financiera que se 
pactó inicialmente cancelar de una manera específica o determinadaque se pactó 
inicialmente cancelar de una manera específica o determinada, se procede mediante 
acuerdo entre las partes (prestamistas y prestatarios), a cambiar la forma de 
cancelación mediante el pago de una o varias cuotas, operación que recibe el 
nombre de refinanciación de deudas, pero teniendo en cuenta que en una economía 
en donde el poder adquisitivo de la moneda cambia a través del tiempo, es 
necesario para dar solución a éste problema, utilizar las ecuaciones de valor. 
Las ecuaciones de valor son también conocidas con el nombre de teorema 
fundamental de las matemáticas financieras, por lo cual, permiten resolver de 
manera fácil cualquier problema de las matemáticas financieras. 
Las ecuaciones de valor, no son más que igualdades de valor referenciadas a una 
fecha determinada o específica, denominada fecha focal y se simboliza por ff y en el 
diagrama económico se representa a través de una línea de trazos. En la fecha focal 
se igualan los flujos de caja para hacer la comparación y en ella, se comparan los 
ingresos con los egresos, las deudas con los pagos, los activos con los pasivos y el 
patrimonio, los flujos de caja que están arriba del diagrama con los que están abajo. 
Por lo tanto, se podría expresar de la siguiente manera: 
(1) ∑ Ingresos = ∑ Egresos [en la fecha focal] 
(2) ∑ Deudas = ∑ Pagos [en la fecha focal] 
Para resolver los problemas lo primero que debe hacerse es determinar la fecha 
focal en la cual se van a comparar los flujos de caja, y además, hay que tener en 
cuenta que en el caso del interés compuesto, dos flujos de caja equivalente en una 
fecha lo serán en cualquier otra y, por lo tanto, se puede seleccionar cualquier fecha 
para llevar a cabo la comparación y encontrar lo que se está preguntando. 
El traslado de los flujos de caja (ingresos o desembolsos) a la fecha focal, se 
realizará usando las fórmulas del valor presente o valor futuro a la tasa de interés 
especificada de común acuerdo entre las partes. Los flujos de caja que se 
encuentren en la fecha focal, no sufrirán ningún cambio. 
 
EJEMPLO 
42 
 
Una persona debe cancelar tres pagarés así:$ 160.000 dentro de 5 meses, $ 
180.000 dentro de 8 meses y $ 1.200.000 dentro de 18 meses. Si pacta pagar hoy $ 
400.000 y el resto en el mes 10. Determinar el valor del pago, para que las deudas 
queden saldadas. Tenga en cuenta una tasa de interés del 25% N.M.V y la fecha 
focal en el mes 0. 
Consideremos el ejercicio a interés compuesto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
Taller 2 
1.- En cuántos años se triplicará una inversión hecha hoy con un interés del 18% 
anual pagadero al vencimiento? 
Utilice interés simple e interés compuesto 
 $3 
0 N$1 
 
2.- En una entidad financiera el capital depositado se duplica cada dos años. ¿Qué 
tasa de interés efectiva trimestral paga dicha empresa? ¿En cuánto tiempo se 
convertirán$125.000 en $1.600.000 a dicha tasa trimestral encontrada? Utilice 
interés compuesto. 
 
3.- ¿Qué capital debo invertir hoy para poder retirar un millón doscientos mil de 
pesos dentro de 18 meses suponiendo que el capital invertido gana el 10% N.S.V? 
Interés compuesto 
 
4.- ¿Cuál es el valor presente de $800.000 en 36 días al 32% E.A? Use un año de 
360 días. Interés simple. 
 
5.- Halle la rentabilidad anual (tasa de interés) de un documento que se adquiere en 
$30.000 y se vende 6 meses más tarde en 50.000? 
 
6.- ¿A qué tasa efectiva mensual se duplica un capital en 2 ½ años? 
 
7.- ¿A qué tasa trimestral se triplica un capital en 4 años? 
 
8.- A.- ¿Qué es interés? 
B.- ¿Qué es tasa de interés? 
C.- ¿Cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? 
D.- ¿Qué es tasa efectiva? 
E.- ¿Qué es tasa periódica? 
F.- ¿Qué es la tasa nominal? 
44 
 
G.-¿Qué diferencia hay entre tasa vencida y tasa anticipada? 
8.- ¿Qué diferencia existe entre una unidad superavitaria y una unidad deficitaria? 
 
9.- ¿Se puede considerar que un inversionista es lo mismo que un agiotista? 
 
10.- Un pagaré de $10.000.000 vence en 18 meses. ¿Cuánto se recibirá por éste 
pagaré hoy, si el banco utiliza la tasa de descuento compuesto del 2,2% mensual? 
 
11.- Si Ud invierte 100 millones de pesos al cabo de 8 años recibirá 200 millones de 
pesos. Se espera que la inflación promedia de los próximos 8 años sea del 8,5%. 
¿Cree Ud. que se debe realizar la inversión? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
TALLER No 3 
 
1) Una inversión realizada hoy por $ 1.200.000 genera al final de un año la suma de $1.600.000. 
Se pide: 
a) Los intereses ganados. 
b) La tasa de interés de la operación financiera a interés simple 
c) La tasa de interés de la operación financiera a interés compuesto. 
 
2) Cuánto se debe invertir hoy para tener al final de un semestre la suma de $ 8.500.000 y se 
ganen unos intereses de $ 480.000. Cuál es la tasa de interés. 
 
3) Calcular el valor de los intereses generado por una inversión hoy de $ 20.000.000 a las 
siguientes tasas: 
a) 1.2% quincenal. 
b) 2,5% mensual. 
c) 7% trimestral 
d) 10% cuatrimestral 
e) 15% semestral. 
 
4) Si usted invirtió $ 1.500.000 durante un año, al final del cual le entregaron 
$ 2.000.000 . Cuál fue su rentabilidad? 
 
5) A usted le concedieron un préstamo por la suma de $ 5.000.000 durante un 
Trimestre, al final del cual debe pagar $ 5.600.000. Cuál fue el costo del crédito? 
 
6) Una persona adquiere un equipo de sonido por la suma de $ 1.800.000 y lo cancela 
de la siguiente manera: 20% de cuota inicial y el resto en 4 cuotas trimestrales 
iguales de $ 420.000. Teniendo en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se puede 
decir que se pagó por el equipo de sonido la suma de $ 2.040.000, si se cobra una 
tasa de interés del 6,5% trimestral 
 
7) Un apartamento por valor de $ 60.000.000 se adquiere a crédito, y se desea cancelar en un 
año con cuotas bimestrales iguales de $ 11.000.000. Construya el diagrama económico desde 
el punto de vista del comprador y del vendedor. 
46 
 
 
8) Se recibe un préstamo en una institución bancaria por valor de $ 25.000.000 para cancelar 
dentro de dos años, a una tasa de 10% cuatrimestral anticipada. Construya el diagrama 
económico. 
 
9) Un préstamo por $ 15.000.000 se paga con 4 cuotas trimestrales iguales mas los intereses . 
Si la tasa de interés es del 7% trimestral. Construya el diagrama económico. 
 
10) Construya el diagrama económico del ejercicio anterior, suponiendo que los 
intereses se cancelan de manera anticipada. 
 
11) Jaime solicito prestado $ 6.300.000 para pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es del 30% 
anual simple, ¿Qué cantidad debe pagar por concepto de intereses?. 
 
12) Pedro José posee un capital de $ 3.200.000. Invierte 70% de su capital al 6,3% trimestral y 
el resto al 11,6% semestral. ¿Cuánto recibe cada mes de interés total 
 
13) El señor Pedro Pérez compro un televisor en el almacén muebles para el hogar. El 
Televisor Led de 45 inch , tenía un valor de contado de $ 2.650.000, se dio una cuota inicial de 
$530.000 y firmó un pagaré a 31 días por la suma $ 2.247.800. Calcule la tasa de interés anual 
aplicada (Tome el año de 360 días). 
 
14) ¿Cuánto tiempo tardará un préstamo de $ 4.500.000 para producir $ 253.130 de 
Interés simple, si la tasa de interés es de 20%? 
 
15) En cuánto tiempo se duplicará una cierta cantidad de dinero si se invierte al 18% de 
interés simple. 
 
16) Laura María invirtió un total de $ 65.000.000 en dos bancos diferentes, En el Banco 
Popular invirtió una parte de los $ 65.000.000 en una cuenta de ahorros que paga 
rendimientos liquidables al vencimiento a plazo de 91 días y a una tasa de interés 
del 19,35%. En Davivienda invirtió el resto con rendimientos liquidables al 
vencimiento de 91 días y una tasa de interés del 21,8%. Si al final del plazo, el 
interés total fue de $ 3.458.000, ¿Cuál fue la cantidad invertida en cada uno de los 
47 
 
bancos?. Tome año de 360 días. 
 
17) ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces de 
chocolates, al comprar por $ 3.500.000 a 25 días de plazo, si le cargan una tasa de interés del 
3% mensual? 
 
18) Un empleado obtiene un préstamo de su empresa por $ 4.200.000 para comprar 
electrodomésticos y aceptar liquidar el préstamo dos años después. Existe el 
acuerdo que mientras exista la deuda, pagará intereses mensuales de 2,5% 
mensual. ¿Cuánto deberá pagar de intereses cada mes? 
 
19) Una persona firma un pagaré por una deuda que tiene por $ 7.498.000 a 4 meses 
de plazo. Si la tasa de interés normal es de 2,8% mensual y la tasa de interés 
moratorio es del 65%, calcule la cantidad total a pagar si el documento se cancelo 
25 días del vencimiento. 
 
20) El señor Milton Andrade firma un pagaré por un préstamo de $ 7.000.000 a una tasa 
de 45% a 90 días de plazo. Queda de acuerdo en pagar una tasa de interés 
moratorio igual a 25% más de la tasa normal. Calcule el interés moratorio y la 
cantidad total por pagar si el documento es liquidado 12 días después de la fecha 
de vencimiento. 
 
21) El interés ganado por un préstamo de $ 8.000.000, en un plazo de 7 meses, fue de 
$ 350.000. Calcule la tasa efectiva del periodo y la tasa de interés anual. . 
 
22) Un empresario tomo prestados $ 20.000.000 a cuatro meses con un interés del 
2,5% mensual, pagaderos al vencimiento. En el contrato se estipula que en caso de 
mora debe pagar el 3,2% mensual, sobre el saldo ya vencido. Qué suma tendrá que 
pagar si cancela a los cuatro meses y 25 días?. 
 
23) Un préstamo de $ 6.700.000 a un año tiene un interés del 2,3% mensual los 6 
primeros meses y el 2,8% mensual los últimos 6 meses; todos estos intereses serán 
cancelados al vencimiento de la obligación principal y no habrá interés sobre 
intereses. Cuál será el total a pagar al año. 
48 
 
 
24) Una persona tomó prestados $ X al 25% anual y luego los invirtió al 30% anual. Si 
las ganancias que obtuvo, en esta operación fueron de $ 650.000 anuales, cuánto 
había recibido en préstamo?. 
 
25) Dos capitales, uno de $ 5.000.000 y otro de $ 2.500.000 rentan anualmente $ 
1.500.000. Hallar los intereses anuales y las tasas de interés sabiendo que estas se 
encuentran en relación de 2/4?.. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
6 CAPÍTULO 4 
TASAS DE INTERES Y EQUIVALENCIAEsta unidad hemos querido trabajarla con base a preguntas y respuestas para 
mayor facilidad en el aprendizaje. 
6.1 Que diferencia existe entre la tasa activa o de colocación y la tasa pasiva 
o de captación? 
 
La tasa pasiva o de captación, es la que reconocen los intermediarios financieros a 
las personas que suministran los recursos al sistema a través de depósitos. 
Por otra parte, la tasa activa o de colocación, se define como el interés que cobran 
los intermediarios financieros a las personas que solicitan o demandan recursos en 
el mercado financiero a través de préstamos. La diferencia entre las dos tasas es el 
margen de intermediación de las entidades financieras. 
 
 ¿Cuál de las dos es mayor? 
 
6.2 Explique la diferencia entre tasas vencidas y anticipadas: 
Comencemos por recordar ¿qué es la “tasa nominal”?. 
Es la tasa a la cual se contrata una obligación y mientras no se diga lo contrario la 
tasa nominal se considera anual. También la tasa nominal es aquella que se 
capitaliza más de una vez al año. Nunca se debe tomar la tasa nominal de interés 
como criterio para evaluar inversiones ya que la mayoría de las veces no refleja el 
verdadero rendimiento ofrecido. Así, si se trata de comparar una inversión en un 
activo que ofrezca el 22% anual de tasa nominal, con otro que ofrezca el 21% anual 
nominal, no se puede escoger el primero sobre el segundo. Falta determinar la 
manera como se van a pagar los intereses anunciados, ya que según sea ésta, 
variará el rendimiento efectivo de la inversión. 
50 
 
La tasa nominal debe estar acompañada de un compromiso en cuanto a la 
periodicidad de los desembolsos, y en cuanto si estos se hacen anticipados o 
vencidos, ya que cualquiera de las combinaciones posibles acarreará rendimientos 
efectivos diferentes. 
 
¿Y la tasa efectiva? 
Las tasas efectivas son las que se deben buscar para determinar la verdadera 
rentabilidad ofrecida por una tasa nominal y se asocia al interés compuesto. 
Por ejemplo, una tasa del 10% N.T.V, significa que la tasa de interés que se cobra 
en el año es del 10% y que el número de capitalizaciones en el año son cuatro, es 
decir que la tasa trimestral es del 3% ( it=12%/4 =3%).Esta es la llamada Tasa 
periódica o tasa efectiva periódica. 
Entonces, la Tasa efectiva es la tasa a la que efectivamente está colocado un 
capital. 
Entonces, el interés vencido es aquel que se liquida al final de cada periodo y el 
interés anticipado es aquel en el cual los intereses se pagan o liquidan al inicio del 
periodo de capitalización. 
 
Entonces, ¿qué formulas utilizaría para realizar las conversiones a tasas efectiva? 
 
Tasa Interés vencido Interés anticipado 
Nominal R R 
Periódica Ip=r/m 
 m = número de 
capitalizaciones 
Ipa=r/m 
Efectiva E = ( 1 + ip )^ m – 1 E = ( 1 - ia )^- m – 1 
 
 
Utilizando las fórmulas realice las siguientes conversiones: 
A.- 12% NMV a E.A 
Tasa nominal 12% 
Tasa periódica im=12% /12= 1% mensual 
¿Y la tasa efectiva? 
E=((1+ 0,01)^12 – 1)*100= 12,68% 
51 
 
 
B.- 12% NTV a E.A 
Tasa nominal 12% 
Tasa periódica it=12% /4= 3% trimestral 
¿Y la tasa efectiva? 
E=((1+ 0,03)^4 – 1)*100= 12,55% 
 
C.- 14% NBV a E.A 
Tasa nominal 12% 
Tasa periódica ib=14% /6= 2,333% bimestral 
 
¿Y la tasa efectiva? 
E= ((1+ 0,02333)^6 – 1)*100= 14,843% 
 
4D.- 18% NSV a E.A 
Tasa nominal 18% 
Tasa periódica is=18% /2= 9% mensual 
¿Y la tasa efectiva? 
E=((1+ 0,09)^2 – 1)*100= 18,81% 
 
Ahora utilicemos la calculadora financiera para tasas vencidas: 
 
Convertir el 18% N.M.V a E.A utilizando la calculadora Casio FC-100V o Casio FC-
200V 
 
Pulsemos la tecla CNVR (Conversiones) , y realicemos las siguientes operaciones: 
N 12 EXE, aparece n=12 
I% 18 EXE, aparece I%=18 
EFF: SOLVE, aparece EFF=19,56181715 
 
Entonces el 18%N.M.V es equivalente al 19,56% (E.A) 
 
Ahora convirtamos el 15% E.A a N.T.V 
Pulsemos la tecla CNVR , y realicemos las siguientes operaciones: 
52 
 
N 4 EXE, aparece n=4 
I% 15 EXE, aparece I%=15 
APR: SOLVE, aparece APR=14,22323054 
 
Luego el 15% E.A es equivalente al 14,22% (N.T.V) 
 
Conclusión: EFF en las calculadoras Casio se utiliza para convertir TASAS 
NOMINALES en EFECTIVAS y APR para convertir TASAS EFECTIVAS a 
NOMINALES. 
 
 
Utilicemos ahora la calculadora HP 17 B II. 
 En el menú principal presione: 
FIN COM SUMA CALE RESOL 
 
Y seleccione el menú CNVI 
VDT CNVI F.CAJ BONO DEPRC 
 
Seleccione Capitalización 
PER CONT 
 
Ahora CAPIT.P/VECES AL AÑO 
%NOM %EFE P 
 
Ejemplo: convertir el 18% N.M.V a E.A 
Presione 18 %NOM %NOM=18 
Luego 12 P 
Y ahora %EFE %EFE=19,5618171462 
 
Entonces el 18%N.M.V es equivalente al 19,56% (E.A) 
 
Ahora convirtamos el 15% E.A a N.T.V 
Presione 15 %EFE %EFE=15 
Luego 4 P 
53 
 
Y ahora %NOM %NOM=14,2232305366 
 
Luego el 15% E.A es equivalente al 14,22% (N.T.V) 
 
Ahora con Excel. 
18% N.T.V a Efectivo Anual (E.A) 
Tasa nominal 18% 
Tasa periódica t v=18%/4= 4,5% 
Número de periodos por año 4 
En Excel vamos a fx (insertar función) y buscamos en O seleccionar una 
categoría la función Financiera 
 
 
Y en Seleccionar una función, buscamos int.efectivo: 
54 
 
 
Hacemos click en Aceptar 
En tasa_ nominal insertamos el 18%=0,18 y en Núm_per_año insertamos el 
número de periodos por año, para nuestro caso 4 que corresponde al número de 
trimestres por año 
 
 
Y Hacemos click en aceptar y obtenemos la respuesta del 19,25% (E.A). 
 
Convertir 18% N.M.A a E.A 
Con Calculadora Casio FC-100V 0 Casio FC-200V 
 
55 
 
Pulsemos la tecla CNVR , y realicemos las siguientes operaciones: 
N ( -) 12 EXE, aparece n= -12 
I% 18 EXE, aparece I%=18 
EFF: SOLVE, aparece EFF=19,88510667 
 
Entonces el 18%N.M.A es equivalente al 19,89% (E.A) 
 
Con Calculadora HP 17 B II 
Ejemplo: convertir el 18% N.M.A a E.A 
Presione 18 %NOM %NOM=18 
Luego 12 +/- P 
Y ahora %EFE %EFE=19,8851066683 
 
Ejemplo 
Ahora convirtamos el 15% E.A a N.T.A 
Calculadora Casio FC-100V 0 Casio FC-200V 
Pulsemos la tecla CNVR , y realicemos las siguientes operaciones: 
N (-) 4 EXE, aparece n= -4 
I% 15 EXE, aparece I%=15 
APR: SOLVE, aparece APR=13,73484584 
Entonces el 15% E.A es equivalente al 13,73% (N.T.A) 
 
Calculadora HP 17 B II para convertir una tasa efectiva a una nominal 
 
Ejemplo: convertir el 15% E.A a N.T.A 
 
En el menú principal presione: 
FIN COM SUMA CALE RESOL 
 
Y seleccione el menú CNVI 
VDT CNVI F.CAJ BONO DEPRC 
 
Seleccione Capitalización 
56 
 
PER CONT 
 
Ahora CAPIT.P/VECES AL AÑO 
%NOM %EFE P 
 
Presione 15 % EFE 
Luego 4 +/- P 
%NOM 
click 
%EFE 
15 
P 
+/- 4 
 
Y ahora click en % NOM %NOM=13,73% N.T.V 
Excel no aplica para tasas anticipadas. 
 
Ejercicios 
1.- Realice las siguientes conversiones: 
A.- 10% NMA a E.A 
B.- 12% NTA a E.A 
C.- 14% NBA a E.A 
D.- 18% NSA a E.A 
 
2.- Utilizando su calculadora financiera, convierta: 
A.- 10% NAA a E.A 
B.- 17,5% NMA a E.A 
C.- 12,6% NTA a E.A 
D.- 14,85% NBA a E.A 
E.- 18,70% NSA a E.A 
F.- 16,24% NAA a E.A 
G.- 10,56% NMV a E.A 
 
3.- Se tiene una tasa del 18% E.A, se pide convertir dicha tasa a: 
 
NMA , NTA ,NBA, NSA NAA, NMV, NTV, NBV, NSV, NAV 
 
Por que se dice que estas TASAS SON EQUIVALENTES? 
57 
 
 
4.- Si Ud. deposita 50 millones en un CDT a 90 días en Corficolombia y la tasa a la 
cual se hizo la colocación es del 4,25% E.A. 
Se pregunta: 
A.- Cuál es la tasa NTV, con la cual se realiza la negociación? 
B.- Cuál será el valor de los intereses devengados durante dicho trimestre? 
C.- Si la retención en la fuente sobre rendimientos financieros es del 7%, cuál será el 
valor realmente recibido por Ud? 
D.- Si asumimos que los intereses se capitalizan, cuál será la TASA EFECTIVA