MACS_1-UNIDAD_7-Limites_y_Continuidad

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I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
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 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
UNIDAD 7: 
LÍMITES Y CONTINUIDAD 
 
PARTE 1: LÍMITES Y ASÍNTOTAS 
 
1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 
Diremos que a es un punto de acumulación de D , y escribiremos 'a D , cuando exista una 
sucesión  nx de puntos de D tal que  nx a (la sucesión  nx tiende a a ). 
 
Siempre que exista un intervalo abierto de centro a contenido en D se tendrá que 'a D . 
 
Definición: Sea :f D    una función, 'a D y L . Diremos que el límite de  f x 
cuando x tiende a a ( )x a es L, y escribiremos  lim
x a
f x L

 , si para valores de x cada vez más 
próximos a (distintos de a), los valores de las imágenes  f x están cada vez más próximos a L. 
 
Límites laterales: 
El límite por la izquierda es el valor al que tiende la función  f x cuando la variable x se aproxima 
a a siendo menor que a. Se denota por:    lim o lim
x a x a
x a
f x f x
  

 
 
El límite por la derecha es el valor al que tiende la función  f x cuando la variable x se aproxima a 
a siendo mayor que a. Se denota por:    lim o lim
x a x a
x a
f x f x
  

 
 
Esto da lugar a la siguiente caracterización: 
 
   
   
lim , lim
lim
lim lim
x a x a
x a
x a x a
f x f x
f x
f x f x
   

   
   

 
En cuyo caso      lim lim lim
x a x a x a
f x f x f x
    
  
 
 
2. LÍMITES INFINITOS: ASÍNTOTAS VERTICALES 
Decir que  lim
x a
f x

  significa que cuando x tiende a a, con x a ,  f x toma valores mayores 
que cualquier número real k. 
Análogamente, decir que  lim
x a
f x

  significa que cuando x tiende a a, con x a ,  f x toma 
valores cada vez más pequeños. 
 
Llamamos asíntotas de una función a las rectas que se aproxima la función en el infinito. 
 
Bloque 3: Análisis 
 
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 
 Departamento de Matemáticas 
La recta x = a es una asíntota vertical de  f x si existe alguno de los siguientes límites: 
 lim
x a
f x

   lim
x a
f x
 
   lim
x a
f x
 
  
 
x
y
 y f x
 lim
x a
f x
 
 
 
x
y
 y f x
 lim
x a
f x
 
 
 
x
y
 y f x
 lim
x a
f x
 
 
x
y
 y f x
 lim
x a
f x
 
 
 
 
3. LÍMITES EN EL INFINITO: ASÍNTOTAS 
HORIZONTALES 
Decir que  lim
x
f x b

 significa que cuando x se hace tan grande como queramos, la función  f x 
toma valores muy próximos un número fijo b. 
De igual modo,  lim
x
f x b

 significa que  f x se aproxima a b cuando x se hace cada vez más 
pequeño. 
 
La recta y = k es una asíntota horizontal de  f x si existe alguno de los siguientes límites: 
 lim
x
f x k

 o  lim
x
f x k

 
y b
 y f x
 lim
x
f x b


 lim
x
f x b


 
 
 
4. LÍMITES INFINITOS EN EL INFINITO: 
ASÍNTOTAS OBLICUAS 
También puede suceder que  lim
x
f x

  , lo que significa que x y  f x se hacen infinitamente 
grandes a la vez. Por tanto:    lim
x
f x f x k

    para todo x p , siendo k y p números 
arbitrariamente grandes. 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
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 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
La recta y mx n  , m 0 , es una asíntota oblicua de  f x si existe alguno de los siguientes 
límites: 
  lim 0
x
f x mx n

     lim 0
x
f x mx n

   
en cuyo caso 
    lim y lim
x x
f x
m n f x mx
x 
   
y mx n 
 y f x
 
 
 
5. OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES 
1) lim
x a
k k

 
 
2)        lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
  
     
 
3)        lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x
  
     
 
4) 
 
 
 
 
lim
lim
lim
x a
x a
x a
f xf x
g x g x



 siempre que  lim 0
x a
g x

 
 
4)      
  lim
lim lim x a
g x
g x
x a x a
f x f x 
 
    siempre que  lim 0x a f x  
 
 5)      lim log log lim siempre que lim 0A Ax a x a x af x f x f x  
       
 
 
6. REGLAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES 
Regla I: Para calcular el límite de una función, cuando x a  , basta con sustituir a en la 
función y si nos da un número real, ya está resuelto. 
 
Regla II: Las funciones polinómicas, cuando x , se comportan del mismo modo que su 
término de mayor grado. 
 1 0lim ... limn nn nx xa x a x a a x     
 
Bloque 3: Análisis 
 
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 Departamento de Matemáticas 
Regla III: 0
0
si
...
lim si
...
0 si
n
n n
mx
m m
n m
a x a a
n m
b x b b
n m

 
     
 
 
 
Regla IV: Cuando al aplicar la regla I en el cálculo de límites el resultado obtenido no tiene sentido 
aparecen las indeterminaciones, que son expresiones como las siguientes: 
 
Indeterminaciones 


 


 


 


 
Tipo 


 
 
 
Indeterminaciones 
      
      
      
      
Tipo 
 
Indeterminaciones   0   0  
0
L
 
0

 
0
0
 
Tipo 0  
0
K
 
0
0
 
 
Indeterminaciones 00  0 1 1 
Tipo 00 0 1 
 
 
 
7. ASÍNTOTAS VERTICALES 
 
La recta x = a es una asíntota vertical de la función  f x si existe alguno de los siguientes 
límites 
 lim
x a
f x

   lim
x a
f x
 
   lim
x a
f x
 
  
 
Observaciones: 
(1) Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. 
(2) En las funciones racionales las asíntotas verticales se hallan en los valores x que anulan al 
denominador. 
(3) La gráfica ele la función no puede cortar a las asíntotas verticales. 
 
 
8. ASÍNTOTAS HORIZONTALES 
 
La recta y = k es una asíntota horizontal de la función  f x si existe alguno de los siguientes 
límites: 
 lim
x
f x k

  lim
x
f x k

 
 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
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 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
Observaciones: 
(1) Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales. 
(2) La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas horizontales. 
(3) Para funciones racionales: 
 Si en una función racional el grado del numerador es menor que el grado del 
denominador la recta y = 0 (el eje OX) es una asíntota horizontal. 
 Si en una función racional el grado del numerador y el del denominador son iguales la 
recta y b será una asíntota horizontal (b indica el cociente entre los coeficientes líderes del 
numerador y del denominador). 
 Si en una función racional el grado del numerador es una unidad mayor que el del 
denominador la función presenta una asíntota oblicua y no hay asíntotas horizontales. 
 Si en una función racional el grado del numerador es dos o más unidades mayor que 
el del denominador hay asíntota horizontal. 
 
 
9. ASÍNTOTAS OBLICUAS 
La recta y mx n  , m 0 , es una asíntota oblicua de la función  f x si existe alguno de los 
siguientes límites: 
  lim 0
x
f x mx n

     lim 0
x
f x mx n

   
en cuyo caso 
    lim y lim
x x
f x
m n f x mx
x 
   
 
Observaciones: 
(1) Una función puede tener como máximo dos asíntotas oblicuas. 
(2) Si una función tiene asíntota oblicua no tiene asíntota horizontal y recíprocamente. 
(3) La gráfica de la función puede cortar a las asíntotas oblicuas en uno o varios puntos. 
(4) Si en una función racional el grado del numerador es dos o más unidades mayor que el del 
denominador,no hay asíntota oblicua. 
 
 
 
10. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES 
Cuando al calcular el límite de una suma, un producto, un cociente o una potencia de funciones no se 
pueden aplicar las propiedades de los límites, es decir, hay que hacer un estudio particular de cada 
caso, suele decirse que estos límites son una indeterminación. 
 
1. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 
0
k 
  
 CON 0k  
Se calculan los límites laterales:    
x a-
lim , lim
x a
f x f x
  
 
Si existen ambos límites y coincide su valor, entonces: 
     lim lim lim
x a x a x a
f x f x f x
    
   
Si no existe alguno de los límites laterales o no coincide su valor, entonces, no existe  lim
x a
f x

. 
 
Ejemplos: 
Bloque 3: Análisis 
 
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 Departamento de Matemáticas 
(1) Calcular 
0
1
lim
x x
: 
0
1 1
lim
0x x
    
 
Calculamos los límites laterales: 
0
0
1
lim
1
lim
x
x
x
x
 
 
  
 

0
1
lim
x x
 
 
(2) Calcular 
4 20
2 8
lim
2x
x
x x


 
 
4 20
2 8 8
lim
2 0x
x
x x
      
 
 Calculamos los límites laterales: 
4 20
4 20
4 20
2 8
lim
2 82 lim
2 8 2
lim
2
x
x
x
x
xx x
x x x
x x
 

 
         
 
 
 
2. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 0
0
 
  
 
a) Para funciones racionales 
Se descomponen numerador y denominador en factores y se simplifica. 
b) Para funciones irracionales 
Si se trata de una función con raíces cuadradas en el numerador (o en el denominador), 
multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del numerador (o del 
denominador). 
 
Ejemplos: 
(1) Calcular 
3
41
1
lim
1x
x
x


: 
 
   
    
23 3
4 4 21 1 1
1 11 0 1
lim lim lim
1 0 1 1 1 1x x x
x x xx x
x x x x x  
             
 
 
 
1
1
lim
x
x



 
 
2 1
1
x x
x
 
   
 
  
2
22 1
1 3
lim
41 11 1 x
x x
x xx x 
 
 
  
 
 
(2) Calcular 
4
5 3
lim
4x
x
x
 

: 
 
  
  4 4
5 3 5 35 3 0
lim lim
4 0 4 5 3x x
x xx
x x x 
              
 
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   4 4
5 9 4
lim lim
4 5 3x x
x x
x x 
  
 
    4x     4
1 1
lim
65 3 5 3xx x
 
   
 
 
3. INDETERMINACIÓN DEL TIPO    
 
Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de x que aparezca en la función (basta 
con dividir por la mayor potencia de x del denominador). 
 
Ejemplos: 
(1) Calcular 
2 2 1
lim
24x
x x
x
 

: 
 
2 2
2
2 1 2 1
2 1
lim lim lim
24 2424x x x
x x x x
x x x x x x
x xx
x x x
  
 
            
1
2
lim
24
1
x
x
x
x

 
 

 
 
(2) Calcular 
3
4
2 1
lim
3x
x
x

: 
 
3 33
3 8 8 84
44
4
2 1 2 12 1
2 1
lim lim lim lim
33 3 3x x x x
x xx
x x x xx
xx
x
   
         
 
 
5 8
2 1
0
lim 0
3 3x
x x


   
 
4. INDETERMINACIÓN DEL TIPO   
a) La función es diferencia de dos funciones racionales 
Se efectúa dicha operación. 
b) La función es diferencia de funciones irracionales 
Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada de la función. 
 
Ejemplos: 
(1) Calcular 
2 1
lim
1x
x x
x
x
  
  
: 
   
2 2 11 1
lim lim
1 1 1x x
x xx x x x
x
x x x 
     
             
 
 2 2 21 1 1 2 1
lim lim lim 2
1 1 1x x x
x x x x x x x x x
x x x  
           
           
 
 
Bloque 3: Análisis 
 
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 Departamento de Matemáticas 
(2) Calcular  2lim 8 16 3
x
x x x

  : 
     
2 2
2
2
8 16 3 8 16 3
lim 8 16 3 lim
8 16 3x x
x x x x x x
x x x
x x x 
   
   
 
2
2
48 3
lim
8 16 3x
x x
x x x
        
 
 
5. INDETERMINACIÓN DEL TIPO  0 
Transformar esta indeterminación en una de las anteriores, generalmente efectuando las operaciones. 
 
Ejemplo: 
Calcular 
2
30
3 5
lim
4x
x x
x
 
 
 
: 
    
22 2
3 3 30 0 0
3 53 5 3 15 0
lim 0 lim lim
4 4 4 0x x x
x xx x x x
x x x  
                
 
 
 
3 20 0
3 15 3 15 15
lim lim
4 4 0x x
x x x
x x 
         
 
 
6. INDETERMINACIÓN DEL TIPO 1   
Se resuelve empleando la siguiente igualdad: 
       
lim 1
lim x a
g x f xg x
x a
f x e 
  

 
donde a    y sabemos que 1lim 1
x
x
e
x
   
 
 
 
Ejemplo: 
Calcular 
52
2
lim
2
x
x
x
x
 
  
: 
 
2
2
52 lim 5 1
2 0
2
lim 1 1
2
x
xx
x
x
x
x
e e
x

 
    

 
        
 
 ya que 
 2 22
2 2 2
2 2
lim 5 1 lim 5 lim 5
2 2 2x x x
x xx
x x x
x x x  
                  
2
10
lim 0
2x
x
x
 

 
 
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11. EJERCICIOS 
Límite de una función en un punto 
1. Mediante tablas calcula: 
a)  2lim 2
0


x
x
 b)  23lim
2


x
x
 c)  13lim
1


x
x
 d)  2
3
9lim x
x


 
 
2. Teniendo en cuenta la gráfica de la función, calcula los siguientes límites: 
a)  xf
x 3
lim

 
b)  xf
x 0
lim

 
c)  xf
x 7
lim

 
 
 
3. A partir de la gráfica de la función, comprueba que    2lim
2
fxf
x


 : 
 
 
4. Calcula 
x
x
x
x
xx
 tg
lim ý 
sen 
lim
00 
, teniendo en cuenta su gráfica1: 
  sen xf x
x
   tg xg x
x
 
 
 
Límites infinitos en un punto 
5. Mediante tablas de valores, calcula: 
 
1 Estos dos límites son importantes y debes recordarlos. 
3 2 2 3
2
1
1
2
3 2
22
2 3
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Bloque 3: Análisis 
 
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 Departamento de Matemáticas 
a) 
62
3
lim
3  xx
 b) 
1
3
lim
1  x
x
x
 c) 
4
6
lim
22  xx
 
d) 
1
2
lim
1  x
x
x
 e) 
4
1
lim
22  xx
 f) 
16
2
lim
24  x
x
x
 
 
Límites en el infinito 
6. Observando la gráfica calcula: 
 
 
a)  xf
x 
lim 
b)  xf
x 
lim 
c)  xf
x 0
lim

 
 
7. Observa la función  xf que tienes a continuación, y calcula: 
 
a)  xf
x 
lim 
b)  xf
x 
lim 
c)  xf
x 2
lim 
d)  xf
x 2
lim
 
 
8. Calcula: 
a) 
2
3
3
lim
3 5x
x
x


 b) 
3
3
1
lim
1x
x
x


 c)
2
2
3 5 1
lim
1x
x x
x
 

 
 
Límites infinitos en el infinito 
9. Calcula los siguientes límites mediante tablas de valores: 
a) 20lim x
x 
 b) 3lim x
x 
 c)  xx
x


6lim d)  23lim xx
x


 
 
Propiedades de los límites 
10. Mediante las propiedades de los límites, comprueba que: 
a) 0
13
143
lim
2
1



 x
xx
x
 c)   32742lim 2
3


xx
x
 
b) 1
2
54
lim
21



 x
x
x
 d) 
1
143
lim
2
2 

 x
xx
x
 
 
Cálculo de límites 
11. Estudia a qué tipo de indeterminación corresponden los siguientes límites: 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
11 
i pr i
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
a) 
2
4
lim
2
2 

 x
x
x
 b) 
3
lim
4
6


 x
xx
x
 c) 
x
x xx
xx
3
32
3 3
lim 








 
d) 
1
1
lim
2 

 x
x
x
 e) 




 

xx
xx
3
0
1
lim f)  2lim 3 1
x
x x

    
 
12. (Indeterminación del tipo 0con 
0
k
k
). Calcula los siguientes límites: 
a) 
 2
3
1 1
lim
 x
x
x
 b) 
16
2
lim
24  x
x
x
 c) 
20
1
lim
xx
 d) 
23 9
5
lim
x
x
x 
 
e) 
20 5
62
lim
x
x
x


 f) 
240 2
82
lim
xx
x
x 


 g) 
20
52
lim
x
x
x


 h) 
1
1
lim
3
2
1 

 x
x
x
 
 
13. (Indeterminación del tipo 
0
0
). Calcula los siguientes límites: 
a) 
1
1
lim
4
3
1 

 x
x
x
 b) 
4
35
lim
4 

 x
x
x
 c) 
 
x
x
x
11
lim
2
0


 
d) 
x
x
x
2
0
11
lim


 e) 
 22 2
63
lim


 x
x
x
 f) 
24
lim
2
0  x
x
x
 
g) 
x
x
x 

 1
1
lim
1
 h) 
4
42
lim
22 

 x
x
x
 i) 
52
9
lim
2
2
3 

 x
x
x
 
 
14. (Indeterminación del tipo 


). Calcula el valor de los siguientes límites: 
a) 
24
12
lim
2


 x
xx
x
 b) 
4
3
3
12
lim
x
x
x


 c) 
 
x
x
x
11
lim
2 

 
d) 
52
86
lim
2
2


 x
xx
x
 e) 
1
1
lim
3
2


 x
x
x
 f) 
1
1
lim
2
23


 x
xxx
x
 
g) 
3 6
2 72
lim
xx
x
x 


 h) 
1
1
lim
3
6


 x
x
x
 
 
15. (Indeterminación del tipo  ). Calcula los siguientes límites: 
a)  55lim 

xx
x
 e)  24 4lim xxx
x


 
b) 









x
x
xx
x 1
1
lim
2
 f)  xxx
x
3168lim 2 

 
c)  24 1lim xx
x


 g) 




 


 x
xx
x
1
2
52
lim
2
 
d) 







 1
1
1
2
lim
21 xx
x
x
 h)  xxx
x
4239lim 2 

 
 
16. (Indeterminación del tipo 0 ). Calcula los siguientes límites: 
Bloque 3: Análisis 
 
12 
i pr i
 
 Departamento de Matemáticas 
a) 




 

 4
53
lim
2
30
xx
xx
 e) 








 2
1
5
2
lim
2 x
x
x
 
b) 




 

8
2
lim 2x
xx
 f) 







 4
16lim 2
4 x
x
x
x
 
c)   


 
 x
xxx
x
1
lim 4 g) 







 63
8
4lim 2
2 x
x
x
 
d)   





 3
1
9lim 2
3 x
x
x
 h) 




 
 x
x
xxx 7
1
4
5
lim
1
 
 
17. (Indeterminación del tipo 1 ). Calcula el valor de los siguientes límites2: 
a) 
x
x x
x
5
2
2
2
lim 






 c) 
x
x x
x
2
54
34
lim 








 e)  x
x
x
4
0
71lim 

 
b)   x
x
x
6
0
31lim 

 d) 
x
x x
x
2
3
3
75
5
lim 






 f) 
x
x x
x
4
2 1
2
1lim









 
 
Asíntotas 
18. Averigua las asíntotas horizontales y verticales de las siguientes funciones, cuando existan: 
a)   64
2

x
x
xf d)  
3
3
x
xf  
b)  
7
1


x
xf e)  
4
1
2
2



x
x
xf 
c)  
24
26



x
x
xf f)  
1
1


x
xf 
 
19. Estudia las asíntotas de las siguientes funciones. 
 1)  
1
2



x
x
xf 11)  
1
2


x
x
xf 
2)  
1
2



x
xx
xf 12)  
12
32



x
xx
xf 
3)  
3
9 2



x
x
xf 13)  
45
43
2
2



xx
xx
xf 
4)  
x
xx
xf
2
2 
 14) f x 
x x2  x 
x2
 
5) f x  3 x 
2
2x 1
 15) f x  x
3
x2  4
 
6) f x  x  2
x2 1
 16) f x  3x
2
x  2
 
 
2 Recuerda que 
1
lim 1 2,718281...
x
x
e
x
     
 
 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
13 
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 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
7) f x  x
2
x2  x 1
 17) f x  1
9  x2
 
8) f x  x
4 1
x2
 18) f x  x
2 1
2x2 1
 
9) f x  x  3 
2
x 1 2
 19) f x  x
3
2x  5
 
10) f x  5x  2
2x  7
 20) 
3
2
2
( )
4
x
f x
x x


 
 
 
 
Bloque 3: Análisis 
 
14 
i pr i
 
 Departamento de Matemáticas 
PARTE 2: CONTINUIDAD 
 
1. CONCEPTO DE FUNCIÓN CONTINUA 
 
Sea D un intervalo. Una función :f D   es continua en el punto  Domx a f  cuando 
   lim
x a
f x f a

 (1) 
 
Aclaraciones: 
 Para que una función sea continua en un punto, dicho punto ha de pertenecer a su 
dominio de definición. En otro caso, no tiene sentido hablar de continuidad. 
No tiene sentido decir que la función 
1
y
x
 no es continua en 0x  , por que 
dicho punto no pertenece a su dominio. 
 Si el dominio no es un intervalo, entonces hay que exigir que 'a D D  , siendo 
'D el conjunto de puntos de acumulación de D . 
 La condición (1) de continuidad implica: 
o  lim
x a
f x

 
o  f a 
o Dichos valores coincidan:    lim
x a
f x f a

 
 
Una función es continua cuando lo es en todos los puntos de su dominio de definición. 
 
Una función es continua por la derecha en un punto si existe límite por la derecha en él y coincide 
con el valor que toma la función en ese punto: 
    continua en por la derecha lim
x a
f x a f x f a
 
   
 
Una función es continua por la izquierda en un punto si existe límite por la izquierda en él y coincide 
con el valor que toma la función en ese punto: 
    continua en por la izquierda lim
x a
f x a f x f a
 
   
 
Caracterización 
Una función es continua en un punto cuando es continua por la izquierda y por la derecha en ese 
punto: 
f continua en x a f  continua por la derecha y 
por la izquierda en x a 
 
Una función es continua en  ,a b cuando: 
(1) Sea continua en el intervalo abierto  ,a b 
(2) Sea continua por la derecha en a 
(3) Sea continua por la izquierda en b 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
15 
i pr i
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
2. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES 
ELEMENTALES 
 Las funciones polinómicas,   11 1 0...n nn nf x a x a x a x a     , son continuas en todos los 
puntos. 
 
 Las funciones racionales,     
P x
f x
Q x
 , son continuas en su dominio. 
 
 La función exponencial,  f xy e , es continua siempre que lo sea  f x . 
 
 La función logarítmica,  logy f x , es continua en todo punto x , tal que   0f x  y 
 f x sea continua. 
 
 Las funciones trigonométricas, sen e cosy x y x  , son siempre continuas. La función 
tg y x es continua en su dominio: con 
2
k k
     
 
  . 
 
 Las funciones definidas a trozos serán continuas si lo son en sus intervalos respectivos y en 
los puntos de unión. En estos puntos habrá que ver que la función esté definida y que los 
límites laterales existan y sean iguales. 
 
 
3. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES 
 
El criterio adoptado por la UCLM en la EvAU es el siguiente: 
 
Una función es discontinua en un punto cuando falla alguna de las tres condiciones de la definición 
de función continua en un punto. 
 
Clasificación de las discontinuidades en a : 
i) Evitable 
    
   
 pero lim 
o
lim
x a
x a
f a f x
f x f a


 


 

, en cuyo, caso diremos que f presenta una 
discontinuidad evitable. 
 
ii) No evitable 
ii-1) De primera especie 
  lim
x a
f x

 (    lim , lim ' y '
x a x a
f x L f x L L L
   
     ), en cuyo caso diremos que 
f presenta una discontinuidad de salto (finito o infinito). 
 Finito, si , 'L L  . En este caso el salto es 'L L . 
Bloque 3: Análisis 
 
16 
i pr i
 
 Departamento de Matemáticas 
 Infinito, si o 
' '
L L
L L
   
    


. 
  lim
x a
f x

 porque los límites laterales son infinitos y distintos o  lim
x a
f x

  . En 
este caso diremos que f tiene una discontinuidadasintótica en a . 
 
ii-2) De segunda especie 
Diremos que f presenta una discontinuidad de segunda especie o esencial, cuando 
al menos uno de los límites laterales no exista. 
 
Continua
Finito
Función De salto
Discontinua Infini
a
De primera especie
De segunda especie
t
t
b
E
No evi a le
o
Asintóti
a
c
vit ble
 



    
   
        
 
 
Ejemplos: 
(1) La función :f   definida por  
si 0
1 si 0
x x
f x
x

  
 tiene una discontinuidad evitable en 
0x  , ya que      2
1 1
lim lim 1 2 1 1
x x
f x x f
 
       . 
El valor verdadero de f en 0x  es  0 0f  . 
 
(2) La función :f   definida por  
2 1 si 1
1 si 1
x x
f x
x
   
 
  
 tiene una discontinuidad evitable 
en 1x   , ya que    
0 0
lim lim 0 1 1
x x
f x x f
 
    . 
El valor verdadero de   en 1 es 1 2f x f    . 
 
(3) La función «signo de x », :f   definida por  
1 si 0
0 si 0
1 si 0
x
f x x
x

 
 
 tiene una 
discontinuidad de salto finito en 0x  , ya que    
0 0
lim 1 1 lim
x x
f x f x
   
    . 
 
(4) La función :f   definida por  
1 si 0
0 si 0
1 si 0
x
f x x
x

 
 
 tiene una discontinuidad de salto 
finito en 0x  , ya que    
0 0
lim 1 1 lim
x x
f x f x
   
    . 
 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
17 
i pr i
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
(5) La función :f   definida por  
1
si 0
0 si 0
1 si 0
x
x
f x x
x
 

 
 

 tiene una discontinuidad de salto 
infinito en 0x  , ya que    
0 0
lim y lim 1
x x
f x f x
   
    . 
 
(6) La función   2
1
f x
x
 tiene una discontinuidad asintótica en 0x  , ya que 
   
0 0
lim lim
x x
f x f x
   
   
 
(7) La función   1f x
x
 tiene una discontinuidad asintótica en 0x  , ya que 
   
0 0
lim y lim
x x
f x f x
   
    
 
(8) La función   2 1f x x  (cuyo dominio es    , 1 1,    ) tiene discontinuidades de 
segunda especie en 1x   y, en 1x  , ya que: 
2
12
1
lim 1
lim 1 x
x
x
x  



 2
1
lim 1
x
x
 




 y 
2
12
1
lim 1
lim 1 x
x
x
x  



 2
1
lim 1
x
x
 




 
 
Un resultado que es importante conocer y memorizar: 
 Toda función continua en un intervalo de la forma  ,a b tiene un máximo y un mínimo 
absolutos. 
Bloque 3: Análisis 
 
18 
i pr i
 
 Departamento de Matemáticas 
4. EJERCICIOS 
1. La función  
9
3
2 


x
x
xf , ¿es continua en 3x ? 
 
2. Representa la función  









 1 si 2
31 si 4
3 si 2
x
xx
xx
xf , y estudia su continuidad en los puntos 
1x  y 3x  . 
 
3. Estudia la continuidad en 8x  de la siguiente función:  






 8 si 7
8 si 7
xx
xx
xf 
 
4. Estudia la continuidad de la función:  






 0 si 62
0 si 6
xx
xx
xf 
 
5. Calcula k para que la función  









1 si 
1 si 
1
1
2
xk
x
x
x
xf sea continua en 1x . 
 
6. ¿Cuál debe ser el valor de k para que la función  
 








0 si 
0 si 
24 2
xk
x
x
x
xf sea 
continua? 
 
7. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: 
a)  






 0 si 42
0 si 3
xx
xx
xf 
b)  
1
12



x
x
xf 
 
8. Estudia la continuidad de las funciones: 
 
2
3 1 2 1
4 1 2
7 2
( ) 2 4 2 5
3 1 5 7
3 1
7
7
x x
x x
x
f x x x
x x
x
x
x
   
   
 
   
   
 
 
 2
4 5 0
5 0 1
6 1 2
4 2 3( )
9
3 10
3
1
10
9
x x
x x
x x
x xh x
x
x
x
x
x
 
   
  
   
 
  
  
 
xxx
x
xj
86
4
)(
23
2


 
 
9. Halla k para que las siguientes funciones sean continuas: 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
19 
i pr i
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
 










21
2
16208
43
)(
23
23
xk
x
xxx
xx
xf 
2
2
4 3
1 y 1 
1
( ) 1
3 2
1
5 2
x x
x x
x
g x k x
x
x
x
  
  
  
   
  
 
 
10. ¿Cómo deberá definirse  1f para que la función   1 
1
245



 x
x
x
xf , sea continua 
en 1x ? 
 
11. Estudia la continuidad de la función  
3 1sen si 0
0 si 0
x x
f x x
x
  
 
. 
(Indicación: 3
0
1
lim 0
senx
x
x
 ) 
 
12. Se considera la función  f x definida por: 
 
2
 si 0
3 si 0 2
 si 2
x x
f x x b x
ax x
 
   
 
 
Calcula los valores de a y b para que  f x sea continua en todos los puntos. 
 
13. Dada la función 
  2
2 si 1
2 si 1 1
ln si 1
x a x
f x x x
x x
  
     
  
Calcular a para que la función f sea continua en 1x   , y estudiar la continuidad en 1 .x  
 
14. Calcula los valores de M y N para que la función f sea continua: 
 














2 si 
3 si 
2y 3 si 
6
623113
2
234
xM
xN
xx
xx
xxxx
xf 
 
15. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones: 
 a)  
2
2
4
3 5
x
f x
x


 
 
Bloque 3: Análisis 
 
20 
i pr i
 
 Departamento de Matemáticas 
b)  
 
2
2
2
1
x x
f x
x
 


 d)   2
2
1
si 0
3
14 si 0 3
16 si 3
x
x
f x x x
x x
  
    

 

 
 c)  
0 si 2
2
 si 2
2
x
f x x
x
x

 
  
 
16. Dada la función:  
2
2
3
1
1
3 4 1 1
8 1
b x
x
f x x x
x x
   

    
  

 calcula el valor de b para que  f x sea 
continua en 1x   . ¿Es continua en 1x  ? 
 
17. Estudia la continuidad de las siguientes funciones en función del parámetro k : 
a)  
3 2
3 2
3 4
si 2 , 4
8 20 16
1 si 2
3
si 4
2
x x
x x
x x x
f x k x
x
  
      

 

 b)  
2 4 3
si 1
1
si 1
x x
x
g x x
k x
  
 
 
 
 
18. Calcula a y b para que sea continua la siguiente función  
2 1
1 3
2 4 3
x ax x
f x b x
x x
   
   
  
 
 
19. Calcula a y b para que sea continua la siguiente función f x 
2x 1 x  3
ax  b 3  x  5
x2  2 x  5





 
 
 
20. Estudia la continuidad de la función   21f x x  . 
 
21. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, clasificando sus discontinuidades: 
a)  
2 1
si 1
1
3 si 1
x
x
f x x
x
 
 
 
 
b)  
2 1 si 1
1 si 1
x x
f x
x x
  
 
 
 
I.E.S. “Ramón Giraldo” 
 
21 
i pr i
 
 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 
c)  
1
si 0
1 si 0
x
f x x
x
  
 
 
 
22. Estudia la continuidad de las siguientes funciones, clasificando sus discontinuidades: 
a)   3 si 3
2 si 3
x x
f x
x
   
 
 
 b)  
29 si 2
3 2 si 2
x x
f x
x x
  
 
 
 
c)  
1
si 1
2
1
si 1
x
xf x
x
x
   
  

 d)  
1
si 4
4
4 si 4
x
xf x
x x
   
  