2 ECUACIONES EMPIRICAS BM Resorte PROF LUIS MORENO

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30/04/2023
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DEPARTAMENTO 
ACADEMICO DE CIENCIAS
CURSO: BIOFÍSICA MÉDICA
AUTOR: Mg. LUIS CARLOS MORENO FUENTES
lmorenof1@upao.edu.pe
 Mg. Luis Carlos Moreno Fuentes
Ecuaciones 
Empíricas
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Ecuaciones Empíricas
Objetivos:
• Determinar la ecuación empírica que relaciona a 
dos magnitudes interdependientes utilizando 
análisis gráfico y estadístico.
• Estudiar el fenómeno de elasticidad de un resorte.
Práctica Nro. 2
ECUACIONES EMPIRICAS
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USO DE CALCULADORA CIENTIFICA 
Intercepto: A = (8)
(x2)(y) – (x)(xy)
N(x2) – (x)2
Pendiente: B = (9)
N (xy) – (x)(y)
N (x2) – (x)2
Cálculo del intercepto A y la pendiente B
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DEFORMACIÓN DE UN RESORTE
F = M g
L
LoL
elongación
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Problema científico
Solución hipotética
Datos experimentales
Análisis gráfico o estadístico
Ecuación Empírica
?
y ~ x
y = kxn
y = 0,51x0.63
n
y
x
En todo experimento de laboratorio, se
obtiene un conjunto de valores
correspondientes a dos variables, una
dependiente de la otra. Esta dependencia
entre variables se puede expresar
matemáticamente mediante una función
que toma el nombre de ecuación empírica.
Fundamento teórico
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La relación de dependencia que existe
entre dos cantidades puede ser expresada
en forma más esquemática y simple,
utilizando una gráfica. Así, es importante
hacer notar que el estudio de funciones y
gráficas es el instrumento básico con el
que cuenta todo estudiante de ciencias.
Cuando un fenómeno ocurre es útil tomar
datos experimentales y elaborar gráficas y
ecuaciones matemáticas con el fin de
relacionar magnitudes que intervienen en
el fenómeno de una forma más precisa
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ECUACIÓN EMPÍRICA
Es una ecuación obtenida a partir del gráfico de
un conjunto de valores experimentales de dos
variables. La relación entre las dos variables se
expresa mediante la función matemática:
y = f (x)
donde y es la variable dependiente
x es la variable independiente.
Durante un experimento la variable
independiente puede tomar valores
arbitrarios, y el valor de la variable
dependiente es observado y medido
subsecuentemente.
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𝐿 = 𝑓(𝐹)
Intercepto: A
Pendiente: B = 
B=N (xy) – (x)(y)
N (x2) – (x)2
Cálculo del intercepto A y la pendiente B
A= (x2)(y) – (x)(xy)
N(x2) – (x)2
Método Estadístico Método Gráfico
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Lo (m) =...........................
Elasticidad de un 
resorte
Tabla 1. Valores del estiramiento del resorte según la masa utilizada
N 1 2 3 4 5 6
M (kg)
L (m)
MATERIALES
pesas
Eje de acero
Soporte universal
porta pesas
resorte
Abrazadera doble
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1. Relación lineal y = A + Bx
y
x
y
x
Lineal general Lineal proporcional
y = A + Bx y = Bx
CURVAS TIPO
2. Relación Potencial: y = k x n
y
x
y
x
y
x
y = k x n
0 < n < 1
y = k x n
n < 0
y = k x n
n > 1
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3. Relación Exponencial: y = k eαx
y
x
y
x
y = k e- αxy = k eαx
N 1 2 3 4 5 6
F (N) 2.91 3.70 4.50 5.29 6.08 6.89
L (m) 12.5x10-2
14.4x10-2 15.2x10-2 16.6x10-2 17.8x10-2 19.5x10-2
N 1 2 3 4 5 6
F (N) 2.91 3.70 4.50 5.29 6.08 6.89
L (m) 3.5x10-2
5.4x10-2 6,2x10-2 7,6x10-2 9.8x10-2 10.5x10-2
Tabla 3. Valores de la elongación del resorte en función de la fuerza aplicada
Tabla 2. Valores de estiramiento del resorte en función de la fuerza aplicada
N 1 2 3 4 5 6
M (kg) 0.297 0.378 0.459 0.540 0.621 0.703
L (m) 0.125 0.144 0.152 0.166 0.178 0.195
Tabla 1. Valores del estiramiento del resorte según la masa utilizada.
Lo (m) =0.090 longitud inicial del resorteDATOS
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N 1 2 3 4 5 6
F (N) 5.19 7.85 10.52 13.19 15.86 18.53
L (m) 0.175 0.226 0.279 0.331 0.384 0.438
N 1 2 3 4 5 6
F (N) 5.19 7.85 10.52 13.19 15.86 18.53
L (m) 0.075 0.126 0.179 0.231 0.284 0.338
Tabla 3. Valores de la elongación del resorte en función de la fuerza aplicada
Tabla 2. Valores de estiramiento del resorte en función de la fuerza aplicada
N 1 2 3 4 5 6
M (kg) 0.5299 0.8010 1.0735 1.3459 1.6188 1.8908
L (m) 0.175 0.226 0.279 0.331 0.384 0.438
Tabla 1. Valores del estiramiento del resorte según la masa utilizada.
Lo (m) =0.100 longitud inicial del resorte
DATOS
Peso
F=Mg
g=9.8 m/s2
Relación lineal y = A + Bx
y
x
B = Pendiente: inclinación de la recta respecto al eje X
A
A = Intercepto: distancia entre 0 y el punto de corte C
0
B = tan θC
A = 0C
P1
P2
θ
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Determinación de constantes: Método Gráfico 
Relación lineal y = A + Bx
y
x
y
x
P1
P2 P2 = (x2 , y2)
P1 = (x1 , y1)
y = y2 – y1
x = x2 – x1
Pendiente: B = = 
y y2 – y1
x x2 – x1
A
Intercepto: A
0 x1 x2
y1
y2
Determinación de las constantes de la recta
Método Estadístico
Este método consiste en aplicar el método de los
cuadrados mínimos para calcular las constantes A y B.
Para ello usamos las fórmulas (8) y (9).
Este método tiene la ventaja de minimizar los errores
experimentales en la determinación de A y B.
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Intercepto: A = (8)
(x2)(y) – (x)(xy)
N(x2) – (x)2
Pendiente: B = (9)
N (xy) – (x)(y)
N (x2) – (x)2
Cálculo del intercepto A y la pendiente B
σ = 
(y – Bx –A)2
N - 2
A = σ
x2
D
Cálculo de los errores absolutos de A y B
Corregir 
Ec. (10)
B = σ
N
D
Error del intercepto
Error de la pendiente
Donde: D = Nx2 – ( x)2
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N x = F(N) y = L(m) xy x2 (y – Bx –A)2
1 4.61 0.234 1.07874 21.2521
2
3
4
5
6

B. Método Estadístico
5.9 Con los datos de la Tabla 2 construya la Tabla 4. Luego aplique las fórmulas (8) y 
(9) y determine el intercepto A1* y la pendiente B1*
Tabla 4. Datos para el cálculo de A1* y B1* aplicando el Método de Cuadrados Mínimos.
N F(N) L(m) FL F2
1 2.97 0.125 0.371 8.821
2 3.78 0.144 0.544 14.288
3 4.59 0.152 0.698 21.068
4 5.40 0.166 0.896 29.160
5 6.21 0.178 1.105 38.564
6 7.03 0.195 1.371 49.421
 29.98 0.960 4.986 161.322
x y xy x2
Método Estadístico. 
Tabla 4. Usar datos tabla 2
x y xy x2
B =
N(xy) – (x)(y)
N(x2) – (x)2
A =
(x2)(y) – (x)(xy)
N(x2) – (x)2
A = 0.078 m
B = 0.0164 m / N
Ecuación empírica:
L = (0.078 + 0.0164 F ) m
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Linealización de una curva
La mayor información de un fenómeno se puede
obtener, cuando los valores de sus variables
pueden representarse mediante una línea recta .
Por esta razón es conveniente convertir en una
relación lineal la relación de variables de
cualquier otra curva que obtengamos
experimentalmente. Para ello se hace una
transformación de variables en ambos miembros
de la ecuación empírica obtenida. Este proceso se
denomina Linealización de la Curva.
Demostracion de linealización de la curva
Relación Potencial: y = kxn (Curva ejemplo la parábola)
ln y = ln (kxn)
Relación lineal: Y = A + B X
Cambio de 
variables
ln y = ln k+lnxn
ln y = ln k + nlnx
ln k = A  k = eA
 n = B
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Papel milimetrado
10 mm=1 cm
Papel milimetrado
Papel milimetrado
Vertical
horizontal
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Trazar en papel 
milimetrado dos ejes 
perpendiculares
Usar escalas: 1:1; 1:2; 1:5 
o viceversa 2:1, 5:1.
Utilizar notación científica 
para valores muy 
pequeños o muy grandes.
Ocupar la mayor parte 
del papel milimetrado y 
tenga una ubicación 
simétrica con respecto a 
los dos ejes
Trazar una línea continua 
y nítida que pase por 
entre los puntos,
Método gráfico: Recomendaciones
2-
1-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
T(s)
Gráfica T vs L
L (cm)x10
T=kLn
Variable independiente
V
ar
ia
b
le
 d
e
p
e
n
d
ie
n
te
Se dice que T depende de L
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Papel milimetrado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 17 18
45
40
35
30
25
20
15 
10
5 
Gráfica Y vs X
X (unidades) x10
n
Y (unidades) x10
n
Nota: Para datos muy grandes o 
muy pequeños utilizar la 
notacion cientifica 10
n
Y=kXn; 0n1
Papel milimetrado
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
45
40
35
30
25
20
15 
10
5 
Escala 
1:5
Escala 
1:1
Escalas
Recomendadas
1:1 Escala natural
(Reducción)
1:2
1:5
1:10
X (unidades) x10n
Y (unidades) x10n Escalas
Recomendadas
(Ampliación)
2:1
5:1
10:1
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21 cm en papel
1
1
max21
21

valor
papeldecm
1
1
max12
12

valor
papeldecm
12 cm en papel
0 10 20
10
Escalas recomendadas
0 1 2 3 4 5 
–––––– F(N)
1 cm
0 2 4 6 8 10 
–––––– L(m)
1:1
0 5 10 15 20 25 
–––––– m(kg)
1:2
1:5
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21
0 1 2 3 4 5 
–––––– F(N)x10
1 cm
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 
–––––– L(m)
1:1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 
–––––– m(kg)x10
-3
2:1
5:1
Escalas recomendadas
2 cm
5 cm
0 1 2 3 4 5 
––––––
0,60
Ejemplos de lectura usando la escala1:1
3,95
F(N)
1cm=10 mm
1N/10=0,1N
0,6 N/(0,1N)=6 cuadritos
3,95 N/(0,1N)=39,5 cuadritos
Valor de cada mm: Ubicación del valor:
0,1N
2,66
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0 2 4 6 8 10 
––––––
1,2x102
Ejemplos de lectura usando la escala1:2
7,9x102
F(N) x102
1cm=10 mm
200 N/10mm=20N/mm
120 N/(20N/mm)=6mm
790 N/(20 /mm)=39,5 mm
Valor de cada mm:
Ubicación del valor en el papel milimetrado:
20N
4,8x102
Datos:
2 cm=20 mm
0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 
–––––– F(N)
Ejemplos de lectura usando la escala 2:1
0,40 1,65
0,05N
1 N/20=0,05 N
0,4 N/(0,05 N)=8 mm 
1,65N/(0,05 N)=33 mm
Valor de cada mm de papel:
Ubicación del valor:
1,46
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CONSIDERACIONES PARA UNA 
CORRECTA GRAFICA EN EL 
PAPEL MILIMETRADO
0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
2-
1-
0-
F(N) L(m)
2.97 0.125
3.78 0.144
4.59 0.152
5.40 0.166
6.21 0.178
7.03 0.195
Gráfica L vs F
L(m)×10-1
A = intercepto = 0.062 m
L = (1.4 –0.76)x10-1
F = 6 –1 = 5 N
Pendiente B = 
L
F
B = 0.0128 m/N
L = 0.064 m
L = 0.062+ 0.0128F
x y
Para obtener la 
pendiente 
escogemos dos 
puntos de la recta 
trazada y no de los 
datos
(1;0.76x10-1)
(6;1.4x10-1)
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7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica T vs LT(s)
1 L (m)
Graficar correctamente en papel milimetrado
8 –
6 –
4 –
2 –
0 –
Gráfica T vs L
T(s)
0 0,10 0,20 0,30 L (m)
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Papel milimetrado horizontal
2-
1-
Gráfica T vs L
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
L (cm)x10
T(s)
√
T=kLn ; 0n1
7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica  vs f
0 0,10 0,20
 (m) 
f (Hz)
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7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica  vs f
0 1 2 
f (Hz)x10-1
 (m) 
√
F (N)
0
A=0.075 m







L
F
21 3 4 5 6 7 8
Ec. Empírica :
L= (0.075 + 0.03F) m
B=tan= L/ F = 0.03 m/N
20
10
3.53
0.130
0.146
0.180
0.197
2.26 4.79 6.09 7.35 8.24
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L (m) x10-2
F (N)
0
A=0.075 m







L
F
21 3 4 5 6 7 8
Gráfica L Vs F
B=tan= L/ F = 0.03 m/N
20
10
Ec. Empírica :
L= (0.075 + 0.03F) m
L (m) x10-2
F (N)
0
A=0.075 m







L
F
21 3 4 5 6 7 8
N 1 2 3 4 5 6
F (N) 2.26 3.53 4.79 6.07 7.35 8.42
L (m)
11.1x10-2 13.0x10-2 14.6x10-2 16.4x10-2 18.0x10-2 19.7x10-2
Ec. Empírica L= (0.075 + 0.03F) m
Gráfica L Vs F
B=tan= L/ F = 0.03 m/N
20
10
2
1
max20
10

valor
papeldecm
1
2
max8
16

valor
papeldecm
Escalas
Eje x: 2:1
Eje y: 1:2
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L (m) x10-2
F (N)
0
A=0.075 m







L
F
21 3 4 5 6 7 8
N 1 2 3 4 5 6
F (N) 2.26 3.53 4.79 6.07 7.35 8.42
L (m)
11.1x10-2 13.0x10-2 14.6x10-2 16.4x10-2 18.0x10-2 19.7x10-2
Ec. Empírica L= (0.075 + 0.03F) m
Gráfica L Vs F
B=tan= L/ F = 0.03 m/N
20
10
L (m) x10-1
F (N)
0
A=0.075 m







L
F
21 3 4 5 6 7 8
Gráfica L Vs F
B=tan= L/ F
B= 0.03 m/N
2
1 √
Ec. Empírica :
L= (0.075 + 0.03F) m
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30
5
1
max55
11

valor
papeldecm
2
1
max50
25

valor
papeldecm
Eje x: 1:2
Eje y: 1:5
Eje x: 1:5
Eje y: 1:5
5
1
max60
12

valor
papeldecm
5
1
max90
18

valor
papeldecm
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Gráfica de Tabla 2
L vs F
L x10-2 (m)
F(N)
1:1
1:2
10
2
1
10
L vs F
L x10-2 (m)
F(N)
1:1
1:1
10
1
1
10
Gráfica de Tabla 3
Gráfica de Tabla 2
L vs F
L x10-1 (m)
F(N)
1:1
5:1
10
1
L vs FL x10-1 (m)
F(N)
1:1
1:1
10
1
1
1
Gráfica de Tabla 3
5
5
2
2
3
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Conclusiones
Bibliografía