Mate 2_TPU3_2020

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Escuela Superior de Ciencias Exactas y Naturales 
Dr Alfredo Gonzalez 1 
Funciones de Varias Variables 
TP: UNIDAD 3 
MATEMÁTICA II 
Dr Alfredo Gonzalez 2 
1.- Describir el lugar del punto P(x,y,z) que satisface simultáneamente a los pares de 
ecuaciones que se dan. Graficar. 
A.- COORDENADAS EN EL ESPACIO 
 
a) x=cte, y=cte 
Para cualquier valor de z, los valores de x e y son los mismos, x lo tanto el gráfico es 
una recta paralela al eje z 
y 
x 
z 
Dr Alfredo Gonzalez 3 
b) y=x z=5 
z 
x 
y 
Rta: b) Recta, 5 unidades por encima y paralela a la recta y=x en el 
plano XY, 
Dr Alfredo Gonzalez 4 
Rta: c) circunferencia en el plano z=-2, centro (0,0,2) radio=2, d) elipse en 
el plano YZ, centro (0,0,0) y semiejes a y b. 
Dr Alfredo Gonzalez 5 
d) 
Rta: d) elipse en el plano YZ, centro (0,0,0) y semiejes a y b. 
Dr Alfredo Gonzalez 6 
2.- Describir el lugar del punto P(r,θ,z) que satisface simultáneamente a los pares de 
ecuaciones que se dan (coordenadas cilíndricas). 
a) r=2 z=3 
No aparece θ , entonces puede variar de 0 a 360° y cuando esto ocurre se forma la 
circunferencia de radio r = 2, la misma está en el plano z = 3, 
Dr Alfredo Gonzalez 7 
b) θ=¶/6 z=r 
A medida que aumenta z aumenta r el mismo valor  tenemos una recta sobre el plano: 
 que forma un ángulo de 30° con el plano zy (y=0) 
Dr Alfredo Gonzalez 8 
c) r=3 z=2θ 
Es una hélice circular recta sobre un cilindro de r = 3; a medida que aumenta z, aumenta θ 
(en radianes). 
Hacer una tabla de valores, dando valores a z calculamos θ 
Dr Alfredo Gonzalez 9 
d) r=2θ z=3θ 
Al variar θ también varían r y z, aumentan al aumentar θ, es una hélice sobre un 
cono de revolución. 
Hacer tablea 
z 
x 
y 
Dr Alfredo Gonzalez 10 
3.- Describir el lugar del punto P(ρ,ϕ,θ)que satisface simultáneamente 
 a los pares de ecuaciones que se dan. Graficar. 
(coordenadas esféricas) 
a) ρ=5 θ=¶/4 
Dr Alfredo Gonzalez 11 
b) ρ=5 
 ϕ=¶/4 
Falta θ entonces varía de 0° a 360° 
Intersección entre la esfera de radio 5 y el cono ϕ=¶/4 
Se obtiene una circunferencia de radio 
r = ρ sen ϕ = 5 sen(π/4) = 5 x (2)1/2/2 = 3,53 
Dr Alfredo Gonzalez 12 
c) θ==¶/4 φ==¶/4 
Falta ρ  éste puede ser ρ≥0 y quedan fijos θ= π/4 y ϕ = π/4 
Se obtiene una recta que pasa por el 
origen 
Dr Alfredo Gonzalez 13 
d) θ==¶/2 ρ=4cosφ 
Indica que se está en el plano zy 
circunferencia en el plano YZ con centro 
en (0,0,2) sobre el eje Z y radio 2 
Dr Alfredo Gonzalez 14 
4.- Transformar las siguientes ecuaciones desde el sistema de coordenadas dado (cartesiano, 
cilíndrico o esférico) a las formas correspondientes a los otros dos sistemas: 
 
a) x2 + y2 + z2 = 4 ……………………………………………… ………………………………….. Rta: ρ = 2; r2 + z2 = 4 
 
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b) x2 + y2 + z2 = 4 z …….……………………………. Rta: ρ = 4 cosφ; r2 + z2 = 4z 
Dr Alfredo Gonzalez 16 
c) z2 = r2 …………..…………………………………Rta: z2 = x2 + y2; φ=π/4; θ = π/4 
Dr Alfredo Gonzalez 17 
Dr Alfredo Gonzalez 18 
d) ρ = 6 cosφ …………..……………………… Rta: x2 + y2 + z2 = 6 z; r2 + z2 = 6 z 
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B. FUNCIONES DE DOS VARIABLES 
1.- Hallar –f(x,y), f(-x,-y), f(1/x,1/y), 1/f(x,y) si 
 
Dr Alfredo Gonzalez 20 
2.- Hallar y representar el campo de existencia de las siguientes 
 funciones: 
a) 
Dr Alfredo Gonzalez 21 
2 
Dr Alfredo Gonzalez 22 
2 
Dr Alfredo Gonzalez 23 
Dr Alfredo Gonzalez 24 
Dr Alfredo Gonzalez 25 
1 
2 
2 
Dr Alfredo Gonzalez 26 
Ejemplo de gráfico 
y 
x 
Dr Alfredo Gonzalez 27 
Dr Alfredo Gonzalez 28 
3.- Describir y graficar cada una de las siguientes superficies: 
a) 
Dr Alfredo Gonzalez 29 
z 
x 
y 
Dr Alfredo Gonzalez 30 
364222  yxzyx
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Dr Alfredo Gonzalez 36 
Dr Alfredo Gonzalez 37 
Dr Alfredo Gonzalez 38 
Dr Alfredo Gonzalez 39 
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FIN