Mate 2_U2 Teoría última parte_2020(1)

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Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales 
Dr Alfredo Gonzalez 1 
INTEGRALES 
T: UNIDAD 2 C 
MATEMÁTICA II 
Aplicaciones de integrales 
Dr Alfredo Gonzalez 2 
Cálculo de áreas planas 
Si se tiene una función positiva o cero en el intervalo [a,b] el área de la región comprendida 
entre el eje x y el gráfico de la función f entre los límites a y b es: 
Ejemplo 1: Calcular el área de la región comprendida entre el eje x y el gráfico de la función 
Comprendida entre x=1 y x = 3 
Caso 1 
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CASO 2 
Cuando el gráfico de la función está por debajo del eje x, es decir, la función es negativa 
 o cero en el intervalo [a,b] y 
x 
El resultado es la región comprendida entre el 
eje x y la gráfica de la función f, pero el signo 
cambiado , es decir negativo. 
EJEMPLO 2: Calcular el área de la región comprendida entre el eje x y el gráfico de la función 
indicada entre x = -2; y x =1 
Por lo tanto para calcular el área, bastará con cambiar el signo a la integral: 
Dr Alfredo Gonzalez 4 
9 3 
Caso 3: es el caso en que la función, en el intervalo [a,b], toma valores positivos y 
negativos F(x) 
y 
x 
Determinar el área de la región sombreada 
Resolución: Dividimos a la región en 2 áreas: A1 y A2 
A1 
A2 
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EJEMPLO 3: Calcular el área de la región comprendida entre el eje x y el gráfico de 
Resolución: 1ro): debemos ver donde el gráfico corta al eje x: 
Las raíces son: x1= 1; x2= -3 
2do): vemos si estos valores pertenecen al intervalo [-1,2]: 
 x=1 ϵ al intervalo [-1,2] pero el valor x= -3 no ϵ al dicho intervalo 
Por lo tanto la región correspondiente a A1 es la que corresponde al intervalo [-1,1] y la región 
 A2 al intervalo [1,2] 
Intervalo x1= -1 y x2 = 2 
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Si tendríamos la siguiente situación: 
Caso 4 
b 
CÁLCULO DEL ÁREA ENTRE 2 FUNCIONES 
Dr Alfredo Gonzalez 7 
A: es el área entre las funciones 
f(x) y g(x) en el intervalo 
a ≤ x ≤ b 
En este caso f(x) ≥ g(x) para todo x perteneciente al intervalo [a,b]; por lo tanto A será la 
diferencia de 2 áreas: A1 comprendida entre el gráfico de f(x) y el eje x en el intervalo a ≤ x ≤ b, 
y A2 comprendida entre el gráfico g(x) y el eje x en el mismo intervalo. 
Por lo tanto: 
Se debe cumplir que 
f(x) ≥ g(x) en el 
Intervalo a ≤ x ≤ b 
 
Caso 5 
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Caso 6 
f(x) y g(x) toman valores (+)s y (-) s en el intervalo [a,b] 
El área no cambia si la trasladamos manteniendo 
la forma y dimensiones. Como la región es acotada, 
Haciendo una traslación en sentido vertical, 
podemos conseguir que toda la región quede por 
encima del eje x y en consecuencia la reducimos al 
caso anterior. 
Para ello basta sumarle a f(x) y a g(x) la misma cte lo 
suficientemente grande 
Para todo x ϵ [a,b] 
 la reducimos al caso anterior. 
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Ejemplo 4: Calcular el área encerrada entre los gráficos de las funciones f(x) y g(x) 
1ro calculamos la intersección 
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Caso 7 
Para el cálculo dividimos el área 
en 2: A1 en el intervalo [a,c[ y A2 
En el intervalo [c,b] 
Al Área A1 podemos subirla sumándole una cte (como vimos anteriormente) 
= 
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Ejemplo 5: Calcular el área encerrada entre los gráficos de las funciones f(x) y g(x) 
1ro calculamos la intersección de los gráficos 
Como el intervalo de cálculo es [0,2], solo nos interesa x2 =1 
El resultado: A = 2 
A1 
A2 
0 
1 2 
1 
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Área en coordenadas polares 
ρ 
θ 
Para hallar el área de la región limitada es similar a cartesianas, hacemos 
la suma de Rieman, ahora en lugar de rectangular usamos circulares 
Área de un sector circular: 
 
TEOREMA: Área de coordenadas polares 
Sea una curva de ecuación donde f es continua y en el intervalo cerrado 
Por lo que el área de la región limitada por la curva y las semirrectas es: 
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EJEMPLO 1: Hallar el área de la mitad superior (0 ≤ θ ≤ π) de la 
cardioide Ρ = 1 + cosθ 
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EJEMPLO 2: Hallar el área de una rosa de 4 pétalos 
Ρ = a cos2θ 
0 
π 
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ÁREA LIMITADA POR 2 CURVAS EN COORDENADAS POLARES 
Hallar el área de la parte común a las circunferencias ρ = a cosθ y ρ = a senθ 
Para resolver debemos pensar en términos de coordenadas 
polares y no en cartesianas. 
Hay que moverse radialmente, entonces para hallar el área 
de la intersección hay que halar la suma de las regiones R1 
y R2. 
R1: está limitada por la circunferencia ρ = a senθ y las 
semirrectas θ = 0 y θ = π/4 
R2: está limitada por la circunferencia ρ = a cosθ y las 
semirrectas θ =π/4 y θ = π/2 
VALOR MEDIO DE UNA FUNCIÓN f(t) 
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El valor medio de una función en el intervalo [0,T] o entre [a,b] se expresa: 
VALOR EFICAZ DE UNA FUNCIÓN f(t) 
El valor eficaz de una función en el intervalo [0,T] o entre [a,b] al número cuyo cuadrado es 
la media aritmética de en dicho intervalo. 
 
LONGITUD DE ARCO DE UN FUNCIÓN 
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también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a 
lo largo de una curva o dimensión lineal. 
Al considerar una curva definida por una función f(x) y su respectiva derivada f’(x) que son 
continuas en un intervalo [a, b], la longitud s del arco delimitado por a y b es dada por la 
ecuación: 
a) cartesiana b) paramétricas c) Polares 
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INTEGRALES DE SECANTE 
Integro por partes 
Ahora tengo que resolver la integral de la secante 
(*) 
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Integral de la secante 
Resuelvo por sustitución 
(*) Diapo anterior 
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 Ejercicios de longitud de arco 
.- Calcular la longitud de los siguientes arcos de curva: 
a) y=2x2+5x debajo del eje x ………………………………………………. Rta: 6,95 
 
b) ay=x2 desde el origen hasta x=a ……………………………………….... Rta: 2,957 a 
 
c) y=ln(1-x2) desde x=0 hasta x=a …………………………………. Rta: 
 
d) 9y2=(x2+2)3 desde el origen hasta x=2 …………………………… Rta: 14/3 
 
e) ρ=asen3(θ/3) entre θ=0 y θ=¶ …………………………………… Rta: 
a
a
a



)
1
1
ln(
334(
8

a
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a) y=2x2+5x debajo del eje x ………………………………………………. Rta: 6,95 
 
Cálculo de la longitud de arco indicada 
y 
x -1.125 
Resuelvo: 1) sustitución; 
 2) Sust. trigonométrica 
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Como vimos la integral de la secante al cubo es: 
Volumen de revolución de una función que gira 
alrededor del eje x 
 
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Se tiene una función f(x) que está limitada entre los puntos x=a y x=b 
x 
y 
x 
f(x) 
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 Si a esta función la hacemos girar alrededor del eje x, se engendra un sólido de revolución 
y 
x 
El volumen del sólido de revolución creado por una función que gira alrededor del eje x se 
 calcula con la siguiente fórmula: 
 
Dr Alfredo Gonzalez 25 
Hay que tener en cuenta que los límites de integración se determinan con respecto al eje x y 
la función a integrar se define también en función de x, ya que integraremos con respecto a x. 
Ejemplo 1: 
Hallar el volumen que se engendra al girar alrededor del eje x, la superficie comprendida entre 
la siguiente parábola: 
y las rectas x=0 y x=4 
Aplicando la fórmula para el cálculo del volumen de revolución: 
Aplicamos la regla de Barrow 
y operamos 
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Ejemplo 2: Dada la siguiente función 
Representar gráficamente el sólido engendrado por su rotación alrededor del eje x, entre las 
rectas x=1 y x=4 y calcular su volumen expresándolo como fracción de π. 
Aplicamos la regla de Barrow entre los límites de integración 1 y 4 
Operamos y finalmente obtenemos el resultado como fracción de π 
Dr Alfredo Gonzalez 27 
El sólido engendrado quedaría de la siguiente manera: 
y 
x 
Volumende revolución de una función que gira 
alrededor del eje y 
 
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Cómo calcular el volumen que engendra una función cuando gira alrededor del eje y. 
Tenemos la siguiente función que está delimitado por los puntos y=n e y=m: 
y 
x 
Dr Alfredo Gonzalez 29 
Ahora los puntos por los que está limitada la función están en el eje y. 
Si a esta función la hacemos girar alrededor del eje y, se engendra una superficie de revolución: 
 
y 
x 
volumen del cuerpo de revolución creado por una función que gira alrededor del eje y se 
calcula con la siguiente fórmula: 
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En esta fórmula, los límites de integración se determinan con respecto al eje » y» y la función 
a integrar se define en función de «y», ya que integraremos con respecto a y. 
Normalmente, tanto los límites de la función, como la función están definidas en función de 
x, por lo que para aplicar esta fórmula, en primer lugar hay que redefinir los límites y la 
función en función de «y». 
Ejemplo 3: Calcular el volumen engendrado por la siguiente función por su rotación 
 alrededor del eje y: y las rectas x=1 y x=4. 
En este caso nos están dando la función y los límites con respecto a x, pero para poder aplicar 
la fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución que gira alrededor del eje «y», 
 necesitamos los límites y la función definidos con respecto a y. 
 Vamos a definir primer la función con respecto a y. Para ello, a f(x) le llamamos y 
ahora lo que tenemos que hacer es despejar la x 
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Tenemos que calcular el valor de la función para x=1 y x=4 y obtendremos los valores de «y» 
 que serán los límites de integración: 
Aplicamos 
Resolvemos y aplicamos la regla de Barrow entre los límites 5 y 3 
Por teorema del binomio de Newton: 
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Área de una superficie de revolución 
Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una curva en torno de una recta. 
Podemos imaginar que se desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de revolución 
Y que la cascara se aplana para poder medir su área. 
La fórmula para calcular el área de una superficie de revolución al rotar una función definida 
en el intervalo [a,b], alrededor del eje de las x está dada por: 
y 
x 
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La función y su derivada deben ser continuas 
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Si la función f(x) rota alrededor del eje x , tendremos un superficie de revolución 
= 
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Ejemplo: 5 
Porción de la esfera 
Solución: 
Aplicamos la fórmula: 
Introduzco dentro de 
U2 U2 U2 
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Ejemplo: 6 Calcular la superficie de una esfera de r y centrada en el origen de coordenadas 
Introduzco la 1ra raíz en la 2da y en la segunda 
Aplicamos la regla de Barrow entre –r y r 
Superficie de la esfera