Clase N09

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD III SEMANA 9 SESIÓN 1
TEMA: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
COMPETENCIA
Evalúa la derivada de una función, haciendo uso de estrategias, 
procedimientos y recursos para resolver situaciones problemáticas de 
contexto real, las sustenta con demostraciones o argumentos sólidos.
CRITERIO/CAPACIDAD
Al finalizar la sesión, el estudiante interpreta geométricamente el concepto 
de derivada de una función calculándola como el límite del cociente de 
incremento cuando el incremento en la variable independiente tiende a 
cero; aplica las reglas de derivación para hallar las derivadas de funciones 
polinómicas y racionales.
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
1. Definición (Derivada de una función en un punto): Sea 𝑓:ℝ → ℝ una función 
real. La derivada de la función 𝑓 en el punto 𝒂 ∈ Dom(𝑓) es el límite:
Su equivalente es:
𝑓′(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
𝑓′ 𝑎 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)
ℎ
Si este límite existe.
En caso el límite no existe decimos que no es derivable en el punto 𝑎.
Notaciones
Lagrange : 𝑓′(𝑎)
Cauchy : 𝐷𝑥𝑓(𝑎)
Leibniz : ቤ
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑥=𝑎
Newton : ሶ𝑓(𝑎)
Ejemplo 1: Calcule la derivada de la 
función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en el punto 𝑥 = 2.
Ejemplo 2: Calcule la derivada de la 
función 𝑔(𝑥) = 𝑥 en el punto 𝑥 = 2.
Solución:
Calculando 𝑓′(2)
𝑓′ 2 = lim
ℎ→0
𝑓 2 + ℎ − 𝑓 2
ℎ
𝑓′ 2 = lim
ℎ→0
2 + ℎ 2 − 22
ℎ
𝑓′ 2 = lim
ℎ→0
4ℎ + ℎ2
ℎ
= 4
Solución:
Calculando 𝑔′(2)
𝑔′ 2 = lim
ℎ→0
𝑔 2 + ℎ − 𝑔 2
ℎ
𝑔′ 2 = lim
ℎ→0
2 + ℎ − 2
ℎ
𝑔′ 2 = lim
ℎ→0
ℎ
ℎ( 2 + ℎ + 2)
𝑔′ 2 =
1
2 2
2. Definición (Función derivada): Sea 𝑓:ℝ → ℝ una función real. La función 
derivada de 𝒇 o simplemente derivada de 𝒇 es:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
Si este límite existe.
Ejemplo 1: Sea 𝑓 𝑥 = 𝐶
𝐶 es una constante, demuestre que 𝑓′(𝑥) = 0 , ∀𝑥 ∊ ℝ.
Solución:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝐶 − 𝐶
ℎ
= lim
ℎ→0
0
ℎ
= lim
ℎ→0
0 = 0
Por lo tanto, 𝑓′ 𝑥 = 0 ; ∀𝑥 ∊ ℝ
Ejemplo 2: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥2, demuestre que 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 , ∀𝑥 ∊ ℝ.
Solución:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ)2−𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
ℎ
= lim
ℎ→0
(2𝑥 + ℎ)
= 2𝑥
Por lo tanto, 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 ; ∀𝑥 ∊ ℝ
Nota
Si 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 , 𝑛ℤ
entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
Ejemplo 3: Si 𝑓 𝑥 = 𝑥, demuestre que 
𝑓′(𝑥) =
1
2 𝑥
; ∀𝑥 > 0.
Solución:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ − 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
( 𝑥 + ℎ − 𝑥)( 𝑥 + ℎ + 𝑥)
ℎ( 𝑥 + ℎ + 𝑥)
= lim
ℎ→0
(𝑥 + ℎ − 𝑥)
ℎ( 𝑥 + ℎ + 𝑥)
= lim
ℎ→0
1
( 𝑥 + ℎ + 𝑥)
=
1
2 𝑥
Por lo tanto, 𝑓′(𝑥) =
1
2 𝑥
; ∀𝑥 > 0.
Interpretación Geométrica de la Derivada
• Observe la gráfica de la función y = 𝑓 𝑥 .
• Un punto fijo 𝑃 𝑥1, 𝑓(𝑥1) y un punto 
móvil 𝑄 𝑥2, 𝑓(𝑥2) , la recta secante 𝑃𝑄
• Pendiente de la recta secante
𝑚𝑃𝑄 =
Δ𝑦
Δ𝑥
• Aproximamos el punto móvil 𝑄 al punto 
fijo 𝑃, es decir 𝑥2 → 𝑥1 obtendremos la 
pendiente de la recta tangente
𝑚𝑇 = lim
Δ𝑥→0
Δ𝑦
Δ𝑥
• Hacemos ℎ = Δ𝑥
𝑚𝑇 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥1 + ℎ − 𝑓(𝑥1)
ℎ
= 𝑓′(𝑥1)
Por tanto, 𝑓′(𝑥1) es la pendiente de ℒ𝑇 en el 
punto 𝑃 𝑥1, 𝑓 𝑥1 .
Ejemplo: Halle la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥2 en 𝑥 = 1.
Solución: 
Graficando la función 𝑓. Calculando la pendiente de 𝐿𝑇
𝑓′ 1 = lim
ℎ→0
𝑓 1 + ℎ − 𝑓(1)
ℎ
= lim
ℎ→0
(1 + ℎ)2−12
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
12 + 2ℎ + ℎ2 − 12
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
2ℎ + ℎ2
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
ℎ(2 + ℎ)
ℎ
= 2
Por tanto, la pendiente de la recta tangente a la 
gráfica de 𝑦 = 𝑥2 en el punto 1,1 es 2. 
DERIVADAS LATERALES
2. Definición: Sea 𝑓:ℝ → ℝ una función definida en el punto 𝑎, 𝑓 es derivable 
por la izquierda del punto 𝑎 si el siguiente límite existe y es finito:
lim
ℎ→0−
𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎)
ℎ
= 𝑓′(𝑎−)
1. Definición: Sea 𝑓:ℝ → ℝ una función definida en el punto 𝑎, 𝑓 es derivable 
por la derecha del punto 𝑎 si el siguiente límite existe y es finito:
lim
ℎ→0+
𝑓 𝑎+ℎ −𝑓(𝑎)
ℎ
= 𝑓′(𝑎+)
3. Proposición: Sea 𝑓:ℝ → ℝ una función definida en el punto 𝑎, 𝑓 es 
derivable en el punto 𝑎 si y solo si 𝑓′ 𝑎+ = 𝑓′ 𝑎− .
Ejemplo: Determine si
𝑓 𝑥 = ቊ
𝑥 + 2, 𝑥 ≤ −4
−𝑥 − 6, 𝑥 > −4
es derivable en el punto 𝑥 = −4.
Solución
∗ 𝑓′ −4+ = lim
ℎ→0+
𝑓 −4+ℎ −𝑓(−4)
ℎ
= lim
ℎ→0+
− −4+ℎ −6−(−4+2)
ℎ
= lim
ℎ→0+
−ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0+
−1 = −1
∗ 𝑓′ −4− = lim
ℎ→0−
𝑓 −4+ℎ −𝑓(−4)
ℎ
= lim
ℎ→0−
−4+ℎ +2−(−4+2)
ℎ
= lim
ℎ→0−
ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0−
1 = 1
Luego tenemos que 𝑓′ −4+ ≠ 𝑓′ −4− , 
Por tanto, 𝑓 no es derivable en el punto 𝑥 = −4.
Observación: 
El reciproco no 
necesariamente se cumple.
4. Proposición:
Sea 𝑓:ℝ → ℝ una función 
definida en el punto 𝑎. 
Si 𝑓 es derivable en el punto 
𝑎, entonces la función 𝑓 es 
continua en el punto 𝑎.
Ejemplo: La función 𝑓 𝑥 = 𝑥 es continua en 
cualquier punto de su dominio. Pruebe que 𝑓 no 
es derivable en el punto 𝑥 = 0.
Prueba:
Tenemos que 𝑓 𝑥 = ቊ
𝑥, 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑥 < 0
• 𝑓′ 0+ = lim
ℎ→0+
𝑓 0+ℎ −𝑓(0)
ℎ
=
lim
ℎ→0+
ℎ−0
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0+
1 = 1
• 𝑓′ 0− = lim
ℎ→0−
𝑓 0+ℎ −𝑓(0)
ℎ
= lim
ℎ→0−
−ℎ−0
ℎ
= lim
ℎ→0−
−ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0−
−1 = −1
Tenemos que 𝑓′ 0+ ≠ 𝑓′ 0− , por tanto 𝑓 no es 
derivable enel punto 𝑥 = 0.
Recta Tangente y Recta Normal a una Curva
Sea 𝑓′(𝑎) la pendiente de la recta tangente 
a la curva 𝑓 en el punto 𝑃 𝑎, 𝑓(𝑎) .
Ecuación de la recta tangente
Si 𝑓′ 𝑎 ≠ 0 ⟹ 𝐿𝑁: 𝑦 − 𝑓 𝑎 =
−1
𝑓′(𝑎)
𝑥 − 𝑎
Si 𝑓′ 𝑎 = 0 ⟹ 𝐿𝑁: 𝑥 − 𝑎 = 0
𝐿𝑇: 𝑦 − 𝑓 𝑎 = 𝑓′(𝑎) 𝑥 − 𝑎
Ecuación de la recta normal
Ejemplo:
Dada 𝑓 𝑥 =
3
𝑥
, Halle las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de 𝑓 en 
el punto 𝑃(3,1).
Derivando la función: 𝑓′ 𝑥 =
−3
𝑥2
La pendiente de la recta tangente es:
𝑓′ 3 =
−3
32
= −
1
3
La ecuación de la recta tangente es:
𝐿𝑇: 𝑦 − 1 = −
1
3
𝑥 − 3
𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0
La ecuación de la recta normal es:
𝐿𝑁: 𝑦 − 1 = 3 𝑥 − 3
3𝑥 − 𝑦 − 8 = 0
Solución:
Graficando la función 𝑓.
REGLAS DE DERIVACIÓN
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones derivables en 𝑥 y sea 𝑘 una constante. Entonces, las 
siguientes funciones son derivables en 𝑥; se verifica:
Función Su derivada
𝑦 = 𝑐 ∙ 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑦′ = 𝑐 ∙ 𝑓′(𝑥)
𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)
𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑦′ = 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
⇒ 𝑦′ =
𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥 2
; 𝑔 𝑥 ≠ 0
Derivada de las funciones trigonométricas
Función Su derivada
𝑦 = sen 𝑥 ⟹ 𝑦´ = cos 𝑥
𝑦 = cos 𝑥 ⟹ 𝑦´ = − sen𝑥
𝑦 = tan𝑥 ⟹ 𝑦´ = sec2 𝑥
𝑦 = cot 𝑥 ⟹ 𝑦´ = − csc2 𝑥
𝑦 = sec 𝑥 ⟹ 𝑦´ = sec 𝑥 tan 𝑥
𝑦 = csc 𝑥 ⟹ 𝑦´ = − csc 𝑥 cot 𝑥
Las funciones trigonométricas son derivables en todo su dominio. 
Se verifica:
Ejemplo 1:
Si 𝑓 𝑥 = 8𝑥3 −12𝑥2, halle 𝑓′(𝑥).
Solución
Consideremos las funciones 𝑔 𝑥 = 𝑥3
y ℎ 𝑥 = 𝑥2
derivando cada uno 𝑔′ 𝑥 = 3𝑥2 y 
ℎ′ 𝑥 = 2𝑥
Además tenemos 
𝑓 𝑥 = 8. 𝑔 𝑥 −12. ℎ 𝑥
Derivamos 
𝑓′ 𝑥 = 8. 𝑔′ 𝑥 − 12. ℎ′ 𝑥
𝑓′ 𝑥 = 8.3𝑥2−12.2𝑥
𝑓′ 𝑥 = 24𝑥2 − 24𝑥
Ejemplo 2:
Si 𝑦 = 8𝑥3 cot 𝑥 − 5𝑒𝑥 , halle 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
Solución
Aplicando las reglas de derivación, se tiene 
que
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8 𝑥3 ′ cot 𝑥 + 𝑥3 cot 𝑥 ′ − 5 𝑒𝑥 ′
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8 3𝑥2 cot 𝑥 + 𝑥3 −csc2 𝑥 − 5𝑒𝑥
∴
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 8 3𝑥2 cot 𝑥 − 𝑥3 csc2 𝑥 − 5𝑒𝑥
Ejercicios 
Halle 𝑓′(𝑥) en cada uno de los siguientes casos:
a) 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 +
𝑥3
3
b)𝑓 𝑥 = (𝑥4 − 5𝑥)(3𝑥2 − 10)
c) 𝑓 𝑥 =
2𝑥3+3𝑥
𝑥−1