Clase N10

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SEMESTRE ACADÉMICO 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE
SAN MARCOS
ESCUELA DE ESTUDIOS GENERALES
Área de Ingeniería
EQUIPO DE LOS DOCENTES DE CÁLCULO I
ASIGNATURA
CÁLCULO I
2020-1
1
UNIDAD III SEMANA 10 SESIÓN 1
TEMA: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
Y DE UNA FUNCIÓN INVERSA
COMPETENCIA
Evalúa la derivada de una función, haciendo uso de estrategias, 
procedimientos y recursos para resolver situaciones problemáticas de 
contexto real, las sustenta con demostraciones o argumentos sólidos.
CRITERIO/CAPACIDAD
Al finalizar la sesión, el estudiante aplica la regla de la cadena para hallar la 
derivada de una función compuesta; deduce las fórmulas para hallar las 
derivadas de funciones trigonométricas, logarítmicas, exponenciales y 
trigonométricas inversas.
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA
REGLA DE LA CADENA
Si ℎ es derivable en 𝑥 y 𝑔 es derivable en ℎ 𝑥 , entonces la función compuesta 
𝑓 = 𝑔 ∘ ℎ definida mediante 𝑓 𝑥 = 𝑔 ℎ(𝑥) es derivable en 𝑥, y 𝑓′ está dada 
por el producto
En la notación de Leibniz, si 𝑦 = 𝑔(𝑢) y 𝑢 = ℎ(𝑥) son funciones derivables, 
entonces
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ ℎ 𝑥 ∙ ℎ′(𝑥)
EJEMPLO 1: Dada la función
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1. Halle 𝑓′(𝑥)
Solución 1:
Sea la función compuesta
𝑓 𝑥 = 𝑔 ∘ ℎ 𝑥 = 𝑔 ℎ(𝑥)
Donde,
𝑔 𝑢 = 𝑢 y 𝑢 = ℎ 𝑥 = 𝑥2 + 1
𝑔′(𝑢) =
1
2
𝑢 Τ−1 2 =
1
2 𝑢
y 𝑢′ = ℎ′(𝑥) = 2𝑥
Aplicando la regla de la cadena
𝑓′ 𝑥 = 𝑔′ ℎ 𝑥 ⋅ ℎ′(𝑥)
𝑓′(𝑥) =
1
2 𝑥2 + 1
⋅ 2𝑥
∴ 𝑓′(𝑥) =
𝑥
𝑥2 + 1
Solución 2:
Realizando un cambio de variable
𝑢 = 𝑥2 + 1 y 𝑦 = 𝑢
Entonces
𝑓′ 𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
2 𝑢
∙ 2𝑥
∴ 𝑓′(𝑥) =
𝑥
𝑥2 + 1
2. f(x) = ( 2x3 + 4x2-8x+10)1/3
→ f’ (x) = 1/3 2𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 + 10 −
2
3 2𝑥3 + 4𝑥2 − 8𝑥 + 10 ´
=
1
3
6𝑥2+8𝑥−8
3
2𝑥3+8𝑥2+10 2
3. ( sen x3 )´= sen´( x3) (x3)´ = cosx3. 3x2
4. ( 𝑥2)´ = 
1
2
( x2)- ½. (x2)´ = 
1
2
( x2)- ½. (2x) = 
𝑥
𝑥2
, 
Teorema:
Si la función 𝑓 es derivable sobre I y si [ 𝑓 𝑥 ]𝑛 y 
[𝑓 𝑥 ]𝑛−1 están definidas para todo x ∈ I ,𝑛 ∈ ℚ ; entonces 
la función [𝑓 𝑥 ]𝑛 es derivable sobre I y 
𝑑
𝑑𝑥
[ 𝑓 𝑥 ]𝑛= 𝑛 [𝑓 𝑥 ]𝑛−1 .
𝑑 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
Ejemplos
1. Si f(x) = (6 x3- 3x2+ 9x-17)5
→ f’ (x) = 5 (6 x3- 3x2 + 9x-17)4. (18 x2-6x + 9)
2. Si f(x) =
3
3𝑥4 + 6𝑥2 = (3x 4+ 6x2) 1/3
→ f’(x) = 
1
3
(3x4 + 6x2 )-2/3 . (12 x3+ 12x) = 
12𝑥3 +12𝑥
3
3
3𝑥4+6𝑥2 2
=
4𝑥3 +4𝑥
3
3𝑥4 +6𝑥2 2
DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES
Sea f(x) = ex, donde e = 2.7185……., base de los logarítmos
neperianos.
veamos f’(x) según la definición:
f’(x) = lim
ℎ →0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ →0
𝑒𝑥+ℎ− 𝑒𝑥
ℎ
= lim
ℎ →0
𝑒𝑥
𝑒ℎ−1
ℎ
= 𝑒𝑥 lim
ℎ→ 0
𝑒ℎ−1
ℎ
= 𝑒𝑥.1=𝑒𝑥
Por lo tanto f’ (x) = ex
OBS.: Si u=u(x),usando la Regla de la Cadena: (eu)´ = eu u´
DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 
DE BASE DIFERENTE
Sea f(x) = 𝑎𝑥 , para todo a ∈ R+
Como 𝑎𝑥 = 𝑒𝑥𝐿𝑛𝑎 → 𝑎𝑥 ´ = 𝑒𝑥𝐿𝑛𝑎 ´ = 𝑒𝑥𝐿𝑛𝑎 . 𝐿𝑛𝑎
= 𝑎𝑥 𝐿𝑛𝑎
∴ 𝑎𝑥 ´ = 𝑎𝑥 𝐿𝑛𝑎
NOTA: 
Usando la Regla de la Cadena: (au)´ = au u´ Lna
Ejemplo: 
f(x) = 7𝑥
2+3𝑥+1 → f’(x) = 7𝑥
2+3𝑥+1 . 2𝑥 + 3 𝐿𝑛 7
DERIVADA DE LA FUNCION INVERSA
Ejemplo:
f(x) = x2 + 2x + 3 , con Dom(f) = [−1,+∞ >
f-1(x) = 𝑥 − 2 −1 , f´(x) = 2x+2
Se comprueba que ( 𝑓-1(𝑥))´ = 
1
𝑓´(𝑓−1(𝑥))
=
1
2 𝑥−2
Si f es derivable en un intervalo I y que f´es distinto de 
cero en I. SI f tiene su función inversa sobre I entonces 
es derivable en I. Además:
𝑓−1(𝑥) ´ =
1
𝑓´(𝑓−1(𝑥))
DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS
La Función Logarítmica es la función inversa de la 
función exponencial. Es decir 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 si y solo si 
𝑓−1 𝑥 = 𝐿𝑛𝑥
Luego 𝐿𝑛𝑥 ´ = 𝑓−1(𝑥) ´ =
1
𝑓´(𝑓−1(𝑥))
=
1
𝑒𝐿𝑛𝑥
=
1
𝑥
∴ 𝐿𝑛𝑥 ´ =
1
𝑥
, para todo 𝑥 > 0
Obs.: Usando la Regla de la Cadena:
Ejemplo:
(Ln(𝑠𝑒𝑛𝑥))´=
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
2. (𝐿𝑜𝑔𝑎𝑢)´ = 
1
𝐿𝑛𝑎
.
𝑢´
𝑢
1. (𝐿𝑛𝑢)´ = 
𝑢´
𝑢
DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICOS
1. (Sen u)´ = Cos u .u´
2. (Cos u)´ = - Sen u .u´
3. (tg u)´ = Sec2 u .u´
4. (cot u)´ = -cosec2 u .u´
5. (Sec u)´ = Sec u tg u .u´
6. (cosec u)´ = -cosec u. cotg u . u´
Sea u= u(x) , entonces :
Ejemplos
1. f(x) = Sen (3 x3+ 6x)→ f’ (x) = Cos (3x3+ 6x) .(9x+6)
2. f(x) = Cos (3x2-2) → f’(x) = - Sen (3x2- 2).6x
3. f(x) = tg (3x2 + 9) → f’(x) = Sec2 ( 3x2+ 9) .6x
4.f(x) = cot (x2+ 6x + 8)→ f(x) = - cosec2( x2+ 6x + 8) . (2x+6)
5. f(x) = Sec( 3 x2 + 6x -1) →
f’(x) = Sec (3x2 + 6x – 1) tg (3x2 + 6x -1)(6x+6)
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS
Sea 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 , 𝑥 ∈ [−𝜋/2. 𝜋/2]; la función inversa 
de 𝑓 es definido como:
𝑓−1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑥 ∈ −1,1 .
Analogamente se definen las funciones inversas de las 
funciones 
𝑐𝑜𝑠𝑥 , 𝑡𝑎𝑛𝑥 , 𝑐𝑜𝑡𝑥 , 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥 ;
en sus dominios respectivos como:
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥 , 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑦 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥.
DERIVACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 
INVERSAS
1. Derivada de función arco seno: 
𝑦 = 𝑓−1 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑦
Derivando con respecto a x : 𝑥´ = 𝑠𝑒𝑛𝑦 ´ , por la regla 
de la cadena 1=𝑐𝑜𝑠𝑦 . 𝑦´ → 𝑦´ =
1
𝑐𝑜𝑠𝑦
Usando la identidad: Sen2 y + Cos2 y = 1 
→ Cos2 y = 1- Sen2 y = 1- x2 → cosy = 1 − 𝑥2
∴ (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥)´ =
1
1−𝑥2
, para todo |x | < 1
Análogamente se tienen las siguientes Derivadas:
2. 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 ´ = -
1
1−𝑥2
; |𝑥| < 1
3. (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥)´ = 
1
1+𝑥2
; 𝑥 ∈ R
4. (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑥)´ =-
1
1+𝑥2
; 𝑥 ∈ R
5. (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑥)´ = 
1
|𝑥| 𝑥2−1
, |𝑥| > 1
6. (𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑥)´ = -
1
|𝑥| 𝑥2−1
, |𝑥| > 1
1.- f(x) = arcsen(3x + 7)
→ 𝑓′ 𝑥 =
3
1 − 3𝑥+7 2
= 
3
−9𝑥2 −42𝑥 −48
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑢 ´ = 
𝑢´
1−𝑢2
;
(𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢)´ = 
𝑢´
1+𝑢2
(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑢)´ = 
𝑢´
|𝑢| 𝑢2−1
OBS.:
Ejemplos:
2. f(x) = arc cos (𝑒𝑥
2
) → f’(x) = −
𝑒𝑥
2
.2𝑥
1−(𝑒𝑥
2
)2
= −
2𝑥 𝑒𝑥
2
1−𝑒2𝑥
2
3. f(x) = arc tg(e3x) → f’(x) = 
3𝑒3𝑥
1+ 𝑒3𝑥 2
= 
3𝑒3𝑥
1+𝑒6𝑥
4. f(x) = arc sec (𝑒𝑥) → f’ (x) = 
𝑒𝑥
𝑒𝑥 𝑒𝑥 2+1
=
1
𝑒2𝑥 +1