S03 s2 - Gadiente y Derivada direccional

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FUNCIONES DE VARIAS 
VARIABLES: GRADIENTE Y 
DERIVADA DIRECCIONAL.
SEMANA 03
SESIÓN 02
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante resuelve problemas de contexto 
real en variadas situaciones que involucran gradientes, derivadas direccionales y 
sus interpretaciones para así modelar problemas”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
FUNCIONES 
DE VARIAS 
VARIABLES.
GRADIENTE, 
DERIVADA 
DIRECCIONAL.
1 El vector gradiente.
GRADIENTE.
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ una función de dos variables, definimos la 
derivada de 𝑓 como siendo:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦 ;
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑥, 𝑦)
Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ3 → ℝ una función de tres variables, definimos 
la derivada de 𝑓 como siendo:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥, 𝑦, 𝑧 ;
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑥, 𝑦, 𝑧 ;
𝜕𝑓
𝜕𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
A la derivada, la llamaremos gradiente de la función, 
siempre y cuando las derivadas parciales existan.
Ejemplo. Si 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑒𝑦
2
− 15ln(𝑥2 + 𝑦2 + 16), hallar 𝛁𝒇(𝟐, 𝟎)
Solución.
GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN..
• Primero calculemos las derivadas parciales.
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑒𝑦
2
−
30𝑥
𝑥2 + 𝑦2 + 16
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥𝑦𝑒𝑦
2
−
30𝑦
𝑥2 + 𝑦2 + 16
∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑦
2
−
30𝑥
𝑥2 + 𝑦2 + 16
; 2𝑥𝑦𝑒𝑦
2
−
30𝑦
𝑥2 + 𝑦2 + 16
𝜵𝒇 𝟐, 𝟎 = (−𝟐, 𝟎)
2 Derivada direccional.
DERIVADA DIRECCIONAL
• Sea 𝑤 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 una función de tres variables, sea 
𝑝 = (𝑥0, 𝑦0) un punto del dominio, 𝑢 ∈ ℝ
2 un vector 
unitario, definimos la derivada direccional como el 
límite:
𝜕𝑓
𝜕𝑢
𝑝 = lim
𝑡→0
𝑓 𝑝 + 𝑡𝑢 − 𝑓(𝑝)
𝑡
• Notación.
𝐷𝑢𝑓 𝑝 =
𝜕𝑓
𝜕𝑢
(𝑝)
Interpretación de la derivada 
direccional.
DERIVADA DIRECCIONAL
• 𝐷𝑢𝑓(𝑝) es la pendiente de la recta tangente a la curva 
𝐶 orientada en la dirección del vector 𝑢, la curva es 
generada por la intersección del grafico de 𝑓 y el plano 
perpendicular a 𝑋𝑌 que pasa por el punto 𝑃′ y 𝑄′.
• Una propiedad importante de la derivada direccional 
es la siguiente: 
𝐷𝑢𝑓 𝑝 = 𝛻𝑓 𝑝 ∙ 𝑢
Donde el punto, denota producto escalar.
• En el caso particular que consideramos 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑐𝑜𝑠 𝜃
la derivada direccional se define como: 
𝐷𝑢𝑓 𝑝 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑝 𝑐𝑜𝑠 𝜃 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
(𝑝) 𝑠𝑖𝑛 𝜃
Ejemplo 2. Calcular la derivada direccional de la función 
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 en el punto 𝒑 = (𝟐, 𝟑, 𝟔) en la 
dirección que va de 𝑷 = (𝟐, 𝟐, −𝟒) a 𝑸 = (𝟑, 𝟏, −𝟓) .
Solución.
EJEMPLO: DERIVADA DIRECCIONAL.
• ∇𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
1
𝑥2+𝑦2+𝑧2
𝑥, 𝑦, 𝑧
• 𝑢 = 𝑄 − 𝑃 = (1,−1,−1)
Luego, reemplazamos:
∇𝑓 𝑝 =
1
7
(2,3,6)
𝐷𝑢𝑓 𝑝 = ∇𝑓 𝑝 ∙ 𝑢 = −1
VALOR MÁXIMO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL..
3 Valor máximo de la derivada 
direccional.
• Por lo tanto, tenemos que: 
− ∇𝑓 𝑝 ≤ 𝐷𝑢𝑓(𝑝) ≤ ∇𝑓(𝑝)
• Sabemos que 𝐷𝑢𝑓 𝑝 = 𝛻𝑓(𝑝) ∙ 𝑢, entonces podemos hallar 
el máximo y mínimo valor de la derivada direccional.
𝐷𝑢𝑓 𝑝 = 𝛻𝑓(𝑝) 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝜑 = 𝛻𝑓(𝑝) 𝑐𝑜𝑠 𝜑 ; 0 ≤ 𝜑 ≤ 𝜋.
• El valor máximo se da cuando 𝑢 y 𝛻𝑓(𝑝) tienen la 
misma dirección.
• El valor mínimo de la derivada direccional se da 
cuando 𝑢 y 𝛻𝑓 𝑝 tiene direcciones opuestas.
Ejemplo 3. Una partícula rastreadora de calor esta situada en el punto 𝐴(5,4) de 
una placa metálica cuya temperatura es: 
𝑇 𝑥, 𝑦 = 100 − 𝑥2 − 3𝑦2
Calcule la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua en la dirección 
de máximo crecimiento de la temperatura.
Solución.
APLICACIÓN DEL GRADIENTE
• Definimos la trayectoria de la siguiente manera 𝛼 𝑡 = (𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡)), 
nuestro objetivo es hallar 𝑥 𝑡 , 𝑦(𝑡).
• Como la partícula busca la dirección de máximo crecimiento 
entonces 𝛼′(𝑡) y 𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = (−2𝑥,−6𝑦) tienen la misma dirección 
en cada punto.
𝛻𝑇 𝑥, 𝑦 = (−2𝑥,−6𝑦)
• Luego: 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= −2𝑥 y 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −6𝑦; entonces 𝑥 𝑡 = 𝐶1𝑒
−2𝑡; 𝑦 𝑡 = 𝐶2𝑒
−5𝑡
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Recordar que el 
gradiente tiene la 
dirección de mayor 
crecimiento..
2.La derivada 
direccional, es la 
pendiente de la 
recta tangente en la 
dirección del vector 
dirección.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana del 
gradiente y la 
derivada direccional.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL: EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
GRADIENTE Y DERIVADA DIRECCIONAL: EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones