S06 s1 - Extremos de funciones

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EXTREMOS DE FUNCIONES DE 
VARIAS VARIABLES.
TEORÍA Y EJERCICIOS.
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante aplica las reglas de derivación y 
utiliza las derivadas para calcular máximos y mínimos de una función como una 
modelación de problemas de optimización.”
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.
EXTREMOS 
DE UNA 
FUNCIÓN.
Máximos y Mínimos.
1 Máximos y Mínimos relativos.
Máximos y Mínimos.
Igual que antes considere 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) estudiaremos los 
extremos de la función.
Definición. Sea 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ2 → ℝ, 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐷 diremos que 
𝑓 tiene un máximo(mínimo) local o relativo en el punto 
(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐷 si 𝑓(𝑎, 𝑏) ≥ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑓 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑓 𝑎, 𝑏 .
Definición. Un punto crítico de una función 𝑓 es un 
punto (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐷 tal que ∇𝑓 𝑎, 𝑏 = 0 o si alguna de 
las derivadas parciales no existe en el punto.
2. Matriz Hessiana.
Matriz Hessiana.
Sea 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 una función de dos variables, suponga 
que 𝑎, 𝑏 es un punto del dominio tal que las 
derivadas parciales 𝑓𝑥𝑥; 𝑓𝑥𝑦; 𝑓𝑦𝑥 𝑒 𝑓𝑦𝑦 existen, 
entonces definimos la siguiente matriz: 
𝐷 𝑎, 𝑏 =
𝑓𝑥𝑥(𝑎, 𝑏) 𝑓𝑥𝑦(𝑎, 𝑏)
𝑓𝑦𝑥(𝑎, 𝑏) 𝑓𝑦𝑦(𝑎, 𝑏)
A esta matriz de orden 2 se le conoce como MATRIZ HESSIANA.
3. Criterio de la Hessiana.
CRITERIIO DE LA HESSIANA.
Teorema. Sea 𝑎, 𝑏 un punto crítico de 𝑓 y suponga 
que 𝑓𝑥𝑥; 𝑓𝑥𝑦; 𝑓𝑦𝑥 𝑒 𝑓𝑦𝑦 son continuas en un disco 
centrado en 𝑎, 𝑏 . Entonces:
1. Si 𝑑𝑒𝑡 𝐷 𝑎, 𝑏 > 0 y 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 > 0; entonces 𝑓(𝑎, 𝑏)
es un mínimo relativo.
2. Si 𝑑𝑒𝑡 𝐷 𝑎, 𝑏 > 0 y 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 < 0; entonces 𝑓(𝑎, 𝑏)
es un máximo relativo.
3. Si 𝑑𝑒𝑡 𝐷 𝑎, 𝑏 < 0 entonces (𝑎, 𝑏, 𝑓 𝑎, 𝑏 ) no es un 
extremo relativo. Es un punto silla.
4. Si 𝑑𝑒𝑡 𝐷 𝑎, 𝑏 = 0, entonces el criterio no dice nada.
¿ Para que sirve ?
PLANO TANGENTE.
• En optimización para maximizar y minimizar 
funciones.
• En finanzas y economía para generar mejorar 
la producción. Entre otros.
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1.Recordar la forma 
de calcular el 
gradiente.
2.Saber la definición 
de la matriz 
Hessiana y aplicar 
el criterio.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de los 
puntos críticos y la 
matriz hessiana.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
EJERCCIOS EXPLICATIVOS.
EJERCCIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIOS EXPLICATIVOS.
EJERCICIO RETO
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
EJERCICIO RETO.
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones