Slides 6 - Esperanza y Varianza

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Introduccion a la Estad́ıstica
(Cap. 2, sección 2.4 del Bertsekas)
Esperanza y Varianza
Rotnitzky, Ferrari, Cersosimo, Smucler
Universidad Torcuato Di Tella
Rotnitzky, Ferrari, Cersosimo, Smucler (Universidad Torcuato Di Tella )Introduccion a la Estad́ıstica(Cap. 2, sección 2.4 del Bertsekas) 1�
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Esperanza y Varianza. Motivación
La función de prob. de masa de una v.a. codifica las probabilidades de todos los
posibles valores de una v.a.
La esperanza y la varianza son dos caracteŕısticas muy informativas acerca de la
distribución de una v.a.
La esperanza caracteriza el baricentro del histograma.
La ráız cuadrada de la varianza, llamada el desv́ıo estándard, caracteriza la
dispersión del histograma alrededor de la esperanza.
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Esperanza. Motivación
Recodá el ejemplo de la ganancia en el juego de ruleta cuya fc de prob. de
masa es, redondeando,
y -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
pY (y ) 0.002 0.015 0.059 0.143 0.225 0.243 0.182 0.094 0.032 0.006 0.001
Todos los d́ıas hay mucha gente, que como vos, hace 10 apuestas de 1 peso al
colorado.
La interpretación frecuentista de la prob. nos dice que de toda esa gente, alrededor
del
0.2% tendrá una ganancia de -10 pesos, o sea una pérdida de 10 pesos.
1.5% tendrá una ganancia de -8 pesos
5.9% tendrá una ganancia de -6 pesos
...
3.2% tendrá una ganancia de 6 pesos
0.6% tendrá una ganancia de 8 pesos
0.1% tendrá una ganancia de 10 pesos
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Esperanza. Motivación
Entonces con N jugadores habrá, aproximadamente, una ganancia de
Ganancia total ⇡
N ⇥ {(�10)⇥ 0.002+ (�8)⇥ 0.015+ ....+ 8⇥ 0.006+ 10⇥ 0.001}
= N ⇥
(
Â
y2Y
y pY (y )
)
Por lo tanto
Promedio de la Ganancia = Ganancia total / N
⇡ Â
y2Y
y pY (y ) = �0.526
El valor Ây2Y y pY (y ) = �0.526 es la ganancia media o promedio por jugador ”a
la larga” (o sea la pérdida promedio por jugador es 0.526).
Observá que como Ây2Y pY (y ) = 1, entonces Ây2Y y pY (y ) es un promedio
ponderado , donde el peso de cada y es la probabilidad P (Y = y ) .
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Esperanza. Motivación
Definición: La esperanza de una variable aleatoria discreta X con soporte
X se define como
E (X ) = Â
x2X
x pX (x)
Observaciones:
Si el soporte X es infinito, entonces E (X ) existe si y sólo si
Âx2X |x | pX (x) < •.
E (X ) es un promedio ponderado de todos los posibles valores de X .
E (X ) puede no estar en el soporte de X . Por ejemplo, para la ganancia de
las apuestas a la ruleta, el soporte de X es X = {�10,�8,�6, ..., 6, 8, 10}
pero E (X ) = �0.526 no está en X .
E (X ) es el baricentro del histograma de X
E (X ) también se llama la media de X
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Esperanza como baricentro del histograma
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2
Esperanza. Repaso de la intrerpretación frecuentista
Suponé que durante muchos d́ıas hacés, cada d́ıa, 10 apuestas de 1 peso al
colorado en la ruleta.
La interpretación frecuentista de la prob. nos dice que de todos esos d́ıas, en
alrededor del
0.2% tendrás una ganancia de -10 pesos, o sea una pérdida de 10 pesos.
1.5% tendrás una ganancia de -8 pesos
5.9% tendrás una ganancia de -6 pesos
...
3.2% tendrás una ganancia de 6 pesos
0.6% tendrás una ganancia de 8 pesos
0.1% tendrás una ganancia de 10 pesos
Luego, tu ganancia promedio será, aproximadamente,
E (Y ) = (�10)⇥ 0.002+ (�8)⇥ 0.015+ ....+ 8⇥ 0.006+ 10⇥ 0.001
= �0.526
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Esperanza. Repaso de la intrerpretación frecuentista
Tu ganancia promedio será, aproximadamente,
E (Y ) = (�10)⇥ 0.002+ (�8)⇥ 0.015+ ....+ 8⇥ 0.006+ 10⇥ 0.001
= �0.526
Ésto no quiere decir que en un d́ıa particular vayas a perder 0.526 pesos, de hecho
esa pérdida no puede ocurrir nunca porque -0.526 no está en el soporte de Y .
En cualquier d́ıa la probabilidad de que tu ganancia sea positiva es
P (Y > 0) = pY (2) + pY (4) + pY (6) + pY (8) + pY (10)
= 0.182+ 0.094+ 0.032+ 0.006+ 0.001
= 0.315
La banca, en cambio, tiene una ganancia promedio por jugador de 0.526 pesos.
Luego, si juegan N jugadores, la banca tendrá una ganancia de alrededor de
N ⇥ 0.526$.
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Esperanza. Otro ejemplo
Los sitios de crowdfunding ayudan a reunir inversores a pequeña escala (retail investor)
para la financiación de start-ups.
Las estad́ısticas indican que, al cabo de 12 meses, de los start-ups que reciben un
crowdfunding inicial de 10,000 dólares de c/pequeño inversor:
50% irá a la quiebra
30% requerirá otra inyección de 10000 dólares de c/pequeño inversor. Al cabo de
otros 6 meses:
50% irá a la quiebra
50% recibirá una inyección importante de capital de grandes inversores
(venture capital).
20% recibirá una inyección importante de venture capital.
De los que reciben en algún momento capital de grandes inversores
2/3 irán a la quiebra
1/3 resultará en un negocio exitoso, otorgando una pago a c/pequeño
inversor de 150,000 dólares
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Esperanza. Otro ejemplo
Sos un pequeño inversionista y estás pensando en invertir 10000 dólares en una start-up.
1 ¿Cuáles son los posibles valores del retorno neto de tu inversión?
2 ¿Qué probabilidades tienen cada uno de los posibles retornos netos?
3 ¿Cuál es la esperanza de tu retorno neto?
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Esperanza. Otro ejemplo
Sea X =” retorno neto de tu inversión”.
1 Los posibles valores del retorno neto conforman el soporte de X . Éstos son -20k, -10k,
130k y 140k
2 Las probabilidades de los posibles retornos definen la fc de probabilidad de masa de X
x -20k -10k 130k 140k
pX (x) 0.3⇥ 0.5+ 0.3⇥ 0.5⇥ 0.67 0.5+ 0.2⇥ 0.67 0.3⇥ 0.5⇥ 0.33 0.2⇥ 0.33
= 0.250 5 = 0.634 = 0.049 5 = 0.066
3 La esperanza de tu retorno neto, en unidades de mil, es
E (X ) = (�20k)⇥ 0.250 5+ (�10k)⇥ 0.634+ 130k ⇥ 0.049 5+ 140k ⇥ 0.066
= 4. 325k
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Histograma del retorno neto y su esperanza
Observá que los altos retornos de pequeña probabilidad empujan a la esperanza hacia la
derecha del histograma y hacen que resulte en un valor positivo
El histograma ilustra que esta inversión es de alto riesgo, porque por más que la esperanza
sea positiva, hay una chance muy alta de que tu retorno sea negativo.
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Esperanza de una constante.
Proposición: si X = c es una constante, entonces E (X ) = c
Demostración: si X = c entonces P (X = c) = 1. Luego, el soporte de
X es X = {c} y
E (X ) = Â
x2X
x pX (x)
= c pX (c)
= c ⇥ 1
= c
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Esperanza de una funciónde una v.a.
Proposición: si Y = g (X ) donde g : R ! R y X es una v.a. discreta con
soporte en X , entonces
E (Y ) = Â
x2X
g (x) pX (x)
Demostración: el soporte de Y es el conjunto
Y = {y : y = g (x) para algún x 2 X}
Luego
E (Y ) = Â
y2Y
yP (Y = y )
= Â
y2Y
y
8
<
: Â
x2X :g (x)=y
P (X = x)
9
=
;
= Â
y2Y
Â
x2X :g (x)=y
g (x)P (X = x)
= Â
x2X
g (x) pX (x)
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Esperanza de una función lineal de una v.a.
Corolario de la proposición: sean a y b constantes y X una v.a.. Entonces, si
E (X ) existe,
E (aX + b) = aE (X ) + b
Demostración: sea g (x) = ax + b. Entonces, por la proposición de la filmina
anterior,
E (aX + b) = E [g (X )]
= Â
x2X
g (x) pX (x)
= Â
x2X
(ax + b) pX (x)
= Â
x2X
(axpX (x) + bpX (x))
= a Â
x2X
xpX (x)
| {z }
=E (X )
+ b Â
x2X
pX (x)
| {z }
=1
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Esperanza de la suma de v.a.
Proposición: Si X e Y son v.a. tales que E (X ) y E (Y ) existen. Entonces
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
La demostración de esta proposición la posponemos hasta cuando estudiemos
distribuciones conjuntas de vectores aleatorios.
Sin embargo, podemos dar una intuición de esta propiedad invocando la
interpretación frecuentista de probabilidad.
Imaginá que pudieras repetir infinitamente el experimento aleatorio que da lugar a
X e Y
llama X n e Y n y
�
X + Y
�
n a los promedios de los resultados de X , Y y (X + Y )
en los primeros n experimentos. Entonces
�
X + Y
�
n = X n + Y n
# = # #
E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )
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Esperanza de una v.a. Bernoulli
Proposición: la esperanza de una v.a. Bernoulli X ⇠ Ber (p) es igual a la
probabilidad de éxito p.
Demostración:
E (X ) = Â
x2X
xpX (x)
= 1⇥ pX (1) + 0⇥ pX (0)
= 1⇥ p + 0
= p
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Esperanza de una v.a. Binomial
Proposición: la esperanza de una v.a. Binomial X ⇠ Bin (n, p) es igual a np
Demostración: Como X ⇠ Bin (n, p) entonces se puede escribir como
X = Ânj=1 Xj donde Xj ⇠ Ber (p) . Luego
E (X ) = E
 
n
Â
j=1
Xj
!
=
n
Â
j=1
E (Xj )
=
n
Â
j=1
p
= np
Observá que la segunda igualdad es cierta por la proposición que vimos
anteriormente que afirma que la esperanza de una suma de v.a. es la suma de las
esperanzas.
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Ejemplo del uso de las proposiciones para facilitar cálculos
En el ejemplo de las 10 apuestas al colorado en la ruleta vimos que la ganancia Y
era igual a
Y = 2X � 10
donde X ⇠ Bin (10, 18/38) es el número de tiros en los que la ruleta cae en
colorado.
En las primeras filminas calculamos la esperanza E (Y ) de la ganancia Y ,
calculando primero la fc de prob de masa pY (y ) y luego aplicando la definición de
esperanza.
Ahora veremos como las proposiciones de las filminas anteriores nos ofrecen un
atajo que nos lleva a E (Y ) con muy pocos cálculos.
1 Como X ⇠ Bin (10, 18/38) entonces E (X ) = 10⇥ 18/38
2 Como Y = 2X � 10 es una fc lineal de X , entonces
E (Y ) = 2E (X )� 10
= 2⇥ (10⇥ 18/38)� 10
= �0.526
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Esperanza de una función no lineal de X
Hemos visto que para g (x) = ax + b vale que E [g (X )] = g [E (X )]
Esta relación NO VALE cuando g (x) es una función NO LINEAL de x
Por ejemplo, para g (x) = 2X ,
E
h
2X
i
6= 2E (X )
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Esperanza de una v.a. Uniforme
Proposición: la esperanza de una v.a. Uniforme X ⇠ Unif (n) es igual al
promedio de todos los valores de su soporte.
Demostración: Como X ⇠ Unif (n) entonces su soporte X tiene n
elementos y P (X = x) = 1/n para todo x en X . Luego
E (X ) = Â
x2X
xpX (x)
= Â
x2X
x
1
n
= promedio de los x 2 X
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Esperanza de una v.a. Poisson
Proposición: la esperanza de una v.a. Poisson X ⇠ Pois (l) es igual a l
Demostración:
E (X ) =
•
Â
x=0
xpX (x)
=
•
Â
x=�
xe�l
lx
x !
= e�l
•
Â
x=1
lx
(x � 1)!
= le�l
•
Â
x=0
lx
x !
= le�lel
= l
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Histogramas de v.a. Poisson con sus esperanzas
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Varianza y desv́ıo estándard: motivación
Suponé que en el problema del crowdfunding un pequeño inversor llamado Juan
decide invertir el doble de lo que vas invertir vos, esto es:
inicialmente invierte 20000 dólares y, en caso de que haga falta, inyectará
otros 20000 dólares.
Llamá Z al retorno de la inversión de Juan. La fcn de prob. de masa de Z es
Z -40k -20k 260k 280k
pZ (z) 0.3⇥ 0.5+ 0.3⇥ 0.5⇥ 0.67 0.5+ 0.2⇥ 0.67 0.3⇥ 0.5⇥ 0.33 0.2⇥ 0.33
= 0.250 5 = 0.634 = 0.049 5 = 0.066
Recordá que tu retorno X teńıa fcn de prob. de masa
X -20k -10k 130k 140k
pX (x) 0.3⇥ 0.5+ 0.3⇥ 0.5⇥ 0.67 0.5+ 0.2⇥ 0.67 0.3⇥ 0.5⇥ 0.33 0.2⇥ 0.33
= 0.250 5 = 0.634 = 0.049 5 = 0.066
La esperanza E (Z ) del retorno de Juan es igual a
E (Z ) = 2E (X ) = 8.65k
pues Z = 2X .
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Varianza y desv́ıo estándard: motivación
La esperanza del retorno de Juan es el doble que la esperanza de tu retorno.
Sin embargo, Juan arriesga más capital que vos.
Su inversión es más riesgosa que la tuya porque si bien puede ganar más, también
puede perder más que vos.
El retorno de la inversión de Juan está más disperso alrededor de su esperanza
¿Cómo podemos medir esa dispersión?
El desv́ıo estándard de una v.a. mide la dispersión de la distribución de una v.a.
alrededor de su esperanza.
El desv́ıo estándard se define como la ráız cuadrada de la varianza
En las próximas filminas definiremos estas medidas.
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Varianza y desv́ıo estándard: definiciones
Definición:
1 La varianza de una v.a. X se define como
Var (X ) = E
h
(X � E (X ))2
i
.
2 El desv́ıo estándard de una v.a. X se escribe como SD (X ) y se define
como
SD (X ) =
r
E
h
(X � E (X ))2
i
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Varianza y desv́ıo estándard: observaciones
La varianza de una v.a. X discreta con soporte X se calcula como
Var (X ) = Â
x2X
(x � E (X ))2 pX (x)
O sea, para calcular Var (X ) :
1ero calculamos la esperanza de X ,E (X )
2do, para cada x en el soporte de X , calculamos el cuadrado del desv́ıo de x
alrededor de E (X ) : (x � E (X ))2
3ero, calculamos el promedio ponderado de los cuadrados de los desv́ıos con
ponderaciones iguales a P (X = x)
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Varianza y desv́ıo estándard: unidades de medición
La varianzaes el promedio ponderado de las distancias al cuadrado de cada
posible valor de X a la media de X con ponderaciones iguales a las
probabilidades de esos resultados.
Entonces la varianza se expresa en unidades al cuadrado, por ejemplo,
dólares2, pesos2, etc
El desv́ıo estándard se expresa en la unidad original, por ejemplo, dólares,
pesos, etc .
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Varianza y desv́ıo estándard: ejemplo
Recordá que para tu inversión el retorno teńıa distribución
X -20k -10k 130k 140k
pX (x) 0.250 5 0.634 0.049 5 0.066
y la esperanza del retorno de tu inversión era E (X ) = 4.325k
Entonces, la varianza de tu retorno es
Var (X ) = (�20� 4.325)2 k2 ⇥ 0.250 5+ (�10� 4.325)2 k2 ⇥ 0.634
+ (130� 4.325)2 k2 ⇥ 0.049 5+ (140� 4.325)2 k2 ⇥ 0.066
= 2275k2
El desv́ıo estándard de tu retorno es
SD (X ) =
p
2275k = 47.697k
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Varianza y desv́ıo estándard: ejemplo
Para la inversión de Juan el retorno teńıa distribución
Z -40k -20k 260k 280k
pZ (z) 0.250 5 0.634 0.049 5 0.066
y la esperanza del retorno de su inversión era E (Z ) = 8.65k
Entonces, la varianza del retorno de Juan es
Var�(Z�)�=�(�40����.�5)2�k2�⇥�0.250�5�+�(�20����.�5)2�k2�⇥�0.634
+�(260����.�5)2�k2�⇥�0.049�5�+�(280����.�5)2�k2�⇥�0.066�=�
9100k2
El desv́ıo estándard de tu retorno es
SD (Z ) =
p
9100k = 95.394k
Observá que el desv́ıo estándard del retorno de Juan es el doble que el
desv́ıo estándard de tu retorno
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Varianza y desv́ıo estándard: ejemplo
Observá que los retornos de Juan están más dispersos que tus retornos
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Expresión alternativa para la varianza
Proposición: la varianza de una v.a. X admite la siguiente expresión
alternativa
Var (X ) = E
⇣
X 2
⌘
� E (X )2
Demostración: llamemos µ = E (X ) . Entonces
Var (X ) = E
⇣
(X � µ)2
⌘
= E
⇣
X 2 � 2µX + E (X )2
⌘
= E
⇣
X 2
⌘
� 2µE (X ) + E
⇣
µ2
⌘
= E
⇣
X 2
⌘
� 2µE (X ) + µ2 pq µ2 es una constante
= E
⇣
X 2
⌘
� 2µ2 + µ2
= E
⇣
X 2
⌘
� µ2
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Cálculo alternativo de la varianza
La expresión
Var (X ) = E
⇣
X 2
⌘
� E (X )2
implica que podemos tambien calcular a la varianza de X usando la fórmula
Var (X ) = Â
x2X
x2pX (x)�
 
Â
x2X
xpX (x)
!2
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Propiedades de la varianza y del desv́ıo estándard
Proposición: para toda constantes a y b
1 Var (X + b) = Var (X )
2 Var (aX ) = a2Var (X )
3 SD (X + b) = SD (X )
4 SD (aX ) = |a| SD (X )
5 Var (X ) = 0 si y solo si X es una constante c .
Intuiciones
la primera y la tercera afirmación son ciertas porque el sumar o restar una
constante a una v.a. hace que el todas las barras del histograma se corran la
misma cantidad a derecha o a izquierda. Esto cambia el baricentro del
histograma pero no su dispersión.
la cuarta afirmación surge porque el multiplicar por una constante a a una
v.a. hace que el baricentro se multiplique por la constante pero tambien,
expande o contrae el histograma proporcionalmente a |a| .
la quinta afirmación es porque el histograma de una constante no tiene
dispersión, tiene una sola barra de altura 1
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Cambios del histograma bajo transformaciones lineales:
ejemplo de las apuestas al colorado
Observá que el histograma de 2X se obtiene a partir del hist. de X , primero corriendo la media a 2 veces la media de
X y luego expandiendo las barras.
El histograma de 2X � 10 se obtiene simplemente corriendo 10 unidades hacia la izquierda todas las barras del
histograma de 2X .
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Dependencia de la varianza y el desv́ıo estándard en la
escala de medición
Suponé�que�en�el�ejemplo�de�crowdfunding,�calculás�el� retorno�de� tu� inversión�en�
pesos,�en�vez�de�en�dólares.
Suponiendo�que�el�cambio�es�1�dolar�=� ����pesos,�si�expresamos�al� retorno�en�
pesos�como� la�v.a.� U� tenemos�que
U�=����X
Luego
SD�(U)�=�����SD�(X�)
O�sea,�el�desv́ıo�estándard�de�tu�retorno�expresado�en�pesos�es�����veces�mayor�que�el�
desv́ıo�estándard�expresado�en�dólares.
Quiere�decir�esto�que�el� riesgo�es�mayor�en�pesos�que�en�dólares?
NO!!!� El�cambio�de�desv́ıo� fue�consecuencia�de�un�mero�cambio�de�escala�de�
medición.
Moraleja:� cuando�uses�el�desv́ıo�estándard�para�comparar� la�dispersión�de�distintas�
variables,�por�ej.� inversiones,� rentas,�etc,�asegurate�de�usar� la�misma�escala�de�
medición,�por�ej.�moneda,�para� todas� las�variables.
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Ejemplo del uso de las propiedades en la práctica
Volviendo al ejemplo del crowdfunding, el retorno neto de Juan Z es el doble
que tu retorno neto X , es decir
Z = 2X
Luego,
Var (Z ) = Var (2X )
= 22Var (X )
= 4Var (X )
y
SD (Z ) = SD (2X )
= 2SD (X )
= 2SD (X )
Si aumentás el monto de tu inversión al doble, el desv́ıo de tu retorno - y
por ende el riesgo de tu inversión - también aumenta el doble.
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Sensibilidad de la esperanza y la varianza a valores
extremos
Suponé que en el ejemplo de crowdfunding, el árbol de probabilidad es
porque�de�aquellas�start-ups�que�resultan�en�éxito�luego�de�recibir�Venture�Capital�sin�
requerir�una�segunda�inyección�de�pequeño�capital,�hay�un�2%�que�paga�15,0�0,000��
dólares�en�vez�de�150,000�dólares.
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Sensibilidad de la esperanza y la varianza a valores
extremos
Llamá Y al retorno en esta nueva situación.
La fc. de prob. de masa de Y es
Y -20k -10k 130k 140k 15000k
pY (y ) 0.2505 0.634 0.049 5 0.065 0.001
Observá que ahora la inversión tiene una probabilidad minúscula (0.001) de
darte un retorno enorme (15,000k).
Veamos como se comparan E (Y ) ,Var (Y ) con E (X ) ,Var (X )
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Sensibilidad de la esperanza y la varianza a valores
extremos
La esperanza del retorno en esta nueva situación es
E (Y ) = (�20k)⇥ 0.250 5+ (�10k)⇥ 0.634+ 130k ⇥ 0.049 5+ 140k ⇥ 0.065+ 15000k ⇥ 0.001
= 19.185k
O�sea,�ahora� la�esperanza�del� retorno�es�19�185k�dólares.� Comparala�con� la�
esperanza�del� retorno�en� la�situación�anterior,� la�cual�era�4�325k�dólares.
El�valor�at́ıpico�de�15000k�alteró�notablemente� la�esperanza�del� retorno,�dando�
ahora� la� falsa� impresión�de�que� la� inversión�mejoró�notablemente,�cuando�en�
realidad�ese�no�es�el�caso,�porque� la�prob.� de�que�el� retorno�sea�15000k�es�apenas�
0.001.
Moraleja:� la�esperanza�es�sensible�a�valores�at́ıpicos�en� la�distribución�de�una�v.a.
No� te� f́ıes�de� la�esperanza�como�medida�de� resumen�de� la� tendencia�central�de� la�
v.a.� si� la�distribución� tiene�valores�at́ıpicos!
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Sensibilidad de la esperanza y la varianza a valores
extremos
La varianza y el desv́ıo estándard también son sensibles a valores at́ıpicos.
Por ejemplo, la varianza y el desv́ıo estándard del retorno para la nueva
inversión son
Var (X ) = (�20� 19.185)2 k2 ⇥ 0.250 5+ (�10� 19.185)2 k2 ⇥ 0.634
+ (130� 19.185)2 k2 ⇥ 0.049 5+ (140� 19.185)2 k2 ⇥ 0.065
+ (15000� 19.185)2 k2 ⇥ 0.001
= 226910k2
SD (X ) =
p
226910 = 476.35k
O�sea,�ahora�el�desv́ıo�del�retorno�es�476350�dólares,�comparado�con�����������
dólares�de�la�inversión�anterior.
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Varianza de una v.a. Bernoulli
Proposición: la varianza de una v.a. X ⇠ Ber (p) es igual a
Var (X ) = p (1� p)
Demostración: recordemos que E (X ) = p. Entonces,
Var (X ) = Â
x2X
(x � E (X ))2 pX (x)
= (1� E (X ))2 p + (0� E (X ))2 (1� p)
= (1� p)2 p + p2 (1� p)
= (1� p) p⇥ [(1� p) + p]| {z }
=1
= (1� p) p
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Varianza de una v.a. Binomial
Proposición: la varianza de una v.a. X ⇠ Bin (n, p) es igual a
Var (X ) = np (1� p)
Demostración: la posponemos hasta más adelante, cuando veamos el tema
”independencia de variables aleatorias”
Veamos como cambia con n la dispersion en los histogramas de una v.a.
binomial
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Dispersión de una v.a. Binomial: cambios con p para un
mismo n
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Varianza de una v.a. Poisson
Proposición: la varianza de una v.a. X ⇠ Pois (l) es igual a Var (X ) = l
Demostración: no la haremos
Veamos como cambia con l la dispersion en los histogramas de v.a. Poisson
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La paradoja de San Petersburgo
Considerá el siguiente juego:
1 Para participar del juego deberás pagar C pesos, que la banca se los queda.
2 Vas a tirar una moneda equilibrada hasta la 1era vez que caiga en cara.
3 La banca te va a pagar 2N pesos, donde N =número de tiros que hiciste
¿Cuál es la esperanza de N ?
¿Cuál es el precio justo C en el sentido de que ”a la larga”, es decir con
mucha gente jugando, la banca no pierda ni gane dinero?
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La paradoja de San Petersburgo
Solución: sea Aj =el tiro j es cara. Los eventos A1,A2, ... son
independientes, y P (Aj ) = P
⇣
Acj
⌘
= 0.5
P (N = n) = P (Ac1 \ ...\ Acn�1 \ An)
= (0.5)n
Luego, usando propiedades de la serie geométrica (si no las conocés, no te
preocupes y aceptá el resultado; lo importante es que sepas plantear la
fórmula para la esperanza).
E (N) =
•
Â
n=1
n⇥ (0.5)n = 2
Por otro lado, la banca te va a pagar Y = 2N . Luego, el precio justo C
debeŕıa ser E (Y ). Sin embargo,
E (Y ) =
•
Â
n=1
2nP (N = n)
=
•
Â
n=1
2n (0.5)n
= •
Rotnitzky, Ferrari, Cersosimo, Smucler (Universidad Torcuato Di Tella )Introduccion a la Estad́ıstica(Cap. 2, sección 2.4 del Bertsekas) ��
/�
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La paradoja de San Petersburgo
Observá que E
�
2N
�
6= 2E (N) pues
E
⇣
2N
⌘
= • y 2E (N) = 4
Para entender por qué E (Y ) = • recordá que la esperanza es el baricentro
del histograma de Y = 2N .
El histograma de Y = 2N no tiene baricentro porque Y toma valores
enormemente altos con una probabilidad que, aunque despreciable, ”escala”
con estos valores: por ejemplo, Y toma el valor 2100 con prob 1/2100.
Rotnitzky, Ferrari, Cersosimo, Smucler (Universidad Torcuato Di Tella )Introduccion a la Estad́ıstica(Cap. 2, sección 2.4 del Bertsekas) ���
/�
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La paradoja de San Petersburgo
El ejemplo, conocido como la Paradoja de San Petersburgo, nos advierte que
debemos tener precaución en el uso de esperanzas de v.a. con soporte infinito para
la toma de decisiones. En este ejemplo:
Observando que E (Y ) = •, uno podŕıa decidir pagar cualquier precio
desorbitantemente alto C para jugar, porque no importa cual fuera ese precio, la
esperanza de la ganancia seŕıa • ya que E (Y )� C = • � C = •.
La ”trampa” está en que como el dinero que tiene la banca es finito, el juego que
en realidad estará dispuesta a jugar la banca contra vos tendrá finalización al cabo
de un número pre-fijado de jugadas.
Por ejemplo, suponé que el juego termina indefectiblemente en el tiro 40, si es que
no terminó antes.
Entonces, la esperanza del pago que recibirás será
E (Y ) =
40
Â
n=1
2
nP (N = n) +
•
Â
n=41
0⇥ P (N = n)
=
40
Â
n=1
2
n (0.5)n
= 40
Observá como cambia abruptamente la esperanza del pago, de • a 40 !!!
Rotnitzky, Ferrari, Cersosimo, Smucler (Universidad Torcuato Di Tella )Introduccion a la Estad́ıstica(Cap. 2, sección 2.4 del Bertsekas) ���
/�
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