MATE 1C 2019 Clave de corrección examen Final Tema 1 05-07-2019

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Clave de corrección – Examen final 05-07-2019 1 
Matemática 
Clave de corrección examen Final– 05/07/2019 
Tema 1 
 
 
 
El denominador de la función involucrada en el límite se anula si 𝑥 = 1 y si 
𝑥 = −1. 
Entonces reescribimos 
(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 1)
𝑥2 − 1
=
(𝑥 −𝑚)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
=
𝑥 −𝑚
𝑥 + 1
 
Luego 
5 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 1)
𝑥2 − 1
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑥 −𝑚
𝑥 + 1
=
1 −𝑚
1 + 1
=
1 −𝑚
2
 
5 =
1 −𝑚
2
 → 10 = 1 −𝑚 ∴ 𝑚 = −9 
El valor de la constante es 𝑚 = −9 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑚 si se sabe que 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
(𝑥 − 𝑚)(𝑥 − 1)
𝑥2 − 1
= 5 
 
 
Clave de corrección – Examen final 05-07-2019 2 
 
 
Si la función tiene un máximo en el punto de abscisa 𝑥 = 2 se tiene que 
𝑓′(2) = 0. 
La derivada de la función es 
𝑓′(𝑥) =
3
𝑎 + 3𝑥
− 2𝑥𝑒𝑥
2−4 
Entonces, 
𝑓′(2) =
3
𝑎 + 3 ∙ 2
− 2 ∙ 2 𝑒2
2−4⏟ 
=1
=
3
𝑎 + 6
− 4 
Como existe la derivada en 𝑥 = 2 tenemos que 𝑎 ≠ −6 
Luego, 
0 =
3
𝑎 + 6
− 4 ↔ 4 =
3
𝑎 + 6
 ↔ 4(𝑎 + 6) = 3 ↔ 4𝑎 + 24 = 3 
4𝑎 = −21 ∴ 𝑎 = −
21
4
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ si se sabe que la función tiene un 
máximo en el punto de abscisa 𝑥 = 2 
𝑓(𝑥) = 𝑙 𝑛(𝑎 + 3𝑥) − 𝑒𝑥
2−4 
 
 
Clave de corrección – Examen final 05-07-2019 3 
 
 
Primero debemos hallar la expresión de la función lineal: 
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 
3 = 𝑚 ∙ 1 + 𝑏 
3 = 𝑚 ∙ (−2) + 𝑏
} → 𝑚 = 0 ; 𝑏 = 3 
𝑓(𝑥) = 3 
Para hallar el o los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) planteamos 
3 = 2𝑥2 − 2𝑥 − 1 ↔ 2𝑥2 − 2𝑥 − 1 − 3 = 0 ↔ 2𝑥2 − 2𝑥 − 4 = 0 
𝑥1;2 =
−(−2) ± √(−2)2 − 4 ∙ (2) ∙ (−4)
2 ∙ (2)
=
2 ± √4 + 32
4
=
2 ± √36
4
=
2 ± 6
4
 
𝑥1 =
8
4
= 2 𝑥2 = −
4
4
= −1 
Los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) son 𝑥1 = 2 y 𝑥2 = −1 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Sea 𝑓 la función lineal que cumple 
𝑓(1) = 3 𝑓(−2) = 3 
y sea 
𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 2𝑥 − 1 
Hallar el o los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
 
 
 
Clave de corrección – Examen final 05-07-2019 4 
 
 
∫(1 + 2𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫1 + 4𝑥 + 4𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 + 2𝑥2 +
4
3
𝑥3 + 𝐶1 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝐶2 (𝑠𝑖 𝑥 > 0) 
 
Entonces, 
∫(1 + 2𝑥)2 −
1
𝑥
2
1
 𝑑𝑥 = ∫(1 + 2𝑥)2
2
1
 𝑑𝑥 − ∫
1
𝑥
2
1
 𝑑𝑥 = (𝑥 + 2𝑥2 +
4
3
𝑥3)|
1
2
− (ln (𝑥))|1
2 
= [(2 + 2 ∙ 22 +
4
3
23) − (1 + 2 ∙ 12 +
4
3
13)] − [ln(2) − ln(1)⏟ 
=0
] = 
= [
62
3
−
13
3
] − [ln(2)] =
49
3
− ln (2) 
Luego, 
∫(1 + 2𝑥)2 −
1
𝑥
2
1
 𝑑𝑥 =
49
3
− ln (2) 
 
Otra forma de calcular ∫(1 + 2𝑥)2 𝑑𝑥. 
Utilizando el método de sustitución 
𝑢 = 1 + 2𝑥 → 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 → 
1
2
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫(1 + 2𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫𝑢2
1
2
𝑑𝑢 =
1
2
𝑢3
3
+ 𝐾 =
1
6
(1 + 2𝑥)3 + 𝐾 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Calcular la siguiente integral definida 
∫(1 + 2𝑥)2 −
1
𝑥
2
1
 𝑑𝑥