MATE 1C 2019 Clave de corrección examen Final Tema 2 05-07-2019

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Clave de corrección – Examen final 05-07-2019 1 
Matemática 
Clave de corrección examen Final– 05/07/2019 
Tema 2 
 
 
 
Primero debemos hallar la expresión de la función lineal: 
𝑔(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 
5 = 𝑚 ∙ (−1) + 𝑏 
5 = 𝑚 ∙ (3) + 𝑏
} → 𝑚 = 0 ; 𝑏 = 5 
𝑔(𝑥) = 5 
Para hallar el o los valores de 𝑥 para los cuales ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) planteamos 
5 = 3𝑥2 − 3𝑥 − 1 ↔ 3𝑥2 − 3𝑥 − 1 − 5 = 0 ↔ 3𝑥2 − 3𝑥 − 6 = 0 
𝑥1;2 =
−(−3) ± √(−3)2 − 4 ∙ (3) ∙ (−6)
2 ∙ (3)
=
3 ± √9 + 72
6
=
3 ± √81
6
=
3 ± 9
6
 
𝑥1 =
12
6
= 2 𝑥2 = −
6
6
= −1 
Los valores de 𝑥 para los cuales ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) son𝑥1 = 2 y 𝑥2 = −1 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Sea 𝑔 la función lineal que cumple 
𝑔(−1) = 5 𝑔(3) = 5 
y sea 
ℎ(𝑥) = 3𝑥2 − 3𝑥 − 1 
Hallar el o los valores de 𝑥 para los cuales ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑥) 
 
 
 
Clave de corrección – Examen final 05-07-2019 2 
 
 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = ln(𝑥) + 𝐶1 (𝑠𝑖 𝑥 > 0) 
∫(1 + 3𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫1 + 6𝑥 + 9𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 + 3𝑥2 + 3𝑥3 + 𝐶2 
 
Entonces, 
∫
1
𝑥
− (1 + 3𝑥)2
2
1
 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑥
2
1
 𝑑𝑥 − ∫(1 + 3𝑥)2
2
1
 𝑑𝑥 = (ln(𝑥))|1
2 − (𝑥 + 3𝑥2 + 3𝑥3)|1
2 = 
= [ln(2) − ln(1)⏟ 
=0
] − [(2 + 3 ∙ 22 + 3 ∙ 23) − (1 + 3 ∙ 12 + 3 ∙ 13)] = 
= [ln(2)] − [38 − 7] = ln(2) − 31 
Luego, 
∫
1
𝑥
− (1 + 3𝑥)2
2
1
 𝑑𝑥 = ln(2) − 31 
 
Otra forma de calcular ∫(1 + 3𝑥)2 𝑑𝑥. 
Utilizando el método de sustitución 
𝑢 = 1 + 3𝑥 → 𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 → 
1
3
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
∫(1 + 3𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫𝑢2
1
3
𝑑𝑢 =
1
3
𝑢3
3
+ 𝐾 =
1
9
(1 + 3𝑥)3 + 𝐾 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Calcular la siguiente integral definida 
∫
1
𝑥
− (1 + 3𝑥)2
2
1
 𝑑𝑥 
 
 
 
Clave de corrección – Examen final 05-07-2019 3 
 
 
El denominador de la función involucrada en el límite se anula si 𝑥 = 2 y si 
𝑥 = −2. 
Entonces reescribimos 
(𝑎 + 𝑥)(𝑥 − 2)
𝑥2 − 4
=
(𝑎 + 𝑥)(𝑥 − 2)
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2)
=
𝑎 + 𝑥
𝑥 + 2
 
Luego 
7 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(𝑎 + 𝑥)(𝑥 − 2)
𝑥2 − 4
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑎 + 𝑥
𝑥 + 2
=
𝑎 + 2
2 + 2
=
𝑎 + 2
4
 
7 =
𝑎 + 2
4
 → 28 = 𝑎 + 2 ∴ 𝑎 = 26 
El valor de la constante es 𝑎 = 26 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑎 si se sabe que 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(𝑎 + 𝑥)(𝑥 − 2)
𝑥2 − 4
= 7 
 
 
 
Clave de corrección – Examen final 05-07-2019 4 
 
 
Si la función tiene un mínimo en el punto de abscisa 𝑥 = 1 se tiene que 
𝑓′(1) = 0. 
La derivada de la función es 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑒𝑥
2−1 −
3
𝑏 + 3𝑥
 
Entonces, 
𝑓′(1) = 2 ∙ 1 ∙ 𝑒1
2−1⏟ 
=1
−
3
𝑏 + 3 ∙ 1
= 2 −
3
𝑏 + 3
 
Como existe la derivada en 𝑥 = 1 tenemos que 𝑏 ≠ −3. 
Luego, 
0 = 2 −
3
𝑏 + 3
 ↔ 2 =
3
𝑏 + 3
 ↔ 2(𝑏 + 3) = 3 ↔ 2𝑏 + 6 = 3 
 2𝑏 = −3 ∴ 𝑏 = −
3
2
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑏 ∈ ℝ si se sabe que la función tiene un 
mínimo en el punto de abscisa 𝑥 = 1 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
2−1 − 𝑙𝑛 (𝑏 + 3𝑥)