MATE 1C 2019 Clave de corrección Primer parcial Mesa combinada 09-05-2019

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Clave de corrección – Mesa combinada 09/05/2019 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Mesa combinada – 09/05/2019 
 
 
 
Buscamos los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 
3𝑥2 + 5𝑥 − 10 ≥ 12 − 5(2 − 𝑥) 
3𝑥2 + 5𝑥 − 10 ≥ 12 − 10 + 5𝑥 
3𝑥2 + 5𝑥 − 10 − 12 + 10 − 5𝑥 ≥ 0 
3𝑥2 − 12 ≥ 0 
3𝑥2 ≥ 12 
𝑥2 ≥ 4 
√𝑥2 ≥ √4 
|𝑥| ≥ 2 ↔ 𝑥 ≥ 2 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑥 ≤ −2 ↔ 𝑥 ∈ (−∞; −2] ∪ [2; +∞) 
 
 
 
 
La forma general del polinomio de grado 4 es 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3)(𝑥 − 𝑥4) 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Representar en la recta real el conjunto solución de la inecuación 
3𝑥2 + 5𝑥 − 10 ≥ 12 − 5(2 − 𝑥) 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar la expresión del polinomio de grado 4 que satisface 
simultáneamente las siguientes condiciones: 
a) tiene a una raíz doble en 𝑥 = 2 
b) cruza al eje de las abscisas (𝑒𝑗𝑒 𝑥) cuando 𝑥 = −1 y en 𝑥 = 3 
c) La gráfica del polinomio cruza el eje de las ordenadas (𝑒𝑗𝑒 𝑦) en 
𝑦 = 6 
 
 
 
Clave de corrección – Mesa combinada 09/05/2019 2 
con 𝑎 ≠ 0 y con 𝑥𝑖 (1 ≤ 𝑖 ≤ 4) raíces del polinomio. 
Nos dicen que 𝑥 = 2 es raíz doble. Sin pérdida de generalidad podemos 
suponer que 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 2. 
También nos dicen que la gráfica del polinomio cruza al eje de las abscisas 
cuando 𝑥 = −1 y en 𝑥 = 3 . Esto nos dice que 𝑥 = −1 y 𝑥 = 3 son raíces del 
polinomio (recordamos que cuando la gráfica cruza el eje de las abscisas 
𝑃(𝑥) = 0) 
Podemos escribir al polinomio como 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 2)(𝑥 − 2)(𝑥 − (−1))(𝑥 − 3) 
o bien 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 2)2(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 
La condición c) nos dice que la gráfica del polinomio cruza al eje de las 
ordenadas en 𝑦 = 6. Esto quiere decir que 𝑃(0) = 6. 
Entonces, 
𝑃(0) = 6 
𝑎(0 − 2)2(0 + 1)(0 − 3) = 6 
𝑎 ∙ (4) ∙ (1) ∙ (−3) = 6 → 𝑎 = −
1
2
 
El polinomio pedido es 
𝑃(𝑥) = −
1
2
(𝑥 − 2)2(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 
 
 
 
 
Primero hallamos la expresión de la función 𝑔 ∘ 𝑓: 
𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(√2𝑥 − 4) = √2𝑥 − 4 − 2 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el dominio y conjunto de ceros de la función 𝑔 ∘ 𝑓 siendo 
 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 
 
 
Clave de corrección – Mesa combinada 09/05/2019 3 
El dominio de la función serán aquellos valores de 𝑥 para los cuales el 
argumento de la raíz cuadrada es un número mayor o igual a cero. 
Pedimos entonces que: 
2𝑥 − 4 ≥ 0 ↔ 2𝑥 ≥ 4 ↔ 𝑥 ≥ 2 → 𝑥 ∈ [2; +∞) 
Luego, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [2; +∞) 
Para hallar el conjunto de ceros de la función planteamos: 
√2𝑥 − 4 − 2 = 0 
√2𝑥 − 4 = 2 
(√2𝑥 − 4)
2
= 22 
2𝑥 − 4 = 4 
2𝑥 = 8 
𝑥 = 4 
Luego, 𝐶0 = {4} 
 
 
 
Buscamos los valores 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 
𝑥2
𝑥 + 3
≤ 𝑥 
𝑥2
𝑥 + 3
− 𝑥 ≤ 0 
𝑥2 − 𝑥(𝑥 + 3)
𝑥 + 3
≤ 0 
𝑥2 − 𝑥2 − 3𝑥
𝑥 + 3
≤ 0 
−3𝑥
𝑥 + 3
≤ 0 
 
El cociente es un número menor o igual a cero si: 
- −𝟑𝒙 ≥ 𝟎 y 𝒙 + 𝟑 < 𝟎 
−3𝑥 ≥ 0 ↔ 𝑥 ≤ 0 ↔ 𝑥 ∈ (−∞; 0] 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el conjunto de los 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) siendo 
𝑓(𝑥) = 
𝑥2
𝑥 + 3
 𝑔(𝑥) = 𝑥 
 
 
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𝑥 + 3 < 0 ↔ 𝑥 < −3 ↔ 𝑥 ∈ (−∞; −3) 
Como las dos condiciones deben satisfacerse simultáneamente: 
𝑥 ∈ (−∞; 0] ∩ (−∞; −3) = (−∞; −3) 
- −𝟑𝒙 ≤ 𝟎 y 𝒙 + 𝟑 > 𝟎 
−3𝑥 ≤ 0 ↔ 𝑥 ≥ 0 ↔ 𝑥 ∈ [0; +∞) 
𝑥 + 3 > 0 ↔ 𝑥 > −3 ↔ 𝑥 ∈ (−3; +∞) 
Como las dos condiciones deben satisfacerse simultáneamente: 
𝑥 ∈ [0; +∞) ∩ (−3; +∞) = [0; +∞) 
 
Finalmente, el conjunto solución de la inecuación es: 
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = (−∞; −3) ∪ [0; +∞)