Tipos de graficos de control por atributos

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GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS 
 
Introducción 
 
Algunas características de calidad no pueden ser representadas 
convenientemente por medio de variables cuantitativas. En estos casos, las 
unidades de producto se clasifican en “conformes” o en “no conformes” según la 
característica o características cualitativas sean o no conformes con las 
especificaciones. Las características de calidad de este tipo se denominan 
atributos. Los datos de tipo atributo tienen solamente dos valores: Conforme / no 
conforme, pasa/no pasa, funciona / no funciona, presente / ausente. También se 
consideran atributos aquellas características cuantitativas que se registran en 
términos de sino como por ejemplo, el diámetro de un eje cuya conformidad solo la 
medimos en términos de aceptable/no aceptable, las imperfecciones de pintura en 
una puerta de un automóvil, las burbujas en la laca de un detonador, la 
presencia/ausencia de un percutor, etc. 
 
Vamos a analizar cuatro tipos de gráficos de control por atributos: 
Gráfico “p” para porcentajes defectuosos 
Gráfico “np” para el número de unidades defectuosas 
Gráfico “c” para el número de defectos 
Gráfico “u” para el número de defectos por unidad inspeccionada 
 
Gráfico “p” para porcentajes defectuosos 
La fracción no conforme de un colectivo se define como el cociente entre el 
número de unidades defectuosas y el número total de unidades en dicho colectivo. 
Cada unidad de producto puede ser examinada por el inspector respecto de una o 
varias características cualitativas. Si la unidad inspeccionada no es conforme 
respecto a la especificación en una o más características, se clasifica como no 
conforme. Habitualmente, la fracción no conforme se expresa en forma decimal 
aunque puede también indicarse en tanto por ciento. 
La distribución binomial es la base estadística del gráfico de control por atributos. 
Supondremos que el proceso está operando de forma estable y que la posibilidad 
de que una unidad de producto sea defectuosa es constante y de valor p. 
También, supondremos que las unidades producidas sucesivamente son 
independientes. Entonces, si tomamos una muestra de n unidades, y llamamos x 
al número de unidades no conformes, la probabilidad de que x tome los valores 0, 
1, 2.... n vendrá determinada por la distribución binomial con parámetros n, p: 
 
 
 
El valor medio y la varianza de esta distribución son : 
 
 
La fracción muestral no conforme se define como el cociente entre el número de 
unidades no conformes en la muestra x y el tamaño de la misma p = x/n. 
 
El valor medio y la varianza de p serán respectivamente : 
 
 
como consecuencia de la relación p = x/n 
Operativa del gráfico de control “p” 
La base estadística para definir los límites de control es común con los restantes 
gráficos de Shewhart: Si W es un estadístico que describe una determinada 
característica de calidad siendo w y w2 su media y su varianza, los límites de 
control se definen como : 
 
 
K es la distancia de los límites de control a la línea central expresada como un 
múltiplo de sw. Habitualmente escogeremos K = 3. 
Supongamos que conocemos o se especifica la fracción p no conforme de un 
proceso de producción. Entonces los limites de control resultan: 
 
 
La operativa consiste en tomar sucesivas muestras de n unidades, contar dentro 
de cada muestra el número de unidades no conformes y calcular = D/n llevando 
este valor al gráfico. En tanto permanezca dentro de los límites de control y la 
secuencia de puntos no señale ninguna pauta distinta a la que puede surgir por 
mero azar, diremos que el proceso está bajo control al nivel p de fracción no 
conforme. Si por el contrario, observamos algún punto fuera de control o un patrón 
inusual diremos que la fracción defectuosa ha cambiado a un nivel diferente y que 
el proceso está fuera de control. 
 
Cuando se desconoce p, debe estimarse a partir de los datos. El procedimiento a 
seguir es seleccionar m muestras preliminares, cada una de tamaño n. Como 
norma general, m estará comprendido entre 20 y 25. Si Di es el número de 
unidades defectuosas en la muestra i, calcularemos la fracción defectuosa en la 
muestra como ; i = 1, 2... .n y la media de estas fracciones, 
, estimará la media p del proceso siendo los límites de control: 
 
 
Frecuentemente se utiliza solo el límite superior. 
 
Estos límites de control se consideran como limites de prueba y sirven para 
determinar si el proceso estaba bajo control cuando las m muestras iniciales 
fueron seleccionadas. Si todos los puntos caen dentro de los límites de control y 
no se observa ninguna pauta anormal dictaminaremos que el proceso estaba bajo 
control a la toma de las m muestras y los límites de prueba serán validos para 
controlar la producción actual y la futura. 
 
Los límites de control para la producción actual deben basarse en datos obtenidos 
de una situación estable. Por ello, cuando alguno de los puntos iniciales está fuera 
de control se hace necesario revisar los límites de control. Esto se realiza 
examinando cada punto fuera de control y buscando las causas asignables. Si se 
localiza la causa asignable se descarta el punto correspondiente y se vuelven a 
calcular los límites de control con los puntos restantes. Puede darse el caso que 
alguno de estos restantes puntos se encuentre ahora fuera de control respecto de 
los nuevos límites ya que estos serán, normalmente, más estrechos que los 
iniciales. Entonces, deben repetirse los pasos dados anteriormente hasta que 
todos los puntos se encuentren dentro de control con lo que ya podremos adoptar 
los límites hasta entonces provisionales como límites definitivos. 
 
Si el gráfico de control se basa en un valor estandar conocido (un objetivo) para la 
fracción no conforme p, entonces el cálculo de límites de prueba es, 
generalmente, innecesario aunque deben tomarse ciertas precauciones en el 
sentido de comprobar si el proceso está bajo control a un valor de p diferente dei 
indicado en el objetivo. Por ejemplo, supongamos que la Dirección señala como 
valor objetivo p = 0,01 pero que el proceso se encuentra realmente bajo control a 
p = 0,05. 
 
 
Utilizando el gráfico correspondiente a p = 0,01 encontraremos muchos puntos 
fuera de control sin que aparezca causa asignable. No obstante, suele ser útil esta 
opción para mejorar el nivel de calidad llevando el proceso al nivel adecuado, 
sobre todo en procesos donde la fracción no conforme puede ser controlada 
mediante un proceso sencillo de ajuste. 
 
Diseño del gráfico p 
 
El gráfico p tiene tres parámetros a especificar: Tamaño y frecuencia del 
desmuestre y distancia entre límites de control. 
 
Es frecuente calcular el gráfico de control a partir de la inspección realizada a lo 
largo de un periodo de tiempo determinado. Un día, un turno, etc. En este caso, la 
frecuencia y el tamaño de la muestra están relacionados. Generalmente, se 
selecciona inicialmente la frecuencia del desmuestre apropiada para la producción 
a inspeccionar y de ahí resulta el tamaño de la muestra. 
 
Los subgrupos racionales pueden jugar también un papel importante en 
determinar la frecuencia del desmuestre. Por ejemplo, si hay tres turnos y 
sospechamos que entre turnos puede variar el nivel de calidad utilizaremos cada 
turno como un subgrupo sin mezclarlos para obtener una fracción diaria no 
conforme. Si p es pequeño n deberá ser suficientemente grande para encontrar, al 
menos una unidad defectuosa en la muestra. 
 
Se ha sugerido que el tamaño de muestra debe ser lo bastante grande para tener 
una probabilidad de aprox. 50% de detectar un cambio de una determinada 
magnitud. Por ejemplo, supongamos que p = 0,01 y que queremos que la 
probabilidad de detectar un cambio a p = 0,05 sea del 50%. Suponiendo que 
aproximamos la distribución binomial respecto de la normal, escogeremos de tal 
forma que el límite de Control Superior coincide con la fracción no conforme en la 
situación de fuera de control. Si 6 es la magnitud del cambiodel proceso, entonces 
n debe satisfacer 
 
 
 
 
En nuestro ejemplo, p = 0,01,  = 0,05-0,01 = 0,04 y con K=3 n = 56 
 
Los límites 3 son los que se usan con más frecuencia aunque pueden adaptarse 
otros más sensibles a costa de exponerse a situaciones más frecuentes de falsa 
alarma. 
 
A veces, suelen usarse limites más estrechos (por ejemplo 2) dentro de una 
situación de urgencia para mejorar la calidad de un proceso. Estos límites deben 
utilizarse con precaución porque las falsas alarmas destruyen la confianza de los 
operadores en los gráficos de control. 
 
Hay que tener en cuenta que los límites de control estudiados se basan en la 
distribución binomial que considera constante la proporción defectuosa “p’ y que 
los valores sucesivos son independientes. En procesos en los que las unidades no 
conformes están agrupadas o en los que la probabilidad de producir una unidad 
defectuosa depende de que la anterior unidad producida haya sido no defectuosa, 
no son aplicables este tipo de gráficos. 
 
Deben examinarse con cuidado aquellos puntos situados por debajo del límite de 
control inferior. Estos puntos no suelen ser lo que aparentemente indican: Una 
mejora en la calidad del proceso por disminución de a sino que suelen originarse 
por errores en la inspección o por causa de aparatos de medida mal calibrados. 
También puede deberse a que los operadores hayan registrado datos ficticios para 
cubrir su responsabilidad. 
 
Gráfico np para unidades defectuosas 
 
Supongamos un proceso que fabrica tornillos. Una manera de ensayar cada 
tornillo sería probarlo con una rosca calibrada. 
 
El resultado de este ensayo sólo tiene dos posibles resultados: 
Defectuoso - No Defectuoso (ó Conforme-No Conforme ) 
. Si el tornillo no entra en la rosca, se lo considera defectuoso o no 
conforme. 
 
Para controlar este proceso, se puede tomar una muestra de tornillos y contar el 
número de defectuosos presentes en la muestra. 
 
 
 
La variable aleatoria número de defectuosos es una variable aleatoria discreta, 
porque puede tomar un número finito de valores, o infinito numerable. Los gráficos 
np se utilizan para controlar el número de defectuosos en una muestra. 
 
Para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de 
producción y cada hora retira una muestra de n=50 tornillos (por ejemplo), 
comprueba cada uno con la rosca y anota el número de defectuosos. 
 
 
 
Este resultado se anota en un gráfico hora por hora denominado gráfico np. 
 
Si se tomara del proceso un sólo tornillo ¿Cuál es la probabilidad de que sea 
defectuoso? Imaginando la población de tornillos que podría fabricar el proceso 
trabajando siempre en las mismas condiciones, una cierta proporción p de estos 
serían defectuosos. Entonces, la probabilidad de tomar un tornillo y que sea 
defectuoso es p. 
 
En una muestra de n tornillos, la probabilidad de encontrar: 
0 defectuosos ; 1 defectuoso ; 2 defectuosos ; ... ; n defectuosos 
está dada por una distribución binomial con parámetros n y p. 
Como sabemos, el promedio de la población es p y la varianza es n.p.(1-p). 
 
Para construir los gráficos de control np, en una primera etapa se toman N 
muestras (más de 20 ó 25) a intervalos regulares, cada una con n tornillos. Se 
cuenta en cada muestra el Número de Defectuosos y se registra. Se obtendría una 
Tabla como la siguiente: 
 
 
 
En cada muestra, la fracción de defectuosos es Di/n, siendo Di el número de 
elementos defectuosos en la muestra i, y n el número de elementos en la muestra 
i 
 
A partir de la tabla podemos calcular p como promedio de las fracciones de 
defectuosos en las muestras: 
 
 
 
 
 
siendo N el número de muestras, y luego la Desviación Standard s: 
 
 
 
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico np: 
 
 
 
Construimos entonces un Gráfico np de prueba y representamos el número de 
defectuosos en las muestras. 
 
Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no 
aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura. 
 
Para las personas con poco entrenamiento estadístico, este gráfico suele ser más 
fácil de interpretar que el gráfico p. Frecuentemente se utiliza solo el límite 
superior. 
 
En algunos procesos interesa medir la cantidad de defectos que presentan las 
unidades de producto que se están fabricando. Por ejemplo, se fabrican teléfonos 
celulares y entonces se toma uno de ellos y se cuenta el número total de defectos. 
Estos podrían ser: 
• Rayas en la superficie. 
 
• grietas en el plástico 
 
• Antena defectuosa 
 
• Botón defectuoso. 
 
• Etc. 
 
 
Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos 
defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el Número 
de Defectos por unidad de inspección. 
 
A medida que el proceso genera las unidades (Teléfonos móviles), retiramos una 
unidad a intervalos regulares y contamos el número total de defectos. En cada 
unidad podemos encontrar:? 
 
 
 
 
 
 
 
 
• 0 defectos 
 
• 1 defecto 
 
• 2 defectos 
 
• ... 
 
• n defectos 
 
Los resultados obtenidos al contar el Número de Defectos en unidades de 
inspección tomadas a intervalos regulares constituyen una variable aleatoria 
discreta, porque puede tomar los valores discretos 0, 1, 2, ... n. Esta variable 
aleatoria tiene una distribución de Poisson: 
 
 
 
Los gráficos C se utilizan para controlar el número de defectos en una muestra del 
producto o unidad de inspección. Para controlar este proceso, un inspector se 
coloca al final de la línea de producción y cada cierto intervalo retira una unidad de 
inspección, verifica y anota el número total de defectos. 
 
 
Este resultado se anota en un gráfico denominado gráfico C. De acuerdo a la 
Distribución de Poisson, si denominamos C al parámetro de la función de 
distribución, el promedio de la población es C y la varianza también es C. 
 
Una unidad defectuosa puede tener uno o más defectos. Sin embargo, es posible 
que una unidad de producto tenga varios defectos y que no sea clasificada como 
defectuosa debido a la naturaleza poco importante del defecto. Existen en la 
práctica muchas situaciones en las que es preferible trabajar con el número de 
defectos que con el porcentaje o el número de unidades defectuosas. Por ejemplo, 
el número de soldaduras defectuosas en un tubo de conducción de gas, el número 
de defectos funcionales es un dispositivo electrónico, etc. 
 
Se pueden efectuar gráficos de control para el número total de defectos por unidad 
de producto o para el número de defectos en la muestra. Estos gráficos de control 
se basan en la distribución de Poísson que exige un número de puntos donde 
potencialmente podría producirse el defecto infinitamente grande, así como que la 
probabilidad de que el defecto aparezca en un determinado punto sea muy 
pequeña y constante. 
 
La unidad de inspección debe ser la misma en cada muestra. Es decir cada 
unidad de inspección debe representar siempre una probabilidad igual de que se 
produzcan los defectos. En la mayor parte de las situaciones prácticas, estas 
condiciones no se satisfacen exactamente. El número de oportunidades (puntos) 
para los defectos suele ser finito y la probabilidad de aparición de defectos puede 
no ser constante. Si las desviaciones respecto de la situación ideal no son 
importantes, puede usarse el modelo de Poisson. Existen, sin embargo, casos en 
los que las desviaciones respecto de las condiciones del modelo son 
considerables y en los que la utilización de la distribución de Poisson es 
inadecuada. 
 
Gráficos “c” para tamaño de muestra constante 
 
En el gráfico ‘c’ se representan el número de defectos existentes en cada unidad 
de inspección. En la mayor parte de los casos, la unidad de inspección será una 
unidad de producto aunque esto no es absolutamente necesario ya que la unidad 
de inspección constituye simplemente una porción de producción sobre laque es 
conveniente registrar el número de defectos encontrados. Puede ser un grupo de 
1,5 6 10 unidades de producto. Supongamos que los defectos tienen lugar en esta 
unidad de inspección de acuerdo con la distribución de Poisson 
 
 
 
donde x es el número de defectos en la unidad de inspección y C es el parámetro 
de la distribución, Sabemos que la media y la varianza de la distribución de 
Poisson son ambas iguales a C. En consecuencia, los límites de control 3 sigma 
para el número de defectos serán: 
 
 
 
Hay que tener en cuenta que la probabilidad de producir una falsa alarma por 
situarse el punto por encima del límite de control superior es diferente que la de 
situarse por debajo del límite inferior (colas superior e inferior diferentes). Si no se 
conoce el parámetro c, debe estimarse a partir de una muestra preliminar de 
unidades de inspección. El valor obtenido en la estimación, O sustituirá al valor O 
en los límites arriba indicados. 
 
 
Análisis de defectos 
 
Los datos sobre defectos aportan siempre mayor información que los relativos a 
unidades defectuosas ya que habitualmente existen diversos tipos de defectos. 
Al analizar por conteo la frecuencia de cada tipo de defecto observamos que, en 
muchas ocasiones, los resultados están acordes con la distribución de PARETO y 
que un pequeño número de defectos es causa de la mayor parte de los 
problemas. Si somos capaces de eliminar las causas de unos pocos tipos de 
defectos, habremos conseguido una drástica mejora en la calidad. 
 
 
Gráfico “u” 
 
Supongamos que se está controlando el número de defectos en un proceso de 
ensamblado de licuadoras y se define una unidad de inspección de 5 licuadoras. 
En este caso es posible trabajar con un gráfico C, como ya hemos visto. Pero tal 
vez se desea controlar el promedio de defectos por cada licuadora (unidad de 
producción) en lugar del total de defectos para las 5 licuadoras (unidad de 
inspección): 
 
 
 
siendo ni la cantidad de Defectos por Unidad de Inspección y m el número de 
Unidades de Producción en la Unidad de Inspección. 
 
 
En nuestro ejemplo, si encontramos ni defectos en la unidad de inspección (5 
licuadoras), la cantidad promedio de defectos por licuadora será 
 
Se debe tener en cuenta que x es una nueva variable aleatoria discreta que toma 
valores 0, 1/m, 2/m, …etc., y cuya distribución de probabilidades se puede 
calcular a partir de la Distribución de Poisson. 
 
Como en el caso de los gráficos C, en una primera etapa se toman N unidades de 
inspección (más de 25 ó 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de 
inspección el Número de Defectos y se registra. Luego se divide el Número de 
Defectos de cada unidad de inspección por m (Número de unidades de producción 
en cada unidad de inspección). 
 
En nuestro ejemplo (m = 5) la Tabla quedaría así: 
 
 
 
 
Entonces, a partir de la tabla podemos calcular el parámetro U, como promedio del 
Número de Defectos por licuadora, y la Desviación Standard: 
 
; 
 
siendo : ni la cantidad de Defectos por Unidad de Inspección, m el Número de 
Unidades de Producción en la Unidad de Inspección y N el Número de Unidades 
de Inspección 
 
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico U: 
 
 
 
 
 
 
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 
 
Probabilidad de r o menos sucesos en n intentos, donde p es la ocurrencia de 
cada intento.