Ejercicios

Vista previa del material en texto

FICHA 2.2. ÁLGEBRA – TEMA 2. 
 Gauss. Problemas. Inecuaciones 
 
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 1 
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS I 
1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss:
 
 
 
 
 
2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Gauss:
 
 
 
 No existe solución porque la tercera ecuación es imposible para cualquier valor de z. 
 
3. En la actualidad las edades de una madre y su hijo suman la edad del padre, 38 años y 
cuando nació el hijo la suma de las edades de los padres era 61. ¿Cuántos años han de pasar 
para que la edad de la madre sea 5 veces la del hijo? 
 
 
FICHA 2.2. ÁLGEBRA – TEMA 2. 
 Gauss. Problemas. Inecuaciones 
 
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 2 
4. Hace 5 años la edad de un padre era 7 veces la del hijo, mientras que el hijo tenía la sexta 
parte de la edad de la madre. Si dentro de siete años la edad del padre será el triple que la 
del hijo, ¿qué edad tendrán entonces cada uno? 
 
 
5. Halla un número de tres cifras si se sabe que sus cifras suman 15, la cifra de las unidades es 
cuatro veces mayor que la de las decenas y la diferencia entre el número que resulta de 
intercambiar la cifra de las centenas y las unidades y el número original es 297 unidades. 
 
 
 
6. Encuentra un múltiplo de 10 de 4 cifras de tal manera que sus cifras suman 16 y si se 
intercambian las cifras de las decenas y centenas el número disminuye en 90 unidades, 
mientras que si se intercambian las cifras de las unidades de millar y las centenas el número 
aumenta en 3600 unidades. 
 
 
 
FICHA 2.2. ÁLGEBRA – TEMA 2. 
 Gauss. Problemas. Inecuaciones 
 
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 3 
7. Se tienen tres aleaciones diferentes de oro (Au) y plata (Ag). La primera tiene un 60 % de 
oro y su precio es de 25 €/g, la segunda contiene la misma cantidad de oro que de plata y su 
precio es de 20 €/g y la tercera contiene un 60 % de plata siendo su precio de 15 €/g. 
¿Cuántos gramos hay que coger de cada aleación para conseguir una aleación de 10 g con el 
52 % de oro y que cueste 21 €/g? 
 
Distribuyendo los datos en una tabla y suponiendo que se toman x g de la aleación 1, y g de la aleación 
2 y z g de la aleación 3, se tiene: 
 Cantidad Oro (Au) Plata (Ag) Precio € 
Aleación 1 x 0,6x 0,4x 25 €/g 25x 
Aleación 2 y 0,5y 0,5y 20 €/g 20y 
Aleación 3 z 0,4z 0,6z 15 €/g 15z 
MEZCLA 10 210€/g 25x + 20y + 15z 
Porcentaje oro: 
0,6 0,5 0,4
0,52 0,6 0,5 0,4 5,2 6 5 4 52
10
 
        
x y z
x y z x y z 
Porcentaje plata: 
0,4 0,5 0,6
0,48 0,4 0,5 0,6 4,8 4 5 6 48
10
 
        
x y z
x y z x y z 
Precio final: 25x + 20y + 15z = 210 
Resolviendo el sistema formado por las tres ecuaciones, se tiene x = 5, y = 2 y z = 3, por tanto 
hay que coger 5 g de la aleación 1, 2 g de aleación 2 y 3 g de la aleación 4. 
8. Se desea hacer una mezcla con tres clases de café. Uno tiene un 30% de torrefacto y un 70 % 
de natural y cuesta 8 €/kg; otro tiene mitad de cada tueste y cuesta 9€/kg y el último solo 
tiene tueste natural y cuesta 6 €/kg. ¿Cuántos kg hay que coger de cada café para obtener 
100 kg de café que tenga un 65 % de tueste natural y cueste 8,15 €/kg? 
 
 
FICHA 2.2. ÁLGEBRA – TEMA 2. 
 Gauss. Problemas. Inecuaciones 
 
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 4 
9. La suma de las tres cifras de un número es igual a 7. La cifra de las decenas es una unidad 
mayor que la suma de las otras dos. Si invertimos el orden de las cifras, el número aumenta 
en 99 unidades ¿Cuál es ese número? 
 
Llamamos x a la cifra de las centenas, y a la de las decenas, y z a la de las unidades. 
Así, el número es: x y z → 100x + 10y + z 
 
Tenemos que: 
 
Resolviendo x=1, y=4, z=2, y el número es 142. 
 
10. En un jardín hay dos zonas arboladas, una rectangular y otra cuadrada. De la primera 
sabemos que su largo es 7 metros mayor que su ancho. De la segunda, que la medida de su 
lado coincide con la diagonal de la otra. Calcula las dimensiones de ambas zonas sabiendo 
que para vallar la zona cuadrada se necesitaron 18 metros más de valla que para la 
rectangular. 
 
Hacemos una representación gráfica de la situación: 
 
El perímetro del rectángulo es: P = 2(x + 7) + 2x = 4x + 14 
 
Como sabemos que el perímetro del cuadrado supera en 18 m al del rectángulo podemos 
plantear esta ecuación: 
 
 
 La resolvemos: 
 
 
 
FICHA 2.2. ÁLGEBRA – TEMA 2. 
 Gauss. Problemas. Inecuaciones 
 
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 5 
 
x2 = ‒3, esta solución no es válida porque la longitud del lado de la parcela no puede ser 
negativa. 
Las dimensiones de la zona arbolada rectangular son 5 x 12 m. La zona cuadrada tiene un lado 
de 13 m. 
 
11. Resuelve las inecuaciones siguientes: 
a) 
2x +1
≥ 0
x - 2
 
 
Hallamos las raíces de ambos polinomios; así determinamos los intervalos en los que hay 
que estudiar el signo de la fracción. 
 
2x + 1 = 0 → 2x = −1 → x = −1/2 
 
x− 2 = 0 → x = 2 
 
 (−∞, −1/2) (−1/2, 2) (2, +∞) 
 
+ − + 
 
 Incluimos x = −1/2, que anula la fracción (x = 2 no vale, pues anula el denominador).
 
 
b) 
2
2
x +1
> 0
4 - x
 
 
Como x2+ 1 > 0 para cualquier valor de x, solo tenemos que buscar los valores de la 
incógnita para los cuales 4 − x2 > 0. 
Las raíces del polinomio son: 
 
 
 
 
FICHA 2.2. ÁLGEBRA – TEMA 2. 
 Gauss. Problemas. Inecuaciones 
 
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 6 
   5,1 / 5 1S x R x      
 Estudiamos el signo: 
 
 (−∞, −2) (−2, 2) (2, +∞) 
4 − x2 − + − 
 
 Por tanto, las soluciones de la inecuación inicial son los números del intervalo (−2, 2). 
 
c) 5 10 15 x . 
 
 15 5 10 15
15 10 5 10 10 15 10
 25 5 5
25 5 5
 
5 5 5
 5 1
x
x
x
x
x
   
      
  

 
  
 
 
 
12. Resuelve los sistemas de inecuaciones: 
a) 
 
 
  
  



1 2 1 0
3 1 9 0
x
x
 
 
 
  2
1
63
22
0933
0121
0913
0121

















x
x
x
x
x
x
x
x
 
 
 
 
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: 
     21212y1 ,x/xxx  
 
b) 



 
x - 3y - 1 < 0
x + y < 3
x -3
 
Representamos cada una de las rectas y vemos qué región del plano cumple cada 
desigualdad. 
 
FICHA 2.2. ÁLGEBRA – TEMA 2. 
 Gauss. Problemas. Inecuaciones 
 
Unidad 2│Álgebra Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 7 
Las soluciones del sistema son todos los puntos del recinto intersección de todas ellas. 
 
 
 
c) 
 
 

 
 
0
y 0
2x + 3y 800
4x + 2y 1000
x
 
 
Representamos cada una de las rectas y vemos qué región del plano cumple cada 
desigualdad y obtenemos: 
 
 
 
Las soluciones del problema son los puntos de coordenadas enteras que hay en la región 
sombreada.