Composición de Funciones TP

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Colegio Marista “La Inmaculada” de Granada – Profesor Daniel Partal García – www.danipartal.net 
Asignatura: Matemáticas Ciencias – 1ºBachillerato
Teoría – Tema 8: Composición de funciones
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Teoría – Tema 8
Composición de funciones
Índice de contenido
Composición f[g(x)] y g[f(x)]. Definición de función inversa...................................................2
Dominio en la composición de funciones..............................................................................3
Casos más usuales para estudiar el dominio de la composición de funciones elementales4
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Teoría – Tema 8: Composición de funciones
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Composición f[g(x)] y g[f(x)]. Definición de función inversa
Sean dos funciones f (x ) y g ( x) . Componer ambas funciones significa obtener una
nueva regla resultante de aplicar una función dentro de la otra. Con unos ejemplos lo
entenderemos mejor.
Sea f (x )=x2 y g ( x)= x−4 . Se define g ( x) compuesta con f (x ) , y se escribe
( f ∘g )( x)≡ f [ g ( x)] , a la transformación:
( f ∘g )( x)≡ f [ g ( x)]= f [ x−4]=(x−4)2
De igual forma, se define f (x ) compuesta con g ( x) , y se escribe
(g ∘ f )( x)≡g [ f ( x)] , a la transformación:
(g ∘ f )( x)≡g [ f ( x)]=g [ x2]=x2−4
Si la composición de dos funciones es igual a la función identidad y=x se dice que
ambas funciones son inversas. Por ejemplo: f (x )=x2 y g ( x)=√x :
( f ∘g )( x)≡ f [ g ( x)]= f [√ x]=x
(g ∘ f )( x)≡g [ f ( x)]=g [ x2]=x
No todas las funciones admiten inversa. Pero si existe, la inversa es única.
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Dominio en la composición de funciones
Supongamos que nos piden obtener el dominio de la función h( x)=x−2 . Facilmente
diríamos que son todos los valores reales por ser polinómica, ¿verdad? Eso es correcto.
Supongamos que nos dan dos funciones f (x )=
1
x
y g ( x)=
1
x−2
, y debemos estudiar
el dominio de la composición f [ g (x )] . Al operar tendríamos:
f [ g (x )]= f [
1
x−2
]=
1
1
x−2
=x−2
¿Diríamos que el dominio son todos los reales, por ser una función polinómica?
Esta pregunta tiene trampa. Si lo que tengo es una composición de funciones no debo
fijarme únicamente en la función final que obtengo, sino que debo estudiar de donde
vengo.
Partimos de g ( x)=
1
x−2
. Y sabemos que esta función es continua en todos los reales
menos en x=2 , por anular el denominador.
Y también tenemos f (x )=
1
x
, cuyo dominio son todos los reales menos x=0 , por
anular el denominador.
¿A qué conclusión llegamos?
El siguiente: el dominio en una composición de funciones f [ g (x )] son todos los valores
que pertenecen al dominio de g ( x) (primera función que aplicamos) siempre que la
imagen de g ( x) pertenezca a su vez al dominio de f (x ) (segunda función que
aplicamos).
Formalmente se diría → Dom [ f [ g ( x)]]=x∈Dom[ g ( x)]/ g ( x)∈Dom [ f ( x)]
En nuestro ejemplo tomamos x∈ℝ−{2} por ser el dominio de g ( x) y quitaríamos
además los valores que hiciesen g ( x)=0 , ya que el dominio de f (x ) es x∈ℝ−{0} .
Como g ( x)=
1
x−2
nunca se anula, concluimos → Dom [ f [ g ( x)]]=x∈ℝ−{2}
Un poco lío, ¿verdad? En el siguiente apartdo vamos a indicar reglas sencillas para
determinar de manera rápida el dominio de las composiciones de funciones más usuales.
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Casos más usuales para estudiar el dominio en operaciones
y composiciones de funciones elementales
Suma, resta y producto de dos funciones
Dominio: la intersección de los dominios de cada función.
Ejemplo: f (x )=x · ln(x ) → Dom( f ) → Dom( x)=ℝ , Dom( ln(x ))=(0,+∞)
Intersección: Dom( f )=ℝ∩(0,+∞)=(0,∞)
Cociente de funciones
Dominio: dominio del numerador intersectado con dominio del denominador, menos los
valores que anulen al denominador. 
Ejemplo: f (x )=
x
ln (x )
→ Dom( f ) → Dom( x)=ℝ , Dom( ln(x ))=(0,+∞)
Intersección: ℝ∩(0,+∞)=(0,∞)
A la intersección quitamos valores que hacen cero al denominador: ln( x)=0 → x=1
Dom( f )=(0,+∞)−{1}=(0,1)∪(1,+∞)
Cociente de polinomios
Dominio: todos los reales menos los valores que anulan al denominador.
Ejemplo: f (x )=
x−3
x+5
→ Dom( f )=ℝ−{−5}
Raíz de un polinimio o de un cociente de polinomios
Dominio: resolver la inecuación para que el discriminante sea mayor o igual a cero. 
Ejemplo: f (x )=√ 1x−5 → Dom( f ) : 1x−5≥0 → Dom( f )=(5,+∞)
Logaritmo de un polinomio o de un cociente de polinomios
Dominio: resolver la inecuación para que el argumento sea estrictamente mayor que cero.
Ejemplo: f (x )=ln (1−x ) → Dom( f ) :1−x>0 → Dom( f )=(−∞ ,1)
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Seno o coseno de una función
Dominio: coincide con el dominio de la función del argumento.
Ejemplo: f (x )=sen( ln( x)) → Dom( f )=Dom(ln( x)) → Dom( f )=(0,+∞)
Exponencial (base positiva elevada a una función)
Dominio: coincide con el dominio de la función del exponente.
Ejemplo: f (x )=e1/ x → Dom( f )=Dom(1/ x ) → Dom( f )=ℝ−{0}
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	Composición f[g(x)] y g[f(x)]. Definición de función inversa
	Dominio en la composición de funciones
	Casos más usuales para estudiar el dominio en operaciones y composiciones de funciones elementales