Ejercicios Derivadas

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MATEMATICAS I 
Unidad 12: Derivadas. 
Unidad 7 Página 1 
 
 
Unidad 12: DERIVADAS 
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 
(14 EJERCICIOS OBLIGATORIOS PARA ENTREGAR 
JUNTO AL EXAMEN DEL SEGUNDO PARCIAL) 
 
 
Encuentra en tu libro de texto la tasa de variación media. 
Cuando estudiamos el crecimiento o variación de una función en un intervalo utilizamos la 
tasa de variación media, y cuando lo hacemos en un valor concreto de x utilizamos la tasa de 
variación instantánea. 
 
Ejercicio 12 – 1 .- 
 Resuelve el ejercicio que aparece en el 
siguiente video. 
 Video 12 – 1 – a : 
https://www.youtube.com/watch?v=2RBCifEcV7w 
 
 
 
La T.V.I se calcula como la T.V.M. pero en el intervalo (x, x+h) donde h es un valor 
infinitamente pequeño. Veamos un ejemplo, siguiendo con la función del ejercicio anterior, la 
temperatura de un sólido. Hallemos la T.V.I en el tiempo 1 minuto. 
 
 
Interpretamos que en el tiempo 1 minuto la temperatura tiende a bajar 6 grados. (Hemos 
obtenido h – 6 pero como h es prácticamente cero, redondeamos a 6). 
A este valor de T.V.I. se denomina derivada de la función y en el valor de x = 1. 
 
La derivada de una función en un valor de x tiene un significado geométrico y es el siguiente: la 
inclinación de la recta tangente. Lo encontrarás en tu libro de texto. 
https://www.youtube.com/watch?v=2RBCifEcV7w
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Observa que la curva de una función en cada valor de x, o punto de la curva, tiene una recta 
tangente. Pues bien la inclinación de esa recta es el valor de la derivada. 
 (El cálculo de la inclinación de una recta que denominamos pendiente, lo estudiamos en la 
unidad 4. Entonces tomábamos dos puntos y calculábamos el cociente de los incrementos de 
las variables) 
 
Ejercicio 10 – 2 .- 
 
 
De una forma analítica hallar la derivada supone calcular un límite. Esto se hace de la 
siguiente manera: 
 
 
Debemos calcular la T.V.M en el intervalo (x, x+h) o lo que es lo mismo la T.V.I. 
 
 
 
Hemos calculado de golpe todas las derivadas, es decir, la derivada en cualquier valor de x, a esto 
se denomina función derivada. Por ejemplo, la derivada en x = 4 la obtenemos sustituyendo la x por 
4 en la expresión de la derivada ( ) , y obtenemos que la derivada vale 5 – 2 · 4 = - 3 
De la misma forma la derivada en x = 7 sería 5 – 2 · 7 = 5 -14= - 9 
 
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No te preocupes que no tendrás que resolver límites para calcular las derivadas. Ya lo han 
hecho otros por nosotros, los matemáticos de épocas anteriores, no hace tantos siglos, y han 
construido unas reglas de derivación como método sencillo de obtener la función derivada. Las 
veremos a continuación. 
 
 Presta atención al ejemplo que aparece en el 
siguiente video. 
 Video 7 – 3 – a : 
https://www.youtube.com/watch?v=a0R0iohHRRE 
 
 
 
 
 
 Vamos a estudiar cómo se manejan las fórmulas del cálculo de derivadas con la ayuda de la 
página web VITUTOR. Allí encontrarás muchos ejercicios resueltos y es bueno que practiques todo 
lo que puedas pues coger agilidad en el cálculo de derivadas es complicado. En cualquier caso, ten 
presente que el próximo curso volveremos a estudiar las derivadas. Me conformo con que este curso 
aprendas más o menos las reglas de cálculo y el próximo ya las memorices. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=a0R0iohHRRE
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Ejercicio 10 – 3 .- 
 Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las 
derivadas de las siguientes funciones: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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Ejercicio 10 – 4 .- 
 Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las 
derivadas de las siguientes funciones:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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Ejercicio 10 – 5 .- 
 Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las 
derivadas de las siguientes funciones:
 
 
 
 
 
 
 
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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Ejercicio 10 – 6 .- 
 Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las 
derivadas de las siguientes funciones:
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 10 – 7 .- 
 Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las 
derivadas de las siguientes funciones:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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 Ya hemos visto la derivación de funciones compuestas en el apartado anterior, pero vamos a 
seguir con más ejemplos y ejercicios. Se denomina regla de la cadena. 
 
 
Ejercicio 10 – 8 .- 
 Ayúdate de la página web: https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html para calcular las 
derivadas de las siguientes funciones:
 
 
 
 
 TE AVISO QUE ESTE TEMA LO VOLVERÁS A ESTUDIAR EN LA 
ASIGNATURA DE SEGUNDO CURSO. POR LO TANTO TIENES DOS 
CURSOS PARA APRENDER A DERIVAR UNA FUNCIÓN. 
 
APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. 
 
La ecuación de la recta tangente a una curva. 
 
 
Si queremos calcular la derivada de una función en un punto recurrimos a la función 
derivada. Por ejemplo: 
¿Cuánto vale la derivada de la función ( ) √ en el punto x = 2? 
Obtenemos la función derivada: ( ) 
 
 √ 
 ( ) 
 
 √ 
 
 
√ 
 
 
Calculamos la derivada en x = 2, ( ) 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
Una de las aplicaciones geométricas de la derivada más interesantes es la ecuación de la 
recta tangente. Encuentras la fórmula en tu libro de texto. 
https://www.vitutor.com/fun/4/derivadas.html
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 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Aquí tienes un ejemplo: 
 
La ecuación de la recta tangente en x = 2 
 
Primero calculamos la derivada ( ) 
Necesitamos conocer tres números: a, f(a), f ’(a). 
El valor a nos viene dado es a = 2 
El valor f(a) se calcula sustituyendo en f(x) la variable x por el valor a, que es 2, así: 
 ( ) ( ) 
El valor f ‘(a) se calcula haciendo lo mismo pero en la derivada f ‘(x) 
 ( ) ( ) 
Sustituimos estos tres valores en la fórmula que aparece en el recuadro inferior, y obtenemos 
 ( ) que es lo mismo que 
La ecuación de la recta tangente a la curva de f(x) en x = 2 es la recta 
 
Ejercicio 10 – 9 .- 
 Resuelve el siguiente ejercicio que 
aparece en el video. 
Video 7 – 7 – a: 
https://www.youtube.com/watch?v=YQ4R4RRr2dI 
 
 
 
 
 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES DE UNA FUNCIÓN 
 
La aplicación de la derivada que resulta más interesante es la obtención de máximos y 
mínimos locales o relativos de una función. 
Para ello se estudian los puntos singulares, aquellos 
donde la derivada se anula. Estos son los candidatos a ser 
máximos o mínimos relativos. 
 
 
Ejercicio 7 – 10 .- 
 En el siguiente video quiero que prestes atención 
únicamente al cálculo de los máximos y los mínimos. Luego 
intenta calcularlos tú en tu cuaderno. Video 7 – 8 – a : https://www.youtube.com/watch?v=5PnzLrfz0Dg 
 
https://www.youtube.com/watch?v=YQ4R4RRr2dI
https://www.youtube.com/watch?v=5PnzLrfz0Dg
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Unidad 12: Derivadas. 
Unidad 7 Página 10 
 
Determinar los tramos donde una función crece o decrece. 
 
En VITUTOR tienes algunos ejercicios resueltos: https://www.vitutor.com/fun/5/a_2.html 
 
 
https://www.vitutor.com/fun/5/a_2.html
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Unidad 7 Página 11 
 
 
 
 (El criterio para determinar si en un intervalo la función crece o decrece es el siguiente: 
Toma un número dentro de dicho intervalo, y sustituyelo en la función derivada; si obtienes 
un valor positivo concluimos que la función crece; si obtienes un valor negativo concluyes que 
la función decrece. Lo verás en los siguientes videos) 
 
Ejercicio 10 – 11 .- 
 Resuelve en tu cuaderno el ejercicio que aparece en este video (pero sólo la parte donde se 
pide estudiar el crecimiento y los máximos y mínimos). 
 Video 10 – 9 – a : https://www.youtube.com/watch?v=2MgUEATf72Q 
 
 
 
 
Representar una función de la que se le dan todos los datos más relevantes 
(ramas infinitas y puntos singulares). 
 
 
 
 
Es muy importante que sepas “leer” una gráfica, es decir, que puedas visualizar los 
elementos más característicos de la curva. 
 
 
Presta atención a los siguientes ejemplos: 
https://www.youtube.com/watch?v=2MgUEATf72Q
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Unidad 7 Página 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad 7 Página 13 
 
 
 
 
Con todo lo estudiado hasta ahora ya deberías ser capaz de representar funciones 
polinómicas. 
 
 
Ejercicio 10 – 12.- 
 Representa la función que aparece en el 
siguiente video. (Presta atención a todos los datos 
que obtiene de la expresión algebraica de la 
función. En este curso no hace falta saber 
obtenerlos todos. Limítate a estudiar el 
crecimiento y los máximos y mínimos. Con una 
tabla de valores adecuada obtendrás la gráfica de 
la función) ( ) 
 Video 10 – 12 – b : 
https://www.youtube.com/watch?v=-UDfG9DJ58Y 
 
CALCULO DE LIMITES INDETERMINADOS UTILIZANDO LAS DERIVADAS 
 
 
Regla de L’Hôpital 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=-UDfG9DJ58Y
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Ejercicio 10 – 13.- 
 
 
 
Hemos acabado la unidad y con los contenidos de la segunda evaluación. El próximo 
curso volverás a estudiar las derivadas y verás que se utilizan en problemas con enunciado. Te 
adelanto un problema que estudiaremos entonces. 
 
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Ejercicio 10 – 14.- 
 Resuelve en tu cuaderno el ejercicio anterior cambiando en el enunciado el 60 por 120.