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FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIEŔIA Y AGRIMENSURA
Escuela de Formación Básica - Departamento de Matemática
Análisis Matemático II
INTEGRACIÓN APROXIMADA
UN ENFOQUE ACCESIBLE A ESTUDIANTES
DE 1er. AÑO UNIVERSITARIO
Pedro R. Marangunic
2008
Índice
1. El propósito de estas notas 3
2. Introducción 3
3. El Teorema Fundamental del Cálculo 4
4. Necesidad de la Integración Aproximada 4
5. Sumas de Riemann - Integral de Riemann (Rápido repaso) 5
6. Intentos elementales de Integración Aproximada 6
7. Fórmula de los Trapecios 9
8. Fórmula de Simpson 12
9. Más sobre el método de Simpson 14
10.Comentarios y sugerencias 15
11.Las demostraciones pendientes 16
11.1. Método del extremo izquierdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
11.2. Método del extremo derecho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11.3. Método de los trapecios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11.4. Método del punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11.5. Método de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12.Polinomios de Taylor (Nociones) 23
13.Comentarios Bibliográficos 25
14.Conclusión 26
2
1. El propósito de estas notas
El presente trabajo responde a la intención de hacer notar que ciertos aspectos de la Inte-
gración Aproximada, que los libros elementales suelen dejar para textos más avanzados,
están en realidad al alcance de cualquier alumno de Análisis Matemático II de nuestra
Facultad, y de cualquier estudiante de 1er. Año Universitario o Terciario.
Queremos lograr aśı que el estudio del error de aproximación, y la acotación del mismo,
pierdan esa especie de atmósfera de misterio que dejan flotando casi todos los libros (muy
buenos en otros aspectos) que integran la Bibliograf́ıa Básica del Programa Oficial de la
Cátedra.
Para conseguir este propósito no es imprescindible usar ideas demasiado novedosas (tam-
bién es bueno “volver a las fuentes”). En todo caso, es obvio que obtener o no este logro
dependerá del modo más o menos atrayente que se elija para desarrollar el tema, y del
orden en que se vayan hilvanando las ideas.
Proponemos acá una manera de “organizar el recorrido” que esperamos muestre al estudio
del error como algo accesible y natural. Como aspecto complementario de este enfoque, se
aprovecha la ocasión para presentar nociones elementales sobre Polinomios de Taylor,
tema de tanta aplicación en la Ingenieŕıa.
2. Introducción
Lo que acostumbramos denominar Integración Numérica, o también Integración
Aproximada, es una herramienta matemática de gran utilidad en las distintas ramas
de la Ingenieŕıa.
Se utiliza cuando es dificultoso, o incluso imposible, obtener el valor exacto de una integral
definida, y entonces nos conformamos con un valor aproximado.
Pero además el Ingeniero necesita saber cuán confiable es el resultado obtenido. En otras
palabras, desea conocer una cota del error cometido.
En una simplificación rápida y grosera, se podŕıa decir que la Teoŕıa de Integración
Numérica comprende 3 etapas, a saber:
1. Diseñar distintos métodos que permitan obtener el valor aproximado de
una integral. Estos métodos, si bien en general son anteriores a las computadoras
electrónicas, tienen actualmente una sencilla implementación computacional.
2. Para cada método, encontrar una fórmula que exprese el error cometi-
do, por lo general utilizando (al estilo del Teorema de Lagrange) una apropiada
derivada en un punto intermedio desconocido.
3. Aplicar la fórmula del paso anterior para obtener la deseada acotación
del error.
El apartado 2 no es en verdad un fin en śı mismo, sino tan sólo un medio para poder
satisfacer el objetivo 3.
Desde el Proyecto “ING164 La Matemática Aplicable en la Ingenieŕıa – Un Enfoque
Interdisciplinario en su Enseñanza” y desde la Cátedra de Análisis Matemático II, hemos
3
venido impulsando una manera de enseñar la Matemática donde el perfil interdisciplinario
sea permanente, tanto en la motivación como en la aplicación de los distintos conceptos.
La elaboración de material didáctico que responda a este enfoque es una de las acciones
que, esperamos, contribuirán a tal fin. Sin embargo, como se ha dicho más arriba, en
las presentes notas hay un motivo adicional: modificar y facilitar el tratamiento que la
mayoŕıa de los textos elementales hace de las etapas 2 y 3.
3. El Teorema Fundamental del Cálculo
¿Qué conexión podŕıa existir entre la derivación y la integración? A primera vista NIN-
GUNA, si se tiene en cuenta para qué objetivos nació cada una.
Pero ésta es sólo la respuesta ingenua. Algunos matemáticos, entre ellos Isaac Barrow
(1630–1677), fueron capaces de ver más profundo y descubrieron una importante relación
entre ambas operaciones: eran procesos inversos el uno del otro. Éste es esencialmente
el contenido del Teorema Fundamental del Cálculo (TFC), que ha sido considerado por
muchos historiadores de las Ciencias como uno de los grandes logros del esṕıritu humano
en el campo cient́ıfico.
La segunda parte de este teorema nos dice que si f es una función continua en el intervalo
[a, b] y P es una antiderivada de f en dicho intervalo, entonces vale la llamada fórmula
de Barrow
∫
b
a
f(x) dx = P (b)− P (a).
De modo que si podemos hallar más o menos fácilmente una antiderivada (o primitiva)
de f , disponemos de una forma RÁPIDA Y EXACTA, y por ende muy EFICIENTE, de
calcular el valor de una integral.
Incluso una consecuencia de la primera parte del TFC asegura que toda función continua
admite primitivas.
4. Necesidad de la Integración Aproximada
Hasta aqúı todo pareceŕıa muy favorable. Sin embargo . . . a veces es muy trabajoso
hallar tales primitivas. Y otras veces, directamente imposible en la práctica. Por ejemplo,
las primitivas de la función cuya ley es f(x) = e−x
2
no se pueden expresar como una
combinación en un NÚMERO FINITO DE PASOS de las llamadas funciones elementales.
Por otra parte, en la actividad diaria de un Ingeniero se suele trabajar con funciones CUYA
LEY NO SE CONOCE. Son funciones “emṕıricas”, vale decir que surgen de mediciones.
Por dar sólo un ejemplo, imaginemos que la Empresa Provincial de la Enerǵıa mide en
cada instante del d́ıa la potencia total demandada por sus clientes del Gran Rosario,
expresada en kilovatios. La integral de la potencia con respecto al tiempo, a lo largo
de 24 horas, nos dará la enerǵıa total consumida durante la jornada (en kilovatios-
hora). Dejamos como ejercicio dibujar una curva que refleje las variaciones de la potencia
demandada a lo largo del d́ıa, considerando los requerimientos industriales, comerciales,
domiciliarios, etc.
Ante la imposibilidad de determinar el valor exacto de una integral, deseamos entonces
4
hallar un valor lo más aproximado posible. En las páginas que siguen consideraremos
algunas técnicas para calcular tal valor aproximado y para obtener una estimación del
error cometido.
5. Sumas de Riemann - Integral de Riemann (Rápido
repaso)
Sean a, b ∈ ℝ/a < b, y sea f : [a, b] → ℝ cualquier función, a la cual no le pedimos
en principio ninguna hipótesis. Sin embargo, sugerimos acompañar esta lectura con
apropiados dibujos donde f será positiva y continua (o seccionalmente continua), y donde
pensar en áreas contribuirá a una mejor comprensión de las ideas.
Sea P una partición o subdivisión de [a, b] dada por medio de los puntos
a = x0 < x1 < x2 < ⋅ ⋅ ⋅ < xk−1 < xk < ⋅ ⋅ ⋅ < xn−1 < xn = b.
Para cada k = 1, 2, . . . , n consideramos el subintervalo Ik = [xk−1, xk], cuya longitud
es Δxk = xk − xk−1, y elegimos un punto �k ∈ Ik. Sea Q el conjunto de tales puntos
“intermedios”: Q = {�1, �2, . . . , �k, . . . , �n}. Tenemos entonces cuatro datos: un intervalo,
una función, una partición del intervalo y una selección de puntos intermedios compatible
con la partición. Llamamos suma de Riemann (asociada a esta cuaterna de datos)a:
S ([a, b], f,P ,Q) =
n
∑
k=1
f (�k)Δxk.
Para tener una medida de la “delgadez” de los subintervalos que componen la partición,
se observa la longitud del más largo de ellos y la llamamos norma de la partición P .
En śımbolos:
∥P∥ = máx {Δxk : k = 1, 2, . . . , n} .
Luego nos preguntamos si haciendo tender ∥P∥ a cero, las sumas de Riemann tenderán a
un valor ĺımite (finito), independientemente de cuál sea la elección Q1. En caso afirmativo
diremos que f es integrable en [a,b], y al valor ĺımite lo llamaremos la integral (de
Riemann) de f en [a,b]. En śımbolos:
∫
b
a
f(x) dx = ĺım
∥P∥→0
S ([a, b], f,P ,Q) .
Algunas propiedades son:
Si f es integrable en [a, b] entonces f está acotada en [a, b].
Si f es continua (o seccionalmente continua) en [a, b] entonces f es integrable en
[a, b].
Si f es monótona (o seccionalmente monótona) en [a, b] entonces f es integrable en
[a, b].
1Si ∥P∥ → 0, entonces n → +∞, pero la proposición rećıproca no es cierta.
5
Si C1 ≤ f(x) ≤ C2 ∀x ∈ [a, b] y f es integrable en [a, b], entonces
C1(b− a) ≤
∫
b
a
f(x) dx ≤ C2(b− a).
A partir de esta desigualdad, y usando apropiadamente las propiedades de las funciones
continuas, se demuestra fácilmente el útil e importante Teorema del Valor Medio (TVM)
del Cálculo Integral:
f continua en [a, b] ⇒ ∃ � ∈ [a, b]/
∫
b
a
f(x) dx = f (�) (b− a).
Generalicemos la última desigualdad y el TVM. Sean dos funciones f y g tales que C1 ≤
f(x) ≤ C2, g(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a, b]. Entonces C1g(x) ≤ f(x)g(x) ≤ C2g(x), ∀x ∈ [a, b]. Si
las funciones g y f ⋅ g son integrables en [a, b],
C1
∫
b
a
g(x) dx ≤
∫
b
a
f(x)g(x) dx ≤ C2
∫
b
a
g(x) dx.
Si f es además continua en [a, b], se prueba en forma rápida que existe � ∈ [a, b] tal que
∫
b
a
f(x)g(x) dx = f (�)
∫
b
a
g(x) dx,
lo que denominaremos Teorema generalizado del Valor Medio del Cálculo Integral (o
también del Valor Medio ponderado).
Nótese que si g vale constantemente 1, las dos nuevas propiedades se reducen a las dos
anteriores.
Con mı́nimas variantes, hubiésemos podido demostrar la misma generalización del TVM
en el caso en que g(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a, b]. En definitiva, lo que interesa no es que g sea
positiva, sino que no cambie de signo.
6. Intentos elementales de Integración Aproximada
1. Dado que la integral se define como un ĺımite de sumas de Riemann, la idea inicial
es aproximar el valor de la integral mediante una conveniente suma de Riemann.
Hay una suposición subyacente: creer que el valor f (�k) es un “buen representante”
de los distintos valores que asume f en el intervalo [xk−1, xk].
Pero, ¿quién elige un �k que sea bastante representativo? Una persona con “buen
ojo” tal vez pueda hacerlo frente a un gráfico particular, pero aqúı deseamos dar
ideas generales y que se puedan implementar usando recursos computacionales.
2. Por obvias razones de comodidad en los cálculos, usualmente se construyen parti-
ciones donde todos los subintervalos tienen la misma longitud, es decir que
Δxk =
b− a
n
, ∀ k = 1, 2, . . . , n.
6
De este modo
n
∑
k=1
f (�k)Δxk =
b− a
n
n
∑
k=1
f (�k) .
En tal caso solemos decir que la partición es regular, o también que los puntos
xk están equiespaciados. Ahora bien, esta condición es bastante realista para las
funciones emṕıricas que analiza un Ingeniero, pues las mediciones casi siempre se
realizan a intervalos regulares. Por lo tanto, de ahora en adelante todas nuestras
particiones serán regulares.
3. En adelante usamos la notación yk = f (xk). Las elecciones más comunes para �k
son:
método del extremo izquierdo: �k = xk−1,
método del extremo derecho: �k = xk,
método del punto medio: �k = (xk−1 + xk) /2,
las cuales conducen, respectivamente, a las siguientes sumas de Riemann:
In =
b− a
n
n
∑
k=1
f (xk−1) =
b− a
n
(y0 + y1 + ⋅ ⋅ ⋅+ yn−1),
Dn =
b− a
n
n
∑
k=1
f (xk) =
b− a
n
(y1 + y2 + ⋅ ⋅ ⋅+ yn),
Mn =
b− a
n
n
∑
k=1
f
(
xk−1 + xk
2
)
.
Si f es creciente en [a, b], In (respectivamente Dn) nos dará una aproximación por
defecto (respectivamente por exceso) del valor de la integral. Aparentemente Mn nos
da una mejor aproximación (insistimos en la conveniencia de ayudarse con gráficos).
Si f es decreciente en [a, b], se intercambian los roles entre In y Dn, pero Mn vuelve
a parecer más confiable.
La intuición nos indica que tanto la confiabilidad de In como la de Dn deben me-
jorar si f tiene algunos tramos donde crece y otros donde decrece, pues entonces
se va produciendo una “compensación” entre errores de distinto signo. También la
intuición nos hace sospechar que en cualquiera de estos casos el error irá disminu-
yendo a medida que n vaya creciendo. Y efectivamente, bajo ciertas hipótesis sobre
la función f se puede demostrar que en los 3 métodos el error tiende a cero cuando
n → +∞, pero no con “la misma velocidad”. Para In y Dn veremos que el error es
del orden de 1/n, mientras que en el tercer método el error será del orden de 1/n2.
Por esta razón en el método del punto medio no se necesita un valor tan grande de
n para lograr aproximaciones satisfactorias.
7
a b x
y
f(b)
f(a)
y = f(x)
n = 2
a b x
y
f(b)
f(a)
y = f(x)
n = 4
a b x
y
f(b)
f(a)
y = f(x)
n = 8
Figura 1: Algunas representaciones para In
a b x
y
y = f(x)
Concavidad hacia abajo
(aproximación por defecto)
a b x
y
y = f(x)
Concavidad hacia arriba
(aproximación por exceso)
Figura 2: Gráficos representativos del Método de los Trapecios
4. Algunas representaciones gráficas de In que nos van dando aproximaciones cada vez
mejores (siempre por defecto, pues esta f es creciente) pueden verse en la Figura 1.
Haga las correspondientes representaciones gráficas para Dn y para Mn.
5. Ya hemos comentado que si f es creciente en [a, b], In nos da una aproximación por
defecto y Dn una aproximación por exceso. Entonces parece muy natural promediar
In con Dn para lograr una mejor aproximación del valor de la integral.
Con mı́nimos cambios en el razonamiento, la propuesta de promediar In con Dn
también suena interesante si f es decreciente, y más generalmente en el caso de una
función seccionalmente monótona.
Esta idea da origen al denominado “Método de los Trapecios” cuyo nombre está ob-
viamente inspirado en gráficos como los que muestra la Figura 2.
8
A B
C
F
D
E
M �
Figura 3: Una propiedad útil
Formalmente
Tn =
1
2
(In +Dn) =
b− a
2n
(y0 + 2y1 + 2y2 + ⋅ ⋅ ⋅+ 2yn−1 + yn) .
Hasta aqúı aproximábamos la integral mediante In, Dn y Mn, que en definitiva eran
sumas de Riemann. En cambio Tn no está pensada como una suma de Riemann
(aunque bien podŕıa coincidir con una), sino como un promedio de ellas.
Desde el punto de vista anaĺıtico, en Tn está subyacente la idea de interpolación
lineal.
6. El punto medio de un lado de un rectángulo tiene una sencilla pero útil propiedad,
que ejemplificamos en la Figura 3, donde M es el punto medio de CD. El área del
trapecio ABFE resulta igual a la del rectángulo ABCD, independientemente de
cuál sea el ángulo �̂. Esto surge de la congruencia entre los triángulos rectángulos
MCF y MDE.
En nuestros dibujos la función f era continua. Si además le pedimos que sea deri-
vable, podemos considerar la recta tangente a su gráfica en algún punto particular,
por ejemplo el correspondiente a mk = (xk−1 + xk) /2. Entonces el método del pun-
to medio se puede interpretar como “método del trapecio tangente por el punto de
abscisa media”.
7. Fórmula de los Trapecios
Al tomar una suma de Riemann como aproximación del verdadero valor de una integral,
estamos procediendo como si la función f en el intervalo [xk−1, xk] se mantuviese cons-
tante, vale decir como si su gráfica sobre dicho intervalo fuese un segmento horizontal.
En cambio, en el método de los trapecios y por influjo de la interpolación lineal, estamos
mirando a f en Ik como si fuese una función lineal af́ın, y al correspondiente arco de
curva lo estamos aproximando por su cuerda.
Dado un n ∈ ℕ,la denominada Fórmula de los Trapecios nos dice que
∫
b
a
f(x) dx ≈ Tn =
Δx
2
(y0 + 2y1 + 2y2 + ⋅ ⋅ ⋅+ 2yn−1 + yn) .
9
También podemos escribirla en la forma
∫
b
a
f(x) dx = Tn +Rn,
donde Rn simboliza el resto o error (cantidad que hay que sumar al valor aproximado
para llegar al valor exacto).
Para evitar confundirnos con los errores que se cometen con otros métodos, en adelante
no escribiremos Rn sino ET (n), o más brevemente ET .
Con la intención de encontrar cotas para ∣ET ∣, vamos a suponer que f admite derivada
segunda continua en [a, b]. En lenguaje intuitivo, f ′′ mide cuán rápido vaŕıa f ′, o sea cuán
rápido “se arquea” la curva. La Figura 4 muestra la influencia de f ′′ y nos hacen sospe-
char que cuanto más se arquee la curva, mayor será el error. Entonces ya empezamos a
vislumbrar que la deseada cota para ∣ET ∣ va a depender de una cota para ∣f
′′∣.
a b x
y
y = f(x)
a b x
y
y = f(x)
Figura 4: Influencia de f ′′ en el error
Antes haćıamos notar que la concavidad hacia arriba (respectivamente hacia abajo) se
vinculaba con aproximación por exceso (respectivamente por defecto). Por lo tanto si el
signo de f ′′ va cambiando varias veces en [a, b], los errores se irán compensando y, en
consecuencia, Tn nos dará una aproximación muy favorable.
Pero acá nos pondremos en el peor de los casos, en el peor escenario teórico: no nos
importará si f ′′ cambia o no de signo.
Antes de seguir avanzando, comparemos el error en el método de los trapecios con el error
EM correspondiente al método del punto medio (pensado como método de los trapecios
tangentes en el punto medio).
Analizando la Figura 5, es fácil sospechar que en los intervalos donde no cambie la con-
cavidad, EM y ET tendrán distinto signo, y ∣EM ∣ será aproximadamente la mitad de
∣ET ∣. La última afirmación puede ser falsa si hay cambios de concavidad, como vemos en
la Figura 6, pero esto es tan sólo una “anomaĺıa” que se corrige rápidamente al aumentar
n. Comentarios similares se podŕıan hacer respecto de la primera afirmación.
Ahora estamos en condiciones de enunciar el teorema que da cotas superiores para ∣ET ∣ y
∣EM ∣. Notemos que al solicitar la continuidad de f
′′ en [a, b], ella resultará acotada (por
10
xk−1 mk xk
y
x
y = f(x)
Concavidad hacia abajo
xk−1 mk xk x
y
y = f(x)
Concavidad hacia arriba
Figura 5: Errores según la concavidad
xk−1 mk xk x
y = f(x)
Figura 6: Un escenario “peor”
el Teorema de Weierstrass o de los valores extremos).
Teorema 1
Sea f : [a, b] → ℝ una función que admite derivada segunda continua en [a, b]. Sea K
cualquier cota superior de ∣f ′′∣ en [a, b]. Si subdividimos [a, b] en n subintervalos de
igual longitud, entonces
∣ET ∣ ≤
K
12
⋅
(b− a)3
n2
y ∣EM ∣ ≤
K
24
⋅
(b− a)3
n2
.
O sea: bajo la hipótesis de que f ′′ es continua, se afirma que ni siquiera en el peor
escenario teórico ∣ET ∣ y ∣EM ∣ pueden superar los respectivos topes dados.
Si bien no demostraremos por el momento este resultado, aprovechemos para observar
que la cota encontrada para ∣EM ∣ es la mitad de la obtenida para ∣ET ∣ , en consonancia con
nuestra intuición. Nótese también que estos errores son del orden de 1/n2, como hab́ıamos
comentado previamente. El hecho de que EM y ET tengan distinto signo es una fuerte
invitación a considerar promedios entre Mn y Tn para mejorar la aproximación. ¿Y con
qué nos encontramos? Un cálculo muy sencillo (que queda como ejercicio) muestra que
T2n = (Mn + Tn) /2, lo cual es coherente con la impresión que teńıamos desde el comienzo:
que al pasar de n a 2n, ∣ET ∣ iba a disminuir.
Además es coherente con lo siguiente: si a los puntos xk agregamos los puntos mk, [a, b]
11
queda subdivido en 2n subintervalos (de igual longitud).
Hasta aqúı hemos promediado Mn y Tn dándoles el mismo peso, vale decir el 50% para
cada uno. Nos queda ahora una “carta de triunfo” para capitalizar el hecho de que ∣EM ∣
es aproximadamente la mitad de ∣ET ∣: considerar el promedio ponderado
2
3
Mn +
1
3
Tn,
pero esto lo reservamos para la próxima sección.
8. Fórmula de Simpson
En todos los métodos previamente vistos aproximábamos cada arco de curva por un
adecuado segmento de recta, con una pequeña salvedad: en el método de los trapecios
tales segmentos se empalmaban. Si nuestra intención es mejorar la aproximación, ¿no
podŕıamos utilizar arcos de parábola en lugar de segmentos de recta? Dicho de otro modo,
¿en lugar de la interpolación lineal no podŕıamos recurrir a la denominada interpolación
cuadrática o parabólica? Antes recordemos que dados tres puntos (x0, y0), (x1, y1) y
(x2, y2) del plano, con abscisas distintas dos a dos, hay un único polinomio de la forma
P (x) = Ax2 + Bx+ C cuya gráfica pasa por los tres puntos dados. En efecto, el sistema
3× 3
⎧

⎨

⎩
Ax20 +Bx0 + C = y0,
Ax21 +Bx1 + C = y1,
Ax22 +Bx2 + C = y2,
tiene solución única pues el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo. La
gráfica de P es una parábola de eje paralelo al eje y, salvo la obvia excepción que se
produce cuando resulta A = 0.
Nos interesa en especial el caso en que las abscisas están equiespaciadas (para fijar ideas
tomemos x0 = −ℎ, x1 = 0, x2 = ℎ), y deseamos calcular la integral del polinomio.
Resolviendo el sistema con estas abscisas se obtiene:
C = y1, B =
y2 − y0
2ℎ
, A =
y0 − 2y1 + y2
2ℎ2
,
de donde
∫
ℎ
−ℎ
P (x) dx = 2A
ℎ3
3
+ 2Cℎ =
ℎ
3
(y0 + 4y1 + y2) .
La última expresión puede ser pensada como
2ℎ ⋅
y0 + 4y1 + y2
6
,
o sea como el producto de la longitud del intervalo por un valor promedio de la función
donde la ordenada central tiene una ponderación muy superior.
Estas ideas son el sustento de lo que se suele denominar Método de Simpson (porThomas
Simpson, importante matemático inglés autodidacta, 1710–1761), pese a que ya hab́ıa
sido usado un siglo antes por Cavalieri y Gregory.
El hecho de que el intervalo esté centrado en el 0 no hace perder generalidad a nuestro
12
resultado, ya que sabemos que trasladando los puntos hacia la derecha o hacia la izquierda
el valor de la integral no cambia.
Si el número n de subintervalos de [a, b] es par, podemos aplicar lo recién expuesto en los
intervalos [x0, x2], [x2, x4], y aśı sucesivamente hasta [xn−2, xn]. De este modo las ordenadas
y2, y4, etc. (hasta yn−2 inclusive) figurarán dos veces.
La Fórmula de Simpson nos dice ahora que
∫
b
a
f(x) dx ≈ Sn =
Δx
3
(y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + ⋅ ⋅ ⋅+ 2yn−2 + 4yn−1 + yn) ,
o también que
∫
b
a
f(x) dx = Sn + ES(n).
Observemos el patrón que siguen los coeficientes de las ordenadas en la suma Sn: los
coeficientes correspondientes a sub́ındice impar son todos iguales a 4, mientras que para
sub́ındice par valen 2, exceptuando el caso de las ordenadas extremas.
Puesto que ahora estamos valiéndonos de la interpolación cuadrática en lugar de la lineal,
la intuición nos hace esperar que este método sea mucho más “certero” que el de los
trapecios. Por otro lado recordemos que para obtener un método que superara holgada-
mente la eficiencia de los métodos anteriores, teńıamos pendiente considerar el promedio
ponderado 2
3
Mn+
1
3
Tn. Al hacer esto nos vamos a llevar una excelente sorpresa. En efecto,
un cálculo elemental (ejercicio) nos muestra que
2
3
Mk +
1
3
Tk = S2k ∀ k ∈ ℕ ,
lo cual refuerza lo que nuestra intuición prevéıa.
Y si se pide mayor orden de derivación a la función, se puede probar con un trabajo más
cuidadoso el siguiente resultado, que pone de manifiesto que el error en la Fórmula de
Simpson es del orden de 1/n4.
Teorema 2
Sea f : [a, b] → ℝ una función que admite derivada cuarta continua en [a, b]. Sea K
cualquier cota superior de
∣
∣f (4)
∣
∣ en [a, b]. Si subdividimos [a, b] en un número par n
de subintervalos de igual longitud, entonces
∣ES∣ ≤
K
180
⋅
(b− a)5
n4
.
En resumen: salvo por el hecho, poco relevante, de que los coeficientes no son los mismos
que en la Fórmula de los Trapecios, es evidente que desdeel punto de vista computacional
los cálculos involucrados en el método de Simpson no presentan un nivel de dificultad
diferente. A eso cabe agregarle la innegable ventaja de que en este último método no hace
falta un valor tan grande de n para obtener una aceptable precisión.
13
9. Más sobre el método de Simpson
1. Como consecuencia del Teorema 2, la Fórmula de Simpson es exacta para integrar
polinomios de grado menor o igual que 3. Esto también se puede ver “a pulso”, pues
∫
b
a
x3 dx =
1
4
(
b4 − a4
)
=
1
4
(b− a)
(
a3 + a2b+ ab2 + b3
)
,
lo cual conduce al mismo resultado que la aproximación de Simpson
S =
b− a
6
[
a3 + 4
(
a+ b
2
)3
+ b3
]
.
2. Si recordamos la definición de Sn y el patrón que en la misma segúıan los coeficientes
de las ordenadas, podemos escribir
Sn =
Δx
3
(E + 4I + 2P ) ,
donde obviamente E indica la suma de las ordenadas extremas, I la suma de las de
ı́ndice impar y P la de las de ı́ndice par no extremas.
Otra cota para ∣ES∣, debida a P. Mansion, es la siguiente
∣ES∣ ≤
Δx
3
∣E − 2I + 2P ∣ ,
la cual puede verse, por ejemplo en Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo, Análi-
sis Matemático. Vol. 1, página 781. Si bien alĺı se considera que la concavidad es
siempre para abajo o siempre para arriba, es posible contemplar una cantidad
finita de cambios de concavidad (puntos de inflexión), y calcular la integral en cada
subintervalo donde se conserve la concavidad.
Comparemos ahora la cota dada por el Teorema 2 con la de Mansion. La primera
tiene la innegable ventaja de que nos informa cuál es el orden de magnitud del
error, pues nos provee un tope del error que es del orden de 1/n4. Pero la segunda
es muy simple y muy cómoda, pues calcula un tope con los mismos elementos
utilizados para calcular Sn. Además no solicita derivada cuarta continua: alcanza
con f ′′ continua y un número finito de puntos de inflexión.
3. Cuando f ′ toma valores muy altos, la Fórmula de Simpson puede llegar a ser
bastante inexacta para valores bajos de n. Esto obligaŕıa a aumentar n para lograr
mayor precisión, con el consiguiente mayor trabajo computacional. Pero hay un
“truco” útil y muy sencillo de aplicar, que consiste en pensar a x como función de
y:
y = f(x) ⇔ x = g(y);
la idea se ilustra en la Figura 7 para f creciente donde el área de la región sombreada
es
bd− ac =
∫
b
a
f(x) dx+
∫
d
c
g(y) dy.
14
a b
y
x
y = f(x)
c
d
Figura 7: Caso f creciente
Piense el lector la adaptación para el caso f decreciente. En cualquiera de los 2
casos la idea es utilizar parábolas de eje horizontal en vez de vertical.
10. Comentarios y sugerencias
No hemos dado por ahora las demostraciones de los dos teoremas referidos a acotación
del error. No obstante, nuevamente deseamos destacar que las mismas no son para nada
dif́ıciles y que no exigen recursos de Cálculo Avanzado ni de Análisis Numérico. Las vamos
a hacer utilizando algunas ideas básicas de Cálculo Diferencial e Integral.
Por otra parte es importante mencionar que las variables que mide un Ingeniero, por lo
general, no suelen saltar “alocadamente”. Por lo tanto no es rid́ıculo ni antojadizo que
muchas funciones emṕıricas se puedan imaginar bastante suaves, ni debe sonar como des-
cabellada la hipótesis de derivada segunda (o cuarta) continua. En el peor de los casos,
si la función f obtenida emṕıricamente no fuese tan suave, hay resultados (ahora śı de
Cálculo Avanzado) que aproximan a la función dada por otra infinitamente derivable cuya
integral difiere de la de f en mucho menos que la cota de error correspondiente al método
usado.
En nuestros dibujos (o en los sugeridos al lector) siempre la función considerada era po-
sitiva. Esto se hizo aśı con la única y obvia intención de que la noción de área motivara
intuitivamente las ideas anaĺıticas. Pero todo lo desarrollado acá es perfectamente
aplicable eliminando esa restricción.
Un ejercicio útil para el lector de estas notas es hacer experimentos numéricos con los
5 métodos vistos, para una función cuya integral exacta se conoce, e ir compa-
rando los errores de los diferentes métodos, y también comparar errores para distintos
valores de n. Pero deben tenerse en cuenta algunas precauciones. Por ejemplo, cuando
se realiza una suma con numerosos sumandos, es importante calcular cada término con
adecuada precisión, para evitar que el efecto del redondeo enmascare el error propio de
cada método y, lo que es peor, distorsione el valor de la integral. Otra sugerencia es no
15
pasar, por ejemplo, de n = 5 a n = 6 y luego a n = 7, porque en cada caso deberá vol-
ver a calcular todas las ordenadas. Es preferible empezar con un valor bajo de n, luego
duplicarlo y luego volverlo a duplicar. De esta manera se aprovecha el trabajo anterior.
Pero al mismo tiempo se observa experimentalmente cómo disminuyen los errores cada
vez que se duplica n: aproximadamente los errores en In y Dn se reducen a la mitad, los
de Mn y Tn a la cuarta parte (y el primero es casi la mitad del segundo) y el de Sn a la
dieciseisava parte, todo lo cual es coherente con lo que hemos comentado en secciones an-
teriores sobre órdenes de error. También se observará que el error es con frecuencia mucho
menor que la cota obtenida (recuérdese que alĺı nos pońıamos en el peor escenario teórico).
Existen numerosos paquetes computacionales, tanto de software libre como propieta-
rio, cuya denominación genérica es sistema algebraico de cómputo o manipulador
simbólico. Los mismos son muy útiles para las más variadas tareas matemáticas, en par-
ticular para realizar los experimentos numéricos recién sugeridos. Pero insistimos en la
precaución de cuidar el efecto del redondeo si n es grande.
Por último es interesante comentar que existen algunos métodos, de sencilla implementa-
ción computacional, a los que se suele denominar “adaptivos” o “adaptativos”. En lugar
de utilizar particiones regulares, “se adaptan” al comportamiento de la función. La idea
es subdividir mucho más los sectores del intervalo donde la función o sus derivadas pre-
sentan variaciones importantes, y economizar trabajo (y tiempo) calculatorio en los otros
sectores. A modo de ejemplo, en la Figura 6 se subdividiŕıa mucho más el tercio central
del intervalo.
11. Las demostraciones pendientes
El tema que venimos considerando nos proporciona una formidable excusa para hablar
(aunque sea en mı́nima dosis) de Polinomios de Taylor. No es que éstos sean imprescindi-
bles para el enfoque que hemos elegido, pero permanentemente van a estar “sobrevolando”
las demostraciones que vamos a presentar. El lector que ya conozca tales polinomios lo va
a advertir claramente.
Para aquellos lectores que no tengan un manejo previo de Polinomios de Taylor, in-
cluiremos al final alguna idea básica, la cual de todos modos no hace falta para entender
demostraciones que, esperamos, resultarán bastante sencillas.
La idea central de las demostraciones, para cualquiera de los métodos expuestos, será ana-
lizar cómo se va acumulando el error a medida que crece la longitud del intervalo.
Para decirlo en forma coloquial, nuestro intervalo se irá “estirando”.
11.1. Método del extremo izquierdo
Por un momento no vamos a subdividir el intervalo [a, b], es decir que tendremos un único
subintervalo. Si avanzamos en el intervalo de izquierda a derecha, el error acumulado
desde a hasta t será
r(t) =
∫
t
a
f(x) dx− f(a)(t− a),
16
y el error total será r(b).
a t b
y
x
y = f(x)
A
P
B
Figura 8: Error acumulado
Supongamos que f es derivable en [a, b] con f ′ continua. Entonces por el TFC r′(t) =
f(t) − f(a), pero no sólo en los puntos interiores. Notemos que r′ es continua en [a, b] y
que r′(a) = r(a) = 0, o sea que al comienzo del intervalo el error variará en una forma
bastante lenta. Queda para después subdividir [a, b] en intervalos de “pequeña” longitud
para aprovechar esta idea, pero por ahora continuamos viendo a [a, b] como un único
subintervalo.El Teorema de Lagrange nos dice que
∀ t > a r′(t) = (t− a)f ′ (�(t)) .
Sabemos que el valor de f ′ (�(t)) es único para cada t > a, a pesar de que � podŕıa no ser
único. Entonces queda bien definida la función
g(t) = f ′ (�(t)) =
f(t)− f(a)
t− a
,
la que además es continua en (a, b]. Definiendo g(a) = f ′(a), resulta continua en [a, b].
Ahora el Teorema Fundamental del Cálculo nos permite reconstruir una función que se
anula en a a partir de su derivada:
r(t) = r(t)− r(a) =
∫
t
a
r′(u) du =
∫
t
a
(u− a)g(u) du.
Utilizando el TVM generalizado del Cálculo Integral (nótese que estamos en condiciones
de hacerlo), resulta
r(t) = g(c)
∫
t
a
(u− a) du para algún c entre a y t.
Como g(c) = f ′ (�) para algún � que está entre a y c (y por ende también está entre a y
t), obtenemos
r(t) = f ′ (�)
∫
t
a
(u− a) du = f ′ (�)
(t− a)2
2
.
17
Entonces el error total resulta
r(b) = f ′ (�∗)
(b− a)2
2
.
Finalmente dividamos [a, b] en n subintervalos de igual longitud (Δxk = (b − a)/n), y
apliquemos en cada subintervalo el resultado anterior a fin de calcular EI(n), vale decir
el error propio de este método.
Tendremos
EI(n) =
(Δx)2
2
[f ′ (�1) + f
′ (�2) + ⋅ ⋅ ⋅+ f
′ (�n)] =
(b− a)2
2n2
n
∑
k=1
f ′ (�k) =
=
(b− a)2
2n
[
1
n
n
∑
k=1
f ′ (�k)
]
= f ′ (�)
(b− a)2
2n
,
para un apropiado �, pues toda función continua asume cualquier valor promedio entre
valores ya asumidos.
Y puesto que f ′ está acotada en el intervalo [a, b], podemos tomar cualquier valor K > 0
tal que
∣f ′(x)∣ ≤ K, ∀x ∈ [a, b],
e inmediatamente surge que
∣EI(n)∣ ≤
K(b− a)2
2
⋅
1
n
.
Quedan aśı satisfechas las llamadas etapas 2 y 3 de la página 3, y se confirma que el error
en este método es del orden de 1/n.
11.2. Método del extremo derecho
Acá conviene que el error se vaya acumulando desde la derecha, vale decir tomar
r(t) =
∫
b
t
f(x) dx− f(b)(b− t).
Entonces el error total será r(a), mientras que r(b) = 0.
Por lo demás el razonamiento es completamente análogo a lo hecho en el método del
extremo izquierdo, y queda como ejercicio para el lector.
Observación
También cabŕıa la posibilidad de acumular el error desde la izquierda:
R(t) =
∫
t
a
f(x) dx− f(b)(t− a),
18
con lo cual R(a) = 0 y el error total es R(b). Esta segunda estrategia exige mayor
cuidado por el hecho de que � estará entre t y b en vez de estar entre a y t. Pero
igualmente � va a estar en el intervalo [a, b], aśı que también es posible este camino
para realizar las etapas 2 y 3.
11.3. Método de los trapecios
En los dos métodos anteriores la función aproximante, al ser una constante, era siempre
la misma. Ahora, en cambio, a medida que t se vaya deslizando de izquierda a derecha,
vamos a ir cambiando de función aproximante. Hablando geométricamente: cuando
el punto P se mueva sobre la curva variará la pendiente de la cuerda AP , y ésta termi-
nará convirtiéndose en AB.
a t b
y
x
A
P B
Figura 9: Error acumulado
De nuevo pensaremos al intervalo [a, b] como un único subintervalo. Por comodidad ahora
vamos a tomar a = 0, lo cual no nos hace perder generalidad. Tenemos
∫
t
0
f(x) dx =
f(0) + f(t)
2
⋅ t+ r(t),
donde obviamente el resto r(t) representa el error acumulado desde 0 hasta t. Entonces
r(0) = 0 y el error total es r(b). Pidiendo a f que admita derivada segunda continua en
[0, b], de la igualdad
r(t) =
∫
t
0
f(x) dx−
f(0) + f(t)
2
⋅ t
se deduce
r′(t) = f(t)−
f(0) + f(t)
2
−
t
2
f ′(t),
y por consiguiente
r′′(t) = f ′(t)−
f ′(t)
2
−
1
2
f ′(t)−
t
2
f ′′(t) = −
t
2
f ′′(t).
Al ser r(0) = r′(0) = r′′(0) = 0, r vaŕıa muy lentamente en las proximidades de 0. Nótese
que en el método del extremo izquierdo no lográbamos garantizar tanta lentitud, ya
19
que entonces teńıamos r(a) = r′(a) = 0 pero r′′(a) = f ′(a), lo cual no siempre es 0.
Nuevamente usamos el Teorema Fundamental del Cálculo para reconstruir una función a
partir de su derivada:
r′(t) = r′(t)− r′(0) =
∫
t
0
r′′(u) du = −
1
2
∫
t
0
uf ′′(u) du = −
f ′′ (�)
2
∫
t
0
u du = −
f ′′ (�)
4
t2,
con � = �(t) conveniente entre 0 y t.
r(t) = r(t)− r(0) =
∫
t
0
r′(u) du = −
1
4
∫
t
0
f ′′ (�(u)) u2 du.
Veamos si estamos en condiciones de aplicar de nuevo el TVM ponderado del Cálculo
Integral. Para t > 0 introducimos la función
g(t) = f ′′ (�(t)) = −4 ⋅
r′(t)
t2
,
la cual resulta continua en (0, b]. Si hacemos que t tienda a 0 desde la derecha, lo mismo
le ocurrirá a �(t) y por ende g(t) tenderá a f ′′(0), ya que f ′′ es continua.
Otra manera de verlo es utilizar la Regla de L’ Hôpital y el hecho de que r′′(t) =
−
t
2
f ′′(t):
ĺım
t→0+
g(t) = −4 ĺım
t→0+
r′(t)
t2
l’h
= −2 ĺım
t→0+
r′′(t)
t
= ĺım
t→0+
f ′′(t) = f ′′(0).
En definitiva, por uno u otro camino se ve que definiendo g(0) = f ′′(0) queda g continua
en [0, b] y entonces es ĺıcito utilizar el TVM generalizado del Cálculo Integral.
∫
t
0
f ′′ (�(u)) u2 du = f ′′(c)
∫
t
0
u2 du = f ′′(c)
t3
3
.
Recapitulando: r(t) = − 1
12
f ′′(c)t3, por lo que el error total es r(b) = − 1
12
f ′′(c∗)b3.
Volviendo al intervalo genérico [a, b], y aplicando este resultado en cada uno de los n
subintervalos de una partición regular, obtenemos que:
ET (n) = −
(Δx)3
12
[f ′′ (�1) + f
′′ (�2) + ⋅ ⋅ ⋅+ f
′′ (�n)] = −
(b− a)3
12n3
n
∑
k=1
f ′′ (�k) =
= −
(b− a)3
12n2
[
1
n
n
∑
k=1
f ′′ (�k)
]
.
En virtud de la continuidad de f ′′, este último promedio es f ′′ (�) para un conveniente �.
Por lo tanto
ET (n) = −
f ′′(�)
12
⋅
(b− a)3
n2
,
20
con lo cual queda cumplida la etapa 2, y ahora es inmediata la desigualdad
∣ET (n)∣ ≤
K
12
⋅
(b− a)3
n2
del Teorema 1.
11.4. Método del punto medio
Nuevamente tomamos al intervalo [a, b] como un único subintervalo y suponemos que f ′′
es continua alĺı.
Dado que a este método lo venimos pensando como el de los trapecios tangentes por el
punto mediom = (a+b)/2, es natural que aparezca la función g(x) = f(m)+f ′(m)(x−m).
Acá convendrá ir acumulando el error desde el punto medio m hacia ambos costados,
aumentando t desde 0 hasta (b− a)/2.
m − t m m + ta b
y
x
y = f(x)
Figura 10: Error acumulado
No hay pérdida de generalidad en llamar [−ℎ, ℎ] al intervalo para que 0 oficie de punto
medio. En consecuencia haremos que t vaŕıe de 0 a ℎ, y la función g responderá a la ley
g(x) = f(0) + f ′(0)x.
Tenemos
∫
t
−t
f(x) dx =
∫
t
−t
g(x) dx+ r(t) = 2f(0)t+ r(t).
Entonces el error acumulado en [−t, t] es
r(t) =
∫
t
−t
f(x) dx− 2f(0)t,
de donde
r′(t) = f(t)− f(−t)(−1)− 2f(0) = f(t) + f(−t)− 2f(0),
r′′(t) = f ′(t)− f ′(−t), y
r′′′(t) = f ′′(t) + f ′′(−t).
Notemos que r(0) = r′(0) = r′′(0) = 0, pero no hay garant́ıas de que se anule el valor
r′′′(0) = 2f ′′(0). Entonces r vaŕıa lentamente en las cercańıas del origen, con un “orden de
21
lentitud” comparable con el que tiene el error en el Método de los Trapecios. Observemos
además que si no fuera porque no hemos tomado t < 0, podŕıamos decir que r es una
función impar; entonces no es para nada sorprendente que nos haya dado r(0) = r′′(0) =
0.
Por el Teorema de Lagrange r′′(t) = 2tf ′′(�) para un conveniente � comprendido entre
−t y t. Ahora dejamos como ejercicio imitar lo hecho para el Método de los Trapecios:
reconstruir r′ a partir de r′′, y luego r a partir de r′, hasta demostrar que el error total es
r(ℎ) =
1
3
f ′′ (�)ℎ3 =
f ′′ (�)
24
(2ℎ)3,
lo cual para un intervalo [a, b] genérico se convierte en
f ′′ (c)
24
(b− a)3.
Descomponiendo luego [a, b] en n subintervalos de igual longitud, y haciendo los razona-
mientos previsibles, se llega finalmente a la Fórmula del error
EM(n) =
f ′′(�)
24
⋅
(b− a)3
n2
y a la Acotación del error
∣EM(n)∣ ≤
K
24
⋅
(b− a)3
n2
,
es decir a completar las etapas 2 y 3.
11.5. Método de Simpson
Sea f : [a, b] → ℝ una función que admite derivada cuarta continua en dicho intervalo.
Vamos a dar algunas mı́nimas indicaciones para que el lector demuestre como ejercicio el
Teorema 2.
Para mayorcomodidad notacional conviene volver a trabajar con el intervalo [−ℎ, ℎ] y
partir de la expresión
∫
t
−t
f(x) dx =
t
3
[f(−t) + 4f(0) + f(t)] + r(t);
luego es muy sencillo demostrar que r admite derivadas hasta el cuarto orden, y que
r(0) = r′(0) = r′′(0) = r′′′(0) = r(4)(0) = 0. Por otra parte, r resulta una función impar si
no nos restringimos a t > 0.
En una etapa de este ejercicio el lector se va a encontrar con la expresión
r′′′(t) = −
t
3
[f ′′′(t)− f ′′′(−t)] = −
2
3
t2f (4)(�).
22
Luego deberá integrar 3 veces, usando adecuadamente el TVM ponderado del Cálculo
Integral, para llegar a
r(t) = −
2
36
f (4)(�)
t5
5
= −
1
90
t5f (4)(�),
de donde
r(ℎ) = −
1
90
ℎ5f (4)(�) = −
1
90
(2ℎ)5
25
f (4)(�) = −
(2ℎ)5
2880
f (4)(�).
El error en el intervalo [a, b] es entonces
−
(b− a)5
2880
f (4)(�).
Ahora falta solamente descomponer el intervalo [a, b] en un número par de subintervalos
de igual longitud, y el resto es más que previsible.
12. Polinomios de Taylor (Nociones)
Aproximar una función cualquiera mediante un polinomio tiene obvias ventajas desde el
punto de vista calculatorio. Según el tipo de problema que se esté considerando o los datos
que se tengan de la función, vaŕıa el tipo de polinomio que conviene elegir. Vamos a hablar
acá de los denominados Polinomios de Taylor, llamados aśı en honor del matemático
inglés Brooks Taylor (1685–1731). Pero antes debemos repasar algunas sencillas pro-
piedades de los polinomios.
A partir de la expresión general de un polinomio de grado n:
P (x) = c0 + c1x+ c2x
2 + c3x
3 + ⋅ ⋅ ⋅+ cn−2x
n−2 + cn−1x
n−1 + cnx
n,
(donde los coeficientes ck son números reales, con cn ∕= 0), se obtienen inmediatamente
las sucesivas derivadas de P en el origen en función de los coeficientes, a saber:
P (0) = c0, P
′(0) = c1, P
′′(0) = 2c2, P
′′′(0) = 3 ⋅ 2c3, . . . ,
P (n−2)(0) = (n− 2)! cn−2, P
(n−1)(0) = (n− 1)! cn−1, P
(n)(0) = n! cn.
Pero además vemos que los coeficientes del polinomio se pueden reconstruir a partir
de los valores de tales derivadas. En efecto,
ck =
P (k)(0)
k!
, ∀k = 0, 1, 2, . . . , n.
Por lo tanto el polinomio se puede expresar aśı:
P (x) =
n
∑
k=0
P (k)(0)
k!
xk.
23
Dada cualquier función que admita derivadas por lo menos hasta el orden n en un entorno
del origen, nos preguntamos si existe un polinomio de grado no mayor a n que satisfaga
las siguientes n+ 1 condiciones:
P (0) = f(0), P ′(0) = f ′(0), P ′′(0) = f ′′(0), . . . , P (n−2)(0) = f (n−2)(0),
P (n−1)(0) = f (n−1)(0), P (n)(0) = f (n)(0).
Por lo visto antes, la respuesta es clara: existe un único polinomio que reúne todos los
requisitos, y es :
P (x) =
n
∑
k=0
f (k)(0)
k!
xk.
A este polinomio se lo denomina Polinomio de Taylor de orden n asociado a f (o
generado por f) alrededor del origen, y se lo suele denotar como Tn(f, 0)(x). Nótese que
se dice orden y no grado pues este último puede no ser n.
El rol que cumplió el origen lo puede ocupar cualquier punto. En efecto, partiendo de
P (x) = c0+c1(x−a)+c2(x−a)
2+c3(x−a)
3+⋅ ⋅ ⋅+cn−2(x−a)
n−2+cn−1(x−a)
n−1+cn(x−a)
n
se llega a comprobar que
ck =
P (k)(a)
k!
, ∀k = 0, 1, 2, . . . , n,
de donde
P (x) =
n
∑
k=0
P (k)(a)
k!
(x− a)k.
Y si f es suficientemente derivable en un entorno de x = a, existe al igual que antes un
único polinomio de grado no mayor a n que satisface las n+ 1 condiciones:
P (a) = f(a), P ′(a) = f ′(a), P ′′(a) = f ′′(a), . . . , P (n−2)(a) = f (n−2)(a),
P (n−1)(a) = f (n−1)(a), P (n)(a) = f (n)(a).
y se trata del polinomio
P (x) =
n
∑
k=0
f (k)(a)
k!
(x− a)k,
llamado Polinomio de Taylor de orden n asociado a f (o generado por f) alrededor de
x = a, al cual se lo denota como Tn(f, a)(x).
Hablando informalmente, este polinomio dará una muy buena aproximación de la función
f en las cercańıas de x = a, y esta aproximación será tanto mejor cuanto mayor sea n.
Recomendamos al lector ver en algún buen libro cómo la gráfica de Tn se va “ajustando”
cada vez más a la gráfica de f a medida que crece el n. Inclusive suele ser cada vez más
largo el intervalo donde los valores de Tn están “cerca” de los de f .
24
El error que se comete cuando el valor f(x) se reemplaza por Tn(f, a)(x), es decir
En(x) = f(x)−
n
∑
k=0
f (k)(a)
k!
(x− a)k,
es una función que, por su misma construcción, tiene varias derivadas consecutivas nulas
en x = a. Por lo tanto “se apartará lentamente” del valor 0 cuando x se empiece a ale-
jar de a. Dicho de otro modo: cuando x tienda a a, En(x) tenderá a 0 con bastante rapidez.
Para ser más precisos, vamos a dar alguna fórmula que permita estimar el resto o error
de aproximación. Sea I un intervalo real que contiene a a (no necesariamente a es punto
interior de I). Suponiendo que la función f admita derivada continua de orden n + 1
en I, el Teorema de Taylor asegura que el error se puede expresar aśı (en la llamada
Forma integral del resto):
En(x) =
1
n!
∫
x
a
(x− t)nf (n+1)(t) dt, ∀x ∈ I.
La demostración de este resultado puede verse en diversos textos. Por ejemplo, la que
aparece en Apostol, Calculus, Volumen 1, se basa esencialmente en la aplicación reite-
rada de la integración por partes.
Existen varias otras maneras de expresar el error. Por ejemplo, aplicando a la expresión
anterior el TVM ponderado del Cálculo Integral, surge la llamada Forma de Lagrange
del resto:
∀x ∈ I En(x) =
f (n+1)(�)
(n+ 1)!
(x− a)n+1
para algún conveniente � ubicado entre a y x. Observemos que el Teorema de Lagran-
ge (también llamado TVM del Cálculo Diferencial) es el caso particular que se presenta
cuando se hace una aproximación de orden 0.
En Bers, Cálculo Diferencial e Integral, se llega a la forma de Lagrange de modo direc-
to, vale decir sin pasar por la forma integral. Para ello se usa reiteradamente el Teorema
de Cauchy (otro de los TVM del Cálculo Diferencial).
Usando adecuadamente esta última fórmula en caso de que f sea infinitamente derivable,
resulta sencillo demostrar bajo ciertas hipótesis que el error, para un x fijo, tiende a 0
para n → +∞.
Las calculadoras cient́ıficas de bolsillo usan convenientes Polinomios de Taylor para
dar valores de funciones trigonométricas, logaŕıtmicas, exponenciales, etc. Y esto es tan
sólo un “botón de muestra” de la enorme utilidad de estos polinomios en las distintas
especialidades de la Ingenieŕıa.
13. Comentarios Bibliográficos
1. De todos los textos que figuran en la Bibliograf́ıa Básica del Programa Oficial de
Análisis Matemático II, sólo Bers demuestra la Fórmula del error para los Métodos
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de los Trapecios y de Simpson. En ambos casos lo hace mediante el uso reiterado del
Teorema de Rolle, una herramienta muy accesible por cierto, pero introduciendo
previamente una conveniente función auxiliar. Para una persona con mediano entre-
namiento matemático, no es dif́ıcil primero imaginar y luego construir dicha función,
pero a los alumnos por lo general les parece surgida de la nada, por lo cual consideran
que el procedimiento es muy artificioso.
2. En la Bibliograf́ıa Complementaria, Apostol demuestra ambas fórmulas usando
una función de interpolación. Nuevamente esto es algo sencillo para alguien que
tiene entrenamiento previo en el tema, pero artificioso para quien no lo tiene.
3. Los restantes autores de la Bibliograf́ıa Básica omiten la demostración, lo cual no es
malo en śı mismo, pero lo cuestionable es que casi todos dicen que son resultados de
Cálculo Avanzado o que hay que buscarlos en textos avanzados o libros de Análisis
Numérico.
Esta situación, como ya dijimos al comienzo, crea una innecesaria atmósfera de misterio
que percibimos con frecuencia en nuestra práctica docente y que en el presente trabajo
hemos procurado contribuir a contrarrestar. El lector interesado puede extraer valiosas
ideas de M. Sadosky, Cálculo Numérico y Gráfico, o bien de G. H. Hardy, A Course of
Pure Mathematics, sin olvidar la obra ya citada de Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo.
En la Bibliotecade la Facultad existen ejemplares de las cinco obras aqúı mencionadas.
14. Conclusión
Se ha intentado mostrar aqúı un enfoque accesible a estudiantes de 1er. Año, en la con-
vicción de que se puede (y se debe) prestar atención al error de aproximación
en forma permanente, intuitiva y natural.
Pero al mismo tiempo este enfoque dejó un subproducto. En efecto, nos dejó el terreno
preparado para que en pocos trazos se entendieran las ideas fundamentales de
los Polinomios de Taylor.
Quedamos a la espera de cŕıticas y sugerencias para ver si hemos conseguido nuestros
propósitos.
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