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INECUACIONES POLINOMIALES 
Y RACIONALES
MATEMÁTICAS
CICLO CERO
Mg. Luis Diego Yaipén Gonzales
https://luisdiegoyaipen.wordpress.com/
https://luisdiegoyaipen.wordpress.com/
Logro de la Sesión
Al finalizar la sesión el estudiante será capaz de identificar las
diferentes inecuaciones según su grado, así como resolverlas y
definir su solución utilizando intervalos de la recta real.
¿Cómo expresa esta situación? 
Si cada lapicero cuesta S/. 2 y cada lápiz S/.1,5 ¿cómo expresa el
gasto que puede realizar si dispone de S/.100?
DESIGUALDAD
Definición:
Llamaremos desigualdad a una relación matemática que hace uso de
la forma en que los números reales estén ordenados.
Por ejemplo: 5 < 8.
Las desigualdades aparecen constantemente en todos los campos de
las matemáticas y en todas las áreas de su aplicación.
Propiedades de las Desigualdades
Sean a ,b y c números reales, entonces se cumple:
1. Si , entonces 
2. Si , entonces
3. Si a y b tienen el mismo signo y , entonces
4. Si y , entonces 
5. Si y , entonces
6. Si
7. Si
8. Si 
ba  cbca 
ba  ba 
ba 
11   ba
ba  0c cbca .. 
ba  0c cbca .. 
ba
baba
11
0,0, 
ba
baba
11
0,0, 
ba
baba
11
0,0, 
Intervalos
1. LA RECTA NUMÉRICA:
Se representa de la siguiente manera:
2. INTERVALOS:
Son conjuntos de números definidos mediante la
relación de orden en el campo de los
números reales.
, , , ( )   
A) Intervalos limitados:
2.1 TIPOS DE INTERVALOS:
Si a, b son números reales, tales que
definimos los siguientes intervalos:
a b
B) Intervalos ilimitados
Inecuaciones Lineales
Definición:
Una inecuación de primer grado con una incógnita es
aquella que puede reducirse a cualquiera de las
siguientes formas:
0 0
0 0 0
ax b ax b
ax b ax b a
   
    
3 5 2 9
) 
3 4 12 15
6 3 3
) (2 6)
2 4
2 3 6 1 2
) 
5 2 2 4
x x x
c
x x
d x
x x x x
e
 
  
 
  
   
  
1. Resuelve las siguientes inecuaciones:
Ejemplos
) 5 3 0
) 5 2(4 ) 3 8(3 )
a x
b x x x
 
    
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Una inecuación de segundo grado con una incógnita es aquella
desigualdad condicional que reducida a su más simple expresión tiene la
forma
En cualquiera de los casos se debe tener en cuenta la solución de la
ecuación
2 2
2 2
0 0
0 0 0
ax bx c ax bx c
ax bx c ax bx c a
     
      
2 0ax bx c  
Método de los “Puntos críticos”
Se utiliza para determinar el C.S. de cualquier desigualdad de grado
mayor o igual a 2; dicha desigualdad puede ser entera, fraccionaria o
racional. Los pasos a seguir son los siguientes:
 Factorizamos la expresión dada. 
 Igualamos cada uno de los factores primos a CERO y despejamos
“x” con lo cual hemos determinado los PUNTOS CRÍTICOS
(P.C) de la desigualdad.
 Ubicamos los P.C. en la recta numérica, quedando ésta dividida en
intervalos. Al primer intervalo (contado desde la derecha) le
asignamos el signo positivo (+), los demás signos se van
alternados en los intervalos restantes.
 Cuando la desigualdad es > ó ≥ tomaremos todos los intervalos
POSITIVOS.
 Cuando la desigualdad es < ó ≤ tomaremos todos los intervalos
NEGATIVOS.
 El conjunto solución quedará determinado por la UNIÓN de todas
las zonas sombreadas de acuerdo al signo de la desigualdad.
INECUACIÓN 
CUADRÁTICA
( )( ) 0x a x b  
Intervalo con signo 
negativo
a b
( )( ) 0x a x b  
. = [ ; ]C S a b
Unión de intervalos 
señalados con signo 
positivos
a b 
. = ]- ;a] [ ; [C S b  
Previa Factorización
Determina el conjunto solución de:
Ejemplos
065) 2  xxa
03) 2  xxb
012) 2  xxc
01) 2  xxd
02) 2  xxe
INECUACIONES RACIONALES
DEFINICIÓN:
Son aquellas inecuaciones que se reducen a la siguiente forma general:
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS PARA RESOLVER 
INECUACIONES RACIONALES
 Se trasladan todos los términos al primer miembro, obteniendo siempre
una expresión de coeficiente principal positivo.
 Factorizar el numerador y denominador, si no se puede factorizar,
encontrar los puntos donde el numerador y denominador son igual a
cero.
0)(0)().(0
)(
)(






xQxQxP
xQ
xP
MÉTODO DE LOS PUNTOS CRÍTICOS PARA RESOLVER 
INECUACIONES RACIONALES
 Se calculan los puntos críticos. Son los valores reales de "x"
obtenidos al igualar cada factor primo a cero.
 Se ubican, ordenadamente, todos los puntos en la recta real, dichos
puntos originan en la recta dos o más zonas.
 Se marcan las zonas obtenidas a partir de la derecha alternando los
signos "+" y "-".
 Si el signo de relación es > o , el conjunto solución estará formado
por todas las zonas positivas, pero si el signo de relación es < o el
conjunto solución lo formarán todas las zonas negativas.
 La solución se puede expresar de distintas formas: como intervalo,
conjunto o gráficamente.
1
12xx
5x
2
2



Ejemplo:
Resolver:
01
12xx
5x
2
2



0
12xx
7x
2



0
)3x)(4x(
7x



Resolución:
Puntos críticos son:
}34,7{ 
0)3)(4)(7(  xxx
  ;43;7.. xSC