Aritmética

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BANCO DE EJERCICIOS
DE LA COLECCIÓN COMPENDIOS
ARITMÉTICA
Editorial
Librería: Av. Garcilaso de la Vega 978, Lima Telf.: 424-6563
www.editorialsanmarcos.com
ÍNDICE
Razones - Proporciones - Promedios .............................................................................................. 4
Magnitudes proporcionales .............................................................................................................. 14
Reparto proporcional ....................................................................................................................... 18
Regla de tres .................................................................................................................................... 23
Porcentajes - Mezclas ..................................................................................................................... 27
Interés - Descuento .......................................................................................................................... 36
Numeración - Conteo ....................................................................................................................... 45
Cuatro operaciones .......................................................................................................................... 55
Divisibilidad....................................................................................................................................... 66
Números primos ............................................................................................................................... 77
Máximo común divisor - Mínimo común múltiplo.............................................................................. 85
Potenciación y radicación ................................................................................................................ 92
Teoría de conjuntos ......................................................................................................................... 101
Números racionales ......................................................................................................................... 114
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raZóN
Es la comparación que se establece entre dos can-
tidades de una magnitud mediante las operaciones 
de sustracción o división, lo cual nos induce a se-
ñalar que se tiene dos clases de razón.
Razón aritmética. Es la que se obtiene mediante 
la sustracción y consiste en determinar en cuánto 
excede una de las cantidades a la otra: a – b = r
Ejemplo:
Los automóviles A y B se desplazan con velocida-
des de 28 m/s y 23 m/s respectivamente, compare-
mos sus velocidades:
razón aritmética
valor de la 
razón
28 m/s - 23 m/s = 5 m/s
1 2 344444 44444 6 7 844 44
SS
antecedente consecuente
Interpretación: la velocidad del automóvil A excede 
en 5 m/s a la velocidad del automóvil B.
Razón geométrica. Es la que se obtiene mediante 
la división y consiste en determinar cuántas veces 
cada una de las cantidades contiene la unidad de 
referencia: 
b
a = k
Ejemplo:
Los edificios A y B tienen una altura de 60 m y 36 m, 
respectivamente, comparemos sus alturas (en ese 
orden):
antecedente 
consecuente m
m
36
60
3
5
=
razón geométrica
valor de la razón
Interpretación:
• Las alturas de los edificios A y B son entre sí 
como 5 es a 3 porque:
 Altura de A: 5(12 m)
 Donde: 12 m es la unidad de referencia.
 Altura de B: 3(12 m)
• Por cada 5 unidades de 60 m hay 3 unidades 
de 36 m.
• Las alturas de los edificios A y B están en la 
relación de 5 a 3.
Recuerde:
RAZÓN
Aritmética Geométrica
a - b = r b
a
= k
Términos:
a: antecedente
b: consecuente
r y k: valores de las razones
Cuando en el texto se mencione solamente razón o 
relación se debe entender que se hace referencia a 
la razón geométrica.
ProPorCIóN
Es la igualdad en valor numérico de dos razones 
de la misma clase.
Proporción aritmética. Es aquella que se forma 
al igualar los valores numéricos de dos razones 
aritméticas.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las edades 
de 4 alumnos y que son: 15 años, 17 años, 18 años 
y 14 años.
 Extremos
 
I. 18 años - 15 años = 17 años - 14 años
 
 Medios
 Extremos
 
II. 18 años - 17 años = 15 años - 14 años
 
 Medios
Llevando los extremos y medios a un solo miembro 
de la igualdad se obtiene lo siguiente:
 Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 17 años + 15 años
 32 años = 32 años
raZoNEs - ProPorCIoNEs - PromEDIos
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5 Banco de ejercicios
 Extremos Medios
• 18 años + 14 años = 15 años + 17 años
 32 años = 32 años
De donde podemos concluir que en toda propor-
ción aritmética:
[suma de extremos] = [suma de medios]
Dependiendo del valor que asumen los términos 
medios las proporciones aritméticas presentan dos 
tipos.
A. Discreta. Cuando los valores de los términos 
medios son diferentes.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las altu-
ras de 4 árboles y que son: 25 m; 18 m; 42 m y 
35 m.
 Resolución:
Debemos comparar las alturas de dichos ár-
boles mediante una resta.
25 m - 18 m = 7 m a la vez 42 m - 35 m = 7 m
Como el valor de cada razón es el mismo pode-
mos establecer: 25 m - 18 m = 42 m - 35 m 
que es una proporción aritmética discreta.
Convencionalmente se asumen los términos 
de la proporción aritmética en el orden como 
se presentan en el problema:
1.er 
términoc m - 
2.o 
términoc m = 
3.er 
términoc m - 
4.o 
términoc m
Ejemplo:
Halle la cuarta diferencial de los precios de 
tres artículos que son: S/.50, S/.34 y S/.29.
 Resolución:
La cuarta diferencial es el cuarto término en la 
proporción: 50 - 34 = 29 - c; c = 13, enton-
ces 13 es la cuarta diferencial de 50; 34 y 29.
B. Continua. Cuando los valores de los términos 
medios son iguales.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética continua con los 
volúmenes de 4 recipientes y que son 19 cm3, 
15 cm3 y 11 cm3.
 Resolución:
Podría ser:
19 cm3 - 15 cm3 = 15 cm3 - 11 cm3
ya que generalmente se asume el orden en 
que se dan los términos.
 Recuerde:
Proporción aritmética
Discreta
“a excede a b como c excede a d”
Extremos
a - b = c - d
Medios
d: cuarta diferencial de a, b y c
Continua
Extremos
a - b = b - c
Medios
b: media diferencial de a y c
c: tercera diferencial de a y b
Proporción geométrica. Es aquella que se forma 
al igualar los valores numéricos de dos razones 
geométricas.
b
a
d
c k= =
Ejemplo:
Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son 
24 L, 6 L, 16 L y 4 L las cuales se comparan me-
diante la división del siguiente modo:
L
L
L
L L
L
L
L6
24 4
4
16 4 6
24
4
16=
=
=
_
`
a
bb
bb
• 24 L y 4 L: términos extremos
• 6 L y 16 L: términos medios
Interpretación: la capacidad de 24 L es a la capaci-
dad de 6 L como la de 16 L es a la de 4 L.
Ejemplo:
Forme una proporción geométrica con las veloci-
dades de 4 automóviles y que son: 15 m/s; 20 m/s; 
9 m/s y 12 m/s.
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aritmétiCa 6
Resolución:
I. 
/
/
/
/
m s
m s
m s
m s
20
15
12
9
4
3
= =
Extremos: 15 m/s y 12 m/s
Medios: 20 m/s y 9 m/s
Valor de cada razón geométrica: 
4
3
II. 
/
/
/
/
m s
m s
m s
m s
15
20
9
12
3
4
= =
Extremos: 20 m/s y 9 m/s
Medios: 15 m/s y 12 m/s
Valor de cada razón geométrica: 
3
4
Llevando los términos medios y extremos a 
un solo miembro de la igualdad se obtiene lo 
siguiente:
 Extremos Medios
(15 m/s)(12 m/s) = (9 m/s)(20 m/s)
 180 = 180
 Extremos Medios
 (20 m/s)(9 m/s) = (12 m/s)(15 m/s)
180 = 180
De donde podemos concluir que en toda pro-
porción geométrica:
[Producto de extremos] = [Producto de medios]
Dependiendo del valor que asumenlos tér-
minos medios, las proporciones geométricas 
presentan dos tipos:
A. Discreta. Cuando los valores de los términos
medios son diferentes:
b
a
d
c
=
Convencionalmente se asumen los términos 
de la proporción en el orden como se presen-
tan en el problema:
.
.
.
.
2
1
4
3
término
término
término
término
o
er
o
er
=
^
^
^
^
h
h
h
h
Ejemplo: 
Calcula la cuarta proporcional de las estaturas 
de 3 estudiantes que son: 1,6 m; 1,2 m y 1,4 m
 Resolución:
La cuarta proporcional es el cuarto término de 
la proporción 
,
, ,
x1 2
1 6 1 4
= & x = 1,05 es la cuar-
ta proporcional.
B. Continua. Cuando los valores de los términos 
medios son iguales.
b
a
c
b
=
 Recuerde:
Proporción geométrica
Discreta Continua
b
a
d
c
=
d: cuarta proporcional 
de a, b y c
b
a
c
b
=
b: media proporcional 
de a y c.
c: tercera proporcional 
de a y b.
Propiedad de la proporción geométrica. Al efec-
tuar las operaciones de adición y/o sustracción con 
los términos de una razón en la proporción, estas 
mismas operaciones se verifican con los términos 
de la otra razón.
Si:
b
a
d
c
b
a b
d
c d o a
a b
c
c d o
b
b a
d
d c o
a b
a b
c d
c d
&=
+
=
+ +
=
+
-
=
-
-
+
=
-
+
Serie de razones geométricas equivalentes
En algunas oportunidades nos encontraremos con 
razones geométricas que tienen el mismo valor nu-
mérico, como:
; ; ;
5
10 2
7
14 2
3
6 2
6
12 2= = = =
Las cuales pueden igualarse del siguiente modo:
5
10
7
14
3
6
6
12 2= = = = , la cual es llamada serie de 
razones geométricas equivalentes.
Donde:
10; 14; 6 y 12 son los antecedentes.
5; 7; 3 y 6 son los consecuentes.
2 es la constante de proporcionalidad.
Realicemos algunas operaciones con los términos:
• 
5 7 3
10 14 6
15
30 2
+ +
+ +
= = • 
5 6 3
10 12 6
8
16 2
+ -
+ -
= =
En ambos casos se observa que la constante de 
proporcionalidad no ha variado lo cual nos induce a:
5
10
7
14
3
6
6
12
5 7
10 14
5 3
10 6
= = = =
+
+
=
-
-
=
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7 Banco de ejercicios
5 3 6
10 6 12
5 7 3 6
10 14 6 12 2=
+ -
+ -
=
+ - -
+ - -
=
•	
5 7 3
10 14 6 2 2 2 23
# #
# #
# #= =
• 
5 7 3 6
10 14 6 12 2 2 2 2 24
# # #
# # #
# # #= =
Se puede observar que al multiplicar los antece-
dentes y consecuentes la constante de propor-
cionalidad se ve afectada de un exponente que 
numéricamente es igual a la cantidad de razones 
consideradas para la multiplicación.
Nota:
En general para n razones de igual valor nu-
mérico:
...c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n
1
1
2
2
3
3
= = = =
Donde:
ai: antecedente; ci: consecuente
k: constante de proporcionalidad
Además:
a1 = c1 k 
a2 = c2 k
a3 = c3 k
h
an = cn k
En el cual se cumplen las siguientes propiedades:
• ...c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n
1
1
2
2
3
3
= = = =
...
...
c c c c
a a a a
k
n
n
1 2 3
1 2 3
+ + + +
+ + + +
=
Se cumple:
k
suma de consecuentes
suma de antecedentes
=
• 
. . ...
. . ...
...
c c c c
a a a a
k
c
a
c
a
c
a
c
a
k
n
n n
n n n
n
n n n
1 2 3
1 2 3
1
1
2
2
3
3
=
= = = = =c c c cm m m m
Se cumple:
k
producto de consecuentes
producto de antecedentes n
=
Donde n es el número de razones que se 
multiplican.
Propiedad:
En las siguientes series de razones geométricas:
• 
12
8
18
12
27
18
= = • 54
81
36
54
24
36
16
24
= = =
se observa que el primer consecuente es igual al 
segundo antecedente, el segundo consecuente 
igual al tercer antecedente y así sucesivamente. A 
este tipo de serie se le denomina: serie de razones 
geométricas continuas equivalentes.
En general:
b
a
c
b
d
c
e
d k= = = =
a ek
b ek
c ek
d ek
4
3
2
=
=
=
=
Z
[
\
]
]]
]
]
PromEDIo
Dado un conjunto de datos es frecuente calcular un 
valor referencial (que represente a dichos datos) 
cuyo valor se encuentra comprendido entre los va-
lores extremos (mínimo y máximo dato) o es igual 
a uno de los extremos y se le denomina promedio.
En general: para n datos a1 # a2 # ... # an
se tiene que:
a1 # promedio # an
• Promedio aritmético o media aritmética (MA)
Ejemplo:
Calcular el promedio aritmético de las tempe-
raturas de 5 ciudades y que son: 14°; 13°; 11°; 
12°; 15°.
Resolución:
° ° ° ° ° ° 13°MA
5
14 13 12 11 15
5
65
=
+ + + +
= =
Es el más sencillo y ya lo habíamos trabajado 
en el ejemplo anterior:
MA
cantidad de datos
suma de datos
=
...
MA n
a a a an1 2 3
=
+ + + +
Para determinar la variación que experimenta 
el promedio aritmético de un conjunto de da-
tos solo es necesario considerar el incremen-
to o disminución en la suma de los datos.
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aritmétiCa 8
del
cantidad de datos
variación
promedio
incremento o disminución
en la suma de los datos
=
c m
Cuando de un conjunto de datos se conoce su 
promedio implícitamente ya se tiene la suma 
de los datos.
MA (n datos) = k & suma (n datos) = n(k)
• Promedio ponderado
Datos: a1 a2 a3 ... ak
Pesos: P1 P2 P3 ... Pk
promedio 
ponderado = ...
...
P P P P
a P a P a P a P
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +
• Promedio geométrico o media geométrica
(MG). Es un promedio que permite promediar
índices y tasas de crecimiento y el procedi-
miento para calcularlo es:
MG =
cantidad
de datos producto de los datos
...MG a a a ann 1 2 3# # # #=
• Promedio armónico o media armónica (MH).
Es la inversa del promedio aritmético de los
recíprocos de los datos:
MH
suma de las inversas de los datos
cantidad de datos
=
...
MH
a a a a
n
1 1 1 1
n1 2 3
=
+ + + +
• Mediana (Me). Es un promedio que represen-
ta el punto medio de los datos para determi-
narlo el procedimiento es el siguiente:
Se ordenan los datos en forma creciente o de-
creciente.
– Si el número de datos es impar, la media-
na es el dato central.
– Si el número de datos es par, la media-
na es el promedio aritmético de los datos
centrales.
• Moda (Mo). Es el valor más frecuente o el que 
más se repite en un conjunto de datos.
Propiedades (MA, MG y MH)
1. Para un conjunto de datos no iguales se tiene
que:
MH 1 MG 1 MA
 Cuando los datos son iguales se cumple que:
MH = MG = MA
 
2. Siempre para dos datos a y b se cumple que:
(MA)(MH) = (MG)2
Para dos números:
MA(a; b) = a b
2
+
MG(a; b) = ab
MH(a; b) =
a b
a b
ab
1 1
2 2
+
=
+
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se
aumenta 175 a uno de ellos y 115 al otro se ob-
tienen cantidades iguales. ¿Cuál es el menor?
Resolución:
Por dato: ( )( )b
a a k menor
b k mayor5
2 2
5&=
=
=
Además: 2k + 175 = 5k + 115
 60 = 3k & k = 20
Luego: menor = 2k = 40
2. El producto de los cuatro términos de una
proporción geométrica es 50 625. Sabiendo
que los medios son iguales y que uno de los
extremos es 75, indicar la suma de los cuatro
términos de la proporción.
Resolución:
Sea la proporción:
b d
b k75 = =
Por dato: (75)(d)(b)(b) = 50 625 S
 b2
Entonces: b4 = 154 & b = 15
Además por propiedad:
 (75)(d) = (15)(15) & d = 3
Luego: 75 + 2b + d = 108
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9 Banco de ejercicios
• 
F
V
600
600
7
8
-
-
=
Por propiedad de proporciones:
F
F V
F
F F
600 7
1
600
2 300
7
1
&
-
-
=
-
- -
=
^ h
 -7F + 2100 = 600 - F
 1500 = 6F & F = 250; V = 200
 Cambian de opinión: 150
6. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de
una proporción continua si la suma de sus cua-
tro términos es 36 y la razón entre la suma y
diferencia de los dos primeros términos es 3?
Resolución:
Sea la proporción: 
b
a
d
b k= =
 a + 2b + d = 36 ...(1)
a b
a b
-
+ = 3, de aquí por propiedad de propor-
ciones: 2
b
a
&= a = 2b
Reemplazando en la proporción:
2
b
b k k2 &= =
Luego en (1):
2b + 2b + b
2
 = 36 b
2
9 36& =
 b = 8; a = 16 y d = 4
` a - d = 12
7. El promedio de 50 números es 38; siendo 45 y 
55 dos de los números. Eliminando estos dos
números, hallar el promedio de los restantes.Resolución:
Vamos a convenir que: MAn = n
Sn
Entonces en el problema:
S
S
50
38 190050 50&= =
Como dos de los números son 45 y 55; quedan:
 S48 = 1900 - (45 + 55) & S48 = 1800
Luego: MA48 = 37,5 
8. Se tienen 4 números enteros y positivos, se
seleccionan 3 cualesquiera de ellos y se cal-
cula su media aritmética, a la cual se agrega
el entero restante, esto da 29, repitiendo el
3. El jardinero A planta rosas más rápidamente
que el jardinero B en la proporción de 4 a 3.
Cuando B planta x rosas en 1 hora. A planta
x + 2 rosas. ¿Cuántas rosas planta B en 4
horas?
Resolución:
Por dato: 
B
A A t
B t3
4 4
3&=
=
=
Además en 1 hora
2 + x = 4t 
4
 
& x = 6 
 x = 3t 
Luego, B en 4 horas planta:
 6(4) = 24 rosas.
4. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su
producto es 1152. Encontrar el mayor de los
dos números.
Resolución:
Sean a y b los números: 
b
a a b
4
3
4
3
&= =
1152ab
3
2
= & 1152b b
3
2
4
3
=c m
b
2
1152
2
= & b2 = 2304 = 482
& b = 48 (mayor) / a = 36 (menor)
` b = 48
5. Un asunto fue sometido a votación de 600
personas y se perdió; habiendo votado de
nuevo las mismas personas sobre el mismo
asunto, fue ganado el caso por el doble de
votos por el que se había perdido la primera
vez, y la nueva mayoría fue con respecto a la
anterior como 8 es a 7. ¿Cuántas personas
cambiaron de opinión?
Resolución:
A favor En contra
Diferencia 
de votos
1.a vot. F 600 - F 600 - 2F
2.a vot 600 - V V 600 - 2V
Por dato:
• 600 - 2V = 2(600 - 2F)
600 - 2V = 1200 - 4F
4F - 2V = 600
2F - V = 300 & V = 2F - 300
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aritmétiCa 10
proceso 3 veces más se obtienen como resul-
tados 23, 21 y 17. Hallar uno de los enteros 
originales.
 Resolución:
Sean a, b, c y d los números:
a b c
3
+ + + d = 29 ...(1)
b c d
3
+ +
+ a = 23 ...(2)
a b d
3
+ + +c = 21 ...(3)
a c d
3
+ + +b = 17 ...(4)
Sumando miembro a miembro:
a b c d
3
3 + + +^ h
 + (a + b + c + d) = 90
 a + b + c + d = 45
En (1): a b c
3
+ + = 29 - d
 45 - d = 87 - 3d & d = 21
En (2): a = 12; en (3): c = 9; en (4): b = 13
9. Hallar dos números tales que su media arit-
mética sea 18,5 y su media geométrica 17,5.
Resolución:
Sean a y b los números.
MA(a; b) a b
2
=
+ = 18,5 & a + b = 37
MG(a; b) = ab = 17,5 & a # b = 306,25
Debemos buscar dos números que multiplica-
dos den 306,25 y sumados 37.
Así, de: a # b = 306,25
 a # b = 24,5 # 12,5
Los números son: 24,5 y 12,5
10. Tres números enteros a, b y c, tienen una
media aritmética de 5 y una media geométri-
ca de 1203 . Además, se sabe que el produc-
to bc = 30. Hallar la media armónica de estos 
números.
Resolución:
Por dato:
MA = a b c a b c
3
5 15&+ + = + + =
120MG abc abc1203 3 &= = =
De donde: a(30) = 120; (bc = 30)
 & a = 4
 Luego: 
 
b + c = 11
bc = 30 
b = 5; c = 6
0
b = 6; c = 5
&
 
 MH(a; b; c) = . . .
20 24 30
3 4 5 6
37
180
74
360
+ +
= =
11. El peso promedio de todos los estudiantes de
una clase A es 68,4 y de todos los estudiantes
de la clase B es 71,2. Si el peso promedio de
ambas clases combinadas es 70 y el número
de estudiantes en la clase B excede a la de A 
en 16. ¿Cuántos estudiantes tiene la clase B?
Resolución:
Sea n el número de estudiantes en B y n - 16
el número de estudiantes en A:
.
, ,
70
n
n n
2 16
71 2 68 4 16
Prom& =
-
+ -
=
^ h
 139,6n - 1094,4 = 140n - 1120 & n = 64
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. Dada la siguiente serie de razones geométri-
cas equivalentes:
a
b
c
d27
70
15
14
= = =
además: b - d = 24. Hallar: a + b + c + d
a) 126 b) 134 c) 143
d) 162 e) 146
2. Si: 
b
a
c
b
d
c
= = y además: 
 (a2 + b2 + c2)(b2 + c2 + d2) = 4900
Hallar: 3(ab + bc + cd)
a) 70 b) 280 c) 35
d) 120 e) 210
3. Dado la siguiente serie: ;
b
a
d
c
e
d k= = = k ! Z+
Además: c +e = 15; b +d = 14
Calcular: (a + b + c)
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11 Banco de ejercicios
a) 25 b) 30 c) 36
d) 42 e) 28
4. En una proporción geométrica continua se
sabe que la diferencia de los extremos es 40
y la suma de sus términos es 100. Calcular la
media aritmética de los extremos e indicar la 
suma de sus cifras.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 8
5. En una proporción geométrica continua la 
suma de los extremos es 75 y la diferencia de 
los mismos es 21. Calcular la media propor-
cional.
a) 18 b) 30 c) 24 d) 36 e) 32
6. En una proporción continua, la suma de los
extremos es 73 y la suma de los cuadrados
de los extremos es 4177. Determine la media
proporcional.
a) 18 b) 22 c) 24 d) 28 e) 32
7. Hallar el valor de b si: a b c
5 7 8
= = y 
a + 2b + 3c = 430
a) 90 b) 30 c) 105
d) 35 e) 70
8. La razón de 2 números es 3/4 y los 2/3 de su
producto es 1152. Encontrar el mayor de los 2
números.
a) 36 b) 48 c) 50
d) 60 e) 72
9. Si: C P V
5 12 13
= = y C P 782 2+ =
hallar: C + P + V
a) 180 b) 240 c) 270
d) 300 e) 210
10. Sabiendo que: a b c d
12 27 48 75
2 2 2 2
= = =
donde (d + b) - (c + a) = 143
Hallar: a + b + c + d
a) 101 b) 10 010 c) 1001
d) 111 e) 1010
11. La suma de tres números es 650. Esta suma
es a la diferencia del primero con el último
como 50 es a 9 y esta misma suma es a la di-
ferencia de los últimos como 25 es a 1. Hallar
el mayor de los números.
 a) 295 b) 169 c) 195
d) 286 e) 210
12. La anchura de una alfombra rectangular es a
su largo como 2 es a 3. Si se le corta por los
4 costados una tira de 10 cm de ancho, la su-
perficie disminuye en 56 dm2. Diga cuál es el
largo de la alfombra.
a) 21 dm b) 12 dm c) 15 dm
d) 18 dm e) 28 dm
13. Para envasar 15 000 litros de aceite se dispo-
ne de botellas de 1/2 litro, 1 litro, 5 litros. Por
cada botella de 5 litros hay 10 de un litro y 20
de medio litro. Al terminar de envasar el acei-
te, no sobra ninguna botella vacía. ¿Cuántas
botellas había en total?
a) 18 000 b) 30 000 c) 18 600
d) 27 000 e) 240
14. Se tiene una serie de razones geométricas
continuas equivalentes, donde cada conse-
cuente es el triple de su antecedente; además
la suma de sus extremos es 488. Dar como
respuesta el mayor término.
a) 486 b) 242 c) 345
d) 620 e) 70
15. El número de niños y niñas en una fiesta in-
fantil está en la relación de 2 a 5. Si al cabo de 
2 horas llegan 10 parejas y 6 niños, la nueva
relación sería de 4 a 7. Hallar el número de
asistentes.
a) 96 b) 121 c) 84
d) 91 e) 110
16. Hace 8 años la razón de las edades de dos
hermanos era 2/5 y dentro de 12 años la razón 
sería 4/5. Hallar la edad del menor de los her-
manos.
a) 16 b) 18 c) 15 d) 9 e) 12
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aritmétiCa 12
17. La razón de x a y es 343 veces la razón de y2
a x2; hallar la razón de x a y.
a) 5/1 b) 5/2 c) 6/1
d) 7/2 e) 7/1
18. En una urna se tienen 400 bolas, de las cua-
les 160 son blancas y las restantes, negras. 
¿Cuántas blancas se deben añadir para que 
por cada 2 negras haya 3 bolas blancas?
a) 200 b) 240 c) 100 
d) 120 e) 0
19. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de
una proporción geométrica continua, si la
suma de sus cuatro términos es 32 y la razón
entre la suma y diferencia de los dos primeros
términos es 2?
a) 9 b) 14 c) 10 d) 16 e) 12
20. En una proporción geométrica continua, el pri-
mer término es 1/9 del cuarto término. Si la
suma de los medios es 72, hallar la diferencia
de los extremos.
a) 60 b) 90 c) 72 d) 96 e) 84
1. b 5. d 9. a 13. b 17. e
2. e 6. c 10. c 14. a 18. a
3. c 7. e 11. d 15. e 19. d
4. c 8. b 12. d 16. e 20. dC
l
a
v
e
s
EJERCICIOS PROPUESTOS 2
1. El promedio de 5 números es 85. Se conside-
ra un sexto número y el promedio aumenta en
15. Hallar el sexto número.
a) 155 b) 165 c) 175
d) 170 e) 185
2. En un salón de clase, a alumnos tienen 14
años, b alumnos tienen 11 años y c alumnos
tienen 13 años. Si el promedio de todos es 12
años, hallar a.
a) 2b - a b) b - 2a c) 2b
d) a - b e) a + b
3. El promedio aritmético de los cuadrados de 2
números consecutivos es 380,5. Hallarel me-
nor de ellos.
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
4. Un estudiante de una academia ha obtenido
13; 14; 16; 12 y a en sus 5 exámenes, además 
el último tiene doble peso que los otros. Deter-
mina el valor de a si el promedio ponderado
es 13,5.
 a) 12 b) 12,5 c) 13
d) 13,5 e) 14
5. El promedio de 50 números es 30. Si se re-
tiran 5 números cuyo promedio es 48. ¿En
cuánto disminuye el promedio?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
6. El promedio de las edades de 5 hombres es
28 años, además ninguno de ellos es menor
de 25 años. ¿Cuál es la máxima edad que po-
dría tener uno de ellos?
a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44
7. La suma de 2 números es 18 y sus promedios
aritmético y armónico son consecutivos. Halla
la diferencia de dichos números.
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15
8. El doble del promedio aritmético de 2 nú-
meros es igual al cuadrado de su promedio
geométrico más 1. Si uno de los números es
120. ¿Cuál es el otro?
a) 120 b) 60 c) 30 d) 4 e) 1
9. El promedio armónico de 40 números es 16 y
el de otros 30 números es 12. Halle el prome-
dio armónico de los 70 números.
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
10. El mayor promedio de 2 números es 100,
mientras que su menor promedio es 36. Hallar 
la diferencia de dichos números.
a) 180 b) 160 c) 140
d) 120 e) 182
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13 Banco de ejercicios
11. El promedio armónico de 3 números es
180/37, uno de los números es 5 y el prome-
dio geométrico de los otros 2 números es 6.
Dar como respuesta el menor de estos 3 nú-
meros.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 e) 12
12. El promedio geométrico de 2 números es 12 y 
la suma de sus promedios, aritmético y armóni-
co es 26. ¿Cuál es la suma de dichos números?
a) 40 b) 18 c) 32 
d) 36 e) 20
13. La media aritmética de 5 números es 120. Si
le agregamos 5 nuevos números la MA queda
aumentada en 80. ¿Cuál es la MA de los 5
números?
a) 200 b) 240 c) 280
d) 320 e) 360
14. La media aritmética de 2 números es 20,5 y la
media geométrica es 20. Hallar el menor nú-
mero.
a) 20,5 b) 11,5 c) 16
d) 11 e) 18
15. La media aritmética de 3 números es 13/3, la
media geométrica de los mismos es igual a
uno de ellos y su media armónica es igual a 
27/13. ¿Cuál es uno de los números?
a) 9 b) 8 c) 72
d) 6 e) 10
16. Un ciclista viaja de A hacia B a 60 km/h, y re-
gresa por el mismo camino a 30 km/h. Hallar
la velocidad media de su recorrido total.
 a) 50 km/h b) 4 km/h c) 40 km/h
d) 35 km/h e) 30 km/h
17. ¿Cuántas horas emplea un móvil para reco-
rrer 480 km. Viajando a una velocidad media
de 60 km/h, si hace 3 paradas de 15 minutos.
a) 8,15 h b) 8,45 h c) 8,50 h
d) 8,75 h e) 8,90 h
18. Hallar la suma de dos números que se dife-
rencian en 24, y además la diferencia que
existe entre su MG y MA es 6.
a) 24 b) 26 c) 28
d) 30 e) 32
1. c 5. c 9. c 13. c 17. d
2. b 6. a 10. b 14. c 18. d
3. d 7. a 11. c 15. a
4. d 8. e 12. d 16. cC
l
a
v
e
s
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maGNItUD
Se entiende como magnitud, para nuestro estu-
dio, a todo aquello que experimenta cambios o 
variación, el cual puede ser medido o cuantificado 
(magnitud matemática).
CaNtIDaD
Es un estado particular de la magnitud en un deter-
minado momento de análisis, el cual resulta de me-
dir (cuantificar) la variación, expresado en ciertas 
unidades de medida. Si tiene unidades se dice que 
es concreta, si carece de unidades es abstracta.
rELaCIóN ENtrE Dos maGNItUDEs
Dos magnitudes son proporcionales cuando al va-
riar uno de ellos entonces la otra también varía en 
la misma proporción.
maGNItUDEs DIrECtamENtE ProPorCIoNaLEs (DP)
Ejemplo:
En un determinado momento Lolo coloca 5 estacas 
de diferentes alturas y luego procede a medir la 
sombra que proyecta cada una de ellas, todo ello 
lo anota en la siguiente tabla.
Sombra proyectada (cm) 4 6 12 36 48
Altura de cada estaca (cm) 2 3 6 18 24
Resolución:
Intuitivamente se puede afirmar que a mayor altura 
de la estaca, mayor sombra proyectada. Esta afir-
mación, matemáticamente se puede expresar así:
Valor de la altura
Valor de la sombra
2
4
3
6
6
12
= = =
18
36
24
48 2= = = (constante)
Donde los puntos corresponden a una recta que 
pasa por el origen de coordenadas, la cual presen-
ta una inclinación respecto al eje horizontal (lla-
mada pendiente) que numéricamente es igual a la 
razón geométrica de los valores correspondientes 
a las magnitudes.
Podemos observar que las magnitudes sombra 
proyectada y altura de las estacas cumplen que el 
cociente de sus valores correspondientes es cons-
tante y que su gráfica es una recta.
Cuando 2 magnitudes cumplen estas 2 condicio-
nes les llamaremos magnitudes directamente pro-
porcionales. De aquí podemos mencionar que si 
los valores de las magnitudes aumentan (o dismi-
nuyen) en la misma proporción son directamente 
proporcionales.
En general para dos magnitudes A y B estas se 
relacionan en forma directamente proporcional si 
el cociente de sus valores correspondientes es una 
constante.
Notación: valor de (A)
A DP B &
Valor de B
Valor de A
constante=
^
^
h
h
A a B &
B
A = k
• La gráfica de dos magnitudes DP, son puntos
que pertenecen a una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
• En cualquier punto de la gráfica (excepto el
origen de coordenadas) el cociente de cada
par de valores resulta una constante.
maGNItUDEs INVErsamENtE ProPorCIoNaLEs 
(IP)
Ejemplo:
Una empresa constructora estudia, el tiempo que 
emplea un grupo de obreros para realizar una obra 
(todos los obreros rinden igual) y estos son los da-
tos obtenidos:
n.° de obreros 10 20 24 30 40 50
Tiempo (días) 60 30 25 20 15 12
Se observa cuando hay más obreros menos tiem-
po se emplea. El comportamiento de los valores 
es inverso, esto lleva a señalar que la magnitud 
obreros y tiempo son inversamente proporciona-
les. Además de ello se tiene que:
10(60) = 20(30) = 24(25) = 30(20) = 40(15)
= 50(12) = 600
maGNItUDEs ProPorCIoNaLEs
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15 Banco de ejercicios
De donde:
Valor de
obreros
Valor del
tiempo
c fm p = constante (obra a realizar)
Gráficamente:
tiempo (días)
Cada sector rectangular que se genera con un 
punto de la gráfica y los ejes tienen la misma su-
perficie y que físicamente corresponde a la obra 
realizada.
En general, dos magnitudes A y B son inversamen-
te proporcionales si el producto de sus valores co-
rrespondientes es constante.
Notación:
A(IP)B & (valor de A)(valor de B) = constante
.A B A B k1 &
a =c m
• La gráfica de dos magnitudes IP, son puntos
que pertenecen a una rama de una hipérbola 
equilátera.
• En cualquier punto de la gráfica el producto de
cada par de valores correspondientes resulta 
una constante.
Propiedades
Cuando se tienen más de 2 magnitudes como A, 
B, C y D se analizan dos a dos, tomando a una de 
ellas como referencia para el análisis y mantenien-
do a las otras en su valor constante.
• A DP B (C y D constantes)
• A IP C (B y D constantes)
• A DP D (B y C constantes)
BD
AC constante& =
• A DP B = B DP A
• A IP B = B IP A
• A IP B & A DP
B
1
• A DP B & An DP Bn
• A IP B & An IP Bn
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una rueda A de 80 dientes engrana con otra
rueda B de 50 dientes. Fijo al eje de B hay otra 
rueda C de 15 dientes que engrana con una
rueda D de 40 dientes. Si A da 120 vueltas por 
minuto, ¿cuántas vueltas dará la rueda D?
Resolución:
Graficamente, las ruedas están dispuestas
como sigue:
Nota:
Si la rueda tiene menos dientes, da más 
vueltas; lo que indica que: 
(N.° de dientes)(N.° de vueltas) = k (IP)
Así, en un minuto:
1.° 80(120) = 50(N.° VB) & N.° VB = 192
2.° Pero N.° VB = N.° VC = 192 (tiene el mismo 
eje)
3.° 15(192) = 40(N.° VD) & N.° VD = 72
2. Según la ley de Boyle, la presión es inversa-
mente proporcional al volumen que contiene
determinada cantidad de gas. ¿A qué presión
está sometido un gas si al aumentar esta pre-
sión en 2 atmósferas, el volumenvaría en un
40%?
Resolución:
P: presión; V: volumen
Observación:
Si la presión aumenta; entonces el volumen
disminuye, pues son IP.
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aritmétiCa 16
Así: P # V = k (constante)
P # V = (P + 2)
100
60 # V
10P = 6P + 12
 4P = 12 & P = 3 atmósferas
3. Dos cantidades son inversamente proporcio-
nales a una tercera. ¿Cómo son entre sí estas 
cantidades?
Resolución:
Sean A y B las magnitudes y C una tercera 
magnitud.
Por dato: C IP B y C IP A
Por propiedad: C IP (A # B)
Por lo tanto:
C # A # B = k (constante)
` Son inversamente proporcionales.
4. Un tendero hurta en el peso empleando una
balanza de brazos desiguales que miden 
22 cm y 20 cm. Una mujer compra 4,4 kg de
azúcar y el tendero pone las pesas sobre el
platillo correspondiente al brazo menor de la
balanza. La mujer compra otros 4,4 kg del
mismo artículo y obliga al comerciante a po-
ner las pesas en el otro platillo. En los 8,8 kg
¿cuánto dio de más o menos el tendero?
Resolución:
 P(20) = 4,4(22) & P = 4,84 kg
Al colocar las pesas en el brazo menor nece-
sita más azúcar para equilibrar.
Entrega de más: 0,44 kg
4,4(20) = 22 # P & P = 4 kg
Entrega 0,4 kg menos; luego en los 8,8 kg en-
trega:
 0,44 - 0,40 = 0,04 kg = 40 g más
5. Una persona dispone de un capital de 584 250
soles que lo ha dividido en tres partes para im-
ponerlas al 2%, al 4% y al 5% respectivamente. 
Sabiendo que todas las partes le producen igual 
interés. ¿Cuál es la parte impuesta al 4%?
 Resolución:
Si los intereses son iguales; entonces los ca-
pitales son IP a las tasas
 C1 # 2 = C2 # 4 = C3 # 5
 Multiplicando por 
20
1 tenemos:
 C C C2
20
1 4
20
1 5
20
1
1 2 3# # # # # #= =
C C C
k k
C C C
10 5 4 10 5 4
1 2 3 1 2 3
&= = = =
+ +
+ +
& k =
19
584 250
 = 30 750
Luego, la parte impuesta al 4% es:
 C2 = 5 # 30 750 = 153 750 soles
EJERCICIOS PROPUESTOS 1
1. A es directamente proporcional a la raíz cua-
drada de B e inversamente proporcional al
cuadrado de C. Cuando A es 8, B es 16 y C es 
6. Calcular el valor de B cuando A sea 9 y C
sea 4.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6
2. Se tienen las magnitudes A; B; C y D tales que 
A es DP a B; A es IP a C; A es IP a D. Cuando
A = 5; B = 2C y D = 2, hallar el valor de A
cuando B = 48; C = 2 y D = 3.
a) 36 b) 35 c) 40 d) 45 e) 32
3. Se sabe que una magnitud A es inversamente
proporcional a B. Hallar el valor de A sabiendo
que si disminuye en 36 unidades el valor de B
varía en un cuarto.
a) 24 b) 36 c) 180 d) 60 e) 48
4. X varía en razón directa a Y e inversa al cua-
drado de Z. Cuando X es 10, Y es 4 y Z es 14.
Hallar el valor de X cuando Y sea 16 y Z sea 7.
a) 180 b) 160 c) 154 d) 140 e) 120
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17 Banco de ejercicios
5. A es directamente proporcional al cuadrado de B
e inversamente proporcional a la raíz cúbica de
C. Si el valor de B se duplica y el de C disminuye 
en sus 26/27, ¿qué sucede con el valor de A?
a) Se multiplica por 12
b) Disminuye en 1/11 de su valor
c) Aumenta en 1/11 de su valor
d) Se triplica
e) Se cuadruplica
6. A y B son directamente proporcionales. Cuan-
do el valor inicial de B se triplica, el valor de 
A aumenta en 10 unidades. Cuando el nuevo 
valor de B se divide entre 5, ¿cómo varía el
valor de A respecto al inicial?
a) Aumenta en 15 b) Disminuye en 10
c) Disminuye en 12 d) Disminuye en 2
e) No se altera
7. A y B son inversamente proporcionales con
constante de proporcionalidad igual a k. ¿Cuál
es este valor si la constante de proporcionali-
dad entre la suma y diferencia de A y 1/B es 6?
a) 6/5 b) 7/5 c) 2 d) 7 e) 6/7
8. Sea F una función de proporcionalidad, tal
que: F(4) + F(6) = 20
Hallar el valor del producto: 
F
7
31^ h
F(7) F(3)
a) 372 b) 744 c) 558
d) 704 e) 1488
9. El consumo es directamente proporcional a su 
sueldo. El resto lo ahorra, un señor cuyo suel-
do es $560 ahorra $70. Si recibe un aumento,
consume $910. ¿De cuánto es el aumento?
a) $450 b) $480 c) $490
d) $560 e) $500
10. La figura muestra los engranajes W, I, L e Y
con 8; 12; 16 y 6 dientes cada uno respectiva-
mente. Si W da 18 vueltas por minuto, ¿cuán-
tas vueltas dará Y en 3 minutos?
a) 24 b) 48 c) 72
d) 96 e) 100
11. Una rueda A de 20 dientes engranada con otra 
rueda B de 75 dientes. Fija al eje B, hay otra
rueda C de 35 dientes que engrana con otra
rueda D de 20 dientes. Si A da 60 vueltas por
minuto. ¿Cuántas vueltas dará la rueda D?
 a) 24 b) 28 c) 36 d) 60 e) 21
12. Se tienen 2 magnitudes A y B; tales que A es
inversamente proporcional con B2; si cuando
B aumenta en 25% el valor de A varía en 144
unidades. ¿En cuánto aumenta o disminuye
cuando B disminuye en 20%?
a) Aumenta (22%) b) Disminuye (22%)
c) Disminuye (10%) d) Aumenta (10%)
e) Aumenta (50%)
13. Si: A es DP a B2 (C = constante); C es DP a
A (B = constante). Sea la tabla:a
A 4 x
B 2 1/2
C 1 1/2
hallar x.
a) 1/4 b) 1/8 c) 1/16
d) 1 e) 1/64
14. Si A es IP a B2; A es DP a D y D es IP a C ,
hallar x de la siguiente tabla.
A 2 4
B 2 x
C 9 4
D 4 3
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 12
1. d 5. a 9. b 13. c
2. c 6. d 10. d 14. b
3. c 7. b 11. b
4. b 8. b 12. aC
l
a
v
e
s
Editorial
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Como aplicación de la proporcionalidad consiste 
en repartir una cantidad en partes directa o inver-
samente proporcionales a ciertas cantidades que 
llamaremos indicadores.
Problema general
Repartir S en partes P1; P2; ...; Pn que sean DP a 
b1; b2; ...; bn. Determinar cada una de las partes.
Resolución:
Partes: P1; P2; ...; Pn & S = P1 + P2 + ... + Pn
Indicadores: b1; b2; ...; bn
Por dato: P1; P2; ...; Pn DP b1; b2; ...; bn
& ...
b
P
b
P
b
P
n
n
1
1
2
2
= = = = k (constante de proporcionalidad)
Por propiedad: k =
...
...
b b b
P P P
n
n
1 2
1 2
+ + +
+ + + & k = 
S
S
i
Si: suma de indicadores
Luego: P1 = b1k; P2 = b2k; Pn = bnk
Ejemplos:
1. Repartir 25 200 en partes DP a 5; 7 y 9. Deter-
minar cada una de las partes.
Resolución:
Sean las partes:
A; B y C & S = A + B + C = 25 200
Del dato: A; B; C DP 5; 7; 9
& Si = 5 + 7 + 9 = 21
& k =
21
25 200 & k = 1200
Luego: A = 5.(1200) = 6000
B = 7.(1200) = 8400
C = 9.(1200) = 10 800
2. Repartir 12 600 en partes IP a 1/4; 1/7 y 1/10.
Dar como respuesta la menor de las partes.
Resolución:
Partes: A; B y C & S = A + B + C = 12 600
Usando propiedad:
A IP A DP
4
1 4&
B IP B DP
7
1 7&
C IP C DP
10
1 10&
Luego: Si = 4 + 7 + 10 = 21
600k k
21
12 600
& &= =
 Por tanto, la menor de las partes es:
 A = 4(600) = 2400
3. Repartir 252 800 en partes DP a 3; 4 y 6 e IP
a 5; 5 y 7. Determinar la diferencia entre la
mayor y menor de las partes.
 Resolución:
Partes: A; B y C & S = A + B + C = 252 800
Como: A; B; C IP 5; 5; 7
& A; B; C DP ; ;
5
1
5
1
7
1
MCM (5; 7) = 35; luego:
A DP 3 / A DP A DP
5
1
5
3
& .35 = 21
B DP 4 / B DP B DP
5
1
5
4
& .35 = 28
C DP 6 / C DP C DP
7
1
7
6
& .35 = 30
& Si = 21 + 28 + 30 = 79 & k 79
252 800 3200= =
Por lo tanto, la diferencia entre la mayor y me-
nor parte es:
 C - A = 30k - 21k = 9(3200) = 28 800
rEGLa DE ComPaÑÍa
En este caso se reparten las ganancias (G) o pér-
didas directamente proporcionales a los capitales 
(C) aportados y los tiempos (T) de imposición de 
cada uno de los socios, respectivamente.
Es decir:
G DP C (T constante) y G DP T (C constante)
& G DP C.T & 
CT
G = k (constante)
En general: ...
C T
G
C T
G
C T
G
k
n n
n
1 1
1
2 2
2
= = = =
En particular, si:
1. ...C C Cn1 2= = = , entonces:
...
T
G
T
G
T
G
n
n
1
1
2
2
= = = = k1
rEParto ProPorCIoNaL
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19 Banco de ejercicios
2. T1 = T2 = ... = Tn, entonces:
...
C
G
C
G
C
G
k
n
n
1
1
2
2
2= = = =
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos pastores que llevan 5 y 3 panes respecti-
vamente, se encuentran con un cazador ham-
briento y compartencon este los 8 panes en 
partes iguales. Si el cazador pagó S/.8,00 por 
su parte. ¿Cómo deben repartirse los pasto-
res el dinero entre si?
Resolución:
Total de panes = 8
1.er pastor tiene: 5
2.o pastor tiene: 3
Como c/u de los 3 come 8/3
El 1.er pastor ayuda con: 5
3
8
3
7
- =
El 2.º pastor ayuda con: 3
3
8
3
1
- =
Entonces el reparto se hace en forma DP a lo 
que cada uno ayuda.
o sea: 1.° DP 7
2.° DP 1
S
k
8
1
8
8
i
&
=
= =
El primero recibe: 7 soles
y el segundo recibe: 1 sol
2. Repartir 154 en partes directamente propor-
cionales a 2/3; 1/4; 1/5; 1/6.
Resolución:
S = 154
Partes:
 1.a 60 40DP
3
2
# = 
 2.a 60 15DP
4
1
# = 
2k
77
154
& = =
 3.a 60 12DP
5
1
# =
 4.a 60DP
6
1
# =
S 77
10
i =
 observación: 60 = MCM (3; 4; 5 y 6)
 Luego:
 1.a → 80; 2.a → 30; 3.a → 24; 4.a → 20 
3. Una persona dispuso en su testamento que
se entrega a 3 sobrinos suyos la cantidad
de S/.19 695 para que se repartan propor-
cionalmente a las edades que cada uno de
ellos tenga el día que falleciera. Uno de ellos
tenía 36 años el día que su tío falleció y le
correspondió S/.7020 pero renunció a ellos y
el reparto se hizo entre los otros 2, también
proporcionales a sus edades, por lo que a uno 
de ellos le correspondió S/.2700 adicionales.
Calcular las edades.
Resolución:
Primer reparto (19 695)
DP
36 → 36 7020
a b36
19 695
#
+ +
=
^ h
entonces: a + b = 65
Segundo reparto (7020)
 DP
 a → a # 
65
7020 = 2700 & a = 25
 b = 40
` Las edades son: 36; 25 y 40
4. Un hombre decide repartir una herencia en
forma proporcional al orden en que nacieron
sus hijos. La herencia total es S/.480 000; adi-
cionalmente deja S/.160 000 para el mayor,
de tal modo que el primero y último hijo reci-
ban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número 
de hijos que tiene este personaje?
Resolución:
S = 480 000
 orden: 
1.° 2.° 3.° ... n.°
mayor menor
Les toca: k; 2k; 3k; …; nk
De donde:
 k + 2k + 3k + ...+ nk = 480 000
k # 
n n
2
1+^ h
 = 480 000 ...(1)
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aritmétiCa 20
Además, por dato:
 k + 160 000 = nk & (n - 1)k = 160 000 ...(2)
Dividiendo (1) ' (2):
n
n n
2 1
1
-
+
^
^
h
h
 = 3 & n2 + n = 6n - 6
 n2 - 5n + 6 = 0
 (n - 3)(n-2) = 0 & n1 = 3; n2 = 2
Mayor número de hijos = 3
5. Se reparte 738 en forma directamente pro-
porcional a dos cantidades de modo que ellas 
están en la relación de 32 a 9. Hallar la suma 
de las cifras de la cantidad menor.
Resolución:
Por condición del problema:
 A = 32K
B
A
9
32
&=
 B = 9K
Entonces: A + B = 41K = 738
 K = 18
Luego: A = 32(18) = 576
B = 9(18) = 162
Suma de cifras de menor cantidad:
 1 + 6 + 2 = 9
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Efectuar el reparto de 7227 en forma inversa-
mente proporcional a 4; 8 y 12. Dar la diferen-
cia entre la mayor y menor de las partes que
se obtiene.
a) 2828 b) 2728 C) 2628
d) 2840 e) 2943
2. Se reparte una cantidad N en forma DP a los
números 2; 3; 5 y 7. La tercera cantidad repar-
tida (en orden ascendente) resultó 600. Hallar
la suma de las cifras de la cantidad total.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
3. Se desea repartir $7200 en partes DP a las
raíces cuadradas de los números 200; 392
y 288. Dar como respuesta la menor de las
partes.
a) $2000 b) $2800 c) $1200
d) $2400 e) $3200
4. Repartir 1240 DP a 2400; 2401; 2402; 2403 y 2404.
Hallar la suma de cifras de la mayor parte.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 15
5. Repartir 648 en forma DP a 4 y 6 y a la vez en
forma IP a 3 y 9. Dar la diferencia de las partes 
obtenidas.
 a) 214 b) 215 c) 216
d) 217 e) 218
6. El profesor de aritmética decidió premiar a
sus mejores alumnos regalándoles $9200 en
forma directamente proporcional al número de 
problemas que resuelven de la guía. El prime-
ro resolvió 17 problemas, el segundo 15 y el
tercero 14. Indica cuánto le tocó al segundo.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 3500 e) 4000
7. Repartir 28 380 en partes IP a los números
2/7; 4/5; 6/7 y 12/15. Dar como respuesta la
menor de las partes.
a) 3000 b) 3400 c) 2800
d) 4620 e) 4000
8. Repartir 580 en partes DP a los números 6; 8
y 9 e IP a los números 5; 4 y 12, además DP
a los números 10; 7 y 4 indicar la diferencia
entre el mayor y la menor de las partes.
a) 180 b) 160 c) 200
d) 250 e) 220
9. Se reparten 1000 en tres partes inversamen-
te proporcionales a 183; 64 y 242. Dar como
respuesta una de las partes.
a) 144 b) 288 c) 576
d) 324 e) 162
10. Descomponer 304 000 en tres partes de ma-
nera que los 2/3 de la primera sea igual a los
5/6 de la segunda y los 4/9 de la segunda
igual a los 8/7 de la tercera. Dar como res-
puesta la menor parte.
a) 44 200 b) 44 400 c) 44 600
d) 44 800 e) 45 000
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21 Banco de ejercicios
11. Al repartir N en tres partes A, B y C de manera 
que A es a B como 3 es a 4 y B es a C como
7 es a 3, se obtuvo como parte mayor 1400.
Calcular el valor de N.
a) 2000 b) 6400 c) 3050
d) 2300 e) 3250
12. Se reparte una herencia en forma proporcio-
nal a las edades de 3 personas y recibieron 6; 
12 y 24 millones, respectivamente. ¿Cuánto le 
habría tocado al segundo, si el reparto hubie-
ra sido inverso a sus edades?
a) 6 millones b) 12 millones
c) 24 millones d) 9 millones
e) 18 millones
13. Hallar tres números que sumen 472 y que sus
cuadrados sean proporcionales a 1/8; 1/50 y
1/98. Dar el mayor.
a) 180 b) 430 c) 120
d) 280 e) 320
14. Tres automovilistas deciden repartirse $3100
en forma proporcional a las velocidades de
sus vehículos. Si luego de una competencia
se observó que el primero de demoró 2 h,
el segundo 3 h y el tercero 5 h en llegar a la
meta. Hallar cuánto le tocó al primero.
a) 1500 b) 1200 c) 1300
d) 600 e) 900
15. Al repartir $76 700 en 3 partes DP a 3; 5 y
6 y DP a ; ,y72 128 200 respectivamen-
te. ¿Cuál es la diferencia entre las 2 mayores
partes?
a) 10 000 b) 11 000 c) 12 000
d) 13 000 e) 14 000
16. Una cantidad es repartida en forma proporcio-
nal a tres números y son 96; 32 y 24. ¿Cuál
habría sido la mayor de las partes; si el repar-
to se hubiera hecho en forma inversamente
proporcional a los mismos números?
 a) 76 b) 42 c) 48 d) 72 e) 60
17. Las edades de siete hermanos son números
consecutivos. Si se reparte una cantidad de so-
les proporcionalmente a sus edades, el menor
recibe la mitad del mayor y el tercero 80 000
soles, ¿cuántos soles recibe el quinto?
a) 64 000 b) 72 000 c) 80 000
d) 100 000 e) 96 000
18. Dos agricultores tienen 4 y 3 hectáreas de
terreno que trabajarán en conjunto. Para con-
cluir más rápido contratan a un obrero que
cobra 70 soles. Se desea saber lo que cada
uno debe pagar al obrero, si al final los tres
trabajan igual.
a) 50 soles y 20 soles
b) 40 soles y 30 soles
c) 60 soles y 10 soles
d) 45 soles y 25 soles
e) 60 soles y 10 soles
1. c 5. c 9. b 13. d 17. d
2. c 6. a 10. d 14. a 18. a
3. a 7. d 11. c 15. d
4. a 8. e 12. b 16. aC
l
a
v
e
s
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Es una aplicación de la proporcionalidad donde 
al comparar dos o más magnitudes se determina 
un valor desconocido. Se considera como magni-
tud dependiente a la magnitud que contiene a la 
incógnita.
rEGLa DE trEs sImPLE (r3s)
Resulta de compararse dos magnitudes directa-
mente proporcionales o dos magnitudes inversa-
mente proporcionales.
R3SD. Sean A y B dos magnitudes DP.
Entonces 
B
A = k, luego:
b
a
b
x
1
1
2
= (x, es incógnita) x b
b
a
1
2
1& =
Disposición práctica:
Magnitudes:
Valores correspondientes 
a b
x b
1 1
2
A B
& x a
b
b
1
1
2
=*
R3SI. Sean A y B dos magnitudes IP, entonces:
A # B = k, luego:
a1b1 = xb2 & x = a1 b
b
2
1
Disposición práctica: 
Magnitudes: 
Valores correspondientes 
a b
x b
1 1
2
A B
& x a
b
b
1
2
1
=*
rEGLa DE trEs ComPUEsta (r3C)
Resulta de compararse más de dos magnitudes. 
Se compara siempre la magnitud dependiente con 
otra, independiente de las demás.
Sean A, B y C tresmagnitudes, donde B es la mag-
nitud dependiente (contiene a la incógnita).
Consideremos A y B dos magnitudes DP
b
a
x
a
b
x
a
a
1
1 2
1 1
2
&= = ...(1)
B y C dos magnitudes IP
b c xc
b
x
c
c
1 1 2
1 2
1
&= = ...(2)
De (1) y (2):
b
x
a
a
c
c
x b a
a
c
c
1 1
2
2
1
1
1
2
2
1
&= =c c c cm m m m
Disposición práctica:
Magnitudes: 
DP
A B C
IP
Valores correspondientes a1a2
b1
x
c1
c2
*
& x b a
a
c
c
1
1
2
2
1
= c cm m
Nota:
Al compararse una magnitud que hace obra 
(hombres, operarios, obreros, máquinas, 
etc.) con la magnitud tiempo (días, horas, 
h/d, minutos, etc.) siempre serán inversa-
mente proporcionales.
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Una guarnición de 400 soldados situados en
un fuerte, tienen víveres para 180 días si con-
sume 900 gramos por hombre y por día. Si
recibe un refuerzo de 100 soldados pero no
recibirá víveres antes de 240 días, ¿cuál de-
berá ser la ración de un hombre por día para
que los víveres puedan alcanzarles?
Resolución:
Por regla de tres compuesta:
Soldados días Ración / día H
400 180 900
500 240 x
Luego: x = 900 # 
500
400
240
180
#
 x = 540 gramos
2. Se emplearon m obreros para ejecutar una
obra y al cabo de a días hicieron 1/n de aque-
lla. ¿Cuántos obreros hubo que aumentar
para terminar la obra en b días más?
Resolución:
obreros días obra
 m a n
1 
 m + x b n1
1
-c m
rEGLa DE trEs
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24 Banco de ejercicios
 m + x = m #
b
a
n
n n1
1
# #
-^ h
 x = m # ( 1)
b
a n
b
m b#
- -
x = 
b
m (an - a - b)
3. Un contratista dice que puede terminar un tra-
mo de autopista en 3 días si le proporcionan 
cierto tipo de máquinas; pero que con 3 má-
quinas adicionales de dicho tipo puede hacer 
el trabajo en 2 días. Si el rendimiento de las 
máquinas es el mismo. ¿Cuántos días em-
pleará una máquina para hacer el trabajo?
Resolución
Suponemos que inicialmente hay N máquinas
de dicho tipo; entonces:
máquinas días
 N 3 & N + 3 = N 
2
3
#
 N + 3 2
 2N + 6 = 3N & N = 6
Luego: máquinas días
 6 3 
 1 x 
 x = 3 
1
6
# & x = 18
4. Quince obreros han hecho la mitad de un tra-
bajo en veinte días. En ese momento abando-
nan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tar-
darán en terminar el trabajo los obreros que
quedan?
Resolución:
 obreros días
 15 20
 10 x 
& x = 20 #
10
15
& x = 30
5. Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24
horas. Después de 46 días 21 horas 20 minu-
tos. ¿Cuánto se adelantó el reloj?
Resolución:
Expresando todo en horas, tenemos:
46 días 21 h 20 min /
3
3376 horas
Luego: tiempo (horas) adelanto mínimo
 24 
2
3 
 
3
3376 x 
 x = min
3
211 / 1 h 10 min 20 s
6. Una obra debía terminarse en 30 días em-
pleando 20 obreros, trabajando 8 horas dia-
rias. Después de 12 días de trabajo, se pidió
que la obra quedase terminada 6 días antes
de aquel plazo y así se hizo. ¿Cuántos obreros
se aumentaron teniendo presente que se au-
mentó también en dos horas el trabajo diario?
Resolución:
Inicialmente debían hacer la obra en 30 días;
lo que indica que en un día hacen
30
1 ; entonces en 12 días hacen: 
30
12
5
2
/
Faltando así: 1
5
2
5
3
- = , luego:
obreros días h/d obra
20 30 8 1
20 + x 12 10 3/5
& 20 + x = 20 
12
30
10
8
5
3
# ##
 20 + x = 24 & x = 4
7. Un reloj marca la hora a las 0 horas de un cier-
to día; si se sabe que se adelanta 4 minutos
cada 12 horas. ¿Cuánto tiempo transcurrirá
para que nuevamente marque la hora exacta?
Resolución:
Si durante 12 horas adelanta 4 minutos, en-
tonces en un día adelanta 8 minutos.
Así: adelanto n.° días
 8 1
 720 x 
& x = 1 # 
8
720 = 90 días
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Si 64 obreros pueden construir una carretera
en 24 días, ¿cuántos obreros podrán hacer la
misma carretera en 48 días?
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aritmétiCa 25
a) 16 b) 24 c) 32
d) 36 e) 30
2. Carlos puede hacer un trabajo en 18 horas.
¿En qué tiempo podrá hacer un trabajo 1,4
veces más díficil?
a) 36,2 horas b) 43,2 horas 
c) 25,2 horas d) 40,2 horas 
e) 28,2 horas
3. 24 taladros en 8 horas pueden hacer 7680 
agujeros. ¿Cuántos taladros en 9 horas de 
trabajo podrán hacer 7200 agujeros?
a) 20 b) 18 c) 16 d) 24 e) 25
4. Por pintar una pared de 4,5 m por 3,6 m me
cobran $36. ¿Cuánto me cobrarán por pintar
tres paredes de 2,4 m por 7,5 m?
a) $90 b) $105 c) $108
d) $111 e) $120
5. Para su comercialización, la harina de trigo
se distribuye en cajas cúbicas de diferentes
dimensiones. Si una caja de 6 dm de arista,
conteniendo harina de trigo, cuesta 216 soles, 
¿cuánto costará una caja de 8 dm de arista?
a) 288 soles b) 360 soles c) 464 soles
d) 512 soles e) 560 soles
6. Si a obreros pueden hacer una obra en b días
¿en cuántos días pueden hacer una obra de
triple dificultad, el doble de obreros, cada uno
de ellos de doble habilidad que los anteriores?
a) b
2
b) b
4
3 c) b
d) 2b e) 3b
7. A y B pueden hacer una obra en tres días. Si
A trabaja solo, se demora siete días. El primer
día solo trabajó B, y a partir del segundo día
los dos trabajaron juntos. La cantidad de días
que demoraron en hacer la obra es:
a) 2
7
5 b) 2
7
3 c) 4
3
1
d) 3
7
3 e) 3
7
5
8. Un grupo de 12 alumnos resuelve 120
problemas de Física en dos horas. ¿Cuántos 
problemas resolverá otro grupo de ocho 
alumnos, el doble de eficientes que los 
anteriores, en cinco horas?
a) 136 b) 100 c) 480
d) 400 e) 800
9. Si ocho bolitas de 0,4 mm de radio pesan 256
gramos, con siete bolitas del mismo material
que los anteriores, pero con radio 0,6 mm,
¿qué peso tendrán?
 a) 960 g b) 1000 g c) 1020 g
d) 1140 g e) 1180 g
10. Treinta obreros pueden hacer una obra en 48
días. Si 18 de ellos disminuyen su rendimiento 
en su tercera parte, ¿en qué tiempo harían la
misma obra todo el grupo?
a) 60 b) 24 c) 36
d) 54 e) 72
11. Juan compra 15 kg de arroz para 18 días para 
su familia que está compuesta de 5 personas
en total. Sin embargo, pasados 6 días llegan
3 familiares más. ¿Cuánto durará el arroz en
total?
a) 12 días b) 15 días c) 13,5 días
d) 10 días e) 12,5 días
12. Si Manuel puede hacer 24 problemas en tres
horas, ¿cuántos problemas cuya dificultad es
a la de los anteriores como 6 es a 5, podrá
hacer Manuel en el mismo tiempo?
a) 28 b) 29 c) 24 d) 18 e) 20
13. Sesenta obreros hacen los 3/8 de una obra
en 27 días. Si se retiran 24 obreros y los res-
tantes concluyen la obra, ¿qué tiempo en total 
duró la obra?
a) 75 días b) 72 días c) 45 días
d) 102 días e) 62,5 días
14. Veinticuatro obreros pueden hacer una obra
en 60 días, si trabajan 9 horas diarias. 20 días
luego de iniciado el trabajo se enferman 6
obreros y los restantes trabajan 10 horas dia-
rias hasta terminar la obra. ¿Cuánto duró la
obra en total?
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26 Banco de ejercicios
a) 48 días b) 60 días c) 72 días
d) 68 días e) 64 días
15. Una secretaria escribe 48 palabras por minu-
to. ¿Cuántas palabras escribirá en 6 minutos,
si disminuye su velocidad en su cuarta parte?
a) 108 B) 162 C) 180 
d) 200 E) 216
16. Tres campesinos pueden cosechar un terreno 
de 80 m2 de área. ¿Cuántos campesinos se-
rán necesarios para cosechar un terreno de 
1,2 hectáreas?
a) 300 b) 540 c) 320
d) 400 e) 450
17. Cuarenta y cinco obreros pueden construir
600 m de un muro de 1,5 m de alto. ¿Cuántos
obreros construirán 1150 m de un muro de 1,6 m 
de alto?
a) 84 b) 88 c) 92
d) 96 e) 98
18. ocho obreros cavan una zanja de 1,6 m de
diámetro y 12 m de profundidad. ¿Cuántos 
obreros podrán cavar una zanja de 2 m de 
diámetro y 24 m de profundidad?
a) 24 b) 25 c) 28 d) 15 e) 18
19. 27 obreros pueden hacer una obra en 42 días, 
si trabajan 8 horas diarias. ¿Cuánto tardarián
16 obreros, trabajando 7 horas diarias, para
hacer una obra cuya dificultad es a la anteriorcomo 4 es a 3?
 a) 72 días b) 84 días c) 88 días
d) 96 días e) 108 días
20. Dieciocho obreros pueden hacer una obra en
15 días. Si luego de haber trabajado 5 días se
retiran 3 obreros, ¿cuál será el tiempo total de
duración de la obra?
a) 12 días b) 15 días c) 17 días
d) 20 días e) 21 días
1. c 5. d 9. d 13. d 17. c
2. c 6. b 10. a 14. d 18. b
3. a 7. d 11. c 15. e 19. e
4. e 8. d 12. e 16. e 20. cC
l
a
v
e
s
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100 partes iguales
6 7 844444444444444 44444444444444
100
1
100
1
100
1
100
1
... 100
1
100
1
S
Uno por ciento
Entonces:
A por ciento 12 A% 12 A
100
60 partes 12 60
100
1c m12 60% 12 5
3
10 partes 12 10
100
1c m12 10% 12 10
1
40 partes 12 40
100
1c m12 40% 12 5
2
25 partes 12 25
100
1c m12 25% 12 4
1
100 partes 12 100
100
1c m12 100% 12 1
Además:
40% de 400 = 
5
2 (400) = 160
75% de 560 = 
4
3 (560) = 420
25% de 900 = 
4
1 (900) = 225
15% de 600 = 
20
3 (600) = 90
65% de 400 = 
20
13 (400) = 260
Porcentaje. Es el resultado de aplicar el tanto por 
ciento a una cantidad.
Ejemplo:
Halle el 20% de 400
20%(400) = 80
 S S
tanto porcentaje
 por ciento
Operaciones con porcentajes
1. a%N + b%N = (a + b)%N
Ejemplos:
• 12%N + 34%N = 46%N
• 118%N + 60%N = 178%N
• 30%N + 11,5%N = 41,5%N
• N + 13%N = 113%N
PorCENtajEs
Regla del tanto por cuanto. En algunas oportu-
nidades es necesario dividir lo que tenemos en 
partes iguales para hacer una distribución de estas 
partes.
Ejemplo:
Se tiene una bolsa con 40 manzanas el cual se 
desea dividir en 8 partes iguales y se han de tomar 
6 de ellas.
Resolución:
El procedimiento a seguir es:
Dividiendo 40 en 8 partes iguales.
8
40 5=
Tomamos 6 de estas partes:
6(5) = 30
Interpretación:
El 6 por 8 de las 40 manzanas es 30 manzanas.
Matemáticamente:
6
8
40 30=c m
En general si tenemos N objetos. ¿Cuál será el a 
por b de N?
6 7 844444444444444 44444444444444
1 2 344444444 44444444
 Se toman a partes
Matemáticamente: a
b
Nc m
De aquí podemos señalar que el tanto por cuanto 
viene a ser un procedimiento aritmético que con-
siste en dividir un todo en partes iguales y tomar 
tantos de ellos como se indique.
En la vida diaria el tanto por cuanto más utilizado 
es aquel que divide al todo en 100 partes iguales y 
al que se le denomina: tanto por ciento.
Ejemplo:
Calcule el 15 por ciento de 400.
15
100
400 60=c m
En general si una cantidad se divide en 100 partes, 
cada parte representa (1/100) del total a la cual 
llamaremos el 1 por ciento y lo denotaremos: 1%
PorCENtajEs - mEZCLas
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28 Banco de ejercicios
2. x%N - y%N = (x - y)%N
 Ejemplos:
• 74%N - 24%N = 50%N
• 169%N - 29%N = 140%N
• 112%N - 64%N = 48%N
• N - 14%N = 86%N
3. a # (b%N) = (a # b)%N
 Ejemplos:
• 3(50%N) = 150%N
• 4(75 %N) = 300%N = 3N
• 5,5(2%N) = 11%N
4. El a% del b% del c% de N es: a%b%c%N
Aplicación comercial
Un comerciante compró un pantalón en S/.50 (Pc) 
y fija para su venta un precio de S/.80 (PF). Sin 
embargo lo vende en S/.70 (Pv) debido a que hizo 
una rebaja de S/.10 (R).
Aparentemente está ganando S/.20 (GB), pero esta 
operación le generó gastos por un valor de S/.5, (gas-
tos) por lo cual realmente esta ganando S/.15 (Gn).
GB = S/.20
6 7 844444 44444
 Gn = S/.15 gastos = S/.5 R = S/.10
 6 7 8444 444 6 7 8444 444 6 7 8444 444
Pc Pv PF
S/.50 S/.70 S/.80
Nota:
Las ganancias (o pérdidas) se representan 
como un tanto por ciento del precio de costo.
Las rebajas se representan como un tanto 
por ciento del precio fijado.
Pv = Pc + ganancia
mEZCLa
Es la reunión de dos o más sustancias (ingredien-
tes) en cantidades arbitrarias conservando cada 
una de ellas su propia naturaleza.
Regla de mezcla. La regla de mezcla se origina 
por el deseo de los comerciantes en determinar 
el precio de venta de una unidad de medida de la 
mezcla. Para ello se vale de algunos procedimien-
tos aritméticos, lo cual en su conjunto constituye la 
regla de mezcla.
Ejemplo:
Un comerciante hace el siguiente pedido a un dis-
tribuidor mayorista de café:
Café Cantidad en kg Precio unitario
Extra (E)
Superior (S)
Corriente (C)
50
20
15
S/.7
S/.5
S/.4
Para venderlo a sus clientes el comerciante mezcla 
los tres tipos de café.
¿A cómo debe vender el kg de la mezcla para ga-
nar el 20%?
Resolución:
Para determinar dicho precio de venta el comer-
ciante procede del siguiente modo:
1.° Determina el costo de su inversión
Café E S C
Cantidad (kg): 50 20 15
Precios unitarios: S/.7 S/.5 S/.4
Costos parciales: S/.350 S/.100 S/.60
Costos totales: S/.510
Peso total = 50 + 20 + 15 = 85 kg
2.° Calcula el costo por unidad de medida (kg) de 
la mezcla. A este costo por kg se le denomina 
precio medio (Pm) ya que es un precio que no 
genera ni ocasiona pérdida.
/. /.6Costo por
kg demezcla
P S S1
85
510
m= = => H
Se observa también que:
 S/.4 1 S/.6 1 S/.7
 1 2 344 44 1 2 344 44 1 2 344 44
 Precio menor Precio medio Precio mayor
Si comparamos los precios unitarios con el 
precio medio se tiene:
Cantidades E
50 kg 20 kg 15 kg
S C
Precios unitarios S/.7 S/.5 S/.4
Precio medio: S/.6 S/.6 S/.6
 Pierde Gana Gana
Por 1 kg: S/.1 S/.1 S/.2
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aritmétiCa 29
Pero la pérdida y ganancia es aparente ya 
que al final estas se compensan.
 Pérdida = Ganancia
 50(1) = 20(1) + 15(2)
 S/.50 = S/.50
3.° Sobre el precio medio el comerciante determi-
na el precio de venta considerando su ganan-
cia respectiva.
Precio de venta = S/.6 + 20%(S/.6) = S/.7,20 
 Luego:
El comerciante debe vender el kilogramo de la 
mezcla en S/.7,20 para ganar el 20%.
En general para k sustancias:
1 2 3 k...
Cantidades: C1 C2 C3 ... Ck
Precios unitarios: P1 P2 P3 ... Pk
Se cumple lo siguiente:
I. 
...
...
C C C C
C P C P C P C P
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +Precio 
medio =
Mejor aún:
Peso total
Costo total
=
Precio
medio 
Promedio 
ponderado de 
precios
II. Precio menor 1 precio medio 1 Precio mayor
III. Ganancia aparente = Pérdida aparente
IV. Precio venta = precio medio + ganancia
Comercialmente la pureza alcohólica se ex-
presa en grados y para ello convencionalmen-
te se tiene que: (%) 12 (°)
 volumen de
Grado de mezcla = alcohol puro # (100°)
volumen total
Ejemplo:
Se mezclan 80 L de alcohol de 25° con 120 L 
de 40°. Calcula el grado de la mezcla.
 Resolución:
Se procede de manera análoga que para el 
cálculo del precio medio.
Tipo de alcohol: 
I I I
Volumen: 80 L 120 L
Grado: 25° 40°
 Grado medio = 
80 120
80 25 120 40
+
+^ ^h h
 = 34°
 En general para k tipos de alcohol:
 
 Tipo: 1 2 3 k...
Volumen: V1 V2 V3 ... Vk
Grado: G1 G2 G3 ... Gk 
Grado 
medio = ...
...
V V V V
VG V G V G V G
k
k k
1 2 3
1 1 2 2 3 3
+ + + +
+ + + +
Aleación. Es la mezcla de dos o más metales me-
diante el proceso de fundición. En las aleaciones 
por convencionalismo los metales se clasifican en:
a. Finos. oro, plata, platino.
b. ordinarios. Cobre, hierro, zinc.
La pureza de una aleación se determina mediante 
la relación entre el peso del metal fino empleado y 
el peso total de la aleación, a dicha relación se le 
conoce como la ley de la aleación.
Ejemplo inductivo:
Se tiene una aleación de 36 g de plata pura con 
12 g de zinc, ¿cuál es la ley de la aleación?
Resolución:
Plata Zinc Total
Peso: 36 g 12 g 48 g
& Ley = 
Peso total
Peso plata
48
36
= = 0,750
La aleación del peso del metal ordinario con el 
peso total se le conoce como la liga de la aleación:
Liga 
Peso total
Peso zinc
48
12
= = = 0,250
Se deduce que:
Ley + Liga = 0,750 + 0,250 = 1
En general
Para una aleación:
Peso metalfino
Peso metal 
ordinario
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30 Banco de ejercicios
I. Ley = 
Peso total
Pesometal fino
II. Liga 
Peso total
Pesometal ordinario
=
III. 0 # ley de la aleación # 1
Comercialmente la ley del oro se expresa en qui-
lates y para ello convencionalmente se establece 
que si la aleación contiene solo oro puro es de 24 
quilates.
• Una sortija de 14 quilates significa que el peso 
total se divide en 24 partes iguales y 14 de
ellos son de oro puro.
• En el ejemplo anterior vamos a determinar su
ley en quilates.
oro Cobre Total
9 g
18
# 2 # 2 # 2
3 g
6
12 g
24 partes
 Ley = 18 quilates
Ley = 
12
9
24
18
= ; de donde se obtiene:
 Ley =
.°
Peso total
Pesometal fino n de quilates
24
=
^
^
h
h
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un fabricante reduce 4% el precio de los artí-
culos que fabrica. Para que aumente en 8% la
cifra total de sus ingresos, sus ventas tendrán
que aumentar en:
Resolución:
Sean P el precio y N el número de artículos;
entonces:
Ingresos = P # N
 Después:
P disminuye en 4%; ahora tiene: 96%P y N 
aumenta en x%; ahora es:
(100 + x)%N
Para que los ingresos aumenten en 8%
 Así: PN P
x
N
100
108
100
96
100
100
## =
+^ h
10 800 = 9600 + 96x
 1200 = 96x
 x = 12,5%
2. Se estima que una mezcladora de concreto
sufre una depreciación de 10% por cada año
de uso, respecto al precio que tuvo al comen-
zar cada año. Si al cabo de 4 años su precio
es de S/.131 220; hallar el costo original de la
mezcladora.
 Resolución:
 La depreciación no es sino la pérdida del valor 
del bien. Así, si el costo inicial es de N soles.
Depreciación Queda
1.er año 10% N 90% N = P
2.° año 10% P 90% P = R
3.er año 10% R 90% R = S
4.° año 10% S 90% S
Por dato: 
100
90 # S = 131 220
131220N
100
90
100
90
100
90
100
90
# # ## =
 N = S/.200 000
3. El ingreso promedio del sector obrero en una
empresa es de 300 000 mensuales. En el mes
en curso hay un incremento de haberes del
10% del haber anterior más bonificación gene-
ral de 60 000 soles, pero se decreta un des-
cuento del 5% del haber actualizado, profondos 
de reconstrucción. Hallar el promedio actual.
 Resolución:
Ingreso actual: 300 000
Se incrementa en: 
100
10
# 300 000 = 30 000
Por concepto de bonificaciones 60 000, en-
tonces, su haber actualizado es 390 000.
Pero se descuenta:
100
5
# 390 000 = 19 500
Entonces recibe:
390 000 - 19 500 = 370 500 soles
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aritmétiCa 31
4. Un mayorista vende un producto ganando
el 20% del precio de fábrica. Un distribuidor
reparte estos productos a las tiendas de co-
mercio ganando una comisión del 15% del
precio por mayor. La tienda remata el artículo
haciendo un descuento del 10% del precio de
compra (del distribuidor). ¿En qué porcentaje 
se eleva el precio de fábrica del producto?
Resolución:
Sea PF el precio de fábrica
El mayorista vende en 120% PF al distribuir.
El distribuidor vende en 115% (120%PF) a la 
tienda.
El tendero lo remata en (pierde 10%)
90%[115%(120%PF)]
Es decir; se vende en:
PF
100
90
100
115
100
120
# # # = 124,2%PF
entonces, el PF se ha incrementado en 24,2%.
5. El presidente de un club de basketball obser-
va que por partido, en promedio, un tercio de
las entradas se quedan sin vender, pero afir-
ma que todas las entradas se venderían si se
rebajase en un 30% el precio de la entrada.
Suponiendo correctas las hipótesis del presi-
dente del club. ¿Qué sucederá?
Resolución:
Sea 3N el total de entradas y P el precio de la
entrada.
1.° vende: 2N; queda: N
venta total: 2NP
2.° el nuevo precio es 70% P, entonces: 
venta total = (70%P)(3N) = 2,1 # NP
` La recaudación aumenta.
6. Pedro tiene una casa que vale 100 000 soles
y se la vende a Juan con una ganancia del
10%. Juan revende la casa a Pedro con una
pérdida del 10%, siendo así:
Resolución:
Costo de la casa: 100 000 soles
Pedro vende ganando (10%) o sea en 110 000 
Gana 10 000
Juan lo vende a Pedro, perdiendo 10% de su
costo que es 110 000.
Luego lo vende en: 
100
90 # 110 000 = 99 000
Pedro gana 1000 soles más
Ganancia total: S/.11 000
7. Un arquitecto ha previsto un recubrimiento de
locetas circulares para una cierta pared. Si to-
das las locetas son iguales, ¿cuál es el máxi-
mo porcentaje de área de la pared que puede
ser cubierto con dichas locetas?
 Resolución:
 Gráficamente:
a locetas
 b locetas
Z
[
\
]
]
]
]
]]
Z [ \] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ] ]
R
R
R R R
Largo: L = (2R)b; ancho: A = (2R)a
Área de la pared: L # A = 4R2ab
Área de cada loceta: pR2
Total de locetas: a # b
Área cubierta por locetas: abpR2
Nos piden: 4x R ab
100
2
= abpR2
 x = 78,5%
8. Hallar la cantidad de onzas de agua que se
necesita para rebajar al 30% el contenido de
alcohol de un frasco de loción de afeitar de 9
onzas, que contiene 50% de alcohol.
Resolución:
Si hay 9 onzas de 50% de alcohol, entonces
tiene:
alcohol = 4,5; agua = 4,5
Si aumentamos x onzas de agua, entonces,
por dato:
100
30 (9 + x) = 4,5
 27 + 3x = 45 & x = 6
9. Una persona pregunta en una tienda qué des-
cuento le pueden hacer sobre el precio de un
repuesto, le responde que el 20%; va a otra
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32 Banco de ejercicios
tienda y compra el mismo repuesto con un 
descuento del 25%; ahorrándose así S/.35. 
¿Cuánto costaba el repuesto?
 Resolución:
Sea P el costo del repuesto
En la 1.a tienda desct.: 20%
En la 2.a tienda desct.: 25%
Ahorro: 5%
Al comprar en la segunda tienda ahorra:
100
5
# P = 35 ` P = S/.700
10. Para la construcción de un edificio se compra-
ron ladrillos a S/.1200 el millar. Se inutilizan
por diversas causas 3600 ladrillos equivalen-
tes al 0,1% del total comprado. ¿Cuánto se
invirtió en la compra?
Resolución:
Por dato del problema:
0,1%T = 3600
T: total de ladrillos
Entonces:
, 3600 3600T T
100
0 1
1000
&= =
 T = 3 600 000; que es equivalente a 3600 mi-
llares.
Como costo/millar ladrillo = 1200
Costo total = 3600 # 1200 = S/.4 320 000
11. ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que de-
berá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de 
pureza, para obtener un hectolitro de alcohol
de 90% de pureza?
Resolución:
Recuérdese un hectolitro tiene 100 litros, en-
tonces para completar faltan solo 20 litros.
Así:
grado
medio = 
% % 90%x
100
80 96 20# +
=
 7680 + 20x = 9000
 20x = 1320 & x = 66%
12. ¿Qué cantidad de cobre debe añadirse a una
barra de plata que pesa 635 g y tiene 0,920 de 
ley, para que resulte una aleación de 0,835 de
ley?
 Resolución:
 Cantidad Ley
 635 0,920 0,835
Lm = 0,835
 
 x 0 0,085
 x x
635
85
835
835
635 85
& &
#
= =
 x = 64,64 kg
13. Se hace una mezcla de vinos de S/.70 el litro y 
S/.60 el litro, con agua; la mezcla tiene un pre-
cio de S/.50. Se sabe que la cantidad de agua
es los 2/5 de la cantidad de vino de S/.60. ¿En 
qué relación está la cantidad de vino de S/.70
a la cantidad de vino de S/.60?
Resolución:
Consideremos:
Vino (1): x L; de S/.70 y
Vino (2): 5V L de S/.60
 Agua: 
5
2 (5V) = 2V de 0 soles
 Luego:
 Pm = x V
x V V
7
70 60 5 0 2
+
+ +^ ^h h
 = 50
 70x + 300V = 50x + 350V
 20x = 50V
` ,
V
x
5 20
10
2
1 0 50= = =
14. A 215 litros de un vino que importa a S/.0,40
c/u, se añaden 5 litros de alcohol de a S/.2,50
el litro. En cuánto debe venderse el litro de la
mezcla para ganar el 20% sobre el precio de
compra.
Resolución:
Tenemos:
C1 = 215 L P1 = 0,40
C2 = 5 L P2 = 2,50
215 0,40 5 2,50P
220m
# #
=
+
,P
220
98 50
440
197
m /=
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aritmétiCa 33
Como gana el 20% sobre el Pm (que es lo mis-
mo que Pc)
 Entonces: /.0,537P S
100
120
440
197
venta #= =
15. Si 30 litros de una solución contienen 12 litros 
de alcohol, ¿cuántos litros de agua debemos 
agregar para obtener una solución al 25%?
Resolución:
Si agregamos N deagua se obtiene:
25%g
N30
12
m=
+
= & 
N30
12
4
1
+
=
 48 = 30 + N & N = 18 L
16. Un lingote contiene 5 kg de plata pura y 3 kg
de cobre. ¿Qué cantidad de plata pura es pre-
ciso agregar a este lingote para fabricar mo-
nedas de plata de S/.5; cuya ley es 0,900?
Resolución:
Tenemos:
Ag = 5 kg ,Ley
8
5 0 625= =4Cu = 3 kg
 Luego:
Cantidad (kg) Leyes
 P 1 0,275
Lm = 0,900
 8 0,625 0,100
,
, 275 8P P
8 0 100
0 275
100
&
#
= =
 P = 22 kg
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Vendí un artículo ganando el 24% del costo.
¿Cuál es el costo, si lo vendí a $217?
a) $165 b) $172 c) $170
d) $175 e) $164
2. ¿Qué número aumentado en 14% da como
resultado 45,6?
a) 42 b) 40 c) 36 d) 41 e) 38
3. ¿Qué porcentaje debo disminuir a 450 para
obtener el 10% menos de 400?
a) 20% b) 16% c) 18% d) 25% e) 15%
4. En una sesión de maestros se vio que el 65%
trabaja en colegios nacionales, 220 en cole-
gios particulares y 20% en colegios particula-
res y nacionales. ¿Cuantos eran en total?
 a) 400 b) 500 c) 600
 d) 700 e) 800
5. Al comprar un artículo me hacen dos des-
cuentos sucesivos de 12% y 20%, de manera
que ahorro $74. ¿Cuál era el precio original
del artículo?
a) $200 b) $240 c) $320
d) $280 e) $250
6. Un futbolista ha hecho 30 goles en 75 par-
tidos. ¿Cuántos goles debe hacer en los 25
partidos siguientes para que su porcentaje de
goles por partido aumente en 5%?
a) 12 b) 15 c) 10 d) 16 e) 20
7. Indica si las siguientes afirmaciones son ver-
daderas (V) o falsas (F), respectivamente:
I. a%(N) + b%(N) = (a + b)%(N)
II. m%(N) – n%(N) = (m-n)%(N)
III. a(b%(N) ) = (ab)%(N)
IV. a%(M) b%(N) = abMN
10 000
a) VVVF b) VVVV c) VFVF
d) VFFF e) VVFV
8. Un terreno tiene 500 m2 de área. Vendo el
20% de dicho terreno y luego el 38% del res-
to. ¿Cuánto usaré para sembrar arroz, si para
este fin utilizaré la mitad de lo que me queda?
a) 248 m2 b) 124 m2 c) 62 m2
d) 112 m2 e) 180 m2
9. El precio de lista de un artículo es $600. Al
comprarlo me descuentan el 18% y para ven-
derlo gano el 18%. ¿A cuánto lo vendí?
a) $590,25 b) $600,00 c) $580,56
d) $585,0 e) $575,6
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34 Banco de ejercicios
a) 11/10 b) 1/11 c) 11/21
d) 1/10 E) 7/11
18. Si el largo de un terreno se acorta en 40%,
y el ancho se incrementa en 40%, ¿en qué
porcentaje varía su área?
 a) Aumenta en 12%
 b) Disminuye en 12%
 c) Aumenta en 16%
 d) Disminuye en 16%
 e) No varía
19. En un país la producción aumenta el 10%
anual. Si en el año 1998 la producción era de
18 000 unidades, ¿cuál será le producción en
el año 2001?
a) 20 362 u b) 18 268 u c) 24 398 u
d) 23 958 u e) 26 718 u
20. La dirección ha comprado dos tipos de tizas
en iguales cantidades. Los profesores usan
en clases 80% de un tipo y 75% del otro tipo.
¿Qué porcentaje de la cantidad total se quedó 
sin usar?
a) 45% b) 22,5% c) 15%
d) 30% e) 67,5%
21. Se compran dos latas iguales de leche para
el desayuno. Si de la primera se consume el
25% y de la segunda se consume el 50%,
¿Qué porcentaje del total de la leche compra-
da queda sin consumir?
a) 75% b) 25% c) 62,5%
d) 37,5% e) 32,5%
22. En un aula el 63% del total de alumnos es de
letras, el 2% es de arquitectura y el resto es
de ciencias. Si de los alumnos de ciencias, el
80% son varones, ¿qué porcentaje del total
son mujeres que estudian ciencias?
a) 7 b) 14 c) 21
d) 28 e) 35
23. De una cierta cantidad de dinero que tenía,
me robaron el 12%. Si de lo que me quedaba
presté el 25%, ¿Qué porcentaje del total de
dinero que tenía antes del robo me quedará?
10. En un vaso preparo ron con gaseosa y limón,
El 25% de la mezcla es ron y el 80% del vaso
contiene líquido. ¿Qué porcentaje del vaso es
limón, si este representa el 10% del ron?
a) 2% b) 1% c) 0,5%
d) 1,5% e) 2,5%
11. ¿En cuánto excede el a% de b/3 al b% de a/4, 
si ab = 36 000?
a) 30 b) 300 c) 900
d) 1000 e) 3000
12. Un comerciante decide vender un artículo, ga-
nando el 10%. Un cliente acude a comprar y
solicita un rebaja de 10%. Si el comerciante
le hace la rebaja solicitada, con lo cual pierde
S/.200. ¿A cuánto se vendió el artículo?
a) S/.20 000 b) S/.19 800 c) S/.19 000
d) S/.19 700 e) S/.18 900
13. Al dictar mi clase de matemáticas, en la piza-
rra dejo libre a cada extremo el 5% del largo
y el 4% del ancho. ¿Qué área efectiva de la
pizarra uso?
a) 78,6% b) 80,4% c) 81,2%
d) 82,8% e) 84%
14. Un depósito está lleno totalmente. Si se ex-
traen 256 litros, su volumen disminuye en
80%. ¿Cuál es el volumen total?
a) 480 L b) 250 L c) 300 L
d) 350 L e) 320 L
15. La edad de Miguel aumentada en su 75% es
igual a 63 años. ¿Cuál era su edad hace 7
años?
a) 36 años b) 31 años c) 29 años
d) 30 años e) 28 años
16. En una granja de aves, el 40% es de gallinas.
Si se ha vendido el 20% de gallinas, ¿en qué
porcentaje ha disminuido el número de aves?
a) 10% b) 6% c) 8% d) 12% e) 7%
17. Un número aumenta sucesivamente en 20%,
25% y 40%. ¿En qué fracción debe disminuir
para regresar a su valor original?
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aritmétiCa 35
a) 55% b) 66% c) 88%
d) 62% e) 75%
24. Se sabe que al extraer 40 litros de un depósito 
que estaba lleno hasta el 60%, queda reduci-
do al 50% de su capacidad. ¿Cuál es la capa-
cidad del depósito?
a) 260 L b) 400 L c) 160 L
d) 100 L e) 200 L
25. Si se calcula el 75% de la suma de 1/4 de 256 
con el 60% de los 2/3 de 400, resulta: 
a) 172 b) 168 c) 206
d) 186 e) 602
26. Si al vender un artículo se gana el 50% del
costo, ¿qué porcentaje del precio de venta se
debe rebajar para ganar 25% del costo?
a) 25% b) 20% c) 30%
d) %
3
25 e) %
3
50
27. El costo de vida de un país sube cada mes
en un 20%. Si en enero gastaba una cantidad 
a para vivir, ¿cuánto gastaré en agosto para 
vivir de la misma forma?
a) (0,2a)7 b) (1,2)7a c) (1,2)6a
d) a + (0,2)7 e) (0,2)7 a
28. En un país el 35% de la población se encuen-
tra en la capital. En la capital el 6% de las per-
sonas son analfabetos y en el interior el 24%
de la población son analfabetos. Hallar qué
porcentaje son los analfabetos con respecto
al total.
 a) 16% b) 17,7% c) 15,6%
 d) 19,2% e) 15,8%
29. Compro un artículo en 240 soles y lo vendo a
312 soles. ¿ qué porcentaje del costo gané?
a) 20% b) 24% c) 30%
d) 33% e) 33,3%
30. Un vendedor logra colocar los 3/4 de su
mercadería en clientes fijos y un 1/8 en
clientes eventuales. ¿Qué porcentaje de su
mercadería aún no ha colocado?
a) 8% b) 10% c) 12,5%
d) 15% e) 16%
1. d 7. b 13. d 19. d 25. b
2. b 8. b 14. e 20. b 26. e
3. a 9. c 15. c 21. c 27. b
4. a 10. a 16. c 22. a 28. b
5. e 11. a 17. c 23. b 29. c
6. b 12. b 18. d 24. b 30. c
C
l
a
v
e
s
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rEGLa DE INtErés
Identificación	de	los	elementos
• Capital	 de	 préstamo	 (C). Llamado común-
mente capital, es la cantidad de dinero que su 
poseedor va a acceder en forma de préstamo 
para obtener ganancias.
• Tiempo	(t). Es el periodo durante el cual va 
a ceder o imponer un capital. Para calcular el 
interés se considera generalmente:
1 mes comercial tiene 30 días
1 año comercial tiene 360 días
1 año común tiene 365 días
1 año bisiesto tiene 366 días
• Interés	 (I). Es la ganancia o beneficio que
produce el capital de préstamo, durante cierto
tiempo.
• Tasa	de	interés	(r%)	o	rédito. Es la ganancia
que se obtiene por cada 100 unidades mone-
tarias en una unidad de tiempo. Por ello se ex-
presa generalmente como un tanto por ciento.
Ejemplo:
• 5% mensual, significa que por cada mes
se gana el 5% del capital prestado.
• 21% trimestral, significa que por cada tres
meses se gana el 21% del capital.
• Cuando no se indique la unidad de tiem-
po referida a la tasa, se asumirá una tasa
anual.
Tasas	equivalentes
r% = 2% mensual 12
4% bimestral
6% trimestral
8% cuatrimestral
12% semestral
24% anual
30
2 % diario
Z
[
\
]
]
]
]
]
]
]]
• Monto	(M). Es la suma recibida al final del