CANAS_CRESPO,_JUAN_MANUEL_MATEMATICAS_TFM

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Centro de Estudios de Postgrado 
 
 
 
 
 
Trabajo Fin de Máster 
Alumno/a: Cañas Crespo, Juan Manuel 
 
Tutor/a: Prof. D.ª Consuelo Rosales Ródenas 
Dpto: Matemáticas 
 
 
 
 
Febrero, 2022 
 
 
 
 
 
DERIVADA DE UNA 
FUNCIÓN EN UN PUNTO, 
FUNCIÓN DERIVADA, 
DERIVADAS SUCESIVAS 
Y APLICACIONES EN 1º 
BACHILLERATO 
2 
 
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A todos los que me han animado y motivado a lo 
largo de este trabajo, sin vuestro apoyo y cariño 
incondicional, no lo hubiera podido conseguir. 
 
GRACIAS. 
4 
 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 1 Universidad de Jaén 
ÍNDICE DE CONTENIDOS 
 
RESUMEN ................................................................................................................ 7 
ABSTRACT ................................................................................................................ 8 
CAPÍTULO I.- CONSIDERACIONES GENERALES. .......................................................... 9 
I.1.- INTRODUCCIÓN Y ANTECECENTES. .................................................................... 9 
I.2.- OBJETO. .......................................................................................................... 11 
CAPÍTULO II.- FUNDAMENTACIÓN CURRICULAR. .................................................... 13 
II.1.- ANÁLISIS DE LAS DISPOSICIONES CURRICULARES VIGENTES. ........................... 13 
II.2.- ANÁLISIS DE LOS LIBROS DE TEXTO DE DIFERENTES EDITORIALES. ................... 16 
II.2.1.- ANÁLISIS DE LOS LIBROS DE TEXTO DE DIFERENTES EDITORIALES. ............ 17 
II.2.2.- ANÁLISIS DEL LIBRO DE 1º BACHILLERATO DE LA EDITORIAL OXFORD 2015.
 .......................................................................................................................... 20 
II.2.3.- COMPARACIÓN ENTRE EDITORIALES Y EL CURRÍCULO, VALORACIÓN Y 
ELECCIÓN DEL LIBRO DE TEXTO TRAS ANÁLISIS PREVIO. ...................................... 24 
CAPÍTULO III.- FUNDAMENTACIÓN EPISTEMOLÓGICA. ............................................ 27 
III.1.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. .......................................................................... 27 
III.1.1.- TEORÍA DE LAS FLUXIONES DE NEWTON. ................................................. 27 
III.1.2.- CÁLCULO DIFERENCIAL DE LEIBNIZ. ......................................................... 27 
III.1.3.- PRIMERA DEFINICIÓN DEL CONCEPTO DE DERIVADA DE BOLZANO. ......... 28 
III.1.4.- LECCIONES DE ANÁLISIS COMPLEJO DE CAUCHY. ..................................... 28 
III.2.- PROBLEMAS HISTÓRICOS DE LAS DERIVADAS. ............................................... 28 
III.2.1.- CÁLCULO DE VELOCIDADES. .................................................................... 28 
III.2.2.- CÁLCULO DE LA RECTA TANGENTE. .......................................................... 29 
III.3.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. ................................................. 29 
III.3.1.- DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. ................... 30 
III.3.2.- DERIVADAS LATERALES Y CONDICIONES DE DERIVABILIDAD. ................... 31 
III.3.3.- RELACIÓN ENTRE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. ................................ 32 
III.3.4.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. ................................................................. 32 
III.4.- ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS......................................................................... 34 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 2 Universidad de Jaén 
III.4.1.- DERIVADA DE SUMA DE FUNCIONES. ...................................................... 34 
III.4.2.- DERIVADA DEL PRODUCTO. ..................................................................... 34 
III.4.3.- DERIVADA DEL PRODUCTO DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN. ..... 35 
III.4.4.- DERIVADA DE 1/f. ................................................................................... 35 
III.4.5.- DERIVADA DEL COCIENTE. ....................................................................... 36 
III.5.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN COMPUESTA O REGLA DE LA CADENA. ................. 36 
III.6.- DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA. ............................................................. 37 
III.7.- DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES. .................................................... 38 
III.7.1.- DEMOSTRACIONES DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES. .... 39 
III.8.- DERIVADAS SUCESIVAS. ................................................................................ 39 
III.8.1.- DEFINICIÓN. ............................................................................................ 39 
III.9.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO Y TEOREMAS SOBRE 
DERIVABILIDAD. ..................................................................................................... 41 
III.9.1.- TEOREMA DE FERMAT. ............................................................................ 41 
III.9.2.- TEOREMA DE ROLLE. ............................................................................... 41 
III.9.3.- TEOREMA DEL VALOR MEDIO O TEOREMA DE LAGRANGE. ...................... 42 
III.9.4.- TEOREMA DEL VALOR MEDIO GENERALIZADO O DE CAUCHY. .................. 44 
III.9.5.- REGLA DE L’HÔPITAL. .............................................................................. 44 
III.10.- APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. .............................................................. 45 
III.10.1.- APROXIMACIÓN POR DERIVADAS. ......................................................... 45 
III.10.2.- MARGINALIDAD EN ECONOMÍA. ........................................................... 45 
III.10.3.- VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE UN MÓVIL. ........................................... 45 
III.10.4.- TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA. ..................................................... 45 
III.10.5.- VELOCIDAD DE LAS REACCIONES QUÍMICAS. ......................................... 46 
CAPÍTULO IV.- FUNDAMENTACIÓN DIDÁCTICA. ...................................................... 47 
IV.1.- ANÁLISIS DE LAS DIFICULTADES EN LA ENSEÑANZA DE LAS DERIVADAS. ........ 48 
IV.2.- UTILIZACIÓN DE LOS RECURSOS TIC DEL AULA. .............................................. 52 
IV.2.1.- USO DEL SOFTWARE GEOGEBRA COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA......... 54 
IV.2.2.- FOMENTO DE LAS REDES SOCIALES COMO HERRAMIENTA PEDAGÓGICA DE 
APOYO. .............................................................................................................. 56 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 3 Universidad de Jaén 
IV.3.- APLICACIÓN DEL APRENDIZAJE COOPERATIVO EN EL AULA. ........................... 60 
IV.4.- EMPLEO DE LA METODOLOGÍA DOCENTE DEL AULA INVERTIDA..................... 62 
CAPÍTULO V.- PROYECCIÓN DIDÁCTICA. .................................................................. 65 
V.1.- TÍTULO. .......................................................................................................... 65 
V.2.- JUSTIFICACIÓN. .............................................................................................. 65 
V.3.- MARCO LEGISLATIVO. .................................................................................... 66 
V.3.1.- LEYES GENERALES. ................................................................................... 67 
V.3.2.- LEYES EDUCATIVAS. .................................................................................67 
V.3.3.- DECRETOS/ÓRDENES. .............................................................................. 67 
V.4.- CONTEXTUALIZACIÓN DEL CENTRO. ............................................................... 68 
V.4.1.- CARACTERÍSTICAS SOCIOECONÓMICAS. ................................................... 68 
V.4.2.- CARACTERÍSTICAS SOCIOCULTURALES. ..................................................... 68 
V.5.- ESTRUCTURA DEL CENTRO. ............................................................................ 69 
V.5.1.- INFRAESTRUCTURA. ................................................................................. 69 
V.5.2. RECURSOS MATERIALES, HUMANOS Y FUNCIONALES. ............................... 70 
V.5.2.1.- MATERIALES. ..................................................................................... 70 
V.5.2.2.- HUMANOS. ....................................................................................... 70 
V.5.2.3.- FUNCIONALES. ................................................................................... 70 
V.5.2.4.- ORGANIZACIÓN. ................................................................................ 71 
V.5.2.5.- RELACIÓN DEL CENTRO CON EL ENTORNO Y LAS INSTITUCIONES. ....... 71 
V.6.- CONTEXTUALIZACIÓN DEL AULA. ................................................................... 71 
V.6.1.- ORGANIZACIÓN. ...................................................................................... 71 
V.6.2.- ALUMNADO. ............................................................................................ 71 
V.6.3.- DIVERSIDAD DEL ALUMNADO. ................................................................. 72 
V.7.- OBJETIVOS. .................................................................................................... 73 
V.7.1.- OBJETIVOS DEL ÁREA. .............................................................................. 73 
V.7.2.- OBJETIVOS DE LA UNIDAD. ...................................................................... 73 
V.7.3.- OBJETIVOS DIDÁCTICOS. .......................................................................... 73 
V.7.4.- OBJETIVOS DE ETAPA. .............................................................................. 73 
V.8.- COMPETENCIAS CLAVE. .................................................................................. 74 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 4 Universidad de Jaén 
V.8.1.- RELACIÓN DE LAS COMPETENCIAS CLAVE CON LOS OBJETIVOS DE LA 
UNIDAD. ............................................................................................................. 74 
V.9.- CONTENIDOS. ................................................................................................ 75 
V.10.- METODOLOGÍA. ........................................................................................... 76 
V.11.- ACTIVIDADES Y RECURSOS. .......................................................................... 78 
V.12.- ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD. ....................................................................... 79 
V.13.- TEMPORALIZACIÓN. ..................................................................................... 79 
V.14.- EVALUACIÓN. ............................................................................................... 92 
V.14.1- CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE EVALUABLES.
 .......................................................................................................................... 92 
V.14.2.- PROCEDIMIENTOS E INSTRUMENTOS DEL SISTEMA DE EVALUACIÓN. ..... 94 
CAPÍTULO VI.- CONCLUSIONES. .............................................................................. 96 
CAPÍTULO VII.- REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. ...................................................... 98 
ANEXO I.- DEMOSTRACIONES DE LAS DERIVADAS DE FUNCIONES ELEMENTALES – 
FUNDAMENTACIÓN EPISTEMOLÓGICA. ................................................................. 101 
ANEXO II.- OBJETIVOS - PROYECCIÓN DIDÁCTICA................................................... 108 
ANEXO III.- ACTIVIDADES Y RECURSOS DE LAS SESIONES DE LA TEMPORALIZACIÓN.
 ............................................................................................................................. 112 
ANEXO IV.- ACTIVIDADES PARA LA ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD – PROYECCIÓN 
DIDÁCTICA. ........................................................................................................... 146 
ANEXO V.- MODELO DE EXAMEN PROPUESTO PARA LA PRUEBA ESCRITA DE LA 
UNIDAD DIDÁCTICA – PROYECCIÓN DIDÁCTICA. .................................................... 151 
 
 
 
 
 
 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 5 Universidad de Jaén 
ÍNDICE DE TABLAS 
Tabla 1.- Núcleos en los que se divide el currículo de Bachillerato. FUENTE: Elaboración 
propia, BOJA 2021. ................................................................................................. 15 
Tabla 2.- Comparación de los contenidos de la unidad didáctica entre el currículo de la 
normativa, y los libros de la editorial de ANAYA 2017 y OXFORD 2015. FUENTE: 
Elaboración propia. ................................................................................................ 25 
Tabla 3.- Derivadas de las funciones elementales. FUENTE: Elaboración propia. ...... 39 
Tabla 4.- Redes sociales más usadas en el mundo por jóvenes entre 13-18 años. 
FUENTE: Datos de Audience Origin, 2021; Tabla de elaboración propia. .................. 57 
Tabla 5.- Redes sociales más usadas en España por jóvenes entre 13-18 años. FUENTE: 
Audience Origin, 2021; Elaboración propia. ............................................................ 58 
Tabla 6.- Distribución horaria del Centro Educativo. FUENTE: I.E.S. Jabalcuz, 
elaboración propia. ................................................................................................ 71 
Tabla 7.- Relación de las competencias clave con los objetivos de la unidad. FUENTE: 
Elaboración propia. ................................................................................................ 75 
Tabla 8.- Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje evaluable. FUENTE: 
Elaboración propia. ................................................................................................ 93 
Tabla 9.- Criterios de evaluación de las actividades y el examen propuesto. FUENTE: 
Elaboración propia. ................................................................................................ 95 
 
ÍNDIDE DE GRÁFICAS E ILUSTRACIONES 
Ilustración 1.- Gráfica de la recta tangente. FUENTE: Elaboración propia, GeoGebra.
 .............................................................................................................................. 29 
Ilustración 2.- Grafica de la interpretación de la derivada de una función en un punto. 
FUENTE: Mingorance, M. (2020), GeoGebra. ........................................................... 30 
Ilustración 3.- Gráfica de la interpretación de la derivada de una función en un punto 
y la recta secante a la función. FUENTE: Mingorance, M. (2020), GeoGebra. ........... 33 
Ilustración 4.- Gráfica de la interpretación de la derivada y la recta tangente a la 
función en un punto. FUENTE: Martín Mingorance, M. (2020), GeoGebra. .............. 34 
Ilustración 5.- Gráfica de la interpretación del Teorema de Rolle. FUENTE: Pérez, F.J. 
(2008), GeoGebra. .................................................................................................. 41 
Ilustración 6.- Gráfica de la interpretación del Teorema de Lagrange. FUENTE: Pérez, 
F.J. (2008), GeoGebra. ............................................................................................42 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 6 Universidad de Jaén 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 7 Universidad de Jaén 
 
 
RESUMEN 
La realización de este Trabajo Fin de Máster tiene como principal objetivo finalizar la 
formación correspondiente por parte del autor y alumno para llegar a ser futuro docente 
en la especialidad de Matemáticas, a la vez que, durante el desarrollo de esta 
investigación, se afianzan y se ponen en práctica los conocimientos adquiridos durante 
el curso académico del Máster. 
El tema principal del trabajo consiste en la elaboración de una unidad didáctica 
correspondiente al tema de las derivadas y sus aplicaciones en la asignatura de 
Matemáticas I del curso de 1º Bachillerato de Ciencias y Tecnología, teniendo siempre 
presente las diferentes necesidades del alumnado en cuanto a la consecución de los 
conocimientos de los contenidos relacionados con esta unidad se refiera. 
Con este trabajo se pretende diseñar unos métodos de enseñanza y aprendizaje 
diferentes y eficientes basados en investigaciones previas, a partir de varios estudios 
sobre las principales dificultades que surgen en esta unidad, como son la técnica del aula 
invertida, la utilización de los recursos TIC, uso de softwares matemáticos o utilización 
de redes sociales como herramientas de apoyo, buscando que la idea y la compresión 
del concepto de las derivadas se afiancen eficazmente. 
Además, el análisis de este trabajo se basará en el desarrollo del currículo y la 
comparación del contenido en varios libros de texto del nivel académico tratado, el 
desarrollo de un tema de oposición con alto rigor académico y el análisis de 
investigaciones relacionadas en el ámbito de la didáctica de la matemática. 
 
PALABRAS CLAVE: Derivadas, Matemáticas, unidad didáctica, metodologías docentes, 
aprendizaje cooperativo, aula invertida, recursos TIC, redes sociales, investigación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 8 Universidad de Jaén 
 
 
ABSTRACT 
The main objective of carrying out this Master's Thesis is to complete the corresponding 
training by the author and student to become a future teacher in the specialty of 
Mathematics, while, during the development of this research, they strengthen and they 
put into practice the knowledge acquired during the academic course of the Master. 
The main teams of the work consists of the elaboration of a didactic unit corresponding 
to the topic of derivatives and their applications in the subject of Mathematics I of the 
1st Baccalaureate course of Sciences and Technology, always keeping in mind the 
different needs of the students in terms of the attainment of content knowledge related 
to this unit is concerned. 
This work aims to design different and efficient teaching and learning methods based on 
previous research, based on several studies of the main difficulties that arise in this unit, 
such as the flipped classroom technique, the use of ICT resources, use of mathematical 
software or use of social networks as support tools, seeking to effectively consolidate 
the idea and understanding of the concept of derivatives. 
In addition, the analysis of this work will be based on the development of the curriculum 
and the comparison of the content in several textbooks of the academic level treated, 
the development of an opposition topic with high academic rigor and the analysis of 
related research in the field of the didactics of mathematics. 
 
KEYWORDS: Derivatives, Mathematics, teaching unit, teaching methodologies, 
cooperative learning, flipped classroom, ICT resources, social networks, research. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 9 Universidad de Jaén 
CAPÍTULO I.- CONSIDERACIONES GENERALES. 
I.1.- INTRODUCCIÓN Y ANTECECENTES. 
El presente trabajo es solicitado por la Universidad de Jaén al autor y alumno del Máster 
Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obligatoria y Bachillerato, 
Formación Profesional y Enseñanza de Idiomas, por la especialidad de Matemáticas, 
Juan Manuel Cañas Crespo, como Trabajo Fin de Máster para superar dicha titulación. 
La idea de este trabajo fue tomada a partir de las Prácticas en Centros Educativos que 
realicé durante el curso académico 2020/2021 del Máster mencionado anteriormente, 
y ha sido tutorizado por la profesora Doña Consuelo Rosales Ródenas. 
Como tema principal del trabajo, me centraré en el tema Derivada en un punto, función 
derivada y aplicaciones, correspondiente al currículo de la asignatura de Matemáticas I 
del curso de 1º Bachillerato de Ciencias y Tecnología, Modalidad de Ciencias de 
Bachillerato. 
La elaboración del presente Trabajo Fin de Máster corresponde a la última etapa antes 
de la finalización del Máster de dicha titulación, y he intentado reflejar y poner en 
práctica la mayor parte posible de las habilidades y conocimientos adquiridos durante 
el trascurso del mismo, así como de mi experiencia personal vivida durante las Prácticas 
en el Centro Educativo, para así poder elaborar y programar esta unidad didáctica y 
adaptarla de forma que los alumnos y alumnas puedan aprovecharla al máximo. 
Además, podemos considerar este proyecto como el comienzo del objetivo de conseguir 
una vida laboral como profesor de Matemáticas, y en él he plasmado las principales 
pautas que configuran mis ideales y que dan forma a mi pensamiento desde una 
perspectiva pedagógica. 
En cuanto a la temática de la unidad didáctica escogida, y como se puede ver por la gran 
cantidad de investigaciones en este campo y que se han realizado con el apoyo de la 
mayoría de los marcos teóricos existentes, puede considerarse como un tema adecuado 
e interesante desde la didáctica de las Matemáticas, ya que estas, y las derivadas 
especialmente, cobran una vital importancia en diferentes campos de la vida diaria y 
cotidiana de la sociedad, así como aplicaciones en diferentes campos de estudio. 
En resumen, las derivadas son una herramienta de ayuda para conocer y calcular lo 
susceptibilidad al cambio de una variable respecto a otra, y esto resulta muy útil en áreas 
de estudio como ingeniería, economía, biología, física, química, medicina, arquitectura… 
Además, a parte del propio concepto de derivada, estas tienen multitud de aplicaciones, 
como el cálculo de máximos y mínimos, la tasa de variación media e instantánea, cálculo 
de velocidades, marginalidad en economía o la optimización, todos ellos pudiéndose 
aplicar en diferentes campos de estudio como vimos anteriormente. 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 10 Universidad de Jaén 
En relación al alumnado, esta es una unidad que van a ver por primera vez en su vida 
estudiantil, por lo que es de vital importancia que lo asimilen correctamente y poder 
afianzar el concepto de derivada y sus aplicaciones con firmeza para los posibles cursos 
y estudios superiores donde vuelvan a tratarlo. Con este motivo, sumado a las posibles 
dificultades que pueden aparecer durante el estudio de esta unidad y que analizaremos 
en capítulos posteriores basándonos en diferentes estudios previos, es fácil que se cree 
en los estudiantes una frustración por no comprenderde la forma que les gustaría o 
que, incluso, abandonen este tema, y para evitarlo, es fundamental presentarles la 
unidad y las derivadas, desde la primera sesión, como una herramienta básica y aplicada 
en diferentes ejercicios y problemas basados en situaciones de la vida real de futuros 
estudios superiores, para que esa novedad y la incertidumbre ante lo nuevo les cree más 
ganas de aprender y entiendan que no es un tema para aprenderlo mecánicamente y 
que sí tiene un fin. 
En la misma búsqueda que lo expuesto anteriormente, también es fundamental por 
parte del profesorado escoger las metodologías docentes que consideren más 
adecuadas a la unidad, así como usar las herramientas con las que el alumnado se 
pueden sentir más cómodos y familiarizados, buscando incentivar la autosuficiencia y el 
aprendizaje autónomo y cooperativo de éstos, para que se puedan sentir partícipes en 
su proceso de aprendizaje, y algunas de estas metodologías, en mi opinión, son: la 
utilización de los recursos TIC del aula, apoyarse en las redes sociales, diferentes juegos 
de aprendizaje y actividades donde vean claramente su aplicación en el día a día, uso de 
software matemático, un aprendizaje cooperativo y la aplicación del aula invertida. 
Por tanto, se crearán diferentes actividades con este fin donde se pongan en práctica 
estas metodologías, proporcionándoles diferentes recursos electrónicos y actividades, 
así como se creará un perfil de la red social Instagram donde iremos publicando 
actividades, juegos, información o retos que se hayan planteado ese día en la sesión 
correspondiente, ya que al ser la red social más usada por los jóvenes de nuestro país y 
en la que se sienten tan familiarizados y cómodos, se puede evitar en gran medida la 
desconexión de los estudiantes en esta unidad y captar su atención. 
En cuanto al contenido del propio trabajo, empezaremos con el presente capítulo 
exponiendo las consideraciones generales: introducción, antecedentes y objetivos que 
perseguimos cumplir con la elaboración del mismo. Tras esto, pasaremos a realizar la 
fundamentación curricular, donde analizaremos las disposiciones curriculares de la 
asignatura y nivel académico propuestos, consultando los documentos oficiales de 
ámbito nacional y autonómico vigentes y realizaremos una comparativa con dos libros 
de texto de diferentes editoriales, acabando con la elección, bajo nuestro criterio, del 
que más se adecue a esas disposiciones curriculares y nos dé más variedad de recursos 
para trabajar con el alumnado. A continuación, pasamos a la fundamentación 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 11 Universidad de Jaén 
epistemológica de la unidad, en la cual haremos el desarrollo matemático del tema de 
oposiciones bajo un importante rigor matemático, lo cual, es de vital transcendencia en 
la preparación y formación previa del docente. Para continuar con el trabajo, pasamos 
al capítulo de fundamentación didáctica, donde realizando un análisis de 
investigaciones previas basadas en la didáctica de las matemáticas en general y de las 
derivadas en particular, buscaremos localizar las principales dificultades que presentan 
los estudiantes en el aprendizaje de esta unidad y, en base a esto, poder elegir las teorías 
y metodologías docentes más adecuadas para facilitar este proceso de aprendizaje, las 
cuales las enumeramos anteriormente. 
Finalmente, continuaremos en el trabajo con el capítulo de la proyección didáctica, 
donde realizaremos el desarrollo de la programación de aula de esta unidad bajo nuestra 
propia contextualización y enlazando con todos los elementos y análisis realizados en 
los capítulos previos mencionados anteriormente, acabando el trabajo con la 
argumentación de las conclusiones tras la realización del mismo y relacionándolas con 
los objetivos planteados al principio, y con una bibliografía donde recogeremos las 
principales fuentes en las que nos hemos basado en el desarrollo del trabajo. 
I.2.- OBJETO. 
Con la elaboración de este Trabajo Fin de Máster, el objetivo principal a nivel personal 
es completar la formación previa para poder convertirse en un futuro profesor de 
Matemáticas, elaborando por primera vez la construcción de una unidad didáctica, 
aplicando y consolidando los conocimientos conseguidos en la realización del Máster y 
durante las Prácticas en el Centro Educativo. 
En cuanto a los objetivos del propio trabajo, también puede considerarse como el 
comienzo a la familiarización de la búsqueda y comprensión de las legislaciones 
educativas vigentes a nivel nacional y autonómico, analizando los objetivos, los 
contenidos, las competencias clave, los estándares de aprendizaje y criterios de 
evaluación del currículo de la asignatura y nivel educativo seleccionado de la Comunidad 
Autónoma de Andalucía, ya que son el pilar fundamental donde nos basaremos para 
planificar nuestras futuras programaciones y crear nuestras metodologías docentes. 
En el mismo camino que el punto anterior, también es primordial realizar la creación de 
una temporalización de las sesiones de aula competente, así como de las actividades, 
recursos y demás material que podamos proporcionar a los estudiantes, para que así 
cumplan los objetivos y estándares de aprendizaje mencionados anteriormente, 
siempre teniendo en cuenta los entornos del centro y aula contextualizados, adaptando 
estos materiales a las diferentes necesidades que pueda presentar el alumnado. 
Por otro lado, para la elaboración de este trabajo se debe investigar y analizar diferentes 
estudios, publicaciones y artículos previos para crear la fundamentación didáctica en la 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 12 Universidad de Jaén 
que basaremos la metodología de las sesiones de la temporización y actividades de la 
unidad, adaptando estos estudios previos a mi contextualización de centro y aula, y 
analizando propuestas de mejora de la enseñanza de este tema. 
Con este fin, también se analizarán diferentes libros de texto de la asignatura, 
comparándolos con el currículo de los contenidos y entre ellos, tras lo que haremos una 
elección, bajo mi propio criterio, del más adecuado en base a este análisis. 
Así mismo, estableceremos la unidad didáctica según los contenidos englobados en la 
programación de la asignatura, desarrollando el análisis y la investigación de los 
expertos en la materia, en este caso, la didáctica de la matemática. Dentro de estas 
investigaciones, no podemos olvidar reflexionar y analizar el porqué del, en algunos 
casos, rechazo o dificultades presentes en el alumnado hacia las Matemáticas, 
intentando proponer una solución en base de diferentes herramientas y técnicas 
atractivas a ojos del alumnado, para que estos puedan disfrutar y apreciar la materia. 
Con todo esto, buscaremos que, en el desarrollo de la unidad didáctica, queden todos 
sus apartados (como las competencias clave, los contenidos a trabajar, la metodología 
empleada, la temporización, la atención a la diversidad y la evaluación, …) claramente 
detallados y contextualizados. 
Por otro lado, debemos desarrollar esta unidad, perteneciente al temario del Proceso de 
Selección del Cuerpo de Profesores de Educación Secundaria y Bachillerato, bajo un 
importante rigor matemático, siendo esto fundamental en la formación del docente en 
cuanto al conocimiento matemático previo se refiere. 
Otro de los objetivos primordiales es desarrollar la autocrítica de manera activa en el 
mundo de la enseñanza y docencia, haciendo más fuerte la capacidad de aprendizaje y 
exploración autónomo, intentando encontrar la singularidad y progresando la aptitud 
de innovaren el ámbito docente, lo cual creo que es imprescindible para renovarse en 
este campo y no estancarse en un tipo de docencia autómata y aburrida. 
Finalmente, y con todos los objetivos anteriores, la realización del presente Trabajo Fin 
de Máster me permitirá iniciarme en la preparación de las oposiciones del cuerpo 
docente en la especialidad de Matemáticas con la explicación y desarrollo de uno de los 
temas propuestos para el proceso de selección de dicha especialidad, al igual que en la 
investigación docente. 
 
 
 
 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 13 Universidad de Jaén 
CAPÍTULO II.- FUNDAMENTACIÓN CURRICULAR. 
En el presente capítulo analizaremos el currículo perteneciente a la asignatura de 
Matemáticas I para el curso de 1º Bachillerato de la Modalidad de Ciencias, por lo que 
consultaremos los documentos oficiales vigentes, tanto a nivel nacional como 
autonómico, en los cuales se regulan los conceptos de obligatorio cumplimiento para el 
buen desarrollo de la didáctica de la asignatura, y del propio currículo preestablecido. 
Además, se analizarán dos libros de texto de diferentes editoriales del curso y materia 
propuestos, comprobando los conceptos, actividades y recursos que ambos nos 
proporcionan, tanto en formato impreso como en electrónico, y los compararemos 
entre ellos y con el currículo establecido por las normativas para asegurar si cumplen 
estos requisitos, y elegiremos, bajo nuestro criterio, el más adecuado, y que será en el 
que nos apoyaremos en la elaboración de la metodología didáctica del desarrollo de la 
unidad en el epígrafe V.10.- Metodología del capítulo V.- Proyección didáctica. 
II.1.- ANÁLISIS DE LAS DISPOSICIONES CURRICULARES VIGENTES. 
Como hemos mencionado anteriormente, comenzaremos este capítulo analizando el 
currículo perteneciente a la asignatura de Matemáticas I de 1º Bachillerato de Ciencias. 
Por tanto, para realizar este análisis nos basaremos en la normativa, tanto a nivel 
nacional como autonómico, que regula, entre otros conceptos, el contenido y currículo 
de obligatorio cumplimiento para garantizar el adecuado desarrollo de la unidad 
didáctica, de cada uno de los cursos de la Educación Secundaria Obligatoria y del 
Bachillerato. Estas normativas, principalmente, son: 
- ORDEN de 15 de enero de 2021 del Boletín Oficial de la Juan de Andalucía 
(BOJA), por la que se desarrolla el currículo correspondiente a la etapa de 
Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucía, donde se regulan 
determinados aspectos de la atención a la diversidad y se establece la 
ordenación de la evaluación de aprendizaje del alumnado (BOJA de 18/01/2021). 
- REAL DECRETO 1105/2014 de 26 de diciembre del Boletín Oficial del Estado 
(BOE), por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria 
Obligatoria y del Bachillerato (BOE de 04/01/2015). 
Cabe destacar que, según la Orden de 15 de enero de 2021 en el Boletín Oficial de la 
Junta de Andalucía (BOJA), la Comunidad Autónoma de Andalucía ostenta la 
competencia compartida para el establecimiento de los planes de estudio, incluida la 
ordenación curricular, de conformidad con lo dispuesto en el artículo 52.2 del Estatuto 
de Autonomía para Andalucía, sin prejuicio de lo recogido en el artículo 149.1.30 de la 
Constitución Española a tenor del cual corresponde al Estado dictar las normas básicas 
para el desarrollo a fin de garantizar el cumplimiento de las obligaciones de los poderes 
públicos en esta materia. 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 14 Universidad de Jaén 
Por otro lado, y según esta misma Orden, se establece la ordenación y el currículo del 
Bachillerato en la Comunidad Autónoma de Andalucía, de conformidad con lo dispuesto 
en la Ley Orgánica 2/2006 de 3 de mayo, de Educación, y en el Real Decreto 1105/2014 
de 26 de diciembre, por lo que se establece el currículo básico de la Educación 
Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. 
Por tanto, para este análisis de las disposiciones curriculares vigentes, y a tenor de la 
información mencionada anteriormente y que queda recopilada en la normativa, nos 
basaremos en la Orden de 15 de enero de 2021 en el Boletín Oficial de la Junta de 
Andalucía (BOJA), ya que es la que regula el contenido de las unidades. Además, como 
la unidad didáctica objeto de estudio, Cálculo de derivadas y sus aplicaciones, pertenece 
al bloque 3 de análisis, en este estudio nos centraremos en dicho bloque y dicha unidad. 
Además, como la unidad del Cálculo de derivadas y sus aplicaciones está relacionada con 
otros temas anteriores y con conceptos de otros cursos (estudio y representación de 
funciones, límites, …), estos deben de tenerse en cuenta a la hora de realizar la 
fundamentación curricular, así como con las aplicaciones de las derivadas que los 
estudiantes puedan usar en futuros cursos o estudios superiores. 
Dentro de esta misma Orden, y para analizar el currículo de esta asignatura y esta 
unidad, el tema queda enmarcado dentro del Anexo II.- Materias del bloque de 
asignaturas troncales, siendo la materia número 24 recogida en dicho anexo. Dentro de 
esta materia, y de igual forma que las demás recopiladas en esta normativa, el currículo 
se organiza en cinco grandes núcleos: 
- Los objetivos de etapa. 
- Las estrategias metodológicas didácticas. 
- Los contenidos de cada bloque y unidad. 
- Los criterios de evaluación. 
- Los estándares de aprendizaje evaluables. 
- Las competencias clave. 
Además, hay que añadir que el enfoque de las competencias clave, se vinculan con los 
criterios de evaluación y los estándares de aprendizaje evaluables. 
En la siguiente tabla podemos comprobar el desarrollo de estos núcleos que conforman 
el currículo de bachillerato: 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 15 Universidad de Jaén 
 
Tabla 1.- Núcleos en los que se divide el currículo de Bachillerato. FUENTE: Elaboración propia, BOJA 2021. 
Por tanto, y según esta Orden de 15 de enero de 2021 del BOJA, los contenidos que se 
deben tratar en el bloque 3 de Análisis para el curso y asignatura objeto de estudio, son 
los siguientes: 
- Funciones reales de variable real. 
- Funciones básicas: polinómicas, racionales sencillas, valor absoluto, raíz, 
trigonométricas y sus inversas, exponenciales, logarítmicas y definidas a trozos. 
- Operaciones y composición de funciones. Funciones de oferta y demanda. 
- Concepto de límite de una función en un punto y en el infinito. Cálculo de límites. 
Límites laterales. Indeterminaciones. 
- Continuidad de una función. Estudio de discontinuidades. 
- Derivada de una función en un punto. Interpretación geométrica de la derivada 
de la función en un punto. Recta tangente y normal. 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 16 Universidad de Jaén 
- Función derivada. Cálculo de derivadas. Regla de la cadena. 
- Representación gráfica de funciones. 
En cambio, de estos conceptos pertenecientes al bloque 3 de análisis, los contenidos 
que se deben tratar en la unidad que estamos analizando son los siguientes: 
- Derivada de una función en un punto. 
- Interpretación geométrica de la derivada de la función en un punto. 
- Recta tangente y normal. 
- Función derivada. 
- Cálculo de derivadas. 
- Regla de la cadena. 
- Representación gráfica de funciones. 
Cabe destacar que, en cuanto a los contenidos de la unidad, el docentepuede ampliarlos 
si lo cree oportuno, ya que por ejemplo, hay una aplicación importante y que el 
alumnado sí tratará en próximos cursos, como es la optimización. Por lo tanto, a pesar 
de no ser parte del currículo que recoge la normativa vigente, sería conveniente 
desarrollarla y hacer una introducción a la misma durante el epígrafe V.9.- Contenidos y 
V.13.- Temporalización del capítulo V.- Proyección didáctica, ya que facilitaría a los 
estudiantes la mayor comprensión del estudio de las derivadas y sus aplicaciones en 
contextos reales de la vida cotidiana. 
Finalmente, en cuanto a los demás núcleos que tratan estas normativas en esta unidad, 
y que hemos mencionado anteriormente, se podrán ver más desarrollados en el capítulo 
V.- Proyección didáctica, en los epígrafes V.7.- Objetivos, V.8.- Competencias clave, V.9.- 
Contenidos, V.10.- Metodología, V.14.- Evaluación, V.14.1.- Criterios de evaluación y 
estándares de aprendizaje y V.14.2.- Sistema de evaluación. 
II.2.- ANÁLISIS DE LOS LIBROS DE TEXTO DE DIFERENTES EDITORIALES. 
En este epígrafe del trabajo analizaremos dos libros de texto de diferentes editoriales, 
comparándolos entre sí y con el currículo de los contenidos a tratar en esta etapa y que 
hemos descrito anteriormente basándonos en la Orden del 15 de enero de 2021 en el 
BOJA y en el Real Decreto 1105/2014 de 26 de diciembre del BOE, centrándonos en los 
contenidos de Matemáticas I de 1º Bachillerato Científico. 
Basándome en mi criterio y, habiendo comparado diferentes editoriales a nivel 
educativo, he seleccionado los libros de Matemáticas I de las editoriales Anaya y Oxford 
por su diversidad de material y recursos didácticos, tanto en sus versiones impresas 
como digitales. Además, los contenidos teóricos que se presentan en ambas editoriales 
son detallados y completos, lo cual hacen que la materia se comprenda de forma clara 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 17 Universidad de Jaén 
y sin complicaciones. Añadiría también que son dos de las editoriales más usadas en los 
Centros Educativos de nuestro país. 
Por tanto, los libros objeto de análisis serán los propuestos por las editoriales Anaya y 
Oxford, y tras el estudio y comparación mencionados anteriormente, daremos una 
valoración personal basada en estos análisis y concluiremos con la elección del libro que 
más se adecue al currículo y a nuestro criterio, en el cual nos apoyaremos en la creación 
de la metodología didáctica de aula que desarrollaremos en el epígrafe V.6.- 
Metodología del capítulo V.- Proyección didáctica. 
II.2.1.- ANÁLISIS DE LOS LIBROS DE TEXTO DE DIFERENTES EDITORIALES. 
En este epígrafe del trabajo, nos basaremos en el estudio del libro y editorial siguiente: 
Colera, J. y Oliveira, M.J. (2017). Matemáticas I, 1º Bachillerato. Grupo Anaya. 
Por tanto, la editorial Anaya, en su edición del año 2017, presenta el siguiente orden 
cronológico sobre los contenidos que desarrolla a lo largo de su libro: 
- BLOQUE I. ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA: 
• Unidad 1. Números reales. 
• Unidad 2. Sucesiones. 
• Unidad 3. Álgebra. 
- BLOQUE II. TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS: 
• Unidad 4. Resolución de triángulos, Funciones y fórmulas 
trigonométricas. 
• Unidad 5. Funciones y fórmulas trigonométricas. 
• Unidad 6. Números complejos. 
- BLOQUE III. GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA: 
• Unidad 7. Vectores. 
• Unidad 8. Geometría analítica. Problemas afines y métricos. 
• Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas. 
- BLOQUE IV. ANÁLISIS: 
• Unidad 10. Funciones elementales. 
• Unidad 11. Límites de funciones. Continuidad y ramas infinitas. 
• Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones. 
- BLOQUE V. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD: 
• Unidad 13. Distribuciones bidimensionales. 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 18 Universidad de Jaén 
• Unidad 14. Cálculo de probabilidades. 
• Unidad 15. Distribuciones de probabilidad. 
Como se puede observar, nos centraremos en la Unidad 12. Iniciación al cálculo de 
derivadas. Aplicaciones, perteneciente al Bloque IV. Análisis. Hemos recogido todo el 
índice de los contenidos que recoge la editorial ya que, para el buen desarrollo de la 
unidad, los conceptos que se tratarán en la misma están relacionados con temas 
anteriores, sobre todo las pertenecientes al bloque de análisis. 
Centrándonos completamente en la unidad a tratar, comprobamos que la distribución 
de contenidos que presenta la editorial en este tema es el siguiente: 
BLOQUE IV. ANÁLISIS: 
- Unidad 12. Iniciación al cálculo de derivadas. Aplicaciones: 
• Crecimiento de una función en un intervalo: Tasa de variación media. 
• Crecimiento de una función en un punto. Derivada: Relación del 
crecimiento en un punto con la T.V.M., derivada de una función en un 
punto. 
• Función derivada de otra. 
• Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones: Derivada de una 
función constante, derivada de x, derivada de una función potencia, 
derivada del producto de un número por una función, derivada de la 
suma de funciones, derivada de las funciones trigonométricas, derivada 
de las funciones arco, derivada de las funciones exponenciales, derivada 
de las funciones logarítmicas, derivada del producto de dos funciones, 
derivada del cociente de dos funciones, derivada de una función 
compuesta o regla de la cadena. 
• Utilidad de la función derivada: cálculo de derivadas de una función en 
varios puntos, obtención de las abscisas en las cuales la derivada tiene un 
cierto valor, obtención de las abscisas de los puntos singulares y cálculo 
de tramos donde la curva crece o decrece. 
• Representación de funciones polinómicas. 
• Representación de funciones racionales. 
En relación con estos contenidos, la editorial explica detalladamente estos conceptos, 
recopilando las fórmulas necesarias, dando definiciones, ejemplos y resoluciones 
gráficas en la propia explicación, y remarcando lo más importante de cada uno de los 
puntos. 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 19 Universidad de Jaén 
En cuanto a las actividades propuestas y las resueltas de cada uno de los contenidos 
que nos da la editorial para cada uno de los conceptos de los que tratan en esta unidad 
y que encontramos en este libro, distribuido en cada uno de sus puntos, son las 
siguientes: 
- Crecimiento de una función en un intervalo: 2 ejercicios propuestos y 3 
ejercicios resueltos. 
- Crecimiento de una función en un punto. Derivada: 4 ejercicios propuestos y 2 
ejercicios resueltos. 
- Función derivada de otra: 4 ejercicios propuestos. 
- Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones: 20 ejercicios 
propuestos y 24 ejercicios resueltos. 
- Utilidad de la función derivada: 4 ejercicios propuestos y 4 ejercicios resueltos. 
- Representación de funciones polinómicas: 3 ejercicios propuestos y 3 ejercicios 
resueltos. 
- Representación de funciones racionales: 6 ejercicios propuestos y 3 ejercicios 
resueltos. 
Además, y como recoge Colera, J. y Oliveira, M.J. (2017) en su libro Matemáticas I, tanto 
en su formato impreso como online de la editorial Anaya, en esta unidad podemos 
encontrar otros materiales y recursos didácticos: 
- Nota histórica y eje cronológico al comienzo del bloque de análisis: Recogen los 
principales hechos históricos y avances en el campo de las matemáticas 
relacionados con el análisis, resumiendo quien las descubrió y cuando. 
- Historia de las derivadas: La unidad comienza con un resumen de los 
descubrimientos y aportaciones que se hicieron en este campoentre el sigo XVII 
y XIX. 
- Biografía de Leibniz. 
- Reflexiona y resuelve: 3 ejercicios propuestos al comienzo de la unidad para 
ayudar en la comprensión de la utilidad de las derivadas. 
- Animaciones interactivas: Ejemplos sobre cómo se aproximan las secantes a una 
curva pasando por un punto a la recta tangente a la curva en el punto. 
- Ejemplos interactivos: Para obtener y representar funciones derivadas de otras. 
- Banco de ejercicios resueltos y guiados: A parte de las actividades resueltas de 
cada uno de los puntos de la unidad y que mencioné anteriormente, también 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 20 Universidad de Jaén 
propone, a modo de repaso, 10 ejercicios y problemas, resueltos paso a paso y 
explicados. 
- Banco de ejercicios y problemas propuestos: Al final de la unidad, la editorial 
propone 97 ejercicios y problemas, muchos de ellos con diferentes apartados, 
donde se recogen actividades que recopilan todos los conceptos de la unidad. 
- Autoevaluación de la unidad: Tras los ejercicios propuestos mencionados 
anteriormente, la editorial propone 9 actividades de autoevaluación, donde los 
alumnos podrán obtener la resolución de estas en la versión online del libro. 
- Autoevaluación del bloque de análisis: Tras todo lo relacionado únicamente con 
esta unidad, y como es la última perteneciente a este bloque, la editorial 
propone 17 actividades de autoevaluación a modo de repaso del bloque, donde 
los alumnos podrán obtener la resolución de estas en la versión online del libro. 
- Lecturas: Lenguaje matemático, cómo nombramos las funciones y sus derivadas. 
- Consejos. 
- Ampliaciones teóricas. 
Por otro lado, el docente puede inscribirse en la página web del profesorado 
(http://www.anallaeducacion.es), donde encontramos los siguientes recursos: 
- Solucionario de las autoevaluaciones. 
- Actividades interactivas. 
- Ejemplos guiados. 
- Vídeos explicativos de los conceptos del tema. 
II.2.2.- ANÁLISIS DEL LIBRO DE 1º BACHILLERATO DE LA EDITORIAL OXFORD 2015. 
En este epígrafe del trabajo, nos basaremos en el estudio del libro y editorial siguiente: 
Bescós, E. y Pena, Z. (2015). Matemáticas I, 1º Bachillerato. Oxford Educación. 
Por tanto, esta editorial en la edición mencionada presenta el siguiente orden 
cronológico sobre los contenidos que desarrolla a lo largo de su libro: 
- BLOQUE I. NÚMEROS Y ÁLGEBRA: 
• Unidad 1. Números reales. 
• Unidad 2. Ecuaciones y sistemas. 
- BLOQUE II. TRIGONOMETRÍA Y NÚMEROS COMPLEJOS: 
• Unidad 3. Trigonometría I. 
• Unidad 4. Trigonometría II. 
http://www.anallaeducacion.es/
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 21 Universidad de Jaén 
• Unidad 5. Números complejos. 
- BLOQUE III. GEOMETRÍA: 
• Unidad 6. Geometría analítica en el plano. 
• Unidad 7. Lugares geométricos. Cónicas. 
- BLOQUE IV. ANÁLISIS Y ESTADÍSTICA: 
• Unidad 8. Funciones. 
• Unidad 9. Funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. 
• Unidad 10. Límites y continuidad. 
• Unidad 11. Derivadas. 
• Unidad 12. Estadística. 
Como se puede observar, nos centraremos en la Unidad 11. Derivadas, perteneciente al 
Bloque III. Análisis y estadística. Hemos recogido todo el índice de los contenidos que 
recoge la editorial ya que, como en el análisis anterior, para el buen desarrollo de la 
unidad, los conceptos que se tratarán en la misma están relacionados con temas 
anteriores, sobre todo las pertenecientes al bloque de análisis. 
Centrándonos más en la unidad a tratar, comprobamos que la distribución que presenta 
la editorial en este tema es el siguiente: 
BLOQUE III. ANÁLISIS Y GEOMETRÍA: 
- Unidad 11. Derivadas: 
• Tasa de variación: Tasa de variación media, tasa de variación 
instantánea. 
• Derivada de una función en un punto: Interpretación geométrica, 
derivadas laterales. 
• Recta tangente y normal. 
• Continuidad y derivabilidad. 
• Función derivada: Concepto de función derivada, cálculo de la derivada 
de algunas funciones (función constante, función identidad, función 
cuadrática, función cúbica, función potencial, función exponencial, 
función logarítmica, funciones trigonométricas), derivadas de algunas 
operaciones con funciones (derivada de la suma de dos funciones, 
derivada de un número real por una función, derivada del producto de 
dos funciones, derivada del cociente de funciones), derivada de la 
composición de funciones o regla de la cadena, derivadas sucesivas. 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 22 Universidad de Jaén 
• Aplicaciones de las derivadas: Crecimiento y decrecimiento de una 
función, concavidad y convexidad, representación de funciones 
(polinómicas y racionales sencillas), optimización. 
En relación con estos contenidos, la editorial explica detalladamente estos conceptos, 
recopilando las fórmulas necesarias, dando definiciones, ejemplos y resoluciones 
gráficas en la propia explicación, y remarcando lo más importante de cada uno de los 
puntos. 
En cuanto a las actividades propuestas y las resueltas de cada uno de los contenidos 
que nos da la editorial para cada uno de los conceptos de los que tratan en esta unidad 
y que encontramos en este libro, distribuido en cada uno de sus puntos, son las 
siguientes: 
- Tasa de variación: 2 ejercicios propuestos y 3 ejercicios resueltos. 
- Derivada de una función en un punto: 10 ejercicios propuestos y 6 ejercicios 
resueltos. 
- Recta tangente y normal: 5 ejercicios propuestos, con la solución final para 
comprobar resultados, y 2 ejercicios resueltos. 
- Continuidad y derivabilidad: 4 ejercicios propuestos y 2 ejercicios resueltos. 
- Función derivada: 23 ejercicios propuestos y 23 ejercicios resueltos. 
- Aplicaciones de las derivadas: 12 ejercicios propuestos y 25 ejercicios resueltos. 
Cabe destacar que estas actividades propuestas, la editorial nos proporciona la solución 
numérica, para poder comprobar dicha solución con la que se obtenga al realizar el 
ejercicio, además que, en cada uno de los puntos de la unidad, hay actividades de 
diferentes niveles (bajo, medio, alto). 
Además, y como recoge Bescós, E. y Pena, Z. (2015) en su libro Matemáticas I, tanto en 
el formato impreso y como en el online de la editorial Oxford Educación, en esta unidad 
podemos encontrar otros materiales y recursos didácticos que conforman el proyecto 
Inicia de dicha editorial, y estos son: 
- Presentación – Texto “Circuito Nordschleife”: La unidad comienza con una 
introducción donde recogen situaciones de la vida cotidiana donde se pongan en 
práctica los conceptos a tratar que, en este caso, es el cálculo de velocidades. 
- Repasa lo que sabes: Proponen 4 actividades a modo de repaso y que son 
fundamentales que deben dominar antes del comienzo de la unidad. 
- Ejercicios resueltos: A parte de las actividades resueltas de cada uno de los 
puntos de la unidad y durante el desarrollo de la misma, y que mencioné 
anteriormente, también propone, a modo de repaso, 6 ejercicios y problemas 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 23 Universidad de Jaén 
resueltos paso a paso y explicados, presentando la estrategia de resolución 
completa. 
- Ejercicios y problemas: Al final de la unidad, la editorial propone 71 ejercicios y 
problemas, muchos de ellos con diferentes apartados (por ejemplo, el ejercicio 
número 24 de este apartado, en la página 336 del libro, presenta 27 apartados), 
dondese recogen actividades que recopilan todos los conceptos tratados en el 
desarrollo de la unidad. 
- Evaluación de la unidad: Tras los ejercicios y problemas mencionados 
anteriormente, la editorial propone 9 actividades de autoevaluación, 
relacionadas directamente con los estándares de aprendizaje, y que pueden 
verse resueltos en la versión online del libro. 
- Libro Inicia-Dual: El alumnado tiene la opción de acceder al libro físico y a su 
versión electrónica, ya que cada libro tiene un código con el que pueden acceder 
a este formato, con y sin acceso a Internet, donde encontrarán otros recursos: 
• Animaciones e interactividades con GeoGebra: Podemos encontrar 
actividades ya preparadas para exponerlas con el uso del software 
matemático GeoGebra y facilitar la visualización de conceptos como: 
interpretación geométrica de la relación entre las pendientes de las 
rectas y las tasas de variación media por intervalos, representaciones 
gráficas de funciones y sus derivadas (dando la opción de introducir otras 
funciones). 
• Vídeos tutoriales: Explicación y ejemplos sobre la regla de la cadena, 
ejercicios resueltos paso a paso sobre continuidad y derivabilidad, y 
diferentes ejemplos de representación de funciones. 
• Test interactivos. 
• Actividades de refuerzo y actividades de ampliación. 
- Recordatorios y observaciones: Estas aparecen durante el desarrollo de la 
unidad y destacan los aspectos más importantes de la misma. 
- Códigos QR: Se pueden encontrar en el libo físico, y al escanearlos dan acceso a 
los recursos del libro Dual mencionados anteriormente. 
 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 24 Universidad de Jaén 
II.2.3.- COMPARACIÓN ENTRE EDITORIALES Y EL CURRÍCULO, VALORACIÓN Y 
ELECCIÓN DEL LIBRO DE TEXTO TRAS ANÁLISIS PREVIO. 
Tras analizar los libros de las editoriales de Anaya y Oxford escogidos con el objetivo de 
compararlos entre sí y con el currículo de los contenidos a la asignatura Matemáticas I 
de 1º Bachillerato de la Modalidad de Ciencias, que como vimos anteriormente viene 
establecido en la ORDEN de 15 de enero de 2021 del BOJA, podemos afirmar que ambas 
editoriales cumplen en cuanto al contenido con el currículo escolar de la normativa. 
Por otro lado, no solo cumplen con este currículo establecido por la normativa, sino que, 
además, cada editorial amplía conceptos en cuanto al desarrollo de la unidad. 
En este caso, comparando ambos libros, la editorial que más amplía conceptos es 
Oxford, ya que introduce la tasa de variación media e instantánea, cálculo de derivadas 
de más funciones, derivadas laterales, continuidad y derivabilidad, derivadas sucesivas, 
crecimiento y decrecimiento de un función, concavidad y convexidad y la optimización. 
En contraposición, la editorial Anaya amplía conceptos como la tasa de variación media, 
cálculo de derivadas de una función en varios puntos, obtención de las abscisas en las 
cuales la derivada tiene un cierto valor, obtención de las abscisas de los puntos 
singulares y cálculo de tramos donde la curva crece o decrece. 
Comprobamos que los libros de ambas editoriales cumplen con los contenidos exigidos 
por la normativa, pero en cuanto a contenidos ampliados, destaca el libro de Oxford en 
su edición de 2015, ya que lo hace en mayor medida. Estos contenidos ampliados, sobre 
todo las aplicaciones de las derivadas, la tasa de variación media e instantánea, y el 
cálculo de derivadas de más funciones que las propuestas por Anaya, que serán 
fundamentales en futuros cursos de la vida académica de los estudiantes. 
En la siguiente tabla podemos ver la comparación de los contenidos de la unidad 
didáctica entre el currículo de la normativa, y los libros de la editorial de Anaya 2017 y 
Oxford 2015, pudiendo ver en los epígrafes anteriores, dedicados al análisis de cada 
libro, más detalladamente estos conceptos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 25 Universidad de Jaén 
NORMATIVA ANAYA 2017 OXFORD 2015 
 
 
BLOQUE III. ANÁLISIS 
BLOQUE IV. ANÁLISIS BLOQUE III. ANÁLISIS Y 
ESTADÍSTICA 
UNIDAD 12. INICIACIÓN AL 
CÁLCULO DE DERIVADAS. 
APLICACIONES 
 
UNIDAD 11. DERIVADAS 
 
 
 
Derivada de una función en 
un punto. 
 
Interpretación geométrica de 
la derivada de la función en 
un punto. 
 
Recta tangente y normal. 
 
Función derivada. 
 
Cálculo de derivadas. 
 
Regla de la cadena. 
 
Representación gráfica de 
funciones. 
 
 
Crecimiento de una función 
en un intervalo. 
 
Crecimiento de una función 
en un punto. Derivada. 
 
Función derivada de otra. 
 
Reglas para obtener las 
derivadas de algunas 
funciones. 
 
Regla de la cadena. 
 
Utilidad de la función 
derivada. 
 
Representación de funciones 
polinómicas. 
 
Representación de funciones 
racionales. 
 
 
 
 
Tasa de variación. 
 
Derivada de una función en 
un punto. 
 
Recta tangente y normal. 
 
Continuidad y derivabilidad. 
 
Función derivada. 
 
Regla de la cadena. 
 
Aplicaciones de las 
derivadas. 
 
Representación gráfica de 
funciones. 
 
 
Tabla 2.- Comparación de los contenidos de la unidad didáctica entre el currículo de la normativa, y los libros de la 
editorial de ANAYA 2017 y OXFORD 2015. FUENTE: Elaboración propia. 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 26 Universidad de Jaén 
En relación con el desarrollo de la propia unidad, ambas editoriales son parecidas, pero 
Oxford va más allá con algunas demostraciones sencillas sobre las fórmulas y métodos 
de derivación que utilizarán en la resolución de ejercicios. Además, al abordar más 
contenido, el desarrollo de la unidad es más completo que el realizado por Anaya. 
En cuanto a las actividades que proporciona cada editorial, ambos son bastantes 
completos, pero vuelve a destacar Oxford al tener más variedad y cantidad de ejercicios 
(tanto propuestos como resueltos), actividades en diferentes niveles de dificultad, por 
indicar la solución de cada ejercicio para que pueda comprobarse una ver realizados, 
por proponer actividades de refuerzo y ampliación, en comparación con el libro de la 
editorial de Anaya. 
También añadiría que los enunciados de los ejercicios y problemas de Oxford son de 
una aplicación más real, ya que en muchas ocasiones son situaciones de la vida 
cotidiana, lo que favorece la comprensión del concepto de derivada por parte del 
alumnado y que entiendan que tienen una aplicación, pudiéndose comprobar esto 
desde el principio de la unidad de ambos libros, ya que en la primera página de la unidad 
Anaya propone un resumen de la historia del descubrimiento de las derivadas, y Oxford 
un texto sobre un circuito de carreras y el cálculo de velocidades mediante derivadas. 
Además, en cuanto a los recursos que nos proporcionan, Oxford presenta una mayor 
integración y uso de herramientas TIC, como con su libro Inicia-Dual, uso de códigos QR, 
con vídeos tutoriales o con ejercicios realizados con GeoGebra, lo que favorece en la 
hora de aplicar las metodologías docentes vinculadas al uso de los recursos TIC del aula, 
y que veremos en el capítulo IV.- Fundamentación didáctica. 
También destacaría que el aspecto visual del libro de Oxford resulta más atractivo y 
estético en comparación con el de Anaya, así como mantiene un lenguaje más 
entendible y comprensible a ojos del estudiante. 
Por lo tanto, y a modo de resumen, por todos estos motivos expuestos y justificados 
anteriormente, mi elección personal del libro de texto en el que me apoyaré enla 
formación de mi metodología didáctica para el desarrollo de la unidad y que podrá verse 
en el epígrafe V.10.- Metodología del capítulo V.- Proyección didáctica, será el libro de 
la editorial Oxford en su edición de 2015. 
 
 
 
Juan Manuel Cañas Crespo Trabajo Fin de Máster - Derivadas de 1º Bachillerato Científico 
Centro de Estudios de Postgrado 27 Universidad de Jaén 
CAPÍTULO III.- FUNDAMENTACIÓN EPISTEMOLÓGICA. 
En el presente capítulo del Trabajo Fin de Máster, estudiaremos y desarrollaremos, bajo 
un rigor importante matemático y académico, los contenidos pertenecientes al Tema 
26.- Derivada de una función en un punto. Función Derivada. Derivadas sucesivas. 
Aplicaciones, correspondiente al temario que rige el procedimiento de ingreso, 
adquisición de nuevas especialidades y movilidad para el Cuerpo de Profesores de 
Enseñanza Secundaria Obligatoria y Bachillerato en la espacialidad de Matemáticas, 
aprobado por la ORDEN de 9 de septiembre de 1993 del Boletín Oficial del Estado 
(BOE). 
III.1.- INTRODUCCIÓN HISTÓRICA. 
El concepto de derivada surge tras varios siglos de esfuerzos centrados en la resolución 
de dos problemas: dibujar la recta tangente a una curva y encontrar la velocidad de un 
movimiento no uniforme. 
Estos conceptos mencionados anteriormente eran del interés de los matemáticos de la 
antigüedad, pero hasta el siglo XVI el método de resolución de cada problema de esta 
clase tenían un carácter extremadamente específico y aplicado a situaciones de la vida 
real, y no como se consideraba como un campo de estudio independiente. 
La acumulación de todos los descubrimientos que se dieron posteriormente, y que 
analizaremos a continuación, hizo que se estipulara un sistema teóricamente completo 
en el siglo XVII, en gran parte gracias a los trabajos de Newton y Leibniz. 
III.1.1.- TEORÍA DE LAS FLUXIONES DE NEWTON. 
En el método de las fluxiones se estudian magnitudes variables, introducidas como 
abstracción de las diferentes formas del movimiento mecánico continuo, se denominan 
fluentes. Todas las fluentes son variables dependientes que dependen del tiempo. 
A continuación, se introdujeron las velocidades de la corriente de las fluentes, que son 
las derivadas con relación del tiempo, conocidas como fluxiones. Además, como la 
fluxión constituye una variable, entonces se puede encontrar fluxiones de fluxiones. 
III.1.2.- CÁLCULO DIFERENCIAL DE LEIBNIZ. 
Leibniz (1646-1716) había llegado, hacia el año 1676, a la misma conclusión que había 
llegado Newton varios años antes, y era que estaba en posesión de un método de gran 
importancia por su generalidad y versatilidad. Ya fuera una cierta función racional o 
irracional, algebraica o trascendente, pero se hacía necesario desarrollar un lenguaje y 
una notación adecuados para tratar estos problemas. Leibniz tuvo siempre una fina 
apreciación de la importancia que tiene una buena notación para ayudar a los procesos 
del pensamiento, y la que eligió en el caso del cálculo diferencial era especialmente 
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afortunada, ya que después de varios ensayos se decidió a representar por dx y dy las 
diferencias más pequeñas posibles, o diferenciales, de la x y de la y. 
En contraposición, la manera de razonar de Newton siempre estuvo mucho más cercana 
a la fundamentación moderna del cálculo que Leibniz, pero la eficacia de la notación 
diferencial y lo plausible de las ideas de Leibniz, provocaron una tendencia a aceptar 
mejor la idea de diferencial que la idea de fluxión. 
III.1.3.- PRIMERA DEFINICIÓN DEL CONCEPTO DE DERIVADA DE BOLZANO. 
Bolzano (1781-1848) fue el primero en definir la derivada f(x) como la cantidad, f´(x), a 
la cual se acerca indefinidamente la razón ( ) ( )f x x f x
x
+  −

, mientras x se acerque a 0, 
con valores positivos o negativos. 
Bolzano insistió en que f´(x) no era un cociente de ceros o una razón de cantidades 
evanescentes sino un número al cual tendía la razón anterior. 
III.1.4.- LECCIONES DE ANÁLISIS COMPLEJO DE CAUCHY. 
Más tarde, Cauchy (1789-1857), en su resumen de Lecciones De Análisis Complejo, 
definió la derivada de la misma manera que Bolzano. Entonces unificó esta noción con 
la diferencia de Leibniz defendiendo dx como cualquier cantidad finita y dy como f´(x)dx. 
La idea de Cauchy de relacionar el concepto de derivada con el de límite nos ha 
permitido en la actualidad poder trabajar con soltura en el campo de las derivadas. 
III.2.- PROBLEMAS HISTÓRICOS DE LAS DERIVADAS. 
El uso y aplicación del concepto de derivadas ha representado una herramienta 
fundamental en el cálculo de ciertos problemas o situaciones de diferentes campos de 
estudio. A continuación, pasaremos a repasar los problemas históricos en los que se ha 
usado las derivadas para su resolución. 
III.2.1.- CÁLCULO DE VELOCIDADES. 
Sea s=f(t) una función que expresa la dependencia de la distancia s recorrida por un 
punto material, respecto del tiempo t. Para encontrar la velocidad en el instante t=t0 
consideremos el intervalo de tiempo [t0, t0 + h] para un incremento de tiempo h≠0. En 
este intervalo el punto recorrerá la distancia: Δs = f(t0+h) - f(t0). 
La velocidad media en esta parte del recorrido dependerá de h de tal forma que: 
 0( ) ( )o
m
f t h f ts
v
h h
+ −
= = 
Así se representará la velocidad instantánea en el punto t0 con mayor precisión a medida 
que h sea cada vez más pequeño. De aquí se sigue que la velocidad instantánea en el 
tiempo t0 será: 
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0 0
0
( ) ( )
lim
h
f t h f t
v
h→
+ −
= 
Sin embargo, para calcular la velocidad de diferentes clases de movimientos, debemos 
encontrar un procedimiento de calcular este límite para diferentes funciones f(t). 
III.2.2.- CÁLCULO DE LA RECTA TANGENTE. 
Sea la curva C la gráfica de una función y=f(x), y sea A el punto que, perteneciendo a la 
curva C, tiene como abscisa x0. 
Para definir la tangente, consideremos sobre la curva C otro punto B/ A≠B, de abscisa 
x0+h. 
Dibujemos la secante AB y notemos por β el ángulo que forma con el eje x. 
Dejemos ahora que el punto B se aproxime al A a lo largo de la curva C. 
Si la secante correspondiente AB tiende a una posición límite, entonces la recta T que 
corresponde a esta posición límite se llama tangente en el punto A. 
Evidentemente, el ángulo α formado por la recta T con el eje x debe ser igual al valor 
límite del ángulo variable β. 
0 0( ) ( )f x h f xtg
h

+ −
= 
0 0
0
( ) ( )
lim lim
B A h
f x h f x
tg tg
h
 
→ →
+ −
= = 
 
 
Ilustración 1.- Gráfica de la recta tangente. FUENTE: Elaboración propia, GeoGebra. 
III.3.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 
En este apartado veremos los conceptos más importantes relacionados con la derivada 
de una función en un punto. 
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III.3.1.- DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 
Definición: Sea la función real de variable real, :f A→ , y supongamos un punto 
'a A A  , por tanto, el punto a es un punto de A y al mismo tiempo es un punto de 
acumulación de  A a− . Consideramos ahora la función  :af A a− → definida con 
la siguiente expresión: 
 
( ) ( )
(x) ,a
f x f a
f x A a
x a
−
=   −
−
 
Entonces, se dice que la función f es derivable en el punto a cuando la función af tiene 
límite, y lo notamos como '()f a . Por tanto: 
( ) ( )
'( ) lim ( ) lima
x a x a
f x f a
f a f x
x a→ →
−
= =
−
 
Por tanto, y según comprobamos de esta definición, se deduce fácilmente que no tiene 
sentido hablar de derivada de una función en puntos aislados de su propio conjunto de 
definición, sino que sólo tiene sentido hablar de derivada de una función en puntos de 
su dominio que sean a la vez puntos de acumulación del mismo. Además, para que exista 
dicha derivada de f en el punto a, debe existir dicho límite y tiene que ser finito. 
Por contrario, si en la expresión anterior hacemos un cambio de variable, de tal forma 
que tenemos x h a= + , obtenemos otra definición equivalente de derivada de una 
función en un punto, que será: 
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f a h f a
f a
h→
+ −
= 
 
Ilustración 2.- Grafica de la interpretación de la derivada de una función en un punto. FUENTE: Mingorance, M. 
(2020), GeoGebra. 
Por tanto, podemos deducir que la derivada en un punto de una función coincide con el 
cociente incremental obtenido cuando se aproxima lo máximo posible la variable x al 
punto a, haciéndose el intervalo h lo más pequeño que se desee. 
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III.3.2.- DERIVADAS LATERALES Y CONDICIONES DE DERIVABILIDAD. 
En el epígrafe anterior, hemos hablado de la variable h. Pues bien, dicha variable es un 
incremento y, por tanto, puede tomar valor positivo o negativo. El incremento h puede 
situarse a la derecha o izquierda del punto a, apareciendo el concepto de derivadas 
laterales 
Definición: Sea A un conjunto de números reales, donde tenemos que 'a A A  y 
   : ; :a aA x x a A x x a
− +=   =   , y la función  :af A a− → viene dada por: 
 
( ) ( )
( ) ,a
f x f a
f x x A a
x a
−
=   −
−
 
Entonces, si esta tiene límite por la izquierda (derecha) en el punto a, y se dice que f es 
derivable por la izquierda (derecha) en el punto a y la derivada por la izquierda (derecha) 
de f en a será el límite por la izquierda (derecha) de af en el punto a. 
Si utilizamos la variable h, se dice que si el cociente 
( ) ( )f a h f a
h
+ −
 tiene límite cuando 
h tiende a 0 para valores menores de 0, es decir 
0
( ) ( )
lim
h
f a h f a
h−→
+ −

0
( ) ( )
'( ) lim
h
f a h f a
f a
h−
−
→
+ −
= se dice que f tiene derivada por la izquierda en el punto a, 
'( )f a− . 
De forma análoga, podríamos definir la derivada por la derecha de f en el punto a, 
'( )f a+ . 
De lo anterior, se deduce una condición necesaria y suficiente para que exista la derivada 
de una función en un punto, así para que la función f sea derivable en el punto a deben 
existir y coincidir los limites laterales: 
'( ) '( ) '( )f a f a f a− += = . 
El estudio de las derivadas laterales en un punto es útil, sobre todo en funciones que 
tienen distintas expresiones analíticas a ambos lados del punto. El siguiente ejemplo es 
un caso típico de lo visto anteriormente: 
Sea :f → ; ( )f x x= ; 
- 0
 0
x si x
x
x si x

= 

 
Queremos estudiar la derivabilidad de dicha función en x=0, por tanto, debemos calcular 
sus derivadas laterales. 
0 0
( ) (0)
'(0 ) lim lim 1
0x x
f x f x
f
x x− −
−
→ →
− −
= = = −
−
 
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0 0
( ) (0)
'(0 ) lim lim 1
0x x
f x f x
f
x x+ −
+
→ →
−
= = =
−
 
Como se puede observar, en este caso existen las derivadas laterales de f pero no 
coinciden, por lo que podemos afirmar que no cumple la condición de derivabilidad en 
x=0. 
III.3.3.- RELACIÓN ENTRE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD. 
Teorema: Sea la función :f A→ con A , si f es derivable en a A , entonces es 
continua en a. Por tanto, se puede afirmar que toda función derivable es continua. 
Demostración: Si una función f es continua, debe de verificarse que lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
= : 
( ) ( )
lim ( ) lim[ ( ) - ( ) ( )] lim[ ( ) ( )]
x a x a x a
f x f a
f x f x f a f a x a f a
x a→ → →
−
= + = − + =
−
 
=
( ) ( )
lim lim( ) ( )] '( ) 0 ( ) ( )
x a x a
f x f a
x a f a f x f a f a
x a→ →
−
= − + =  + =
−
 
Sin embargo, una función que sea continua no tiene que ser derivable. 
Anteriormente hemos visto como la función :f → ; ( )f x x= ; 
- 0
 0
x si x
x
x si x

= 

 
no era derivable en x=0, pero si es continua en dicho punto. 
III.3.4.- DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. 
Definición: A partir de las deducciones anteriores, y siendo la función :f A→ , con 
A cuando A es un intervalo abierto, si f es derivable en todos los puntos de A, la 
derivada de dichos puntos está definida en el intervalo A y viene dada por la derivada 
de f, a la cual llamamos f’. 
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
= 
Interpretación geométrica: Si en la gráfica de una función f trazamos una recta secante 
entre dos puntos de la función, que serán ( , ( ))P a f a y ( , ( ))Q x f x , tenemos: 
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Ilustración 3.- Gráfica de la interpretación de la derivada de una función en un punto y la recta secante a la función. 
FUENTE: Mingorance, M. (2020), GeoGebra. 
En el punto P calculamos la pendiente, n, de la recta secante y comprobamos que 
coincide con el cociente incremental: 
( ) (a)f x f
n
x a
−
=
−
 
Pues bien, si aplicamos lo visto anteriormente en la definición de derivada, y dicho 
incremento h se va reduciendo lo máximo posible de forma que el punto Q se va 
acercando a P a lo largo de la curva de f, llegará un momento que cuando h tiende a 0, 
y la recta que antes cortaba a la curva en dos puntos, ahora sólo lo hace en uno, en el 
punto P, siendo en ese caso una recta tangente a la curva, cuya pendiente coincide con 
la derivada de f en a: 
( ) ( )
'( ) lim
x a
f x f a
m f a
x a→
−
= =
−
 
0
( ) ( )
'( ) lim
h
f a h f a
m f a
h→
+ −
= = 
Por tanto, si queremos calcular la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto 
dado, podemos aplicar la definición anterior para obtener la pendiente de la misma y 
aplicando la ecuación punto pendiente de la recta, obtendríamos fácilmente la ecuación 
de dicha recta tangente. 
Ecuación punto-pendiente: Sea el punto ( , ( ))P a f a y la pendiente m, la recta que se 
obtiene con esos datos sería: 
: ( ) ( )t y f a m x a= + − 
De modo que, como ya hemos dicho varias veces anteriormente, la pendiente m 
coincide con la derivada en la abscisa de ese punto, siendo '( )m f a= . 
La ecuación de la recta tangente (t) se puede describir como: : ( ) '( ) ( )t y f a f a x a= +  − 
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Ilustración 4.- Gráfica de la interpretación de la derivada y la recta tangente a la función en un punto. FUENTE: 
Martín Mingorance, M. (2020), GeoGebra. 
III.4.- ÁLGEBRA DE LAS DERIVADAS. 
En este epígrafe se analiza el comportamiento de las derivadas ante diferentes 
operaciones algebraicas y composiciones entre funciones. 
III.4.1.- DERIVADA DE SUMA DE FUNCIONES. 
Si las funciones f y g son derivables en el punto ( )a D f , entonces la operación f+g es 
derivable en dicho punto a, de tal forma: 
( ) '( ) '( ) '( )f g a f a g a+ = + 
Demostración: 
 
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) '( ) lim lim
h h
f a h g a h f a g af g a h f g a
f g a
h h→ →
+ + + − ++ + − +
+ = = = 
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
lim lim lim
h h h
f a h f a g a h g a f