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UNA EXPERIENCIA MOTIVADORA PARA EL APRENDIZAJE DE LOS 
POLINOMIOS DE TAYLOR CON APOYO DE SOFTWARE 
 
Sebastián Correa Otto ; Susana Beatriz Ruiz 
 s.correaotto@gmail.com ; sbruizr@yahoo.com.ar 
 
Departamento de Geofísica y Astronomía de la F.C.E.F. y N. – UNSJ 
 
 
RESUMEN: 
En el presente trabajo se muestran resultados de una experiencia didáctica, con alumnos 
del Departamento de Geofísica y Astronomía de la FCEFyN de la UNSJ, obtenidos a 
través del desarrollo de una guía de actividades elaborado en la cátedra Análisis 
Matemático II, donde los alumnos guiados por los docentes de la cátedra, trabajan en 
forma colaborativa y aplican conceptos del Calculo Diferencial en la resolución de un 
problema correspondiente al área Física de interés para las carreras de Licenciatura en 
Geofísica y Licenciatura en Astronomía. En la resolución tienen como recurso de apoyo el 
software Maxima para agilizar cálculos y realizar análisis gráficos. El objetivo propuesto 
fue poder brindar experiencias motivadoras, que favorezcan al logro de aprendizajes 
significativos en la temática “Polinomios de aproximación de Taylor”. El tema específico 
abordado a través de la guía es la “Radiación de Cuerpos Negros”. Es una experiencia con 
resultados alentadores tanto para docentes como para los alumnos. 
 
 
INTRODUCCION 
Diversos autores definen la tarea del docente en el aula como el de facilitador del 
aprendizaje de sus estudiantes. No se puede entender su trabajo al margen de lo que sus 
alumnos aprenden [1]. Un rasgo fundamental del aprendizaje es que las estructuras de 
conocimiento complejo se construyen a partir de piezas más básicas de conocimiento y de 
modo jerárquico. Si están bien construidas, estas estructuras proporcionan un conocimiento 
que puede transferirse a situaciones nuevas, lo que constituye una competencia crítica del 
siglo XXI [2]. El aprendizaje significativo depende de las motivaciones, intereses y 
predisposición del aprendiz. No se trata de un proceso pasivo, ni mucho menos, sino que 
requiere una actitud activa y alerta que posibilite la integración de los significados a su 
estructura cognitiva (Ausubel, 2002) [3]. 
Claxton (1984) expresa que “motivar es cambiar las prioridades de una persona”, se 
trataría de partir de los intereses y preferencias de los alumnos para generar otros nuevos. 
Para ello la enseñanza debe tomar como punto de partida los intereses de los alumnos, 
buscar una conexión con su mundo cotidiano, pero con la finalidad de trascenderlo, de ir 
más allá, e introducirlos, casi sin saberlo, en la tarea científica [4]. 
Por otro lado, en el mundo actual, se observa que gran parte de los intereses y preferencias 
de los alumnos están atravesados por las Tecnologías de la Información y la Comunicación 
(TICs), modificando los patrones de acceso al conocimiento y de interacción interpersonal. 
Las TIC´s se han ido incorporando en los diseños curriculares de todos los niveles de la 
enseñanza formal y no formal [5], tanto en el nivel inicial, medio y superior. Los 
profesionales en los distintos ámbitos de trabajo emplean recursos TIC´s para su 
desempeño. Son recursos necesarios para el avance de la ciencia y humanidad, y en 
particular para la Geofísica y Astronomía. 
Respecto a la ciencia Matemática, en las carreras universitarias, además de desarrollar el 
pensamiento lógico, algorítmico y heurístico, en el marco del desarrollo científico-
mailto:lamallea@gmail.com
mailto:sbruizr@yahoo.com.ar
tecnológico en el que se está inmerso, debe desarrollar las capacidades de modelización, 
análisis y síntesis [6]. El lenguaje del Análisis Matemático para funciones de una o varias 
variables es adaptable a muchos contextos, por la generalidad de sus objetos de estudio, 
por ello forma parte en el planteo de modelos y la determinación de soluciones de 
situaciones de la misma Matemática y otros campos científicos como son la Geofísica y la 
Astronomía. 
El presente trabajo se enmarca en este contexto. Se muestra una experiencia de cátedra 
realizada en la asignatura “Análisis Matemático II” con alumnos del segundo año de las 
carreras de Lic. en Astronomía y Lic. en Geofísica de la FCEFN de la UNSJ obtenidos a 
través del desarrollo de una Guía de Actividades denominada “Trabajo de Investigación 
con ayuda de software N°1: Aproximación de funciones. Polinomios de Taylor”, a partir 
del cual los alumnos aplican conceptos del Análisis Matemático en la resolución de un 
problema físico de interés para las carreras, con ayuda de software. El objetivo propuesto 
fue: poder brindar experiencias motivadoras, que favorezcan al logro de aprendizajes 
significativos, donde el alumno pueda vincular conceptos del Calculo Diferencial con los 
correspondientes del área Física, resolviendo problemas con ayuda de software que 
resulten de interés para ambas carreras. 
En la experiencia se elige trabajar con el software Maxima, como recurso didáctico para 
los cálculos y las interpretaciones gráficas, ya que es un software libre y simple de utilizar 
(similar a MAPLE). Maxima corresponde al conjunto de Sistemas Algebraicos de 
Cómputo (SAC) apropiado para la enseñanza del Análisis Matemático. 
 
 
MATERIAL DIDACTICO ELABORADO PARA EL ALUMNO 
En el material de actividades elaborado para alumnos se distinguen las siguientes partes: 
a) Presentación de un tema matemático específico a abordar y los objetivos de la Guía; 
b) Breve introducción sobre el tema físico a investigar, de interés para ambas carreras, 
correspondiente a la asignatura Física IV de los respectivos planes de estudio. 
c) Desarrollo secuencial de temas y ejercicios asociados, donde los alumnos se los invita a 
trabajar en forma manual utilizando la teoría matemática, y también a investigar con la 
ayuda del software Maxima. 
d) Espacio para el análisis, debate y reflexión, por parte del alumno, de las tareas 
desarrolladas y el material de trabajo empleado en la experiencia. 
 
 
MODELO DE GUÍA DE ACTIVIDADES 
El modelo de guía de actividades propuesta para alumnos es el siguiente: 
Trabajo de Investigación con ayuda de Software N°1. 
Aproximación de funciones. Polinomios de Taylor 
Cátedra: Análisis Matemático II - Lic. Geofísica/Lic. Astronomía - UNSJ - FCEFyN 
Resumen: El objetivo de esta guía es utilizar polinomios de Taylor en un ejemplo práctico 
aplicado al ámbito de la Astronomía y la Geofísica, utilizando los resultados para trabajar 
con el software Maxima como herramienta de visualización. De esta forma, se pretende 
desarrollar en un mismo ámbito conceptos matemáticos, físicos y computacionales de 
forma integrada para llegar a un resultado final. 
Introducción: El tema de esta guía práctica es Radiación de Cuerpos Negros, que será 
estudiado en profundidad en la materia Física 4. Se denomina cuerpo negro a un objeto 
ideal que tenga la propiedad de absorber todas las radiaciones que sobre él inciden, 
cualesquiera sean las longitudes de onda de las mismas, no reflejando ningún tipo de 
radiación. Su importancia radica en que es posible deducir, como consecuencia de la 
propiedad antes mencionada, la forma en que este cuerpo irradia en función de la longitud 
de onda y de su temperatura. En Astronomía, la emisión de las estrellas se aproxima a la de 
un cuerpo negro. La temperatura asociada se conoce como Temperatura Efectiva, una 
propiedad fundamental para caracterizar la emisión estelar. La radiación cósmica de fondo 
de microondas proveniente del Big Bang se comporta casi como un cuerpo negro. Las 
pequeñas variaciones detectadas en esta emisión son llamadas anisotropías y son muy 
importantes para conocer las diferencias de masa que existía en el origen del universo. La 
radiación de Hawking es la radiación de cuerpo negro emitida por agujeros negros [7]. La 
emisión de gas, polvo cósmico y discos protoplanetarios también se asocia con cuerpos 
negros, principalmente en la regióninfrarroja y milimétrica del espectro electromagnético. 
Son importantes herramientas para buscar sistemas planetarios. 
 
1. Ley de Stefan-Boltzmann - Función de Planck 
Podríamos preguntarnos: ¿Cuál es la radiancia de un cuerpo negro a temperatura T? En 
otras palabras, podríamos preguntarnos cuál es la energía por unidad de tiempo, por unidad 
de área, irradiada en todas las longitudes de ondas hacia un semi-espacio, por un cuerpo 
negro a temperatura T? Para esto utilizaremos la ley de Stefan-Boltzmann, cuya expresión 
matemática es: (1) 
en la cual representa la radiancia del cuerpo negro, T es la temperatura absoluta y 
una constante cuyo valor es 5;67x10
-8
 Joules seg
-1
m
-2
° K
-4
. 
Se puede trabajar esta expresión hasta obtener la intensidad específica integrada del cuerpo 
negro ( : (2) 
Ahora, si quisiéramos saber cuánto vale la intensidad especifica monocromática de dicho 
cuerpo, podemos utilizar el resultado encontrado por Max Planck. Si llamamos a 
la intensidad específica monocromática de un cuerpo negro a temperatura T, la Ley de 
Planck es: (3) 
en la cual C1 = 1.1909x10
-12
 Watt cm
2
sr
-1
 = 2hc
2
, siendo h la constante de Planck, c la 
velocidad de la luz y C2 = 1.4398cm °K = hc/k, donde k es la constante de Boltzmann. 
Es importante notar que la función de Planck depende de y de la temperatura; es pues una 
función de dos variables. Si queremos saber cómo se comporta dicha función al variar la 
temperatura, debemos representarla gráficamente para diferentes valores de T. Sean, por 
ejemplo, dos curvas de Planck: una correspondiente a una temperatura de 10000°K y la 
otra a 5000°K (Figura: 1). 
 
Figura 1: Curvas de Planck para diferentes temperaturas 
 
1.1. Ejercicio 1: Utilizar Maxima para graficar dos curvas de Planck correspondientes a T 
=7500°K y T =2500°K. Comparar que sigan la tendencia de las curvas en la Figura: 1. 
Sugerencia: Descarga el software Maxima desde su página fuente: 
http://maxima.sourceforge.net/es/download.html. 
Consultar http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/es/maxima_12.html para 
información sobre gráficos en Maxima. Utilizar comando plot2d. 
 
2. Aproximaciones a la Ley de Planck 
La Ley de Planck puede expresarse tanto en función de y T, como en función de y T. 
Usando la ecuación de onda: y tenemos: 
 (4) 
Para la región infrarroja del espectro, o bien para las ondas de radio, es válida la 
desigualdad , debido a esto, es posible aproximar la función exponencial en el 
denominador de la ecuación (4). 
2.1. Ejercicio 2 Determinar el polinomio de Taylor de 2
do 
grado de la exponencial de la 
expresión (4) y reemplazar en la misma. Comprobar que se llega a la expresión: 
 (5), la cual se conoce como aproximación de Rayleigh-Jeans. Esta 
expresión constituye una buena aproximación a la Ley de Planck para las ondas de radio y 
la región infrarroja del espectro. 
2.2. Ejercicio 3 Realizar la aproximación del Ejercicio 2 utilizando Maxima. 
Sugerencia: Consultar el Manual de uso de Maxima y wxMaxima en asignaturas de cálculo 
diferencial de J.A. Vallejo Rodriguez de la UASLP: 
http://euler.us.es/~renato/clases/maxima/manualesPDF/ 
ManualMaximaCalculo.pdf, a partir de la página 47. Usar el comando taylor. 
2.3. Ejercico 4 Graficar curvas con Maxima para T =7500°K y T =2500°K usando la 
aproximación 5 para el infrarrojo y comparar con las curvas del Ejercicio 1 para el espectro 
completo. 
 
3. Leyes del desplazamiento de Wien 
La primera ley de Wien se expresa de la siguiente manera: , en la cual C es 
una constante y representa la longitud de onda correspondiente al máximo de emisión 
de energía de una curva de Planck a temperatura T. 
3.1. Ejercicio 5 La Ley de Planck (3) con las constantes explicitadas es: 
(6) 
Para encontrar el valor de para el cual la función de Planck alcanza su máximo valor, 
derivar la ecuación 6 respecto de e igualar a 0. Comprobar que se llega a la expresión: 
 (7) 
 
3.2. Ejercicio 6 Efectuando la sustitución en la ecuación (7), se obtiene: 
5 - x = 5e
-x
 (8) 
El primer miembro es una recta de la forma y = 5-x, mientras que el segundo es una 
función exponencial y = 5e
-x
. El valor de x que soluciona la ecuación es la intersección de 
ambas curvas. 
Usando Maxima, graficar ambas curvas y encontrar el valor aproximado de x para el cual 
es máximo, y por lo tanto la función de Planck alcanza su máximo. 
 
4. Aspectos positivos y negativos de la experiencia a través del Trabajo de 
investigación 
A continuación algunas preguntas en cuanto a la resolución de este práctico. 
a) Encontraste muy difícil de resolver esta guía? 
b) El tema aplicado fue de tu interés? 
c) Consideras que utilizar un software matemático te ayuda en la resolución de los 
problemas? 
d) Te gustaría realizar más guías similares a esta? 
e) Listar aspectos positivos y negativos: 
g) Espacio para expresar comentarios o sugerencias. 
 
 
ACTIVIDADES Y RESULTADOS DURANTE LA EXPERIENCIA 
En la experiencia, las actividades para alumnos se organizaron en tres instancias. En la 
primera, los alumnos asistieron a una clase áulica donde el docente responsable de la 
asignatura Análisis Matemático II, mediante técnicas de preguntas guiadas, recordaron el 
concepto de polinomios de aproximación de Taylor y Mac Laurin para funciones en una 
variable, bajo qué condiciones se aplican y su significado geométrico. Luego mediante una 
clase expositiva- participativa se abordaron la generalización del concepto para funciones 
de más de una variable (campos escalares) y se realizaron algunos cálculos manuales para 
ejemplificar, calcular errores e interpretar geométrica, para el caso de funciones con dos 
variables. En la instancia siguiente, los alumnos asistieron a una clase en el gabinete de 
computación, donde se les dieron pautas generales para trabajar la guía, el objetivo de la 
misma y la forma de evaluación. Realizaron los primeros pasos en la aplicación del 
software Maxima: instalando el software en la CPU, efectuando algunos cálculos y 
gráficos, etc., bajo la propuesta inicial de comenzar a familiarizarse con el empleo de dicho 
software. Los docentes sirvieron de apoyo y guía en estas actividades. 
La tercer instancia corresponde al desarrollo de los ejercicios de la guía, por parte de los 
alumnos, bajo el modelo de actividades propuesto. Se conformaron grupos de trabajo de a 
lo sumo dos alumnos. El tiempo consignado para realizar las actividades fue de tres 
semanas, en horarios extra-áulico, con asistencia periódica de alumnos a horarios de 
consulta pre-establecidos convenientemente, donde se fueron observando los avances y 
dificultades en el trabajo y apoyando las dudas e inconvenientes que fueron surgiendo en la 
aplicación del software. Se dio la posibilidad de comunicación y consultas, entre 
integrantes de la cátedra, vía mail y whatsapp, con el objetivo de crear un ambiente de 
trabajo colaborativo entre las partes. Entre las actividades del alumnado para la resolución 
de los ejercicios se pueden listar: la lectura e interpretación de modelos físicos-
matemáticos, cálculos manuales y utilizando el software, análisis y comparación de 
gráficos, investigación sobre comandos para programar con Maxima, deducción de 
fórmulas matemáticas, etc. Las Figuras 2, 3, 4 y 5 ilustran parte del trabajo realizado en 
esta instancia por los alumnos. 
 
 
Figura 2: Resolución Ejercicio 1 Figura 3: Resolución Ejercicio 4 
 
 
Figura 4: Resolución Ejercicio 4 Figura 5: Resolución ejercicio 6 
 
Luego de la recepción y evaluación de los trabajos, se registraron las opiniones de los 
alumnos respecto a las actividades desarrolladas, bajo los interrogantes planteados en la 
guía. Los resultados obtenidos fueron los siguientes: 
 ¿Encontraste muy difícil resolver esta guía? 
 Ni particularmente difícil, niparticularmente fácil. 
 No, no nos pareció algo complejo. 
 La dificultad que se presento fue a medida que la guía fue avanzando. 
 Esta guía no me resultó muy difícil, se me presentaron complicaciones con el 
lenguaje de programación que utiliza Maxima, en muchas oportunidades tuve que 
acudir a un manual del programa. 
 Encontramos algunas dificultades en ciertos ejercicios donde no teníamos el 
conocimiento previo para resolver dichos ejercicios. Por lo tanto, recurrimos al 
manual de máxima. 
 Algunos ejercicios fueron más complejos y tuvimos que recurrir a una información 
extra. 
 ¿El tema aplicado fue de tu interés? 
 Mucho. 
 Si, como estudiantes de astronomía nos encantó por fin poder tratar un tema tan 
interesante que se ve en años más avanzados con los conocimientos que tenemos. 
 Si. 
 El tema aplicado fue de mucho interés para mí. Como estudiante de segundo año 
en Astronomía empiezo a relacionar varios temas de distintas materias y en este 
trabajo relacione la programación, la Astronomía y la matemática. El tema de este 
práctico y la manera en que se realizó el mismo me dejo muchos conocimientos 
nuevos que se relacionan entre si dando como resultado un buen trabajo de 
investigación. 
 Nos resultó interesante la utilización del programa, pero nos hubiese gustado un 
tema más relacionado al campo de la Geofísica. 
 Si. 
 ¿Encuentras que usar un software matemático te ayuda en la resolución de problemas? 
 Siempre. Es muy útil para comprobar que los ejercicios que hago a mano estén 
bien, y para visualizar problemas. 
 Sí, especialmente en los casos donde es necesario graficar. 
 Al poder utilizar un software de este tipo nos hace ahorrar muchos problemas ya 
que existen distintas ecuaciones las cuales son muy complejas y con programas 
como Maxima nos ayuda a ahorrar tiempo para la resolución de dichas ecuaciones 
complejas y difíciles de resolver. 
 Encontré este software muy completo para la resolución de problemas matemáticos 
a pesar de su dificultad a la hora de programar, como por ejemplo al ingresar 
datos. Pero opino que cada software tiene su dificultad en el primer contacto. 
Luego, con la práctica, todo resulta más fácil. 
 Sí, ya que algunos problemas son bastantes complejos y si recurrimos al programa 
nos ahorraría tiempo de trabajo. 
 Sí, es muy útil para resolver ecuaciones complejas que resolverlas en forma 
manual llevaría mucho tiempo resolverlas 
 ¿Te gustaría realizar más guías como esta? 
 Sí, pero no más de una o dos por semestre. Me gusta tomarme el tiempo para 
aprender bien el funcionamiento del programa. Sería un desperdicio que por 
apurarme a entregar trabajos no pueda investigar por mi cuenta cómo funciona el 
software. 
 Sí, pero me gustaría que dichas guías pudieran ser terminadas en la clase de 
gabinete, ya que a veces no encontramos tiempo para ponernos a realizar un 
trabajo practico. 
 Si ya que de esta manera podemos aprender más sobre herramientas de trabajo 
diferentes. 
 Sí, me gustaría realizar más guías como esta porque aprendí mucho sobre muchos 
temas. También me gustaría realizar un práctico cada unidad o cada dos unidades, 
para tener más claro cómo funciona este software. Sería interesante bajar todos 
los conocimientos que vemos en la teoría con ayuda de un software y dedicarle más 
tiempo al manejo del mismo. 
 Sí, pero que se hagan cursos aparte sobre este programa y demás. 
 Si estaría bueno, pero tratar de resolverlo en clases entre todos y no hacer un 
informe. 
 Aspectos Positivos 
 No sabía usar máxima hasta que hice este trabajo de investigación. Me resultó 
sumamente útil. 
 Los problemas tuvieron la dificultad justa a mi parecer. 
 Pudimos tratar un tema de alto interés para nosotros, abordándolo desde un 
enfoque que lo hace ver más sencillo y fácil de entender. 
 Usamos por primera vez el software Máxima y nos gustó la experiencia y cómo se 
trabaja en este. 
 Poder ver una aplicación útil del polinomio de Taylor que se relacione a nuestras 
carreras. 
 Nuevos conocimientos de la computación. 
 Mayor rapidez de cálculos difíciles. 
 Realizar un trabajo con un tema de gran interés. 
 Englobar varios temas en un solo trabajo de investigación. 
 Bajar los conocimientos, a través de un software, que se dictan en la teoría. 
 La presentación de un nuevo software muy completo y muy útil para la resolución 
de problemas matemáticos. 
 Es un software eficaz y accesible para la solución de problemas complejos. 
 Conocimientos nuevos, utilización de herramientas que facilitan el cálculo. 
 Aspectos Negativos: 
 No aprendimos a usar letras griegas, o comandos como subst() o expand(). 
 Poco tiempo para realizar el trabajo que se debe enviar. 
 Falta de tiempo. 
 Presentar todo el práctico sin tener conocimientos previos sobre el programa o el 
tema, dificulta la realización del mismo. 
 No se le dio el tiempo necesario para profundizar más el software. 
 Aplicarlo más a la práctica de la materia. 
 Falta de tiempo. 
 
En el espacio para sugerencias: un alumno expresa: “Me gustaría mucho si en futuras 
oportunidades se trataran temas, de interés para ambas carreras, correspondientes a 
física uno o dos, y así poder darles a dichos temas un enfoque matemático, acompañado 
de un software para facilitar el trabajo y de paso aprender algo nuevo.” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Vinculación de contenidos en la experiencia 
 
 
CONCLUSIONES GENERALES 
 Al concluir las instancias previstas en el desarrollo del proyecto áulico y analizar las 
respuestas obtenidas por cada grupo de trabajo, en donde se propuso un espacio de 
reflexión entre los actores “Alumnos-Docentes” se pudo valorar que: 
“Las experiencias didácticas que involucran el desarrollo de una guía ordenada de 
actividades que incluyen: el planteamiento de un caso de estudio relacionado con la carrera 
como instancia motivadora, la aplicación de saberes previos, transferencia y reflexión, la 
ayuda de software, mediante un trabajo colaborativo, les ofrece a los alumnos la 
posibilidad de integrar conceptos de distintas áreas de conocimiento y promover 
aprendizajes significativos. En el caso de la propuesta de la guía de trabajo las áreas 
involucradas fueron: el Análisis Matemático y la Física. La “Radicación de Cuerpos 
Negros” resultó un tema de gran interés general para los alumnos de las carreras de 
Licenciatura en Astronomía y Geofísica, como también la aplicación del software Maxima. 
Esta experiencia tuvo resultados muy positivos tanto para docentes como para alumnos.” 
Física: 
“Radiación de Cuerpos Negros” 
 - Ley de Stefan-Boltzmann 
 - Función de Planck 
 - Leyes del desplazamiento de Wien 
 
 Geofísica 
Análisis Matemático II 
 “Polinomios de Taylor” 
Astronomía 
Comandos del Software 
Maxima 
REFERENCIAS 
[1] Robalino Campos, M. (2015)- ¿Actor o protagonista? Dilema y responsabilidades 
sociales de la profesión docente- Revista PRELAC. N°1 junio 2015- (pag. 12)-AMF 
imprenta, Santiago de Chile, Chile, Recuperado de: 
http://unesdoc.unesco.org/images/0014/001446/144666s.pdf]. 
[2]Groff, J. (2010)- The Nature of Learning: Using Research to Inspire Practice, OECD, 
2010 - Dumont, H., Istance, D.; Benavides, F. (Eds.)-OECD- 2012. Recuperado de 
http://www.oecd.org/edu/ceri/The%20Nature%20of%20Learning.Practitioner%20Guide.E
SP.pdf 
[3] Rodriguez, M. L.(2010)- La investigación acción en educación-Ed. Octaedro- 
Barcelona- España- Recuperado de: 
https://elibros.octaedro.com/appl/botiga/client/img/10112.pdf 
[4] Pozo, J. I.; Gomez Crespo, M. A. (2006)- Aprender y enseñar ciencia. (Quinta Edición. 
Ed. Morata. Madrid. España. Recuperado de: 
https://books.google.com.ar/books?hl=en&lr=&id=aTo6TMfVEIgC&oi=fnd&pg=PA11&
ots=HkMavLtSWl&sig=Op7jURYsX0lBHbKYaPdLpwl_cPM&redir_esc=y#v=onepage&
q&f=false 
[5] Zangara, A., (2009)- Uso de nuevas tecnologíasen la educación: Una oportunidad 
para fortalecer la práctica docente- Recuperado de: 
http://www.memoria.fahce.unlp.edu.ar/art_revistas/pr.4366/pr.4366.pdf 
[6] Schoenfeld,A.(1989). La enseñanza del pensamiento matemático y la resolución de 
problemas. Academic Press, EUA. Schoenfeld, A.1989) 
[7] Clariá Olmedo, J.J. (2007). Astronomía General I: Parte Astrofísica. Córdoba, 
Argentina: Publicaciones de la Universidad Nacional de Córdoba. 
http://unesdoc.unesco.org/images/0014/001446/144666s.pdf
http://www.oecd.org/edu/ceri/The%20Nature%20of%20Learning.Practitioner%20Guide.ESP.pdf
http://www.oecd.org/edu/ceri/The%20Nature%20of%20Learning.Practitioner%20Guide.ESP.pdf
https://elibros.octaedro.com/appl/botiga/client/img/10112.pdf
https://books.google.com.ar/books?hl=en&lr=&id=aTo6TMfVEIgC&oi=fnd&pg=PA11&ots=HkMavLtSWl&sig=Op7jURYsX0lBHbKYaPdLpwl_cPM&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
https://books.google.com.ar/books?hl=en&lr=&id=aTo6TMfVEIgC&oi=fnd&pg=PA11&ots=HkMavLtSWl&sig=Op7jURYsX0lBHbKYaPdLpwl_cPM&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false
https://books.google.com.ar/books?hl=en&lr=&id=aTo6TMfVEIgC&oi=fnd&pg=PA11&ots=HkMavLtSWl&sig=Op7jURYsX0lBHbKYaPdLpwl_cPM&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

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