2022 Segundo parcial 2Cuatri Tema 3

Vista previa del material en texto

ÁLGEBRA (FCE) (71) (Cátedra: GACHE ) 
2° PARCIAL 
 
 
04/11/22 
TEMA 3 
 
 UNTAJE 1) 2 puntos 2) a) 1,5 puntos b) 0,5 puntos 3) 2,5 puntos 4 ) al 10) 0,5 cada uno 
 
 
1) Dada la familia de vectores ( ) ( ) ( ) 3 , ; ;1 , 1;1; 1 , 1; 1;1de A k k k = − − + , determinar el conjunto de los k para 
el cual los vectores del conjunto A son linealmente independientes. RESOLUCIÓN EN LA HOJA 3 
 
2) a) Hallar el subespacio de 
3 generado por los vectores ( ) ( ) 1;2;0 , 2; 1;1A = − 
 b) ¿El vector ( )0; 3;1u = − pertenece al subespacio generado por los vectores del conjunto A ?Justifique 
adecuadamente su respuesta RESOLUCIÓN EN LA HOJA 3 
 
3) Un joyero fabrica dos tipos de alhajas A y B. Las de tipo A precisan 1 gramo de oro y 1,5 gramos de plata, 
vendiéndolas a 40 mil pesos cada una. Para la fabricación de las del tipo B emplea 1,5 gramos de oro y 1 gramo de 
plata y las vende a 50 mil pesos. El orfebre tiene sólo en el taller 750 gramos de oro y 750 gramos de plata. ¿Cuántas 
joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un ingreso máximo? Resuelva empleando el método gráfico. 
RESOLUCIÓN EN LA HOJA 4 
4) Dada la siguiente función ( ); 4 2 1F x y x y= + − y la región determinada por las siguientes 
restricciones 
4
2 7 , 0
2 13
x y
x y con x y
x y
− + 

+  
 + 
 los vértices de la región de soluciones factibles son: 
 a) ( ) ( )0;0 1;5 (3,5;0)A B C  b) ( ) ( ) ( ) ( )0;0 0;4 3;7 6,5;0A B C D 
 c) ( ) ( ) ( ) ( )1;5 3;7 6,5;0 3,5;0A B C D  d) No existen soluciones factibles 
 
 
5) Una base del espacio formado por todos los puntos del plano ( ) 3; ; / 2 3 0A x y z x y z=  − + + = es: 
 
 
 
 
 
 a) ( ) ( ) 1;0;2 , 0;1; 3B = −  b) ( ) ( ) 1;0;0 , 0;1;0B = 
 c) ( ) ( ) 1;0; 2 , 0;1;3B = −  d) ( ) ( ) 1;0;2 , 0;1;3B = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) El conjunto de valores de a para que los vectores del conjunto ( ) ( ) ( ) ;0;1 , 1;1; , 0;1;0S a a= constituyan una 
base de 
3 es: 
 
 a)  1,1−  b)  1,1− − 
 c)   d)  
 
 
7) Sea la región del plano R 
0
0
3 15
3 15
2
x
y
x y
x y
x y




+ 
 − 

+ 
 y la función 5 15Z x y= + señale la respuesta correcta: 
 
 a) 15, 2máx mínZ Z= =  b) 75, 25máx mínZ Z= = 
 c) 21 , 6máx mínZ Z= =  d) Ninguna respuesta es correcta 
 
8) Dado el sistema homogéneo
2 0
2 0
2 0
kx y z
x ky z
x ky z
+ − =
+ + =
− + =





 el conjunto de valores de k para que el conjunto solución sea 
un subespacio de dimensión cero es: 
 a)  2,1−  b)  2,1 − − 
 c)  0 −  d)  
 
 
9) ¿Para qué valores del parámetro b la solución del sistema 
 0
4 2 5 7 2
x y z w
x y b z w
+ + − =

+ = − + −
es un subespacio propio de 
4 ? 
 a) 0b =  b) 1b = 
 c) 5b =  d) 5b = − 
 
 
10) El plano balance que contiene todas las posibilidades de consumo ( ); ;x y z para un presupuesto de $40.000, 
correspondiente a tres bienes, está dado por 31 2 1
80 40 100
xx x
+ + = 
 Entonces la ecuación presupuestaria es: 
 a) 80 40 100 1x y z+ + =  b) 500 1000 400 1x y z+ + = 
 c) 80 40 100 40.000x y z+ + =  d) 500 1000 400 40.000x y z+ + = 
 
 
 
 
 
 
1) Dada la familia de vectores ( ) ( ) ( ) 3 , ; ;1 , 1;1; 1 , 1; 1;1de A k k k = − − + , determinar el conjunto de los k 
para el cual los vectores del conjunto A son linealmente independientes. 
Planteamos la combinación lineal de los vectores de la familia ( ) ( ) ( ) 3 , ; ;1 , 1;1; 1 , 1; 1;1de A k k k = − − + e 
igualamos al vector ( )0;0;0 y determinamos cuál o cuáles son los valores de k, para que la familia A sea un conjunto 
linealmente independiente de 3 
( ) ( ) ( ) ( ); ;1 1;1; 1 1; 1;1 0;0;0k k k  − + − + + =
 
Operando e igualando al vector nulo, resulta el siguiente sistema de ecuaciones homogéneo 
( )
1 1 0
1 1 0
1 1 1 0
k
k k
  
  
  

+ + =
− + +
=

=
− +



+
 
Escribimos su matriz ampliada y resolvemos el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema que deberá ser 
distinto de cero
1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0
1 1 1 0 1 1 1
k k
k k k k
 
 
− +  − +  
 − − 
 
 
Desarrollamos el determinante por la primera fila por la Regla de Laplace 
( ) ( )
( ) ( )
( )  
2 2
2
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 1 1 2 2 1 1 5 0
5 5 0 0 5 5,0
k
k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k k k k k
k k k k k k k
+ − + −
− + = − + = + + − − − − + − =
− −
−
= + − − − + − = + + + + − = + 
+ = +  →    −   − −Los vectores del conjunto serán LI sólo si
 
 
 
2) a) Hallar el subespacio de 
3 generado por los vectores ( ) ( ) 1;2;0 , 2; 1;1A = − 
 Para hallar el subespacio generado planteamos la combinación lineal de los vectores del conjunto A dado 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
; ;
0 ; ;
; ;
1 2 1 2 1 0 2
2 0
1;2;0
2 1 5 2 0 0 2 5
2; 1;1
1 ;2 ; 2 ; ;1
1 2 ;
0 1 0
2
1
2
0
;
1
1
x y z
x y z
x y z
xx x x z
y y y x y x z
z z z z
 
    
    
 
 

+ =
+ =
+ =
   + = −  
     
= → −  − −  − +      
     =   
−

−
−
−
Para que el sistema no sea incompatible, es n
( ) 3
 2 5 0,
: A ; ; / 2 5 0
y x z
x y z y x z
− + =
=  − + =
ecesrio que entonces
el subespacio generado por A es
 
 
 
 b) ¿El vector ( )0; 3;1u = − pertenece al subespacio generado por los vectores del conjunto A ?Justifique 
adecuadamente su respuesta 
El vector pertenece al subespacio generado si puede expresarse como combinación lineal de los vectores del 
conjunto, de mismo modo también es posible determinar si pertenece al subespacio si verifica la condición que deben 
cumplir los vectores de este. 
Planteamos en primer término la combinación lineal del vector ( )0; 3;1u = − 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0; 3;1
0 0; 3;1
0; 3;1
1 2 0 1 2 0 1 0 2
2 1 3 0 5 3 0 0 2
0 1 1
1;2;0 2; 1;1
1
1 ;2 ; 2 ; ;1
1 2 ;2 ;
1
1
2
2
0 1 0 1
x
y
z
por lo tanto podemos co
 
    
    
 
 

+ = −
+ = −
+ = −
   + = −  
     
= → − −  − −       
  
−
   =    
−
−
−
El sistema es incompatible, 
( ) 3: A ; ; / 2 5 0
2 5 0
ncluir que no pertenece al subespacio
x y z y x z
y x z
=  − + =
− + =
Por otro lado , dado que el subespacio generado por A es
El vector para pertenecer al subespacio debería cumplir con la condición 
Co ( )0; 3;1 3 2 0 5 1 0 u = − → − −  +  ndición que no se cumple ya que siendo
 
 
3) Un joyero fabrica dos tipos de alhajas A y B. Las de tipo A precisan 1 gramo de oro y 1,5 gramos de plata, 
vendiéndolas a 40 mil pesos cada una. Para la fabricación de las del tipo B emplea 1,5 gramos de oro y 1 gramo 
de plata y las vende a 50 mil pesos. El orfebre tiene sólo en el taller 750 gramos de oro y 750 gramos de plata. 
¿Cuántas joyas ha de fabricar de cada clase para obtener un ingreso máximo? Resuelva empleando el método 
gráfico. 
Con los datos del enunciado armamos una tabla que nos permitirá plantear el problema. 
 
 
 
 
 La función objetivo es ( ) ; 40 50I x y x y= + , sujeta a las restricciones 
 1,5 750
1,5 750
, 0
x y
x y
x y
+ 

+ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A B Disponibilidad 
Oro 1 1,5 750 
Plata 1,5 1 750 
Utilidad $ 40 (en miles) $ 50 (en miles) 
 
Evaluamos la función de Ingreso en ( ) ; 40 50I x y x y= + en cada uno de los vértices de la región. 
 
( )
( )
( )
( )
0;0 40 0 50 0 0
0;500 40 0 50 500 25.000
300;300 40 300 50 300 27.000
500;0 40 500 50 0 20.000
 
 
 
I
I
I
I
=  +  =
=  +  =
=  +  =
=  +  =
 
El plan óptimo de producción será producir 300 joyas del tipo A y 300 del tipo B. Dando un ingreso máximode 
$27.000