Integrales definidas

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INTEGRALES DEFINIDAS. 
Concepto. 
 La integral definida de la función ( )f x entre y a b , ( )
b
a
f x dx∫ , es el valor del área 
del recinto delimitado por la gráfica de la función y el eje horizontal entre dos abscisas 
determinadas y x a x b= = . La función se considera que toma valores no negativos para todo 
los valores del intervalo [ ],a b . 
 Los números y a b se denominan límites de integración. La función ( )f x recibe el 
nombre de integrando y el símbolo dx se llama diferencial de x . 
 
Cálculo de una integral definida. 
 Se llama antiderivada (o primitiva) de ( )f x a la función ( )F x cuya derivada sea el 
integrando, es decir, una función tal que (́ ) ( )F x f x= . 
 La regla de Barrow establece que el valor de la integral definida entre y a b , es la 
primitiva de la función evaluada en b menos la primitiva evaluada en a . 
 Es decir, ( ) [ ( )] ( ) ( )
b b
aa
f x dx F x F b F a= = −∫ . 
 Ejemplo: Sea la función ( ) .f x x= Se quiere calcular 
2
1
xdx∫ . Usando la regla de 
Barrow resulta 
22 2 22
1
1
2 1 1,5.
2 2 2
xxdx
⎡ ⎤
= = − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ 
 
Funciones primitivas más usadas en Técnicas Cuantitativas 1. 
 Para calcula la integral definida de una función necesitamos su primitiva. Veamos a 
continuación algunas de ellas. 
 
Función, ( )f x F. Primitiva, ( )F x Función, ( )f x F. Primitiva, ( )F x 
 (constante)k kx xe xe 
nx 
1
, , 1.
1
nx n n
n
+
∈ℜ ≠ −
+
 
( )Ln x , para n = -1 
kxe 
kxe
k
 
 
Propiedades de las integrales definidas. 
 1.- La integral de la suma de dos o más funciones es igual a la suma de integrales de las 
funciones por separado. 
 ( ( ) ( )) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ . 
 2.- La integral de la resta de dos o más funciones es igual a la resta de integrales de las 
funciones por separado. 
 ( ( ) ( )) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫ . 
 3.- La integral del producto de una constante por una función es igual al producto de la 
constante por la integral dela función. 
 ( ) ( )
b b
a a
k f x dx k f x⋅ = ⋅∫ ∫ . 
 
 
 
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EJERCICIOS DE REPASO. 
 
Calcule las siguientes integrales definidas: 
∫
4
0
2dxx = 21,33; ∫
3
1
2
1 dx
x
 = 0,667; ∫ −
3
0
2 dxe x = 0,499; 
∫
2
1
53 dxx = 31,5; ( )∫ +
4
1
7 dxxx = 51,17; 
( )∫
4
1
22
3 dx
x
 = 0,562; 
( )( )∫ −+
6
0
2 35 dxxx = 108; ( )∫
4
1
2 dxxx = 24,8; ∫ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
3
1
2
3
2 dxxx = 25,778; 
( )∫ −
1
0
23 dxxx = 0,83; ( )∫ +
4
2
25 xdxx = 97,33; ( )∫ −
1
0
2965 dxxxx = 1,25; 
( )∫ +−
2
1
2826 dxxx = 21,66; ( )( )∫− −+
2
2
11 dxxx = 1,33; ( )∫ −
4
2
22 dxx = 2,67; 
( )( )∫ −+
3
0
54 dxxx = 55,5; ∫ ⎟⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
2
1
2
53 dx
xx
 = 2,5+ln8; ∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛4
1
1 dx
x
 = 2; 
∫
4
1
dxx = 4,67; ( )∫ +
1
0
12 dxx = 2; ( )∫ −
2
1
2 2 dxxx = 1,25; 
( )∫− +
1
1
24 dxx = 32,66; ( )( )∫ −+
2
0
11 dxxx = 0,667 ∫−
2
1
6dx = 18; 
∫ −
1
0
dxe x = e-1 -1; ∫ −
3
0
22 dxe x = 1-e-6 ( )∫ −
1
0
12 dxxx = 0,33.