01 Trabajo Práctico Nro 1 (REGLA DE LHÔPITAL)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 1 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(REGLA DE L'HÔPITAL) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
REGLA DE L'HÔPITAL 
En algunos cálculos de límites nos encontramos con situaciones de indeterminaciones, esta regla 
permite, en el caso de que exista la derivada de las funciones 𝑓 y 𝑔, resolver indeterminaciones 
del tipo “
0
0
” y “
∞
∞
” dado que: 
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
 
Veamos que lo anterior se lee de la siguiente forma: 
“el límite cuando 𝑥 tiende a 𝑥0 del cociente entre 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) es igual al límite cuando 𝑥 tiende 
a 𝑥0 del cociente de sus respectivas derivadas” 
Vamos a resolver algunos ejercicios. 
Ejercicio 30 
 b) 
lim
𝑥→1
𝑥3 + 𝑥 − 2
𝑥2 − 1
 
Observamos que cuando 𝑥 tiende a 1, el numerador y el denominador de la función tienden a 0, 
por lo tanto, se tiene la indeterminación “
0
0
”. El numerador y el denominador de la función pueden 
ser pensados también como funciones, entonces vamos a buscar las derivadas de dichas 
funciones y a aplicar la Regla de l’Hôpital: 
 
lim
𝑥→1
𝑥3 + 𝑥 − 2
𝑥2 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥3 + 𝑥 − 2)′
(𝑥2 − 1)′
= lim
𝑥→1
3𝑥2 + 1
2𝑥
=
3 ∙ 12 + 1
2 ∙ 1
=
4
2
= 2 
 d) 
lim
𝑥→0
sen 𝑥 − 𝑥
𝑥2
 
Podemos ver que cuando 𝑥 tiende a 0, el numerador y el denominador de la función tienden a 0, 
por lo tanto, se tiene la indeterminación “
0
0
”. El numerador y el denominador de la función pueden 
ser pensados también como funciones, entonces vamos a buscar las derivadas de dichas 
funciones y a aplicar la Regla de l’Hôpital: 
lim
𝑥→0
sen 𝑥 − 𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→0
(sen 𝑥 − 𝑥)′
(𝑥2)′
= lim
𝑥→0
cos 𝑥 − 1
2𝑥
 
Para el nuevo cociente, vemos que cuando 𝑥 tiende a 0, el numerador y el denominador tienden 
a 0, por lo tanto, se sigue teniendo la indeterminación “
0
0
”. Podemos entonces volver a aplicar la 
Regla de l’Hôpital y derivar las derivadas: 
3 
 
lim
𝑥→0
(cos 𝑥 − 1)′
(2𝑥)′
= lim
𝑥→0
−
sen 𝑥
2
= −
sen 0
2
= 0 
Entonces: 
lim
𝑥→0
sen 𝑥 − 𝑥
𝑥2
= 0 
 k) 
lim
𝑥→+∞
𝑥2
𝑒𝑥
 
Podemos ver que cuando 𝑥 tiende a +∞, el numerador y el denominador de la función tienden 
a +∞, por lo tanto, se tiene la indeterminación “
+∞
+∞
”. 
Recuerden que escribir “
∞
∞
” es una forma de generalizar todas las indeterminaciones que 
impliquen que el numerador y el denominador de una función construida como cociente de 
funciones, tiendan a infinito englobando los dos signos y sus combinaciones posibles. 
Entonces, como vimos anteriormente, el numerador y el denominador de la función pueden ser 
pensados también como funciones, entonces vamos a buscar las derivadas de dichas funciones y 
a aplicar la Regla de l’Hôpital: 
lim
𝑥→+∞
𝑥2
𝑒𝑥
= lim
𝑥→+∞
(𝑥2)′
(𝑒𝑥)′
= lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑒𝑥
 
Como vemos, se reitera la indeterminación con la que nos encontrábamos en un principio, así 
que volvemos a aplicar la regla y derivamos las derivadas: 
lim
𝑥→+∞
𝑥2
𝑒𝑥
= lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑒𝑥
= lim
𝑥→+∞
2
𝑒𝑥
= 0 
Como vemos, el numerador tiende a 2 y el denominador a +∞, entonces el cociente tiende a 0 
Otra indeterminación que se nos puede presentar es la del tipo “∞ − ∞”; en este caso hay que 
encontrar una expresión equivalente para llevarla a una indeterminación “
0
0
” o “
∞
∞
” para poder 
aplicar la Regla de l’Hôpital. Veamos el siguiente ejemplo: 
 m) 
lim
𝑥→0
(
1
𝑥
−
1
sen 𝑥
) 
Como vemos, estamos en una indeterminación del tipo “∞ − ∞". Resolvamos la resta: 
lim
𝑥→0
(
1
𝑥
−
1
sen 𝑥
) = lim
𝑥→0
sen 𝑥 − 𝑥
𝑥 sen 𝑥
 
Ahora vemos que estamos en una indeterminación “
0
0
”, así que podemos aplicar la regla: 
4 
 
lim
𝑥→0
sen 𝑥 − 𝑥
𝑥 sen 𝑥
= lim
𝑥→0
(sen 𝑥 − 𝑥)′
(𝑥 sen 𝑥)′
= lim
𝑥→0
cos 𝑥 − 1
sen 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥
 
Llegamos entonces a una determinación del mismo tipo, es decir “
0
0
”, volvemos entonces a derivar 
el numerador y el denominador: 
lim
𝑥→0
(cos 𝑥 − 1)′
(sen 𝑥 + 𝑥 cos 𝑥)′
= lim
𝑥→0
− sen 𝑥
cos 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑥 (− sen 𝑥)
=
0
2
= 0 
Entonces: 
lim
𝑥→0
(
1
𝑥
−
1
sen 𝑥
) = 0 
Otra indeterminación que se nos puede presentar en algunos ejercicios es la “0 ∙ ∞” que, 
igualmente a los caso anteriores, debemos llevarla a alguna de las formas posibles de resolver 
mediante la Regla de l’Hôpital. Veamos un ejercicio: 
 n) 
lim
𝑥→0+
√𝑥 ln 𝑥 
En este caso, cuando la variable independiente tiende a cero por derecha, √𝑥 tiende a cero y ln 𝑥 
tiene a −∞, por lo tanto estamos en presencia de una indeterminación “0 ∙ ∞”. 
Vamos a llevar la expresión del producto a una expresión equivalente transformándola en un 
cociente: 
lim
𝑥→0+
√𝑥 ln 𝑥 = lim
𝑥→0+
ln 𝑥
1
√𝑥
= lim
𝑥→0+
ln 𝑥
𝑥−
1
2
 
Ahora, cuando la variable independiente tiene a cero por derecha, el numerador tiende a −∞ y 
el denominador tiende a +∞, entonces el cálculo del límite ahora implica una indeterminación 
del tipo “
∞
∞
” posible de resolver mediante la Regla de l’Hôpital. Aplicamos entonces la regla: 
lim
𝑥→0+
(ln 𝑥)′
(𝑥−
1
2)
′ = lim
𝑥→0+
1
𝑥
−
1
2 𝑥
−
3
2
= lim
𝑥→0+
−
2
𝑥 ∙ 𝑥−
3
2
= lim
𝑥→0+
−
2
𝑥−
1
2
= 
= lim
𝑥→0+
−2 ∙ √𝑥 = 0 
Entonces: 
lim
𝑥→0+
√𝑥 ln 𝑥 = 0 
Las tres últimas indeterminaciones que veremos son “00”, “1∞” y “∞0”, donde en estos casos 
vamos a tener que aplicar la siguiente propiedad: 
5 
 
ln lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
ln 𝑓(𝑥) 
Vamos a ver como la aplicamos: 
 q) 
lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
 
Vemos que tenemos una indeterminación del tipo “1∞”, entonces vamos a calcular el logaritmo 
natural del límite pedido y aplicamos la propiedad anteriormente mencionada: 
ln lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
ln (1 +
2
𝑥
)
𝑥
 
La propiedad indica que el logaritmo del límite de la función es igual al límite del logaritmo de la 
función (léanlo varias veces, no es lo mismo). Luego, aplicamos la propiedad del logaritmo de una 
potencia: 
ln lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
ln (1 +
2
𝑥
)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥 ∙ ln (1 +
2
𝑥
) 
Y ahora nos queda la indeterminación de tipo “+∞ ∙ 0”, entonces expresamos el producto como 
un cociente para poder aplicar la Regla de l’Hôpital: 
ln lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
ln (1 +
2
𝑥
)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥 ∙ ln (1 +
2
𝑥
) = lim
𝑥→+∞
ln (1 +
2
𝑥)
1
𝑥
 
Ahora tenemos una indeterminación del tipo “
0
0
”, por lo que podemos aplicar la regla: 
lim
𝑥→+∞
ln (1 +
2
𝑥)
1
𝑥
= lim
𝑥→+∞
[ln (1 +
2
𝑥)]
′
(
1
𝑥)
′ = lim𝑥→+∞
1
(1 +
2
𝑥)
(−
2
𝑥2
)
−
1
𝑥2
= 
= lim
𝑥→+∞
1
(1 +
2
𝑥)
(−
2
𝑥2
) (−𝑥2) = lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥 + 2
(−
2
𝑥2
) (−𝑥2) = lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑥 + 2
 
Ahora tenemos una indeterminación del tipo “
∞
∞
”, aplicamos la regla nuevamente: 
lim
𝑥→+∞
2𝑥
𝑥 + 2
= lim
𝑥→+∞
(2𝑥)′
(𝑥 + 2)′
= lim
𝑥→+∞
2
1
= 2 
Entonces tenemos que: 
ln lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
= 2 
lim
𝑥→+∞
(1 +
2
𝑥
)
𝑥
= 𝑒2 
6 
 
Vemos que ya podemos resolver todos los casos de indeterminaciones, recordemos que éstas 
son: “
0
0
”, “
∞
∞
”, “∞ − ∞”, “0 ∙ ∞”, “00”, “1∞” e “∞0”. 
Y que para aplicar la Regla de l’Hôpital se deben tener indeterminaciones del tipo “
0
0
” o “
∞
∞
”. 
También recordemos que mientras las derivadas existan, podemos aplicar la Regla de l’Hôpital 
las veces que sean necesarias para la resolución del límite en cuestión.