MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Segundo_turno_Tema_1_01_10_2019

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Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 1 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Segundo turno – Tema 1 - 01/10/2019 
 
 
 
Solución 
Tenemos que 
𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 3|𝑥 + 2| ≤ 6 ↔ |𝑥 + 2| ≤
6
3
= 2 
Por definición |𝑡| ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎. 
Entonces 
|𝑥 + 2| ≤ 2 
−2 ≤ 𝑥 + 2 ≤ 2 
restamos 2 a cada uno de los términos de la inecuación 
−4 ≤ 𝑥 ≤ 0 → 𝑥 ∈ [−4; 0] 
Luego 𝐴 = [−4; 0] 
 
 
 
 
Solución 
El conjunto imagen es el intervalo (−∞; 𝑘] . Esto nos está diciendo que el vértice 
de la parábola (gráfica de la función) se encuentra en el punto 𝑉 = (𝑥𝑣; 𝑘). 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el siguiente conjunto 
𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ 3|𝑥 + 2| ≤ 6} 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑘 ∈ ℝ si se sabe que el intervalo (−∞; 𝑘] es 
el conjunto imagen de la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 1 2 
 
La abscisa del vértice es 
𝑥𝑣 =
−2
2 ∙ (−1)
 → 𝑥𝑣 = 1 
El vértice es el punto 𝑉 = (1; 𝑘). 
Evaluando en la función 
𝑦
𝑣
= 𝑓(𝑥𝑣) 
𝑘 = −(1)2 + 2(1) + 3 → 𝑘 = 4 
 
 
 
 
Solución 
Encontrar los ceros (o raíces) del polinomio 𝑃 significa encontrar para qué 
valores del dominio la función es igual cero. Para esto debemos resolver la 
ecuación 𝑃(𝑥) = 0. Es decir, 
𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 = 0 
Primero vamos a factorizar el polinomio. Sacando factor común 𝑥2 tenemos que 
𝑃(𝑥) = 𝑥2 ∙ (𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2) 
El polinomio 𝑃 se anula en 𝑥 = 1, y como 𝑥2 no se anula cuando 𝑥 = 1 lo que 
debe suceder es que 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 se anule cuando 𝑥 = 1. Esto quiere decir 
que 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 es divisible por (𝑥 − 1). 
Por Ruffini 
 1 2 -1 -2 
1 1 3 2 
 1 3 2 0 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el conjunto de ceros del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 si se 
sabe que cruza al eje de las abscisas (𝑒𝑗𝑒 𝑥) en 𝑥 = 1 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 1 3 
 
Entonces tenemos que 
𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2 = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 3𝑥 + 2) → 𝑃(𝑥) = 𝑥2 ∙ (𝑥 − 1)(𝑥2 + 3𝑥 + 2) 
 
Vamos ahora a resolver la ecuación 𝑥5 + 2𝑥4 − 𝑥3 − 2𝑥2 = 0 que es equivalente a 
resolver 
𝑥2 ∙ (𝑥 − 1)(𝑥2 + 3𝑥 + 2) = 0 
Y como el producto es igual a cero si alguno de los factores lo es debe ser: 
𝑥2 = 0 ó (𝑥 − 1) = 0 ó (𝑥2 + 3𝑥 + 2) = 0 
 𝑥2 = 0 ↔ 𝑥 = 0 
 𝑥 − 1 = 0 ↔ 𝑥 = 1 
 𝑥2 + 3𝑥 + 2 = 0 si 
𝑥1,2 =
−3 ± √32 − 4 ∙ (1) ∙ (2)
2 ∙ (1)
=
−3 ± √9 − 8
2
=
−3 ± 1
2
 → 𝑥1 = −2, 𝑥2 = −1 
Luego, 𝐶0 = {0,1, −2, −1} 
 
 
 
 
Solución 
Para hallar el conjunto de ceros de la función ℎ primero debemos hallar la 
expresión de 𝑓−1 y luego la composición 𝑓−1 ∘ 𝑔. 
Si llamamos 𝑓(𝑥) = 𝑦 
−2𝑥 + 3 = 𝑦 ↔ −2𝑥 = 𝑦 − 3 ↔ 𝑥 =
𝑦 − 3
−2
 
Luego, haciendo un cambio en el nombre de la variable 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 3
−2
 
Ejercicio 4(3 puntos) 
Hallar el conjunto de ceros de la función 𝒉 = 𝒇−𝟏 ∘ 𝒈 siendo 𝒇(𝒙) = −𝟐𝒙 + 𝟑 
y 𝒈(𝒙) = √𝟑 − 𝒙 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 1 4 
 
 
La composición de funciones es 
𝑓−1 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓−1(𝑔(𝑥)) =
√3 − 𝑥 − 3
−2
 
Para hallar el conjunto de ceros de la composición debemos resolver la ecuación 
√3 − 𝑥 − 3
−2
= 0 ↔ √3 − 𝑥 − 3 = 0 ↔ √3 − 𝑥 = 3 ↔ 3 − 𝑥 = 9 ↔ 𝑥 = −6 
 
La función 𝑓−1 ∘ 𝑔 tiene un único cero y es 𝑥 = −6. Es decir, 𝐶0 = {−6}.