MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Segundo_turno_Tema_2_01_10_2019

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Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 2 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Segundo turno – Tema 2 - 01/10/2019 
 
 
 
Solución 
Tenemos que 
𝑥 ∈ 𝐵 ↔ |−7 − 4𝑥| ≤ 5 
Por definición |𝑡| ≤ 𝑎 ↔ −𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎. 
Entonces 
|−7 − 4𝑥| ≤ 5 
−5 ≤ −7 − 4𝑥 ≤ 5 
sumamos 7 a cada uno de los términos de la inecuación 
2 ≤ −4𝑥 ≤ 12 
dividimos por −4, con lo cual cambia el sentido de las desigualdades 
2
−4
≥
−4𝑥
−4
≥
12
−4
 
−
1
2
≥ 𝑥 ≥ −3 
Luego 𝐵 = [−3; −
1
2
] 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el siguiente conjunto 
𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∶ |−7 − 4𝑥| ≤ 5} 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 2 2 
 
 
 
Solución 
El conjunto imagen es el intervalo [𝑡; +∞) . Esto nos está diciendo que el 
vértice de la parábola (gráfica de la función) se encuentra en el punto 𝑉 =
(𝑥𝑣; 𝑡). 
La abscisa del vértice es 
𝑥𝑣 =
−(−1)
2 ∙ (1)
 → 𝑥𝑣 =
1
2
 
El vértice es el punto 𝑉 = (
1
2
; 𝑡). 
Evaluando en la función 
𝑦𝑣 = 𝑔(𝑥𝑣) 
𝑡 = (
1
2
)
2
− (
1
2
) − 6 → 𝑡 = −
25
4
 
 
 
 
 
 
 
Solución 
Encontrar los ceros (o raíces) del polinomio 𝑅 significa encontrar para qué 
valores del dominio la función es igual cero. Para esto debemos resolver la 
ecuación 𝑅(𝑥) = 0. Es decir, 
𝑥6 − 2𝑥5 − 5𝑥4 + 6𝑥3 = 0 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el conjunto de ceros del polinomio 𝑅(𝑥) = 𝑥6 − 2𝑥5 − 5𝑥4 + 6𝑥3 si se 
sabe que cruza al eje de las abscisas (𝑒𝑗𝑒 𝑥) en 𝑥 = 3 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el valor de la constante 𝑡 ∈ ℝ si se sabe que el intervalo [𝑡; +∞) es 
el conjunto imagen de la gráfica de la función 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 6 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 2 3 
 
Primero vamos a factorizar el polinomio. Sacando factor común 𝑥3 tenemos 
que 
𝑅(𝑥) = 𝑥3 ∙ (𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6) 
El polinomio 𝑅 se anula en 𝑥 = 3 (ya que cruza al eje x en ese valor) y como 𝑥3 
no se anula cuando 𝑥 = 3 lo que debe suceder es que 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 se 
anule cuando 𝑥 = 3. Esto quiere decir que 𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6es divisible por (𝑥 −
3). 
Por Ruffini 
 1 -2 -5 6 
3 3 3 -6 
 1 1 -2 0 
 
Entonces tenemos que 
𝑥3 − 2𝑥2 − 5𝑥 + 6 = (𝑥 − 3)(𝑥2 + 𝑥 − 2) → 𝑅(𝑥) = 𝑥3 ∙ (𝑥 − 3)(𝑥2 + 𝑥 − 2) 
Vamos ahora a resolver la ecuación 𝑥6 − 2𝑥5 − 5𝑥4 + 6𝑥3 = 0 que es equivalente 
a resolver 
𝑥3 ∙ (𝑥 − 3)(𝑥2 + 𝑥 − 2) = 0 
Y como el producto es igual a cero si alguno de los factores lo es debe ser: 
𝑥3 = 0 ó (𝑥 − 3) = 0 ó (𝑥2 + 𝑥 − 2) = 0 
 𝑥3 = 0 ↔ 𝑥 = 0 
 𝑥 − 3 = 0 ↔ 𝑥 = 3 
 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 si 
𝑥1,2 =
−(1) ± √(1)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−2)
2 ∙ (1)
=
−1 ± √1 + 8
2
=
−1 ± 3
2
 → 𝑥1 = 1, 𝑥2 = −2 
Luego, 𝐶0 = {0,3,1, −2} 
 
 
 
 
 
 
Clave de corrección – Segundo turno 01/10/2019 - Tema 2 4 
 
 
Solución 
Para hallar el conjunto de ceros de la función 𝑔 primero debemos hallar la 
expresión de 𝑓−1 y luego la composición 𝑓−1 ∘ ℎ. 
Si llamamos 𝑓(𝑥) = 𝑦 
−3𝑥 + 4 = 𝑦 ↔ −3𝑥 = 𝑦 − 4 ↔ 𝑥 =
𝑦 − 4
−3
 
Luego, haciendo un cambio en el nombre de la variable 
𝑓−1(𝑥) =
𝑥 − 4
−3
 
La composición de funciones es 
𝑔(𝑥) = 𝑓−1 ∘ ℎ(𝑥) = 𝑓−1(ℎ(𝑥)) =
√5 − 𝑥 − 4
−3
 
Para hallar el conjunto de ceros de la composición debemos resolver la ecuación 
√5 − 𝑥 − 4
−3
= 0 ↔ √5 − 𝑥 − 4 = 0 ↔ √5 − 𝑥 = 4 ↔ 5 − 𝑥 = 16 ↔ 𝑥 = −11 
 
La función 𝑔 = 𝑓−1 ∘ ℎ tiene un único cero y es 𝑥 = −11. Es decir, 𝐶0 = {−11}. 
 
Ejercicio 4(3 puntos) 
Hallar el conjunto de ceros de la función 𝑔 = 𝑓−1 ∘ ℎ siendo 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 4 
y ℎ(𝑥) = √5 − 𝑥