IGER-3 -Básico-Matemática-semana-32

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32
Ecuaciones de 
segundo grado II
¿Qué encontrará esta semana?
 Ecuaciones que 
cambiaron la faz de la 
Tierra
 Resolución de 
ecuaciones cuadráticas 
por fórmula general
 Resolución de 
ecuaciones lineales por 
simple inspección
 Resolución de problemas 
con la fórmula de Vieta
Competencias a trabajar del CNB
Indicadores de logro
1.2. Resuelve problemas que involucran cálculo de medidas 
y aplicación de propiedades de figuras planas y cuerpos 
sólidos.
2.3. Usa modelos matemáticos al representar y resolver 
problemas.
2.4. Utiliza diferentes métodos en la resolución de ecua-
ciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones.
1. Produce patrones aritméticos, algebraicos y geomé-
tricos, aplicando propiedades y relaciones.
2. Construye modelos matemáticos que le permiten la 
representación y análisis de relaciones cuantitativas.
209Matemática − Semana 32
¡Para comenzar!
Ley de Tsiolkovskii: Relacionada con la astronáutica, 
indica que la velocidad final de los cohetes depende 
de la reserva de combustible y de la velocidad de ex-
pulsión de los gases de combustión. 
Ecuaciones que cambiaron la faz de la Tierra
Un filatelista es un coleccionista de sellos postales. En 1971, Nicaragua editó 
una colección de diez sellos postales que muestran las diez ecuaciones que 
cambiaron “la faz de la Tierra”. Cada ecuación representa un momento decisivo 
de la matemática o de la ciencia. Al reverso de cada sello se encuentra una 
breve explicación de la ecuación. Conozcamos algunos.
¡A trabajar!
Lo invitamos a navegar por la Internet e investigar cuáles son las otras siete ecuaciones. Le sugerimos 
esta dirección:
http://goo.gl/0go3mi 
Las leyes de Maxwell son un conjunto de cuatro ecua-
ciones que describen por completo los fenómenos 
electromagnéticos.
La Ley de Newton o ley de la gravitación universal.
210 IGER − Zaculeu
1. Resolución de ecuaciones 
 cuadráticas por la fórmula general
 La fórmula de Vieta
Recordemos que cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede 
expresar como:
ax2 + bx + c = 0
La semana pasada aprendimos a solucionar estas ecuaciones por factorización. 
Ahora lo haremos utilizando la fórmula de Vieta:
– b ± b2 – 4ac
2ax =
Donde:
• x: representa las dos soluciones de la ecuación cuadrática (x1 y x2)
• b: es el coeficiente del término de primer grado bx. A la izquierda del 
radical, se debe multiplicar por el signo menos (–) y dentro del radical se 
eleva al cuadrado. 
• ±: el símbolo formado por el signo más y el signo menos indica que toda 
raíz cuadrada puede tener dos resultados: uno positivo y otro negativo. 
 Por ejemplo: 9 = ± 3 porque: 32 = 3 x 3 = 9 
 (–3)2 = (–3) x (–3) = 9
• – 4: es un factor constante.
• a: es el coeficiente del término cuadrático (ax2) y nunca es igual a cero. 
Dentro del radical, se debe multiplicar por – 4 y por c. En el denominador 
se debe multiplicar por 2.
• 2: es un factor constante en el denominador.
La fórmula de Vieta es muy práctica porque:
Permite resolver todo tipo de ecuaciones cuadráticas.
Se trabaja solo con los coeficientes a, b y c de la ecuación. 
ax2 + bx + c = 0
– b ± b2 – 4ac
2ax =
ax2 + bx + c = 0
211Matemática − Semana 32
El mundo de la matemática
Para aprender a utilizar adecuadamente la fórmula de Vieta iremos resolviendo 
paso a paso una ecuación cuadrática.
Resolvamos la ecuación cuadrática x2 + 6x + 5 = 0
• Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c.
–b ± b2 – 4ac
2a
x = a = 1 b = 6 c = 5
• Sustituimos los valores numéricos de a, b y 
c en el lugar que corresponde dentro de la 
fórmula. Operamos potencias y productos.
• Operamos la resta dentro del radical.
• Extraemos la raíz cuadrada.
• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, 
subdividimos la expresión en x1, con signo 
+ y x2 con signo –.
• Resolvemos cada expresión para obtener 
los valores de x1 y x2.
¡Otro ejemplo!
Resolvamos 2x2 3x + 1 = 0
• Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c.
–b ± b2 – 4ac
2a
x = a = 2 b = –3 c = 1
• Sustituimos los valores de a, b y c en la 
fórmula. Operamos potencias y productos.
• Operamos la resta dentro del radical.
• Extraemos la raíz cuadrada.
 – (6) ± 62 – 4(1)(5)
2 (1)
x =
 – (6) ± 36 – 20
2 
x =
– (–3) ± (–3)2 – 4(2)(1)
2 (2)
x =
3 ± 9 – 8
4 
x =
3 ± 1
4
x =
 – (6) ± 16
2
x =
– 6 ± 4
2
x =
– 6 + 4
2
x1 =
– 6 – 4
2
x2 =
= –1– 2
2
x1 =
– 10
2
= –5x2 =
x1 = – 1 x2 = – 5
212 IGER − Zaculeu
• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, sub-
dividimos la expresión en x1, con signo + y x2 
con signo –.
• Resolvemos cada expresión para obtener los 
valores de x1 y x2.
 3 ± 1
4
x =
 3 + 1
4
x1 =
 3 – 1
4
x2 =
= 14
4
x1 =
2
4
=x2 =
1
2
x1 = 1 x2 =
1
2
 Ejercicio 1
Siguiendo los pasos de los ejemplos. Resuelva.
A. x2 + 7x + 12 = 0
• Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c.
– b ± b2 – 4ac
2a
x = a = 1 b = c = 
• Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en el lu-
gar que corresponde dentro de la fórmula. Operamos 
potencias y productos.
• Operamos la resta dentro del radical.
• Extraemos la raíz cuadrada.
• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, en este 
caso 1, subdividimos la expresión en x1, con signo + y 
x2 con signo –.
• Resolvemos cada expresión para obtener los valores 
de x1 y x2.
 – 7 + 1
2
– 6
2
x1 = = =
– 7 – 1
2
– 8
2
x2 = = =
 – 7 ± 49 – 48
2 
x =
 – 7 ± 
2 
x =
 – 7 ± 1
2
x =
x1 =
– 7 + 1
2
– 7 – 1
2
x2 =
 – (7) ± 72 – 4(1)(12)
2 ( )
x =
213Matemática − Semana 32
1.1 Problemas que se resuelven por medio de 
 ecuaciones cuadráticas
La semana anterior resolvimos ecuaciones cuadráticas por factorización y esta 
semana lo haremos por fórmula general. Podemos resolver los problemas utili-
zando cualquiera de los dos métodos.
Ejemplo
Andrea es tres años mayor que Beto. Si el producto de las dos edades es 108, 
¿cuál es la edad de cada uno?
• Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla:
 
Edad de Beto Edad de Andrea Producto de las edades
x x + 3 x (x + 3) = 108
• Formamos y expresamos la ecuación para 
resolverla. 
• Igualamos la ecuación a 0.
• Sustituimos los valores de a, b y c en la 
fórmula. a = 1; b = 3; c = –108. Operamos 
potencias y productos.
• Resolvemos las operaciones del radical.
• Extraemos la raíz cuadrada.
• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, 
en este caso 21, subdividimos la expre-
sión en x1, con signo + y x2 con signo –.
• Hallamos los valores de x1 y x2.
 
– 3 + 21
2
 18
2
9x1 = = =
–3 – 21
2
 24
2
 –12x2 = = =
Descartamos –12 porque no existen edades negativas. 
 Para comprobar el resultado, sustituimos la solución que consideramos 
válida en el planteamiento inicial de las edades.
• Edad de Beto: x = 9
• Edad de Andrea: (x + 3) = (9 + 3) = 12
 Respuesta: Beto tiene 9 años y Andrea 12.
 – (3) ± 32 – 4(1)(–108)
2 (1)
x =
x2 + 3x = 108
x2 + 3x – 108 = 0
 – 3 ± 9 + 432
2 
x =
 – 3 ± 441
2 
x =
 – 3 ± 21
2
x =
– 3 + 21
2
x1 =
– 3 – 21
2
x2 =
214 IGER − Zaculeu
¡Otro ejemplo!
Luis tiene 7 quetzales más que Dora. Si el producto de lo que tienen los dos es 
144 quetzales, ¿cuánto tiene cada uno?
• Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla:
 
Dinero de Dora Dinero de Luis Producto y dinero total
x x + 7 x (x + 7) = 144
• Formamos y expresamos la ecuación para 
encontrar el valor de x.
• Igualamos la ecuación a 0.
• Sustituimos los valores de a, b y c en la 
fórmula. a = 1; b = 7; c = –144. Opera-
mos potencias y productos.
• • Resolvemos las operaciones del radical.
• Extraemos la raíz cuadrada.
• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, 
en este caso 25, subdividimos la expre-
sión en x1, con signo +, y x2, con signo –.
• Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2.
 
– 7 + 25
2
 18
2
9x1 = = =
–7– 25
2
 –32
2
– 16x2 = = =
Descartamos –16 porque el dinero que setiene no se representa con cantidades 
negativas. 
 Para comprobar el resultado, sustituimos la solución que consideramos 
válida en el planteamiento inicial
• Dinero de Dora: x = 9
• Dinero de Luis: (x + 7) = (9 + 7) = 16
Respuesta: Dora tiene 9 quetzales y Luis 16.
– (7) ± 72 – 4(1)(–144)
2 (1)
x =
x2 + 7x = 144
x2 + 7x – 144 = 0
– 7 ± 49 + 576
2 
x =
 – 7 ± 625
2 
x =
– 7 ± 25
2
x =
 – 7 + 25
2
x1 =
 – 7 – 25
2
x2 =
215Matemática − Semana 32
 Ejercicio 2
Siga los pasos y resuelva este problema.
La edad de Juana es el cuadrado de la de su hijo, y dentro de 24 años, la edad de Juana será el doble 
de la del hijo. ¿Cuántos años tienen ahora Juana y su hijo?
• Expresamos los datos que nos proporciona el problema en una tabla:
 
Edad actual de 
Juana
Edad actual del 
hijo
Edad futura de 
Juana
Edad futura del 
hijo
x2 x x2 + 24 x + 24
• La ecuación que expresa que “la edad de Juana, dentro de 24 
años, será igual al doble de la de su hijo” es: 
• Quitamos el paréntesis del segundo miembro.
• Igualamos la ecuación a 0.
• Reducimos términos semejantes y ya tenemos la ecuación 
definitiva.
• Sustituimos los valores de a, b y c en la fórmula. 
 
• Resolvemos las operaciones del radical.
• Extraemos la raíz cuadrada.
• Obtenido el resultado de la raíz cuadrada, en este caso 10, 
subdividimos la expresión en x1, con signo + y x2 con signo –.
• Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2.
 
2 + 10
2
 12
2
x1 = = =
2 – 10
2
–8
2
x2 = = =
• Descartamos -4 porque no existen edades negativas. Puede 
dar la respuesta sustituyendo 6 por el valor de x.
 La edad de Juana es: y la edad del hijo es: 
x2 + 24 = 2(x + 24)
x2 + 24 = 2x + 48
x2 – 2x + 24 – 48 = 0
x2 – 2x – 24 = 0
 2 ± 4 + 96
2 
x =
 2 ± 
2 
x =
 2 ± 10
2
x =
 2 + 10
2
x1 =
 2 – 10
2
x2 =
 a = b = c = 
 – (–2) ± (– 2)2 – 4( )( )
2 (1)
x =
x2 = (6)2 = 36
x = 6
216 IGER − Zaculeu
Otra forma de resolver ecuaciones cuadráticas es aplicar la fórmula de Vieta:
–b ± b2 – 4ac
2ax =
Donde:
• x: representa las dos soluciones de la ecuación cuadrática (x1 y x2)
• b: es el coeficiente del término de primer grado bx. A la izquierda del radical, se debe multi 
plicar por el signo menos (–) y dentro del radical se eleva al cuadrado. 
• ±: indica que toda raíz cuadrada tiene dos resultados: uno positivo y otro negativo. 
 Por ejemplo: 9 = ±3 porque: 32 = 3 x 3 = 9 
 (–3)2 = (–3)(–3) = 9
• – 4: es un factor constante.
• a: es el coeficiente del término cuadrático (ax2) y nunca es igual a cero. Dentro del radical, se 
debe multiplicar por –4 y por c. En el denominador se debe multiplicar por 2.
• 2: es un factor constante en el denominador.
Para resolver una ecuación cuadrática con la fórmula de Vieta seguimos estos pasos:
• Escribimos la fórmula e identificamos los valores numéricos de a, b y c.
• Sustituimos los valores numéricos de a, b y c en la fórmula. Operamos potencias y productos.
• Resolvemos las operaciones del radical.
• Extraemos la raíz cuadrada.
• Subdividimos la expresión en x1, con signo +, y x2 con signo –. 
• Resolvemos cada expresión para obtener los valores de x1 y x2.
Si quiere practicar la resolución de problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado, visite 
esta página: http://goo.gl/y98wM4
Investigue en la red...
217Matemática − Semana 32
Resumen
 Actividad 1. Demuestre lo aprendido
Rellene el círculo de la opción correcta.
1. ¿Cuál es la expresión correcta de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas?
 b ± b2 – 4ac
2a
x = – b ± b
2 – 4ac
2a
x = –b ± b
2 – 4a
2a
x = b– b
2 – 4ac
2a
x =
2) ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación x2 + 8x + 15 = 0?
3) ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación x2 – 25x + 24 = 0?
4) ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación 3x2 – 5x + 3 = 0?
5) ¿Cuáles son las soluciones a la ecuación x2 – 6x + 5 = 0?
 Actividad 2. Practique lo aprendido
Resuelva las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula de Vieta. Trabaje en su cuaderno.
 x1 = – 3; x2 = – 5
 x1 = 1; x2 = 6
 x1 = – 1; x2 = – 6
 x1 = 25; x2 = 4
 x1 = 1; x2 = 24
 x1 = – 1; x2 = – 24
 x1 = 2; x2 = – 5
 x1 = – 5; x2 = 3
 no tiene raices reales
 x1 = 1; x2 = 5
 x1 = – 1; x2 = 5
 x1 = 1; x2 = – 5
1) x2 + 4x – 21 = 0
2) x2 + 4x + 3 = 0
3) x2 + 6x + 5 = 0
4) 8x2 – 20x + 12 = 0
5) 5x2 + 13x – 6 = 0
6) x2 + 10x – 11 = 0
7) x2 + 7x + 12 = 0
8) x2 + 8x + 12 = 0
9) 2x2 + 5x – 3 = 0
10) 3x2 + 4x – 4 = 0
11) x2 – x – 20 = 0
12) x2 + 3x – 28 = 0
13) x2 + 6x – 27 = 0
14) 3x2 – 5x – 2 = 0
15) 2x2 + 5x – 7 = 0
16) x2 – 9x – 22 = 0
218 IGER − Zaculeu
Autocontrol
 
A. Solucione las ecuaciones lineales por simple inspección. Tiene un ejemplo.
 0) x – 10 = 1 x = 
 1) 3 + x = 9 x =
 2) x + 3 = 7 x =
 3) x – 12 = 4 x =
 4) x + 7 = 20 x =
 5) x – 8 = 10 x =
 6) x + 6 = 18 x =
 7) x – 3 = –9 x =
 8) x + 12 = 15 x =
 9) 8 + x = 24 x =
 10) x – 7 = 13 x =
11) x + 10 = 25 x =
12) x + 5 = 15 x =
13) x + 10 = 30 x =
14) y + 5 = 16 y =
15) x + 8 = 18 x =
16) x – 5 = 8 x =
17) x – 1 = 4 x =
18) x – 2 = 3 x =
19) x – 6 = 2 x =
20) m + 8 = 20 m =
21) x – 1 = 13 x =
22) x + 9 = 15 x =
23) y + 1 = 4 y =
24) x + 8 = 16 x =
25) x + 2= 10 x =
26) x – 3 = 7 x =
27) x + 8 = 22 x =
28) x + 5 = 25 x =
29) x + 11 = 21 x =
30) y + 7 = 15 y =
31) x + 3 = 8 x =
0) 3x = 30 x = 10
1) 4x = 12 x = 
2) 5x = 30 x = 
3) 2x = 20 x = 
4) 8x = 80 x = 
5) 9x = 90 x = 
6) 3x = 24 x = 
 7) 7x = 49 x = 
 8) 4x = 36 x = 
 9) 4x = 16 x = 
10) 2x = 8 x = 
11) 3x = 12 x = 
12) 3x = 30 x = 
13) 5x = 25 x = 
14) 7x = 14 x = 
15) 4x = 32 x = 
16) 6x = 36 x = 
17) 9x = 27 x = 
18) 8x = 64 x = 
19) 5x = 15 x = 
20) 6x = 12 x = 
B. Resuelva las siguientes ecuaciones en el menor tiempo posible. Tiene un ejemplo.
11
219Matemática − Semana 32
Agilidad de cálculo mental
Lea con atención cada problema, plantee una ecuación cuadrática y resuélvala. 
 1) ¿Cuál es el número positivo que sumado con su cuadrado da como resultado 132?
 2) Elisa tardó dos horas menos que Felipe en recorrer una distancia en bicicleta. Si el producto 
de los dos tiempos es 48 horas, ¿cuánto tardó cada uno?
 3) El largo de un rectángulo mide 3 cm más que el ancho. Si el área del rectángulo es 88 cm2, 
¿cuánto mide el ancho y el largo? Sugerencia: dibuje la figura de rectángulo para expresar 
los datos.
 4) Pedro es 2 años mayor que Alba y la suma de los cuadrados de ambas edades es 130 años. 
¿Qué edad tiene cada uno?
 5) Separe 15 en dos partes de tal manera que su producto sea 56.
 6) Tono es 4 años mayor que Hilda y la suma de los cuadrados de ambas edades es 136 años. 
Calcule la edad de cada uno.
 7) Arturo es 5 años mayor que Beatriz. El producto de sus edades es 374. Calcule la edad de 
cada uno.
 8) Obtenga dos números naturales consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 145.
 9) Encuentre dos números cuya suma sea 28 y cuyo producto sea 187.
10) Encuentre tres números consecutivos cuyos cuadrados sumen 77.
11) Si un terreno rectangular tiene un perímetro de 88 m y un área de 475 m2, ¿cuáles son sus 
dimensiones?
Marque con un cheque la casilla que mejor indique su rendimiento. logrado
en 
proceso
no 
logrado
D
es
pu
és
 d
e 
es
tu
di
ar
... Aplico la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.
Aplico la fórmula de Vieta en la solución de problemas
Desarrollo mi razonamiento lógico en la solución de problemas
Mejoro mi habilidad de cálculo mental en la solución de ecuaciones 
lineales
220 IGER − Zaculeu
Razonamiento lógico
Revise su aprendizaje