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El Gran Paso - Matemática 19/10/2020 
 
 
Unidad VIII PÁGINA 1 
 
 ÁLGEBRA 
UNIDAD VIII 
Ecuaciones de Segundo Grado 
La ecuación cuadrática o de segundo grado es toda ecuación, que una vez 
reducida al mayor exponente de la incógnita es dos 
 
 
 
Clasificación de las ecuaciones cuadráticas 
Ecuaciones completas: 
Son ecuaciones de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, que tienen un término en 𝑥2, un 
término en x y un término independiente de 𝑥. 
Ejemplo: 
2𝑥2 − 13𝑥 + 15 = 0 
Donde { 
𝑎 = 2, 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥2
𝑏 = −13, 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥
 𝑐 = 15, 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
 
Ecuaciones incompletas: 
 Son ecuaciones de las formas: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 𝑦 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 
Ejemplos: 
 
 
 
3𝑥2 − 7𝑥 + 2 = 0 
𝑥2 − 6𝑥 = 0 
5𝑥2 − 125 = 0 
6𝑥2 − 216 = 0 
 𝑎 = 6; 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥2 
 𝑏 = 0; 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥 
 𝑐 = −216; 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
3𝑥2 + 5𝑥 = 0 
𝑎 = 3; 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥2 
 𝑏 = 5; 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑥 
 𝑐 = 0; 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 2 
 
Toda ecuación cuadrática tiene dos raíces y para hallarlas existen varios 
procedimientos. En este apartado abordaremos el método de factorización. 
Resolución de ecuaciones por el método de factorización 
a) Si es de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Resolver: 𝑥2 − 8𝑥 + 15 = 0 
1°) Se factoriza la ecuación que corresponde a un 
trinomio de la forma 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
(𝒙 − 𝟓)(𝒙 − 𝟑) = 𝟎 
2°) Cada factor se iguala a cero 𝑥 − 5 = 0 𝑥 − 3 = 0 
3°) Se despeja 𝑥 𝒙𝟏 = 𝟓 𝒙𝟐 = 𝟑 
 
b) Si es de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
Resolver: 2𝑥2 − 13𝑥 + 15 = 0 
1°) Se factoriza la ecuación correspondiente a un 
trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
2.2𝑥2 − 13.2𝑥 + 2.15
2
= 0 
(2𝑥)2 − 13(2𝑥) + 30
2
= 0 
(2𝑥 − 10)(2𝑥 − 3)
2
= 0 
2(𝑥 − 5)(2𝑥 − 3)
2
= 0 
2°) Cada factor se iguala a cero 𝑥 − 5 = 0 2𝑥 − 3 = 0 
3°) Se despeja 𝑥 𝒙𝟏 = 𝟓 𝒙𝟐 =
𝟑
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 3 
 
Ecuaciones Incompletas 
a) Si es de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0 
Resolver: 6𝑥2 + 60𝑥 = 0 
1°) Se factoriza la ecuación que corresponde a un 
factor común 
6𝑥(𝑥 + 10) = 0 
2°) Se iguala cada factor a cero 6𝑥 = 0 𝑥 + 10 = 0 
3°) Se despeja 𝑥 𝒙𝟏 = 𝟎 𝒙𝟐 = −𝟏𝟎 
 
b) Si es de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0 
Resolver: 2𝑥2 − 50 = 0 
1°) Se divide la ecuación entre 2 
2𝑥2 − 50 = 0 ÷ 2 
 
2°) Se factoriza la expresión que corresponde a una 
diferencia de cuadrados 
𝑥2 + 25 = 0 
(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 0 
3°) Se iguala cada factor a cero y se despeja 𝑥 
𝑥 + 5 = 0 𝑥 − 5 = 0 
𝑥1 = −5 𝑥2 = 5 
 
Ecuaciones Cuadráticas por Fórmula General 
Esta ocasión estaremos enfatizando en el método de la Fórmula General Esta 
fórmula es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas que son difíciles o 
imposibles de factorizar y usarla puede ser más rápido que completar el cuadrado. 
La fórmula cuadrática puede usarse para resolver cualquier ecuación de la 
forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑐 + 𝑐 = 0 
La solución para la ecuación 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 con a diferente de cero está dada por la 
formula cuadrática: 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 4 
 
Ejemplo 1: 
Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación 𝑥2 + 4𝑥 = 5 
𝑥2 + 4𝑥 = 5 
 
𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 0 
Primero escribimos la ecuación en su forma 
estándar. 
 
𝑥2 + 4𝑥 − 5 = 0 
 
 
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
𝑎 = 1; 𝑏 = 4; 𝑐 = −5 
 
Observamos que el signo de resta significa que la 
constante c es negativa. 
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
𝑥 =
−4 ± √(4)2 − 4(1)(−5)
2(1)
 
 
 
 
 
Sustituimos los valores en la fórmula cuadrática. 
 
𝑥 =
−4 ± √16 + 20
2
 
 
 
 
Simplificamos, teniendo cuidado de usar los 
signos correctos. 
𝑥 =
−4 ± √36
2
 
 
Simplificamos un poco más. 
 
𝑥 =
−4 ± 6
2
 
 
Simplificamos el radical: . 
𝑥1 =
−4 + 6
2
=
2
2
= 1 
 
o 
 
𝑥2 =
−4 − 6
2
=
−10
2
= −5 
 
 
 
Separamos y simplificamos para encontrar las 
soluciones de la ecuación cuadrática. 
Observamos que, en una, se suma 6 y en la otra 
se resta 6... 
 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 5 
 
Verificamos los resultados reemplazando los valores de x en la ecuación 
original. 
 
𝑥1 = 1 
 
𝑥2 + 4𝑥 = 5 
 
(1)2 + 4 (1) = 5 
 
1 + 4 = 5 
 
𝟓 = 𝟓 
 
 
𝑥1 = −5 
 
𝑥2 + 4𝑥 = 5 
 
(−5)2 + 4 (−5) = 5 
 
25 − 20 = 5 
 
𝟓 = 𝟓 
 
 
el conjunto de valores de la 
incógnita, llamados raíces 𝑥1 y 𝑥2 
satisfacen la igualdad 
Ejemplo 2: 
Resuelve la ecuación cuadrática: 
𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
• Verificamos si la ecuación está ordenada. 
• Identificamos los valores de a, b y c. 
𝒂 = 𝟏, 𝒃 = −𝟓, 𝒄 = 𝟔 
• Reemplazar dichos valores en la Fórmula 
Cuadrática. 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
𝑥 =
−(−5) ±√(−5)2 − 4(1)(6)
2(1)
 = 
5 ±√25 − 24
2
 = 
5 ±√1
2
 = 
 5 ± 1 
2
 
 
Luego: 
 𝑥1 =
5 + 1
2
 =
6 
2 
= 3 
 𝑥2 =
5 −1 
2
 =
4 
2 
= 2 
 
Importante: al aplicar 
en la fórmula –b se debe 
tener en cuenta el signo 
de coeficiente 
 
 al 
 
[Cite el origen aquí.] 
 
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Unidad VIII PÁGINA 6 
 
Ejemplo 3 
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática 
2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0 
 
𝐚 = 2, 𝒃 = −7, 𝒄 = 3 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
𝑥 =
−(−7) ±√(−7)2 − 4(2)(3)
2.2
 =
7 ±√49 − 24
4
 
𝑥 =
7 ±√25
4
 𝑥 =
 7 ± 5 
4
 
 
𝑥1 =
7 + 5
4
 = 
 12 
4 
 = 3 
 
𝑥2 =
7 − 5 
4
 = 
 2 
4 
 = 
 1 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 7 
 
Ejemplo 4 
Resuelve la siguiente ecuación cuadrática 
3𝑥2 − 4𝑥 − 7 = 0 
 
𝐚 = 3, 𝒃 = −4, 𝒄 = −7 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
 
𝑥 =
−(−4) ±√(4)2−4(3)((−7)
2.3
 = 
4 ±√16 + 84
6
 =
4 ±√100 
6
 =
4 ± 10
6
 
 
𝑥1 =
4 + 10
6
 = 
 14 
6 
 = 
 7 
3
 
 
𝑥2 =
4 − 10 
6
 = 
−6 
 6 
 = -1 
 
Ecuaciones cuadráticas sin denominadores 
Algunas ecuaciones no están ordenadas para ser resueltas inmediatamente por los 
métodos aprendidos y deben ser reducidas previamente. 
Ejemplos: 
a) 3𝑥(𝑥 − 2) − (𝑥 − 6) = 23(𝑥 − 3) 
 
b) (𝑥 + 4)2 = 2𝑥(5𝑥 − 1) − 7(𝑥 − 2) 
 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 8 
 
Resolver: 𝟑𝒙 (𝒙 − 𝟐) − (𝒙 − 𝟔) = 𝟐𝟑(𝒙 − 𝟑) 
1°) Se aplica la propiedad distributiva 3𝑥(𝑥 − 2) − (𝑥 − 6) = 23(𝑥 − 3) 
2°) Se hace transposición de términos, igualando 
la ecuación a cero, y se reducen términos 
semejantes 
3𝑥2 − 6𝑥 − 𝑥 + 6 − 23𝑥 + 69 = 0 
3𝑥2 − 30𝑥 + 75 = 0 
3°) Se resuelve la ecuación por el método más 
apropiado 
3𝑥2 − 30𝑥 + 75 = 0 ÷ 3 
𝑥2 − 10𝑥 + 25 = 0 
(𝑥 − 5)(𝑥 − 5) = 0 
𝒙𝟏 = 𝟓 𝒙𝟐 = 𝟓 
4°) Se verifica la ecuación 
3𝑥(𝑥 − 2) − (𝑥 − 6) = 23. (𝑥 − 3) 
3.5(5 − 2) − (5 − 6) = 23. (5 − 3) 
15.3 − (−1) = 23.2 
45 + 1 = 46 
46 = 46 
 
Resolver: (𝒙 + 𝟒)𝟐 = 𝟐𝒙(𝟓𝒙 − 𝟏) − 𝟕(𝒙 − 𝟐) 
1°) Efectúa el cuadrado de un 
binomio y propiedad distributiva 
𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 10𝑥2 − 2𝑥 − 7𝑥 + 14 
2°) Se hace transposición de 
términos, se iguala la ecuación a 
cero y se reducen términos 
semejantes 
𝑥2 + 8𝑥 + 16 − 10𝑥2 + 2𝑥 + 7𝑥 − 14 = 0 
−9𝑥2 + 17𝑥 + 2 = 0 × (−1) 
9𝑥2 − 17𝑥 − 2 = 0 
3°) Se resuelve la ecuación por el 
método más apropiado 
(9𝑥)2 − 17. (9𝑥) − 18
9
= 0 
(9𝑥 − 18)(9𝑥 + 1)
9
= 0 
9(𝑥 − 2)(9𝑥 + 1)
9
= 0 
 
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Unidad VIII PÁGINA 9 
 
𝑥 − 2 = 0 9𝑥 + 1 = 0 
𝒙𝟏= 𝟐 𝒙𝟐 = −
𝟏
𝟗
 
4°) Se verifican los resultados 
reemplazando en la ecuación el 
valor de x 
(𝑥 + 4)2 = 2𝑥(5𝑥 − 1) − 7(𝑥 − 2) 
(2 + 4)2 = 2.2(5.2 − 1) − 7(2 − 2) 
62 = 4.9 − 0 
36 = 36 
 
(𝑥 + 4)2 = 2𝑥(5𝑥 − 1) − 7(𝑥 − 2) 
(−
1
9
+ 4)
2
= 2. (−
1
9
) (5. (−
1
9
) − 1) − 7 (−
1
9
− 2) 
(
35
9
)
2
= −
2
9
. (−
14
9
) − 7. (
−19
9
) 
1225
81
=
28
81
+
133
9
 
1225
81
=
1225
81
 
 
Ecuaciones cuadráticas con denominadores 
Son ecuaciones que se presentan con valores numéricos o expresiones algebraicas 
en los denominadores. 
En este tipo de ecuación se procede de la siguiente manera: 
Ejemplo: 
3
𝑥
+
4𝑥
𝑥2 + 3𝑥 − 4
=
2
𝑥 + 4
 
1°) Se factoriza el polinomio del denominador 
3
𝑥
+
4𝑥
(𝑥 + 4)(𝑥 − 1)
=
2
𝑥 + 4
 
 
2°) Se busca el Mínimo Común Múltiplo. 𝑀𝐶𝑀 = 𝑥(𝑥 + 4)(𝑥 − 1) 
3°) Se divide el M.C.M por cada denominador y 
el resultado se multiplica por el numerador 
correspondiente, teniendo de la siguiente 
manera la expresión 
3(𝑥 + 4)(𝑥 − 1) + 4𝑥. 𝑥 = 2𝑥. (𝑥 − 1) 
 
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Unidad VIII PÁGINA 10 
 
4°) Se efectúan las operaciones indicadas 3𝑥2 + 9𝑥 − 12 + 4𝑥2 = 2𝑥2 − 2𝑥 
5°) Se transpone todos los términos al primer 
miembro 
3𝑥2 + 4𝑥2 − 2𝑥2 + 9𝑥 + 2𝑥 − 12 = 0 
5𝑥2 + 11𝑥 − 12 = 0 
6°) Se resuelve la ecuación por el método más 
apropiado 
(5𝑥)2 + 11. (5𝑥) − 60
5
= 0 
(5𝑥 + 15)(5𝑥 − 4)
5
= 0 
5(𝑥 + 3)(5𝑥 − 4)
5
= 0 
𝑥 + 3 = 0 5𝑥 − 4 = 0 
𝒙𝟏 = −𝟑 𝒙𝟐 =
𝟒
𝟓
 
7°) Se verifica la ecuación 
3
𝑥
+
4𝑥
𝑥2 + 3𝑥 − 4
=
2
𝑥 + 4
 
3
−3
+
4(−3)
(−3)2 + 3(−3) − 4
=
2
−3 + 4
 
−1 +
−12
−4
= 2 
−1 + 3 = 2 
2 = 2 
3
4
5
+
4 (
4
5
)
(
4
5
)
2
+ 3 (
4
5
) − 4
=
2
4
5
+ 4
 
15
4
+
16
5
−24
25
=
2
24
5
 
15
4
−
10
3
=
5
12
 
5
12
=
5
12
 
 
Ecuaciones cuadráticas con radicales 
Ecuaciones con radicales: Una ecuación que contiene una expresión radical se 
llama ecuación radical. Se resuelven eliminando los radicales mediante la elevación 
de los dos miembros a la potencia que indique el índice del radical; la ecuación que 
resulta es de 2° grado, al resolverla aparecen nuevas soluciones que no satisfacen 
la ecuación dada (soluciones extrañas). Por tanto, es necesario en cada caso hacer 
la verificación siempre para aceptar las soluciones que satisfacen la ecuación dada 
y rechazar las soluciones extrañas. 
Al hacer la verificación se tiene en cuenta solamente el valor positivo del radical. 
 
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Unidad VIII PÁGINA 11 
 
Ejemplos: 
1. Resolver la ecuación 𝒙 + √𝟐𝒙 + 𝟏 = 7 
 
Despejamos la expresión radical (siempre que sea 
posible) 
√2𝑥 + 1 = 7 – x 
 
Elevamos ambos miembros a un exponente igual 
al índice de la raíz (este caso al cuadrado) 
 
(√2x + 1 )
2
= (7 − 𝑥)2 
Resolvemos las operaciones indicadas, en el 
primer miembro simplificamos el exponente con 
el índice y en el segundo miembro aplicamos la 
regla del cuadrado de un binomio 
2𝑥 + 1 = 49 − 14𝑥 + 𝑥2 
Hacemos transposición, ordenamos, reducimos e 
igualando a 0 el primer miembro 
−2𝑥 − 1 + 49 − 14𝑥 + 𝑥2 = 0 
𝑥2 − 16𝑥 + 48 = 0 
Resolvemos la ecuación cuadrática resultante 
hallando las raíces del trinomio factorizándolo. 
(𝑥 − 12)(𝑥 − 4) = 0 
𝒙𝟏 = 𝟏𝟐 𝒙𝟐 = 𝟒 
 
Verificamos cada una de las raíces en la ecuación. 
Para 𝑥1 = 12 
 
 𝑥 + √2𝑥 + 1 = 7 
 
 12 + √2. 𝟏𝟐 + 1 = 7 
 
12 + √25 = 7 
 
12 + 5 = 7 
 
 17 ≠ 7 
 
 se desecha 
Para 𝑥2 = 4 
 
𝒙 + √𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟕 
 
𝟒 + √𝟐 ∙ 𝟒 + 𝟏 = 𝟕 
 
4 + √9 = 7 
 
4 + 3 = 7 
 
7 = 7 
 
𝒙𝟐 = 𝟒 Única solución 
 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 12 
 
2. Resolvamos la ecuación 𝟓 − √𝟔𝐱² + 𝟏 = 𝟎 
 
Despejamos la expresión radical √6x² + 1 = 5 
Elevamos ambos miembros al cuadrado (√6x2 + 1 )²=(5)² 
Al resolver las potencias obtenemos una ecuación 
incompleta 
6x2 + 1 = 25 
Hacemos transposición, ordenamos y reducimos 6x2 − 24 = 0 
Resolvemos factorizando primeramente por factor 
común y luego por medio de una diferencia de 
cuadrados 
6(x2 − 4) = 0 
 
6(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 
 
 
Hallamos los valores de las raíces 
(𝑥 + 2)(𝑥 − 2) = 0 
 
𝒙𝟏 = −𝟐 𝒙𝟐 = 𝟐 
 
Verificamos cada una de las raíces en la ecuación 
Para 𝒙𝟏 = −𝟐 
 
5 - 5 − √6𝑥² + 1 = 0 = 0 
 
5 − √6(−2)² + 1 = 0 
 
5 – 5 = 0 
Para 𝒙𝟐 = 𝟐 
 
 5 − √6𝑥² + 1 = 0 
 
5 − √6.2² + 1 = 0 
 
5 – 5 = 0 
 
Ecuación de Segundo Grado en la resolución de Problemas 
Resolver situaciones problemáticas que involucren ecuaciones de segundo grado 
significa hallar el valor o los valores para la incógnita, que satisfagan las condiciones 
del problema. 
Por ello, resolver problemas que involucren ecuaciones requiere saber traducir del 
lenguaje común al lenguaje algebraico o simbólico, veamos algunos ejemplos y 
 
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Unidad VIII PÁGINA 13 
 
recuerda que puedes utilizar cualquier letra para representar el valor desconocido, 
preferentemente la x, la y o la z 
El doble o duplo de un número: 2 x 
El consecutivo de un número: y + 1 
La quinta parte del número disminuido en tres unidades: 
𝑥
5
− 3 
El producto del cuadrado de un número y 6 es 54: 6𝑥2 = 54 
La edad de Ana hace 3 años: m – 3 
El cuadrado de la suma de un número y 7: (𝑧 + 7)2 
 
Ahora, inténtalo tú 
Un número aumentado en 6: _______________________________ 
El cociente entre un número y 8 :___________________________ 
La diferencia entre un número y su triple es -10: ____________ 
 
Ejemplo 1 
La suma de dos números es 32 y su producto es 255.¿Cuáles son esos números? 
a) Se comprende el problema 
¿Qué informaciones se puede obtener del problema? ¿Qué se debe buscar o 
desea saber? 
1° número: x Suma de los números: 𝑥 + 𝑦 = 32 
2° número: y Producto de esos números: 𝑥 ∙ 𝑦 = 255 
 
b) Se plantea la solución del problema 
 
Si 𝑥 + 𝑦 = 32 entonces: 
Se despeja “𝑦" para trabajar con una sola incógnita 
obtenemos que 
𝒚 = 𝟑𝟐 − 𝒙 
 
Se reemplaza “y” en la ecuación 
 𝑥 ∙ 𝑦 = 255 tendremos 
𝑥 ∙ 𝑦 = 255 
𝑥(32 − 𝑥) = 255 
 
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Unidad VIII PÁGINA 14 
 
c) Se ejecuta el plan 
Se resuelve la multiplicación 𝒙(𝟑𝟐 − 𝒙) = 𝟐𝟓𝟓 
Se iguala a cero y se ordena 32𝑥 − 𝑥2 = 255 
Se multiplica la ecuación por -1 −𝑥2 + 32𝑥 − 255 = 0 
se obtiene una ecuación cuadrática completa 𝑥2 − 32𝑥 + 255 = 0 
Se resuelve por el método de la factorización (𝑥 − 17)(𝑥 − 15) = 0 
Se despeja la incógnita “x” considerando que, si 
un producto de dos factores da 0, es porque el 
primer factor es cero, o es cero el segundo factor 
𝑥 − 17 = 0 ó 𝑥 − 15 = 0 
 𝒙𝟏 = 𝟏𝟕 𝒙𝟐 = 𝟏𝟓 
 
 
d) Se verifica si la solución corresponde al problema planteado 
Si 𝑥 = 17 e 𝑦 = 32 − 𝑥 entonces al sustituir x por 17 
obtenemos 
𝒚 = 𝟑𝟐 − 𝟏𝟕 = 𝟏𝟓 
 
Al efectuar la multiplicación 
 𝑥 ∙ 𝑦 = 255, reemplazando las incógnitas por los valores 
hallados se comprueba la solución hallada 
17.15 = 255 
255 = 255 
 
Por lo tanto la respuesta al problema es: Los números son 17 y 15 
Ejemplo 2 
Milena reparte entre sus hijos 36 caramelos en partes iguales. Si fuesen 3 hijos 
menos, recibiría cada uno 2 caramelos más. ¿Cuántos hijos tiene? 
a) Nº de hijos Nº ➝ “x” (incógnita) 
 Le corresponde a cada hijo ➝ 
36
𝑥
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 15 
 
 Y con tres hijos menos ➝ 
36
𝑥−3
 
b) La diferencia entre el número de hijos es de 2 caramelos más 
36
𝑥−3
−
36
𝑥
= 2 
c) La ecuación tiene denominadores,por lo tanto, primero se halla el mínimo 
común múltiplo de los mismos (producto de factores comunes y no comunes). 
 
En este caso el M.C.M. es 𝑥(𝑥 − 3) 
𝟑𝟔
𝒙 − 𝟑
−
𝟑𝟔
𝒙
= 𝟐 
 
Se divide el M.C.M. con el denominador y 
el cociente se multiplica por el 
numerador 
 
36𝑥(𝑥 − 3)
(𝑥 − 3)
− 
36𝑥(𝑥 − 3)
𝑥
= 2𝑥(𝑥 − 3) 
Luego de simplificar, se efectúa las 
multiplicaciones 
 
36𝑥 − 36(𝑥 − 3) = 2𝑥(𝑥 − 3) 
 
Se iguala a cero la ecuación 
36𝑥 − 36𝑥 + 108 = 2𝑥2 − 6𝑥 
 
Se reduce términos semejantes y se 
ordena 
 
36𝑥 − 36𝑥 + 108 − 2𝑥2 + 6𝑥 = 0 
Se multiplica toda la ecuación por -1 
−1(−2𝑥2 + 6𝑥 + 108) = 0 
2𝑥2 − 6𝑥 − 108 = 0 
 
Se indica los valores de a, b y c 
 
𝑎 = 2 𝑏 = −6 𝑐 = −108 
Se resuelve por el método de la fórmula 
general 𝒙 =
−𝒃±√𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 reemplazando 
las variables a, b y c por sus valores 
 
𝑥 =
−(−6) ± √(−6)2 − 4.2(−108)
2.2
 
Se resuelven las operaciones indicadas 𝑥 =
6 ± √36 + 864
4
=
6 ± √900
4
=
6 ± 30
4
 
Se despeja las incógnitas 
𝑥1 =
6 + 30
4
=
36
4
= 9 
 
𝑥2 =
6 − 30
4
=
−24
4
= −6 
 
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Unidad VIII PÁGINA 16 
 
d) Al obtener dos soluciones se debe ver cual responde al problema, por lo que se 
rechaza el -6 porque la incógnita es número de hijos, que no puede ser una 
cantidad negativa. Entonces la respuesta al problema es: Milena tiene 9 hijos. 
Ejemplo N.º 3 
Un rectángulo tiene de largo 7 cm más que el ancho. Si su área es 144 cm2, ¿cuáles 
son sus dimensiones? 
a) El largo del rectángulo es 7 cm más que el ancho, pero ¿cuánto mide el ancho? 
Entonces se tiene que: 
Ancho (a): x Largo (l): x + 7 Área (A)=144 cm2 
b) Partiendo de la fórmula de área, que es: A= l.a (largo por ancho) 
Se pueden reemplazar las variables de largo y ancho por los datos del problema 
y se obtiene así la siguiente ecuación 
A= l.a 144 = (𝑥 + 7) 𝑥 
c) Resolver la ecuación 
Se resuelve las operaciones indicadas 
 
𝟏𝟒𝟒 = (𝒙 + 𝟕)𝒙 
Se iguala a cero y ordena 
144 = 𝑥2 + 7𝑥 
−𝑥2 − 7𝑥 + 144 = 0 
Se multiplica la ecuación por (-1) y se obtiene la 
ecuación completa de segundo grado 
 
-1(−𝑥2 − 7𝑥 + 144) = 0 
𝑥2 + 7𝑥 − 144 = 0 
Se factoriza el trinomio y se iguala los factores a 
cero 
(𝑥 + 16)(𝑥 − 9) = 0 
𝑥 + 16 = 0 𝑥 − 9 = 0 
 
Se despeja las incógnitas 
 
 
𝒙𝟏 = −𝟏𝟔 𝒙𝟐 = 𝟗 
 
d) Al tener dos soluciones se descarta el -16, porque las medidas de longitud no 
pueden ser cantidades negativas. Entonces la solución válida es 9, el ancho del 
problema, luego el largo que es 𝑥 + 7 al reemplazar queda 9 + 7 =16, luego la 
respuesta es: 
e) dimensiones del rectángulo son 9 cm de ancho y 16 cm de largo. 
 
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Unidad VIII PÁGINA 17 
 
Actividades Propuestas 
1- Resuelve por el método de factorización y verifica cada solución 
a) 8𝑥2 + 24𝑥 = 0 
𝑨) 𝒙𝟏 = 𝟎; 𝒙𝟐 = −𝟑 𝐶) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −3 𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −3 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 3 𝐸) 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 3 
 
b) 𝑥2 − 21𝑥 + 20 = 0 
𝐴) 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 10 𝑩) 𝒙𝟏 = 𝟐𝟎; 𝒙𝟐 = 𝟏 C) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 11 
𝐷) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 10 𝐸) 𝑥1 = 0; 𝑥2 = 11 
 
c) 𝑥2 − 14𝑥 + 49 = 0 
𝐴) 𝑥1 = 7; 𝑥2 = 6 𝐵) 𝑥1 = 7; 𝑥2 = −7 𝐶) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 11 
𝐷) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 10 𝑬) 𝒙𝟏 = 𝟕; 𝒙𝟐 = 𝟕 
 
d) 2𝑥2 − 7𝑥 = −6 
𝐴) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 𝐵) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 𝑪) 𝒙𝟏 = 𝟐; 𝒙𝟐 =
𝟑
𝟐
 
𝐷) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 10 𝐸) 𝑥1 = 7; 𝑥2 = 7 
 
e) 𝑥2 − 49 = 0 
𝑨) 𝒙𝟏 = 𝟕; 𝒙𝟐 = −𝟕 𝐵) 𝑥1 = 7; 𝑥2 = 7 𝐶) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 7 
𝐷) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 10 𝐸) 𝑥1 = 7; 𝑥2 = 10 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 18 
 
2- Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general: 
a) 3𝑥2 − 5𝑥 + 2 = 0 
𝐴) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 2 𝐵) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 3 𝐶) 𝑥1 = 2; 𝑥2 =
2
3
 
𝑫) 𝒙𝟏 = 𝟏; 𝒙𝟐 =
𝟐
𝟑
 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 
 
b) 4𝑥2 + 3𝑥 − 22 = 0 
𝐴) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −11 𝐵) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 11 𝐶) 𝑥1 = 2; 𝑥2 =
11
4
 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 =
2
3
 𝑬) 𝒙𝟏 = 𝟐; 𝒙𝟐 =
−𝟏𝟏
𝟒
 
 
c) 𝑥2 + 11𝑥 = −24 
𝐴) 𝑥1 = 3; 𝑥2 = −11 𝐵) 𝑥1 = −3; 𝑥2 = 11 𝑪) 𝒙𝟏 = −𝟑; 𝒙𝟐 = −𝟖 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = 8 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −8 
 
d) 𝑥2 = 16𝑥 − 63 
𝐴) 𝑥1 = 9; 𝑥2 = −11 𝐵) 𝑥1 = −9; 𝑥2 = −7 𝐶) 𝑥1 = 9; 𝑥2 = −7 
𝐷) 𝑥1 = −9; 𝑥2 = 7 𝑬) 𝒙𝟏 = 𝟗; 𝒙𝟐 = 𝟕 
 
 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 19 
 
e) 12𝑥 − 4 − 9𝑥2 = 0 
𝐴) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −3 𝐵) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 𝑪) 𝒙𝟏 =
𝟐
𝟑
; 𝒙𝟐 =
𝟐
𝟑
 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 =
2
3
 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 =
2
4
 
 
3- Resolver las siguientes ecuaciones por el método que prefiera 
a) (𝑥 + 4)2 = 2𝑥(5𝑥 − 1) − 7(𝑥 − 2) 
𝐴) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −3 𝑩) 𝒙𝟏 = 𝟐; 𝒙𝟐 = −
𝟏
𝟗
 𝐶) 𝑥1 =
2
3
; 𝑥2 =
2
3
 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 =
2
3
 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 =
2
4
 
 
b) 𝑥(𝑥 + 3) = 5𝑥 + 3 
𝐴) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −3 𝑩) 𝒙𝟏 = 𝟑; 𝒙𝟐 = −𝟏 𝐶) 𝑥1 = 3; 𝑥2 = 1 
𝐷) 𝑥1 = 3; 𝑥2 =
2
3
 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 1 
 
c) 3(3𝑥 − 2) = (𝑥 + 4)(4 − 𝑥) 
𝑨) 𝒙𝟏 = 𝟐; 𝒙𝟐 = −𝟏𝟏 𝐵) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 𝐶) 𝑥1 =
2
3
; 𝑥2 =
2
3
 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 =
2
3
 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 =
2
4
 
 
 
 
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d) 25(𝑥 + 2)2 = (𝑥 − 7)2 − 81 
𝐴) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −3 𝑩) 𝒙𝟏 = −𝟐; 𝒙𝟐 = −𝟐
𝟑
𝟒
 𝐶) 𝑥1 =
2
3
; 𝑥2 =
2
3
 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −2 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 2
2
4
 
 
4- Resolver las siguientes ecuaciones: 
a) 
𝑥2
5
−
𝑥
2
=
3
10
 
𝑨) 𝒙𝟏 = 𝟑; 𝒙𝟐 = −
𝟏
𝟐
 𝐵) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 𝐶) 𝑥1 =
2
3
; 𝑥2 =
2
3
 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 =
2
3
 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 =
2
4
 
 
b) 
𝑥2
6
−
𝑥
2
= 3(𝑥 − 5) 
𝐴) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −3 𝑩) 𝒙𝟏 = 𝟔; 𝒙𝟐 = 𝟏𝟓 𝐶) 𝑥1 = 3; 𝑥2 = 15 
𝐷) 𝑥1 = 6; 𝑥2 = 3 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 15 
 
c) 
1
𝑥−2
−
1
𝑥−1
=
1
6
 
𝑨) 𝒙𝟏 = 𝟒; 𝒙𝟐 = −𝟏 𝐵) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 𝐶) 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 0 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −4 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 1 
 
 
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Unidad VIII PÁGINA 21 
 
d) 
3
𝑥
+
4𝑥
𝑥2+3𝑥−4
=
2
𝑥+4
 
𝐴) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −3 𝐵) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 𝑪) 𝒙𝟏 = −𝟑; 𝒙𝟐 =
𝟒
𝟓
 
𝐷) 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −3 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 =
2
4
 
 
5- Resuelvo las ecuaciones siguientes haciendo la verificación con ambas 
raíces 
a) 4 − √𝑥² − 9 = 0 
𝑨) 𝒙𝟏 = 𝟓; 𝒙𝟐 = −𝟓 𝐵) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 3 𝐶) 𝑥1 = −5; 𝑥2 = −5 
𝐷) 𝑥1 = 5; 𝑥2 = −3 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 5 
 
b) √(2𝑥² − 9𝑥) = 0 
𝐴) 𝑥1 = 5; 𝑥2 = −5 𝑩) 𝒙𝟏 = 𝟎; 𝒙𝟐 =
𝟗
𝟐
 𝐶) 𝑥1 = −5; 𝑥2 = −5 
𝐷) 𝑥1 = 5; 𝑥2 = −3 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 5 
 
c) 3 − √8𝑥2 + 1 = 0 
𝐴) 𝑥1 = 5; 𝑥2 = −5 𝐵) 𝑥1 = 0; 𝑥2 =
9
2
 𝐶) 𝑥1 = −5; 𝑥2 = −5 
𝑫) 𝒙𝟏 = 𝟏; 𝒙𝟐 = −𝟏 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 5 
 
 
 
 
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d) 2𝑥 − √𝑥 + 3 = 9 
𝐴) 𝑥1 = 5; 𝑥2 = −5 𝐵) 𝑥1 = 0; 𝑥2 =
9
2
 𝐶) 𝑥1 = −5; 𝑥2 = −5 
𝑫) 𝒙𝟏 = 𝟔; 𝒙𝟐 =
𝟏𝟑
𝟒
 𝐸) 𝑥1 = 2; 𝑥2 = 5 
6- Lee los siguientes problemas con mucha atención, luego resuelve los 
problemas, siguiendo los pasos aprendidos. 
a) La suma de un número natural y su cuadrado es 42. ¿De qué número se trata? 
𝐴) − 7 𝑩) 𝟔 𝐶) − 6 𝐷) 7 𝐸) 5 
 
b) Rafael tiene 5 años más que su hermano, y el producto de sus edades es 84 
¿Qué edades tienen los dos? 
 
𝑨) 𝟏𝟐 𝒚 𝟕 𝐵) 13 𝑦 8 𝐶) 10 𝑦 5 𝐷) 14 𝑦 9 𝐸) 11 𝑦 6 
 
c) Si Ana es dos años menor que Julia y la suma de los cuadrados de ambas 
edades es 52. Halla las edades de cada una. 
 
𝐴) − 6 𝑦 4 𝐵) 8 𝑦 6 𝑪) 𝟔 𝒚 𝟒 𝐷) 9 𝑦 7 𝐸) 13 𝑦 11 
 
d) Don Pedro sabe que el área de su sala rectangular es 63 m2 y que el largo 
excede en 2 m al ancho, pero no sabe las dimensiones de la misma, ¿puedes 
ayudarlo a encontrar? 
 
𝐴) 8 𝑦 6 𝐵) 11 𝑦 9 𝑪) 𝟗 𝒚 𝟕 𝐷) 6 𝑦 4 𝐸) 10 𝑦 8 
 
e) El producto de dos números positivos consecutivos es 930 ¿Cuáles son esos 
números? 
𝐴) 20 𝑦 21 𝐵) 15 𝑦 16 𝐶)18 𝑦 19 𝐷) 22 𝑦 23 𝑬) 𝟑𝟎 𝒚 𝟑𝟏 
 
 
El Gran Paso - Matemática 19/10/2020 
 
 
Unidad VIII PÁGINA 23 
 
Bibliografía: 
Baldor, A. (2013). Álgebra: Teórico - práctico. México: Patria S.A. 
De Oteyza de Oteyza, E., Hernández Garciadiego, C., & Lam Osnaya, E. (1996). 
Álgebra. México: Prentice Hall Hispanoamericána. 
Guía para el docente. Matemática 8. Editorial Santillana bajo la dirección de Ivonne 
Petersen Middleton 
Matemática 9°. Educación Escolar Básica. Editorial el Mensú bajo la elaboración, 
producción de Lic. Alcides O. Caballero D. y Lic. Gladys Gómez. 
Plan elaborado por docentes voluntarios del Paraguay, para la plataforma 
aprendizaje, bajo la coordinación de Prof. Mtr. César José Ocampos Acuña 
Giovanni, J. R., Bonjorno, J. R., Giovanni Jr, J. R., & Acosta Duarte, R. (1998). 
Matemática Fundamental. Tomo único. Saö Paulo: FTD S.A. 
Pujol, F. V., Sánchez, Raimundo (2017). Matemática Práctica I. Aritmética, Álgebra, 
Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría.Asunción 
Spiegel, M., & Murray, R. (s.f.). Álgebra Superior: Teoría y 1980 problemas resueltos. 
McGraw Hill. 
Galdós L. Matemática Galdós. Edición MMVIII. Cultural SA. Madrid. España. 
Barnett R. y Schmidt P. (2006). Álgebra. Serie Schaum. McGraw Hill Interamericana. 
México DF 
 
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Coordinadores 
Prof. Mtr. César José Ocampos Acuña 
Prof. Lic. Fredys Osmar Torres Ojeda 
Responsable del contenido Prof. Lic. Juan de Dios Cañete Fernández 
Responsable de la revisión Prof. Lic. Francisco Simón Ruiz Diaz Vicezar 
Responsable de la corrección Prof. Lic. Alice Leguizamón 
 
 
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