MATE VALLEJO 2009 D7-páginas-8

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unI 2009 -II Academia CÉSAR VALLEJO
Solución
Tema
Funciones reales
Referencias
• Composición de funciones
• Cálculo del dominio y rango
Análisis y procedimiento
 
f x x x x x−( ) = −( ) ≥2 2 4 4;
 
= − + −( ) = − + −( )f x x x x2 1 1 2 4 4 4
 
= −( ) −



= −( ) −



f x x1 1 2 2 4
2 2
 
= −( ) −



= − −( ) −



f x x1 1 2 1 1 4
2 2
La x a− =1 y obtenemos
 f a a2 21 2 1 4−( ) = −( ) −( ) (*)
Como
 x x x a a a≥ → ≥ → − ≥ → ≥ → ≥ → − ≥4 2 1 1 1 1 1 02 2
 x x x a a a≥ → ≥ → − ≥ → ≥ → ≥ → − ≥4 2 1 1 1 1 1 02 2 .
luego de (*) se tiene lo siguiente:
 Dom f=[0; +∞〉
También
 a ≥	1 → (a – 1)≥0 → (a – 1)2 ≥	0
 → −( ) − ≥ − → −( ) −( ) ≥ −a a1 4 4 2 1 4 82 2
luego de (*) se tiene lo siguiente 
 Ran f=[– 8; +∞〉
Respuesta
∴ Dom f ∩ Ran f=[0; +∞〉
Alternativa A
Pregunta N.º 12
Sea P(x)=x3 – 3ax2 – a2x+3a3, donde a > 0 
y Q(x)=– P(x – a). Diga cuál de las siguientes 
afirmaciones es correcta:
A) Q(x) ≥	P(x), ∀ x < 0
B) Q(x) ≥	P(x), ∀ x ∈ 〈0; a〉
C) P(x) ≥	Q(x), ∀ x ∈ 〈a; 2a〉
D) Q(x) ≥	P(x), ∀ x ∈ 〈2a; 3a〉
E) P(x) ≥	Q(x), ∀ x > 3a
Solución
Tema
Inecuaciones polinomiales
Referencias
• Factorización de polinomios y criterio de los 
puntos críticos.
Análisis y procedimiento
 P(x)=x3 – 3ax2 – a2x+3a3
 → P(x)=(x – a)3 – 4a2(x – a); a > 0
Como Q(x)= – P(x – a)
 → Q(x)=– [(x – 2a)3 – 4a2(x – 2a)]
Luego, si R(x)=P(x) – Q(x), entonces
 R(x)=(x – a)3 – 4a2(x – a)+(x – 2a)3 – 4a2(x – 2a)
 →			R(x)=(2x – 3a)(x2 – 3ax – a2)
 →			R(x)== −( ) − −











 −
+










2 3
3 13
2
3 13
2
x a x a x a.
 
= −( ) − −











 −
+










2 3
3 13
2
3 13
2
x a x a x a
Si resolvemos R(x) ≤ 0, obtenemos
 P(x) – Q(x) ≤	0 ↔ Q(x) ≥	P(x)
Luego
 
2 3
3 13
2
3 13
2
0x a x a x a−( ) − −











 −
+










 ≤
Los puntos críticos son
 
3
2
3 13
2
3 13
2
a a a; ;
−





+




