MANUAL 2013-2

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Nivelación de Matemática para Administración,
Contabilidad, Economía y Hotelería (MA240), ciclo 2013-2
Item Type info:eu-repo/semantics/LearningObject
Authors Guerrero Celis, Magna
Publisher Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas (UPC)
Download date 19/01/2024 00:28:47
Link to Item http://hdl.handle.net/10757/296244
http://hdl.handle.net/10757/296244
i 
 
 
 
 
 
 
 
PRE – GRADO 
 
 
 COORDINADORA : Magna Guerrero C. 
 
 
 AUTORES : Los profesores del curso 
 
 
 
 TÍTULO : Nivelación de Matemática 
 
 
 FECHA : Agosto 2013 – 02 
 
 
 
 
 CURSO : Nivelación de Matemática para 
Administración, Contabilidad, Economía 
y Hotelería. 
 
 
 CÓDIGO : MA240 
 
 
 ÁREA : Ciencias 
 
 
 CICLO : 2013 – 02 
 
 
 
ii 
 
 
 
CÓDIGO : MA 240 
CURSO : NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA PARA ADMINISTRACIÓN, 
CONTABILIDAD, ECONOMÍA Y HOTELERÍA 
TEORÍA : 3 HORAS 
PRÁCTICA : 3HORAS 
CICLO : 2013-02 
 
PROMEDIO FINAL: 
PF = 8% (PC1) + 15% (PC2) + 12% (PC3) + 20% (CD) + 12%(TB) 
+ 23% (EB) + 10% (CC) 
 
 
donde: 
EB: evaluación final 
CD: promedio aritmético de las evaluaciones virtuales 
TB: promedio aritmético de las actividades . 
CC: promedio aritmético de las notas de los controles de desempeño. 
PC1 hasta PC3: prácticas calificadas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii 
 
 
 
ÍNDICE 
 
 
UNIDAD N° 1. NÚMEROS REALES. OPERACIONES BÁSICAS 1 
1.1 Números reales 1 
1.2 Operaciones básicas 4 
1.3 Resolución de problemas 14 
1.4 Resolución de problemas con números racionales 20 
 
UNIDAD N° 2. RAZONES Y PROPORCIONES. PORCENTAJES 29 
2.1 Razones y proporciones 29 
2.2 Porcentajes 34 
2.3 Aplicaciones económicas de porcentajes 49 
 
UNIDAD N° 3. FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA 65 
3.1 Expresiones algebraicas 65 
3.2 Polinomios. Operaciones con polinomios. Valor numérico 72 
3.3 Productos notables. Reducción de polinomios 86 
3.4 División de polinomios. Método clásico y regla de Ruffini. 94 
3.5 Factorización de polinomios 102 
 
UNIDAD N° 4. ECUACIONES 116 
4.1 Teoría de ecuaciones 116 
4.2 Ecuaciones de primer grado 121 
4.3 Ecuaciones de segundo grado 135 
4.4 Ecuaciones racionales 155 
4.5 Ecuaciones polinómicas 163 
4.6 Ecuaciones irracionales 169 
4.7 Sistema de ecuaciones lineales 174 
 
UNIDAD N° 5. PLANO CARTESIANO. GRÁFICAS EN EL PLANO 189 
5.1 Plano cartesiano 189 
5.2 Ecuaciones y gráficas 194 
5.3 Modelación mediante sistemas de ecuaciones lineales 
aplicadas al campo económico y administrativo 205 
 
UNIDAD N° 6. INECUACIONES 223 
6.1. Intervalos de números reales. Notación 223 
6.2. Inecuaciones de primer grado 225 
6.3. Sistema de inecuaciones de primer grado con una 
incógnita 231 
6.4. Inecuaciones de segundo grado 235 
6.5. Modelación de problemas que involucran inecuaciones 239 
 
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTAS 248 
 
 
iv 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
 
 SEM TAREAS Sesión 1 Sesión 2 Sesión 3 Eval E. VIRTUAL 
12-Ago 
16-Ago 
1 TAREA N° 1 (Sesión 1.1 – 1.2) 
Presentación del curso. 
Conjuntos Numéricos. 
Números reales 
Operaciones Básicas 
 
Resolución de problemas 
con números enteros. 
 
E. Virtual N° 1 
(Sesión 1.1 – 1.3) 
Entregar Tarea N° 1 
19-Ago 
23-Ago 
2 
 
TAREA N° 2 
(Sesión 1.1 – 2.2) 
Resolver problemas con 
números racionales. 
Razones y Proporciones 
Porcentaje 
Aumentos y Descuentos 
sucesivos. Aplicaciones 
de % 
 
E. Virtual N° 2 
(Sesión 1.1 – 2.2) Entregar Tarea N° 2 
Control N° 1 
(Sesión 1.1 – 2.2) 
26-Ago 
30-Ago 
3 TAREA N° 3 (Sesión 1.1 – 3.2) 
Aplicaciones económicas 
(Ingreso, Costo y Utilidad) 
Aplicaciones 
económicas (I.G.V) 
Proyecto colaborativo 1 
 
E. Virtual N° 3 
(Sesión 2.2 – 3.2) 
Entregar TAREA N° 3 
02-Set 
06-Set 
4 TAREA N° 4 (Sesión 4.1 – 4.2) 
Expresiones algebraicas. 
Polinomios. Grado de un 
polinomio.. 
Operaciones con 
polinomios. 
Valor numérico. 
 
Productos Notables 
 
E. Virtual N° 4 
(Sesión 3.1 – 4.2) 
Entregar TAREA N° 4 
Control N° 2 
(Sesión 3.1 – 4.2) 
09-Set 
13-Set 
5 TAREA N° 5 (Sesión 5.1 – 5.2) 
División de Polinomios. 
Método clásico. Método de 
Ruffini 
Factorización (factor 
común, aspa simple.) 
Clase Integral N° 1 PC N° 1 
(14-Set) 
 
Entregar TAREA N° 5 
16-Set 
20-Set 
6 
TAREA N° 6 
(Sesión 6.1 – 6.2) 
Factorización. Método de 
divisores binómicos. 
Aplicaciones. 
Ecuaciones de Primer 
grado. Despeje. 
Proyecto colaborativo 2 
 
E. Virtual N° 5 
(Sesión 4.3 – 6.2) Entregar TAREA N° 6 
23-Set 
27-Set 
7 TAREA N° 7 (Sesión 7.1 – 7.2 
Modelación de ecuaciones 
de primer grado. 
Ecuaciones cuadráticas. 
Solución por 
factorización y por 
fórmula general. 
Clase Integral N° 2 
 
E. Virtual N° 6 
(Sesión 6.2 – 7.2) 
Control N° 3 
(Sesión 6.1 – 7.2) 
Entregar TAREA N° 7 
30-Set 
04-Oct 
8 SEMANA DE EXÁMENES PARCIALES 
07-Oct 
11-Oct 
9 TAREA N° 8 (Sesión 9.1 – 10.2 
Estrategia de resolución de 
problemas de segundo 
grado. 
 
Expresiones racionales. 
CVA y MCM. 
Operaciones con 
expresiones racionales. 
Clase Integral N° 3 PC N° 2 
(12-Oct) 
E. Virtual N° 7 
(Sesión 6.2 – 9.2) 
Entregar TAREA N° 8 
14-Oct 
18-Oct 
10 TAREA N° 9 (Sesión 10.1 – 10.2) 
Ecuaciones Racionales 
reducibles a 1r y 2do 
grado. 
Ecuaciones especiales : 
Irracionales. 
Polinómicas. 
Biacuadradas. 
Proyecto cooperativo3 
 
E. Virtual N° 8 
(Sesión 9.1 – 10.2) 
Control N° 4 
(Sesión 10.1 – 10.2) 
Entregar TAREA N° 9 
21-Oct 
25-Oct 
11 TAREA N° 10 (Sesión 11.1– 11.2) 
Sistema de Ecuaciones 
Lineales. 
 
Modelación de 
problemas con 
Ecuaciones Lineales 
Rev.1 del proyecto 3. 
 
E. Virtual N° 9 
(Sesión 11.1 – 11.2) 
Control N° 5 
(Sesión 11.1 – 11.2) 
Entregar TAREA N° 10 
28-Oct 
01-Nov 
12 TAREA N° 11 (Sesión 12.1 – 12.2) 
Plano Cartesiano. 
Ubicación de puntos y 
gráfica de ecuaciones. 
Sistema de Ecuaciones 
lineales. Interpretación 
geométrica. 
Rev.2 del proyecto 3 
 
E. Virtual N° 10 
(Sesión 11.1 – 
12.2) 
 
Control N° 6 
(Sesión 11.3 – 12.2) 
Entregar TAREA N°11 
04-Nov 
08-Nov 
13 TAREA N° 12 (Sesión 13.1 –13.2) 
Modelación de los sistemas 
de ecuaciones lineales. 
Oferta y Demanda. 
Modelación de los 
sistemas de ecuaciones 
lineales. Ingreso,Costo, 
Utilidad y Otros. 
Clase Integral N° 4 PC N° 3 
(09-Nov) 
 
Entregar TAREA N°12 
11-Nov 
15-Nov 
14 
TAREA N° 13 
(Sesión 14.1 –14.2) 
Intervalos. Operaciones. 
Inecuación de primer 
grado. 
Sistemas de 
inecuaciones lineales 
Control N° 7 
(Sesión 13.1 – 14.2) 
 
E. Virtual N°11 
(Sesión 13.1 – 14.2) Inecuaciones de 2 do 
grado 
Entregar TAREA N°13 
18-Nov 
22-Nov 
15 Exposición del Proyecto 3 Clase Integral N° 7 Clase Integral N° 7 
E. Virtual 
(Repaso) 
25-Nov 
29-Nov 
16 SEMANA DE EXÁMENES FINALES 
PLAN CALENDARIO 
1 
 
UNIDAD N° 1. NÚMEROS REALES. OPERACIONES 
BÁSICAS 
 
1.1 NÚMEROS REALES 
 
Repasemos los tipos de números que constituyen el sistema de números reales. 
Números naturales 
Los números naturales son los números que usamos para contar, es decir 1, 2, 3… se 
denota N y se expresa como: 
 1;2; 3; . N 
Números enteros 
El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales, el cero y los 
números negativos, se denota por Z y se expresa como: 
 – 3; – 2; –1; 0; 1; 2; 3Z 
Números racionales 
Son los números que pueden representarse como el cociente de dos enteros a y b, donde 
b tiene que ser diferente de cero. Veamos algunos ejemplos de números que pueden 
expresarse como el cociente de dos números enteros. 
Número Se puede expresar así: 
5 
10
5
2
 
–3 
2
6
3

 
0,25 
25 1
0,25
100 4
  
0 
0 0
0 ó 0 etc.
4 5
 

 
0,3333… 
3
1
...333,0  
Veamos otros ejemplos 
3 11 8
; ; 0; 2; 3,25; ; 0,4
5 4 43

  
Entonces, los números naturales, los enteros, las fracciones, los decimales exactos, 
periódicospuros y mixtos se pueden expresar como el cociente de dos números 
enteros. Así tenemos: 
3
3; ; – 0,111 ; 0; 0,15; 2; 7; 31; son números racionales
5

   
 
2 
 
 
Números irracionales 
Son aquellos que no pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. 
Ejemplos: 
2 1,41421356... 3 1,73205080... 3,14159265...  2,71828182...e  
 
Números reales 
El conjunto de todos los números reales se denota mediante el símbolo R. Cuando 
usamos la palabra número sin calificativo, queremos decir “número real”. En la figura 
se ilustra un diagrama de los tipos de números reales con los que trabajaremos: 
 
EJERCICIO 1 
Marque con un check todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los siguientes 
números: 
 
 
– 4 0 1,333 1,333...  3,14159 123  
3
7
 3 64 9 32  
Naturales 
 
 
Enteros 
 
 
Racionales 
 
 
Irracionales 
 
 
Reales 
 
 
 
 
Números racionales (Q) 
3 11 8
; ; 0; 2; 3,25; ; 0,4
5 4 43

  
Números irracionales (I) 
52; 3; 4; ;e 
 
Números 
enteros (Z) 
 – 3; – 2; –1; 0; 
Números 
naturales (N) 
 1; 2; 3; 
Números reales (R) 
3 
 
LA RECTA NUMÉRICA 
En la recta de números reales, cada número tiene una posición según su orden. 
 
 
Ejemplo 1 
Ubicar en la recta numérica los siguientes números:
7
3
 ; 
5
12
 ; 
5
12
; 3,14; ; 1,58. 
Los pasamos a números decimales y los ubicamos en la recta real. 
3
0,4285...
7
   ; 
12
2,4
5
   ; 
12
2,4
5
 ; 3,14; 3,14159...  ; 1,58. 
 
 
Ejemplo 2 
Ubicar en la recta numérica los siguientes números:
7
5
 ; 
7
12
 ; 2 ; 2; 0,58; 1,333… 
Ejemplo 3 
Ubicar en la recta numérica los siguientes números: –22; –9,8; 
7
111
 ; 17,4; 7,3. 
(En este caso al ser número más grandes tendríamos que dividir la recta proporcionalmente de diez en 
diez por ejemplo) 
 
Ejemplo 4 
Ubicar en la recta numérica los siguientes números: -54,2; -92,8; 40,55; 75,4; 27 
(En este caso al ser número más grandes tendríamos que dividir la recta proporcionalmente de diez en 
diez por ejemplo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 2 1 0 1 2 3     
 3,14 
0 1 2 -1 -2 3 -3 4 
  
 
5
12 
 -
5
12

 
 
7
3

 
 1,58 
– ∞ –25 –20 –15 –10 –5 0 5 10 15 20 25 + ∞ 
 111
7
 –22 –9,8 17,4 7,3 
4 
 
1.2 OPERACIONES BÁSICAS 
OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS 
La adición, sustracción, multiplicación y división son las cuatro operaciones básicas. 
Adicionalmente se definen las operaciones de potenciación y radicación. 
Recordando la regla de signos: 
Adición y Sustracción Multiplicación División 
– 6 – 3 = 
– 9 + 5 = 
 7 – 12 = 
(–3)(9) = 
(5)(–11) = 
(–3)(–10) = 
– 14  7 = 
16  (– 8) = 
–24  (–3) = 
 
OPERACIONES CON FRACCIONES 
Adición y Sustracción MCM 
1 7 1 10 7 3 31
6 20 60 60
  
   
 
 
 
 
MCM(6;20) = 60 
 
6 20 2
3 10 2
3 5 3
1 5 5
1 1





 
3 7
14 21
  
MCM(…..…;…..…) = …..….. 
 
 
 
 
1 5 7
10 2 15
   
 
 
 
 
 
 
 
MCM(10;2;15) = ………..… 
 
 
5 
 
Importante!! 
5 5 5
4 4 4

  

 
 
Multiplicación División 
1
era
da
2
1 5
1 forma
24 3
40 5
3 8 3 8
2 forma: 4 10 4 10
3 8 3 1 3
4 10 1 5 5


 

 
   
 

 
   
 
era
da
1 forma: se invierte
6 2 3
4 5 5
6 5
2 forma: extremos y medios
4 2
6
6 2 34
5 4 5 5
2


  



 


  
 

 
2 9
3 4

  
10 5
8 6
  
3 8 2
4 12 6
  

 
10
4
8
  
5 3 5 15 3
3
10 1 10 10 2
 
    
 
 
15 30
8 14

 
12
5
10
 
  
 
 
6 3
4 14


 
5 4
3
2 6
 
  
 
 
14 1
6 4


 
Número Mixto 
Los números racionales mayores que 1 o menores que –1 se pueden escribir como 
números mixtos, los cuales tienen una parte entera y otra parte fraccionaria, por 
ejemplo: 32 26
5 5
 ya que al dividir 32 entre 5 se obtiene un cociente de 6 y resto de 2. 
Asimismo, los números mixtos también se puedes convertir en fracción. Veamos los 
siguientes ejemplos: 
 
 a. 
2 2 3 7 2 23
7 7
3 3 3 3
 
    
 b. 
3
23
3
237
3
2
7 

 
 
6 
 
EJERCICIO 2 
Complete la siguiente tabla: 
Número mixto → Fracción Fracción → Número mixto 
5
2
7
 
15
4
 
3
2
4
  
36
8
  
 
Ejemplo 5 
Calcule: 
a. 
3 1 11
7 4 3
4 5 20
  b. 
1 3 2 79
7 6 2 11
4 5 7 140
   
 
 
 
 
 
 
Potenciación y radicación 
Potencia de un número real a de exponente natural 
Una potencia de base real a y exponente natural n es el producto de n factores 
iguales a a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota importante: Todos los resultados finales deben estar 
expresados como una fracción simplificada. 
 
na = a.a.a..........a 
 n veces 
En potenciación: 
 
23 9 
3 es la base. 
2 es el exponente. 
9 es la potencia. 
¡Tenga cuidado! 
23 9  
el exponente 2 no afecta al signo 
En potenciación: 
  
2
3 9  
–3 es la base. 
 2 es el exponente. 
 9 es la potencia. 
¡Tenga cuidado! 
23 9   
el exponente 2 no afecta al signo 
7 
 
Radicación de un número real a 
Si n es un entero positivo impar, entonces se define: 
n a = b, si y sólo si b
n 
= a. 
 
Ejemplo 
283  ; 283  
Si n es un entero positivo par y a 0; b 0, entonces se 
define: 
n a = b, si y sólo si b
n 
= a. 
 
Ejemplo 
39  ; 2164  
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 3 
Calcule: 
a. 25 b. 26 c. 2( 5) d. 3( 4) 
e. 23 (4 5)  f. 2 23 ( 2)   g. 2 3( 3) ( 1 )   
 
h. 2 3( 1) ( 2 )   
 
 
i. 2 22 ( 4)  j. 
3
2
3

 k. 
3
2
5
 
 
 
 l. 
2
3
2
 
 
 
 
 
 
m. 
3
0
2( 2)
4
 

 
 
 
 
n. 35 64 o. 
4
2
2
5 (3 1)

 
 p. 
52
1 19
 
 
 
 
 
¡Cuidado! 
 16 4  , aunque (–4)(–4) = 16. Como n es par, 16 es positivo. 
 16 no es un número real. 
8 
 
JERARQUÍA DE OPERACIONES 
Para calcular expresiones numéricas, en las cuales no hay símbolos de agrupación 
(paréntesis, corchetes o llaves), se opera en el siguiente orden: 
a. Potencias y raíces. 
b. Multiplicaciones y divisiones. 
c. Adiciones y sustracciones. 
 
Ejemplo 6 12  4 – 3
2
 × 2 
Solución: 
 
 
 
 
Ejemplo 7 10 + 12  3 × 2 
Solución: 
 
 
 
Ejemplo 8 5 – 2 (5 × 2  2) 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
Si la expresión numérica contiene símbolos de agrupación como paréntesis, corchetes y 
llaves, se efectúan, primero, las operaciones indicadas dentro de los símbolos de 
agrupación, empezando por los interiores y respetando la jerarquía de operaciones. 
 
 
 
 
 
 
 
 Primero realizamos las potencias: 12  4 – 9 × 2 
 Luego las divisiones y multiplicaciones: 3 – 18 
– 15 
 Primero realizamos las operaciones de izquierda a derecha, es decir 12  3 
 10 + 4 × 2 = 10 + 8 = 18 
NOTA. Si hay dos operaciones de la misma jerarquía, se opera de izquierda a 
derecha. 
Ejemplo: 10 + 12  3 × 2 = 10 + 4× 2 
 
 Primero realizamos las operaciones dentro del paréntesis: 5 – 2 (10  2) 
 Luego 5 – 2 (5) 
 Ojo, que en esta última línea primero se realiza el producto de2 y 5, entonces: 
 5 – 2 (5)= 5 – 10 = – 5 
 
1
2
3



 
   
  
   
  
 
9 
 
Ejemplo 9 
Calcule:  ])3(2[42243))3(4( T 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCICIO 4 
1. Calcule indicando paso a paso su procedimiento. 
a.  36 6 3 12 2 3 – 23     b.  314 3 24 8 3 2 8      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c.  9 – 2 12 3 5 – 6 4 2      d. 4 [2 (14 7) 3] 1 3 2       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Primero realizamos las operaciones dentro del paréntesis: 
 ]6[42243))3(4( T 
 7243))3(4( T 
 7243))3(4( T 
 1737 T 
517 T 
44T 
 
10 
 
e. 
2 3 1
5
5 4 3
  f. 
1 3
4 3
2 5
 
  
 
 
i. 
1 2
2 5
1 1
5 3
  
 
  
  
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g. 
3 2 5 15 3
4 3 4 2 2
  
      
  
 h. 
3
1
)
2
1
1(
16
54 23  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
2. Realice los siguientes ejercicios con ayuda de su calculadora 
 
a.  2,5 3 2,8 1,5 0,8 1,2T         
b.  13,5 3 0,4 8,7 [ 2 0,5( 0,04 2)]R        
c.   2 3( 1,2) 3 2,4 4,2 2 4 0,027 2S           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1 – 1.2 
 
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas 
a. ¿Puede existir un número entero y racional a la vez? 
b. ¿Cuál es el valor de 3 8 ? 
c. ¿Puede existir un número racional e irracional a la vez? 
d. ¿Es cierto que, 23 es igual a 
2( 3) ? 
e. ¿Puede existir un número irracional y a la vez real? 
2. Marque con un aspa todos los conjuntos a los que pertenece cada uno de los 
siguientes números: 
 
9 5 
3
7
 0,12 3,44....  3,141 3 5 
5
1
2 3 27 4 
Naturales 
Enteros 
Racionales 
Irracionales 
Reales 
 
3. Ordene en forma ascendente los números presentados en la pregunta anterior. 
Dibuje una recta numérica y ubíquelos en ella 
 
4. Ubique los siguientes números en la recta real usando una escala apropiada. 
a. 125,0;
4
9
;
7
20
;5;3  c. 2;9,4;;25,0;31,2  
b. 
5
240
;50;63;20;4  d. 2400;8000;6400;00012;9600  
 
5. Calcule el valor de cada una de las expresiones mostrando el proceso. 
a. 
5 3
4 5
  b. 
26 1
2 4
  c. 
2 1
3
5 2
 d. 
3 5
2
4 4
 
e. 2
5 7
3 ( )
4

 f. 
22
3 3
2 2
 
  
 
 g. 
3
0
3 ( 2)
4 3

 
 
h. 
3( 4)
1
2

 
i. 
3
0
2 ( 2)
4
 

 j. 
33 27  k. 
9
2 3
4
 
   
 
 l. 3
27 1
2 3
8 2
 
   
 
 
13 
 
6. Realice los siguientes ejercicios. Primero paso a paso, sin calculadora y luego 
utilícela como instrumento de control, esto es, verificando que todas las líneas del 
proceso den el mismo resultado al realizarlas con la calculadora. 
a.  2 2 3( 3) 3 60 [ 2 ( 3 ) ( 27)]        
b. 
22 6 9 2 4(6 8 ( 2) )      
 
 
c.  232 823824314  
d.  232 272362435  
e. 
2 1 7 1 1
2 2
5 3 6 3 10
 
     
 
 
f. 
1 1
5 3 2
31 2
2 5
 

  
 
 
  
 
    
  
  
 
g. 
1 6 25
4 15 6
1 1 7
2
3 3 15
  
   
  
 
  
 
 
h. 
1 2 25
4 5 6
2
1 4
2
3 5
  
   
   

 
i. 
1 3 1 2 6 3
1 1
2 4 4 3 5 2
      
            
      
 
 
7. Realice las siguientes operaciones en la calculadora. Trate de escribirlas casi por 
completo y use los signos de colección con cuidado. Luego compare sus resultados 
con sus compañeros. 
a.  36 6 22 12 2 3 – 23     
b. ( 0,4) 4 [2( 0,1) 0,25] 0,1      
c.  3 313 5 ( 2) ( 3 1) ( 7) 6 1 3                 
d.         
2 33 2
–2 – –3 –1 –3 –10 5 42          
 
14 
 
1.3 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS 
 
En la Resolución de Problemas existen diferentes estrategias que nos permiten 
encontrar la vía de solución. Entre las estrategias que podemos encontrar están: 
 Leer el problema y parafrasearlo 
 Confeccionar figuras de análisis: Dibujos, diagramas, esquemas, tablas, mapas, etc. 
 Determine un plan de acción 
 Lleve a cabo el plan 
 Retroalimentación y verificación 
 
 
Compra y venta 
Raúl compró cinco pantalones y dos camisas por 
120 dólares. Elena compró una camisa y dos 
pantalones por 50 dólares. ¿Cuánto cuesta un 
pantalón? 
 
Resuelva el problema a través de un dibujo de la 
situación y operaciones básicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Resolución de problemas 
 
Sería bueno que organice el desarrollo de la solución usando las siguientes pautas para 
que no olvide ningún detalle. 
Comprensión del problema e identificación de la pregunta a responder 
 Lea todo el enunciado atentamente. 
 Cuando sea posible utilice esquemas o diagramas que ilustren el enunciado y las 
relaciones entre los datos dados. 
 Identifique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta elproblema. 
 Preste atención a la pregunta del texto, suele indicar lo que se pide del problema. 
Escriba en sus palabras lo que se esta buscando y trate de describir sus unidades o 
alguna otra característica importante. 
 
Planteamiento matemático del problema 
Establezca relaciones entre las cantidades y variables indicadas anteriormente. 
Resolución 
La parte operativa por lo general es sencilla. Trabaje cuidadosamente. 
Análisis de resultados y respuesta completa 
Es muy importante que reflexione sobre el sentido de los números obtenidos con 
respecto al contexto del problema y escribir una respuesta completa como solución a la 
pregunta propuesta. No olvide colocar las unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comprender el 
problema 
Concebir un 
plan 
Ejecución del 
plan 
Examinar la 
solución 
obtenida 
16 
 
PROBLEMA 1 
Apliquemos la estructura anterior a los siguientes problemas: 
a. A un cierto número de personas se les iba a dar S/. 35 a cada uno, pero uno de ellos 
renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/. 42. ¿Cuántas 
personas iban a recibir S/. 35? 
Solución 
b. Dos empleados trabajan juntos, el primero gana S/. 10 más por día que el segundo, 
si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/. 420 y 
el segundo S/. 300. ¿Cuánto gana diariamente el segundo? 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
17 
 
c. En el año 2008 una empresa de servicios que tiene 80 trabajadores, subió el sueldo 
de sus trabajadores de 2400 a 2800 soles. En el año 2010 debido a la crisis se 
despidieron a 35 trabajadores, logrando ahorrarse durante un año el pago de estos 
salarios. Con la mitad de lo ahorrado paga sus deudas, y guarda el resto para nuevas 
contrataciones. A inicios del 2011, superada la crisis, decide contratar por un año, a 
un grupo de ingenieros pagándoles 3500 soles mensuales. 
a. ¿Cuánto pago la empresa de servicios para cubrir sus deudas? 
b. ¿Cuántos ingenieros podrá contratar con el dinero ahorrado? 
Solución 
d. Juan ha decidido renovar la cerámica de sus pisos de sus dos baños y su cocina. Las 
mayólicas cuadradas de 0,25 m de lado, para pisos de baño o cocina, están a 
S/. 25,40 el metro cuadrado. Juan toma las dimensiones de sus baños y cocina y 
decide comprar las mayólicas antes de que se gaste el dinero. Las regiones que va a 
cubrir son la cocina que tiene un área de 6 m
2
 y de dos baños, que tienen un área de 
4,5 m
2
 cada uno. 
 ¿Cuál es la cantidad mínima de mayólicas que se necesita? 
 ¿Cuál es el gasto total, considerando que el albañil le cobra por mano de obra 
$ 7,0 por metro cuadrado? (Nota: No tiene que comprar pegamento porque ya está 
incluido en cada caja). 
Solución 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
18 
 
PROBLEMA 2 
Resuelve los siguientes problemas, relacionados al tipo de cambio. 
 
SITUACIÓN I. Vivo en un cuarto cerca a la UPC, por el cual pago mensualmente un 
alquiler de $100. A mi casera le encanta recibir dólares, porque está juntando dinero 
para comprarse un auto. Eso significa que cada mes tengo que comprar dólares para 
pagarle. Supongamos que el tipo de cambio del banco y de la calle son los que están en 
la siguiente tabla: 
TIPO DE CAMBIO PARALELO TIPO DE CAMBIO BANCARIO 
 
Operación que 
hace el cambista 
 
Operación que 
hace el cajero 
Tipo de cambio 
compra 
2,71 
Compra 
(me compra $) 
Me 
pagan 
2,68 
Compra 
(me compra $) 
Tipo de cambio 
venta 
2,75 
Venta 
(me vende $) 
Yo pago 2,78 
 
Venta 
(me vende $) 
 
¿Me conviene comprarle al banco o al cambista? ………………………………. 
 
Supongamos que he decidido comprarle al banco porque la vez pasada me tocó un 
billete falso en el cambista y ya no lo he podido localizar. 
 
¿Cuál es el tipo de cambio que me da el banco? ………………………………. 
 
¿Cuánto es lo que pierdo en esa operación? ………………………………. 
 
¿Y si fueran 1 000 dólares? ………………………………. 
 
SITUACIÓN II. Paco y Pedro deciden aceptar la propuesta de su amigo Luis, de 
emprender un tour juntos hacia la Reserva nacional de Paracas. Ellos piensan partir el 
sábado en la mañana para regresar el mismo día a las 21:00 horas; para estimar cuánto 
gastarán en total, Paco averiguó en la agencia de viajes “El Milagro” que el paquete Full 
Day Paracas por persona es de USD$115,00 (incluye desayuno continental y almuerzo 
buffet) y la cena buffet que tiene un costo aparte, cuesta S/. 28,00 por persona. Si Luis 
se hará cargo de todos los gastos del viaje. ¿Cuánto pagará en total Luis si debe comprar 
los dólares? (tipo de cambio: Compra = S/. 2,65; Venta = S/. 2,70). 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
SITUACIÓN III. Sergio acaba de comprar una casa con un préstamo del banco y le 
tiene que pagar US$ 770,59 cada mes. La primera vez que fue al banco a pagar llevó 
soles y tuvo que comprar los dólares en la ventanilla. (Utilice el cuadro de la pág. 18 
para el tipo de cambio paralelo o bancario) 
¿Cuántos soles tuvo que desembolsar? 
………………………………………………….. 
Si los hubiera comprado en la calle, ¿cuánto hubiera desembolsado? 
………………………………………………….. 
En la tarde su esposa lo llamó para decirle que por favor se acercara a cierta dirección, 
para pagar una junta, que era de 175 dólares. Sonrió con astucia y pensó “Ahora no me 
agarran”. 
 
Fue donde un cambista en el Óvalo de Higuereta y compró los $175 dólares. Cuando 
llegó a donde debía pagar la junta, la señora le dijo que la junta era de 470 soles y que 
no deseaba recibir dólares. Y la verdad es que había un banco justo al frente. Si realiza 
la transacción en el banco, ¿le sobra o le falta? ¿Cuánto?20 
 
1.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS CON NÚMEROS 
RACIONALES 
CONCEPTO DE FRACCIÓN 
En una fracción, el denominador señala el número de partes en que se ha dividido la 
unidad y el numerador indica el número de partes que se han tomado. 
Por ejemplo: Al referirnos a 3
4
 se entiende que la unidad 
se ha dividido en 4 partes iguales llamados “cuartos” y se 
han tomado 3 de dichos cuartos. 
 
Ejemplo 1 
Escribe la fracción que representa la parte pintada de cada figura: 
 
EJERCICIO 
Complete la siguiente tabla: 
Frase Representación en fracciones 
a. Si gaste tres quintos de mi dinero. 
¿Qué parte me queda? 
 
b. Invertí en la compra de un 
departamento los dos quintos de mi 
jubilación. ¿Qué parte me queda? 
 
c. En una colecta, Juan aporta 300 
soles y Pedro aporta 200 soles. Si se 
llegó a recolectar 1200 soles, ¿Qué 
parte aportó cada uno? 
 
Gaste 35 de mi 
dinero 
Me Queda 2 5 de mi 
dinero 
21 
 
Frase Representación en fracciones 
d. Me aumentan un cuarto de mi 
sueldo. ¿Cuánto tengo después del 
aumento? 
 
e. Me prestan tres quintos de lo que 
tengo. ¿Cuánto tengo después del 
préstamo? 
 
f. Si una persona puede hacer una 
maqueta en cuatro horas. ¿Qué parte 
del trabajo hace en una hora? 
 
g. Un albañil puede tarrajear una pared 
en 6 horas. ¿Qué parte hace en dos 
horas? 
 
 
COMPARACIÓN DE FRACCIONES 
Comparar dos o varias fracciones consiste en determinar cuál de las fracciones es 
mayor o menor. 
 
1
er
 Caso. De dos o más fracciones que tienen el mismo numerador es mayor la que 
tiene menor denominador. 
 
Ejemplo 2 
Escribe > o < según corresponda 
a. 
1 1
3 8
 
 Solución 
 
 
 
 
 Por lo tanto, 
1 1
3 8
 
b. 
2 2
5 7
 
 Solución 
 
 
 
 
 Por lo tanto, 
2 2
5 7
 
1
3
 
1
8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
5
 
2
7
 
22 
 
2
do
 Caso. Si dos fracciones tienen el mismo denominador comparamos los 
numeradores, será mayor aquella que tenga mayor numerador. 
 
Ejemplo 3 
Escribe > o < según corresponda 
a. 
2 5
6 6
 
 Solución 
 
 
 
 
 Por lo tanto, 
2 5
6 6
 
b. 
3 2
7 7
 
 Solución 
 
 
 
 
 Por lo tanto, 
3 2
7 7
 
 
Observación: 
Si dos fracciones no tienen el mismo denominador, las reducimos a común 
denominador. Una vez reducidas a común denominador será mayor aquella que tenga 
mayor numerador. 
Para ello, se toma como denominador común el mínimo común múltiplo (MCM) de los 
denominadores y a partir de ahí estamos en el primer caso que ya hemos visto. 
 
Ejemplo 4 
¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor 4/7 o 2/3? 
Solución: 
Debemos calcular el MCM de 7 y 3, para determinar las fracciones equivalentes a 4/7 y 
2/3, con igual denominador. Como el MCM(7;3) = 21, tenemos 
4 12
7 21
 y 
2 14
3 21
 
Representación gráfica de las fracciones 
 
 
 
 
Por lo tanto, podemos concluir que. 
4 2
es menor que .
7 3
 
 
2
6
 
5
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
7
 
2
7
 
4 12
7 21
 
2 14
3 21
 
23 
 
Ejemplo 5 
Antonio se demora 3/5 de hora en hacer una tarea y Rodrigo 1/4 de hora en hacer la 
misma actividad; ¿Quién se demora menos? 
Solución: 
Debemos calcular el MCM de 5 y 4, para determinar las fracciones equivalentes a 3/5 y 
1/4, con igual denominador. Como el MCM(5;4) = 20, tenemos 
3 12
5 20
 y 
1 5
4 20
 
Representación gráfica de las fracciones 
 
 
 
 
Por lo tanto, podemos concluir que Rodrigo se demora menos. 
 
PROBLEMAS 
1. Sebastián apostó 100 soles en un casino y salió con 120 soles, Julio apostó 60 soles y 
salió con 80 soles. Utilizando fracciones determine a quién le fue mejor en el casino. 
2. Tres hermanos se reparten una torta: El mayor come los dos quintos; el segundo un 
cuarto y el menor tres décimos. ¿Qué parte de la torta queda? 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
3 12
5 20
 
1 5
4 20
 
24 
 
3. Don Javier tiene $ 5000.Gasta 3/10 de lo que tiene en movilizarse; 2/5 en comprar 
revistas y 1/5 en golosinas para sus nietos. ¿Cuánto dinero le sobra? 
4. Don Javier tiene $ 5000. Gasta 3/10 de esta cantidad en movilizarse, 2/5 del resto en 
revistas y 1/5 de lo que queda en golosinas para sus nietos. ¿Cuánto dinero le sobra? 
5. En una conferencia de microeconomía, los ocho novenos de los participantes son 
mujeres y de ellas, un cuarto usan lentes. Si en la conferencia hay 2160 personas. 
¿Cuántas mujeres usan lentes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
25 
 
6. Mónica confecciona una torta para el cumpleaños de su hijo mayor. Si el hijo mayor 
come un cuarto de la torta, el hijo menor los dos tercios de lo que queda y sólo 
sobran 168g de torta para los padres. ¿Cuál era la masa de la torta? 
7. Una máquina puede efectuar cierta labor en dos horas. Otra máquina puede hacer el 
mismo trabajo en tres horas. Si ambas máquinas realizan el trabajo en forma 
conjunta. ¿Qué parte del trabajo hacen en una hora? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respuesta con verbo y unidades: 
26 
 
8. Para recibir el Año Nuevo 2013, Juana y Paola se comprometen a elaborar una cierta 
cantidad de antifaces para todos los invitados a la fiesta. Juana puede hacer todo el 
trabajo en 10 horas y Paola lo puede hacer en 14 horas. Paola comienza a trabajar a 
las 5 a.m. Luego a las 8 a.m., Juana llega para ayudar a Paola. ¿Qué fracción del 
trabajo han avanzado hasta el medio día? ¿Qué parte les queda por hacer?Respuesta con verbo y unidades: 
 
27 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 1.3 – 1.4 
1. Para el cumpleaños de su hijo menor, Raúl ha invitado a 33 niños, y ha 
comprado 90 canapés a un precio de 6 canapés por S/. 1,80; además compró 25 
alfajores, a 90 céntimos el alfajor y finalmente 4 docenas de waffles a S/. 13 
la docena. Si Raúl tenía S/. 200, ¿cuánto dinero le queda después de su compra? 
2. A un cierto número de personas se les iba a dar S/. 64 a cada uno, pero uno de ellos 
renunció a su parte, por lo que a cada uno de los demás les tocó S/. 72. ¿Cuántas 
personas iban a recibir S/. 64? 
3. Dos empleados trabajan juntos, el primero gana S/. 10 más por día que el segundo, 
si después de haber laborado el mismo número de días, el primero recibió S/. 270 y 
el segundo S/. 180. ¿Cuánto gana diariamente el segundo? 
4. Un empresario decide entregar a cada uno de sus trabajadores 300 soles. Uno de 
ellos es despedido y el total es repartido entre los demás, recibiendo cada uno 360 
soles. ¿Cuántos eran los trabajadores inicialmente? 
5. Una vendedora compra en el mercado mayorista 240 kilogramos de fresas, de buena 
calidad, a S/. 4,00 el kilogramo. En el transporte se aplasta un sexto del total y 
decide vender las aplastadas a diez kilogramos por S/.9,00 y el resto a cinco 
kilogramos por S/. 30,00. Si vende las fresas no malogradas en cajas de cinco 
kilogramos cuyo costo es S/. 4,50 cada una, ¿gano o perdió?¿Cuánto? 
6. Juan tiene una tarjeta de crédito en soles con un saldo a favor de S/. 229,20. Salió a 
hacer compras y pagó con tarjeta los siguientes montos: S/. 296,10; S/. 103,00 y 
S/. 76,20. Como había gastado mucho, antes de la fecha de cierre de la tarjeta, 
depositó, en dicha cuenta, $ 130,00. Si, a fin de mes, el banco le carga por 
aportaciones y otros S/. 7,58, ¿cuál es el saldo de la tarjeta a fin de mes? (tipo de 
cambio: venta = S/. 2,80; compra = S/. 2,72). 
7. Alfredo y su esposa tomaron un tour de tres días y dos noches a la cuidad de 
Huamanga por Semana Santa. En este paquete no estaban considerados los 
alimentos, que ascendieron a S/. 60 diarios para la pareja. Alfredo admirador del arte 
del lugar, compró una pintura de los más renombrados artistas de la región por 
$ 350. Su esposa compró seis retablos a $ 15 cada uno; cuatro a $ 25 dólares cada 
uno; y finalmente gastó S/. 350 en artesanía ayacuchana y S/. 120 en algunos dulces 
lugareños para llevar a sus familiares de regreso a Lima. Si la pareja de esposos 
llevó como bolsa de viaje $ 500 dólares y S/. 930. ¿Con cuánto dinero regresó a 
Lima? (Tipo de cambio: venta = S/. 2,80; compra = S/. 2,72). 
8. Luchín decide irse el fin de semana hasta Asia con un grupo de amigos. Él piensa 
viajar en su propio auto y para estimar cuanto gastará en gasolina, sabe que de Lima 
a Bujama hay 90 km (deberá considerarse viaje de ida y vuelta); que su auto rinde 
45km por galón y que la gasolina que usa le cuesta S/. 14,00 por galón. 
a. ¿Cuánto dinero gastará en gasolina? 
b. Luchín decide sacar del cajero la mínima cantidad de dinero necesaria para pagar 
la gasolina considerando además que debe pedir cantidades factibles (el cajero 
solo entrega billetes de S/.20, S/. 50 o S/. 100). Tiene una cuenta en dólares pero 
él puede retirar soles ya que el cajero hace la conversión automática 
(TC: compra S/. 2,75; venta: S/.2,80). Si antes de sacar el dinero, tenía en su 
cuenta $ 664,20, ¿cuántos dólares quedan en su cuenta después de la operación? 
28 
 
9. Antonio se demora 13/20 de hora en hacer una tarea y Rodrigo 3/15 de hora en 
realizar la misma actividad. ¿Quién se demora menos? 
10. Andrea hace un trabajo en 4 horas, Julio lo puede hacer en 6 horas. Si empiezan a 
trabajar juntos. ¿Qué parte les queda por hacer luego de 2 horas? 
11. En una colecta de socios de una cooperativa, Juan aporta la sexta parte y Pedro 
aporta tres quintos. Si solo se llegó a recolectar cinco sextos del total, ¿Qué parte 
aportaron los demás socios? 
12. Vicente juega cartas; en la primera partida pierde 2/5 de lo que tenía y en la segunda 
partida gana 3/7 de lo que aún le quedaba. ¿Qué parte de lo que tenía al principio le 
quedó? ¿Ganó o perdió? 
13. Don Paulo desea repartir su herencia de la siguiente manera: 3/10 a sus hijos y 5/7 
del resto a sus nietos. Lo que queda, que asciende a $9000 lo destina para sus 
sobrinos. Calcule el monto de la herencia. 
14. Jenniel va al casino “Te encántala” y en la primera jugada pierde un tercio de lo que 
tenía. En la segunda jugada gana tres cuartos de lo que le quedaba, retirándose con 
S/. 56 en su bolsillo. ¿Con cuánto ingresó al casino? 
15. Pedro etiqueta 500 polos en seis horas, Marcos lo puede hacer en cinco horas. Pedro 
comienza a trabajar a las 9 a.m. Luego a las 10 a.m., Marcos llega para ayudar a 
Pedro. ¿Qué fracción del trabajo han avanzado hasta el mediodía?¿Qué parte les 
queda por hacer? 
16. Para recibir el Año Nuevo 2013, Magna y Lucero se comprometen a elaborar una 
cierta cantidad de antifaces para todos los invitados a la fiesta. Magna puede hacer 
todo el trabajo en 8 horas y Lucero lo puede hacer en 12 horas. Lucero comienza a 
trabajar a las 6 a.m. Luego a las 9 a.m., Magna llega para ayudar a Lucero. ¿Qué 
fracción del trabajo han avanzado hasta el medio día? ¿Qué parte les queda por 
hacer? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
UNIDAD N° 2. RAZONES Y PROPORCIONES. 
PORCENTAJES 
 
2.1 RAZONES Y PROPORCIONES 
Definición: 
Una razón es una comparación de dos cantidades comparables. Dicha 
comparación se puede hacer de dos maneras: 
 Por cociente de dos reales: 0;  b
b
a
r (razón geométrica) 
 Por diferencia de dos reales: r = b - a (razón aritmética) 
Ejemplo 1 
Si un padre tiene 40 años y su hijo tiene 10 años, podemos decir que el padre le lleva 30 
años a su hijo (razón aritmética con r = 40 – 10 = 30) o también que tiene 4 veces su 
edad (razón geométrica con 
40
4
10
r   ). 
Notas: 
 La razón aritmética, es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. 
Nos permite saber el número de unidades que una cantidad excede a otra. 
 La razón geométrica, es la comparación de dos cantidades mediante la división. Nos 
permite conocer el número de veces que una cantidad contiene a la otra. 
 En adelante usaremos sólo las razones geométricas. 
 En una razón geométrica 0;  b
b
a
r , a se denomina antecedente y b se denomina 
consecuente. 
 
Ejemplo 2 
Expresemos los siguientes enunciados en forma equivalente usando el concepto de 
razón. 
a. En una reunión familiar se observa que, por cada 4 
adultos hay 6 niños. 
Número de adultos 4 2
Número de niños 6 3
A
N

 
 
Esto es, la razón entre el número de adultos y niños 
es de 2 a 3 ó el número de adultos y el número de niños son entre sí como 2 es a 3. 
Supongamos que asistieron a la reunión familiar 10 adultos, como 10 es el quíntuple 
de 2, entonces el número niños asistentes a la reunión sería es el quíntuple de 3, es 
decir 15 niños. 
30 
 
b. La relación entre la cantidad de habitantes en Japón y el espacio que ocupan en 
kilómetros cuadrados es: 
2
Número de habitantes 339hab
Área 1km
P
A



 
Se lee: la razón entre el número de habitantes y 
kilómetros cuadrados es de 339 a 1 ó por cada 
kilómetro cuadrado hay 339 habitantes. 
c. En el Perú 25 de cada 1000 personas cursan estudios 
universitarios. 
P. universitarias 25 1
Hab. del Perú 1000 40
U
P

 

 
Se lee: la razón entre el número de estudiantes universitarios 
y personas es de 1 a 40 ó el número de estudiantes universitarios y el número de 
personas son entre sí como 1 es a 40. 
EJERCICIO 1 
Resuelva las siguientes situaciones. 
a. Densidad de la población: La extensión territorial del Perú es de 1285 215 km2 
aprox. y su población aproximada en el 2011 era de 30 000 000 de habitantes.¿Cuál 
fue su densidad poblacional en el año 2011? 
b. Las razones permiten comparar el precio de dos productos de características 
similares: Se desea comprar un terreno y por medio del periódico se obtiene la 
siguiente información: hay un terreno de 180 m
2
 a $360 000 en Surco y otro de 
210 m
2
 a $410 000 en Miraflores. ¿Cuál de los dos terrenos tiene el metro cuadrado 
más caro? 
 
 
 
 
 
Respuesta completa: 
 
 
 
 
 
Respuesta completa: 
31 
 
c. ¿Qué empresa debo elegir? Por el día de la madre, la empresa de telefonía móvil 
“Rin Rin” ofrece la siguiente promoción: Por cada S/. 180 de consumo en tarjetas 
prepago se regala un vale por 30 minutos adicionales. En “Aló Mex” se ofrece la 
siguiente promoción: por cada 120 soles de consumo en tarjetas prepago, se regala 
un vale de 24 minutos adicionales. ¿Qué empresa ofrece la promoción más 
ventajosa? 
 
d. ¿Cuál empleo debo aceptar? Un egresado universitario tiene dos ofertas de 
trabajo. La compañía “Clarinete” le ofrece un sueldo semanal de S/. 5200 por 
40 horas de trabajo a la semana y la compañía “Moviestati” le ofrece un sueldo 
semanal de S/. 6400 por 50 horas de trabajo a la semana. ¿Qué compañía le ofrece 
un mejor pagó por hora? 
 
Ejemplo 3 
Interprete y simbolice el siguiente enunciado: 
 
 
 
 
 
Respuesta completa: 
 
 
 
 
Respuesta completa: 
Definición: 
Una proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción geométrica es de la 
forma 
d
c
b
a
 (con 0b y 0d ) 
y se lee “ a ” es a “ b ” como “ c ” es a “ d ”. Además, a y d son los extremos de la 
proporción y b y c son los medios de la proporción. 
a. La razón entre el número de 
profesionales y el número de 
trabajadores de una empresa, es la 
misma que entre el número de técnicos 
y el número de obreros. 
 b. La razón entre el número de hombres y 
el número de mujeres de una fábrica, es 
la misma que entre el número de 
profesionales y el número de obreros. 
 
 
 
 
 
32 
 
Propiedad fundamental 
Para todo a, b, c y d no nulos, 
 
d
c
b
a
 es equivalente a bcad  
 
 
Consecuencia importante: Existe un número real k tal que ., kdbkca  
Dada la siguiente proporción: 
7
4

b
a
 
a. Supongamos que a es 40, 
entonces 
4
7
10
4 40
7
10
a
b


  
entonces b = 70 
 
b. Supongamos que a es 20, 
entonces 
4
7
5
4 20
7
5
a
b


  
entonces b = 35 
 
 
En conclusión ka 4 y kb 7 
 
Ejemplo 4 
Si me dicen que 
2
5
a
b
 ¿Qué puedo concluir de a y b? 
Solución: 
Nada, solo que 2a k y 5b k 
 
Ejemplo 5 
Si 
2
5
a
b
 y 56a b  ¿Cuánto valen a y b? 
Solución: 
Del ejemplo 3 se sabe que 2a k y 5b k . 
56 2 5 56
7 56
8
Si a b k k
k
k
    


 
Luego, 2(8) 16a   y 5(8) 40b   . 
 
 
 
33 
 
 
EJERCICIO 2 
 
1. Si 
4
7
a
b
 y 44a b  ¿Cuánto valen a y b? 
 
2. Si 
5
3

d
c
 y 40 dc ¿Cuánto valen c y d? 
 
3. En la fiesta de fin de ciclo 2013-1 de la UPC asistieron 1800 alumnos, donde 
asistieron 5 hombres por cada 4 mujeres. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres 
asistieron a la fiesta? 
 
4. Al inicio de un partido de futsal interuniversitario: UPC-ULima, hay 200 asistentes, 
de los cuales 80 son alumnos de la UPC y los restantes alumnos de la U. de Lima. 
¿Cuántos asistentes adicionales de la UPC deben llegar para que, en el segundo 
tiempo, por cada 7 de la UPC haya 5 de la U. de Lima, si la cantidad de alumnos de 
la U. de Lima no varía? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
 
a % de 
100
a
N N 
100
a
 se denota por a % y se lee: " a por ciento" 
 
2.2 PORCENTAJES 
 
Los porcentajes constituyen uno de los lenguajes matemáticos de uso más extendido en 
la vida real. Es muy frecuente que los utilicemos para indicar qué representa una 
cantidad respecto a otra, siendo esta otra cantidad 100. Su potencialidad radica en que 
es un método homogéneo que permite comparar fácilmente dos cantidades. 
 
Ejemplo 1 
12 0,25
12%(300) 300; 0,25%(40) 40; %(54) 54
100 100 100
a
a      
Es decir: 
 
 
 
 
 
Cálculo del porcentaje de una cantidad 
 
El a % de una cantidad N se calcula de la siguiente forma: 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
Responda las siguientes preguntas. 
a. ¿Cuánto es el 30% de 200? 
 
 Solución: 
30% de 200 = 60)200(
100
30
 
 Rpta. El 30% de 200 es 60 
b. ¿Cuánto es el 12,5% de 400? 
 
 Solución: 
 Rpta. 
c. ¿Cuánto es el 45,5% de 240? 
 
 Solución: 
 
 
 
 Rpta. 
d. ¿Cuánto es el 2,6% de 350? 
 
 Solución: 
 
 
 
 Rpta. 
35 
 
 
¿Qué porcentaje es un número de otro? 
 
Ejemplo 3 
Responda las siguientes preguntas. 
a. ¿Qué porcentaje es 24 de 40? 
 
 Solución: 
 % de 40 24
(40) 24
100
60
a
a
a



 
 Rpta. 24 es el 60% de 40. 
b. ¿220 qué porcentaje es de 200? 
 
 Solución: 
 % de 200 220
(200) 220
100
110
a
a
a



 
 Rpta. 220 es el 110% de 200. 
c. ¿Qué porcentaje es 78 de 120? 
 
 Solución: 
 
 
 
 Rpta. 
d. ¿90 qué porcentaje es de 48? 
 
 Solución: 
 
 
 
 Rpta. 
 
Hallar un número conociendo un porcentaje de él 
Ejemplo 4 
Responda las siguientes preguntas. 
a. ¿El 12% de qué número es 36? 
 
 Solución: 
300
36
100
12
36de % 12



N
N
N
 
 Rpta. El 12% de 300 es 36. 
b. ¿120% de qué número es 450? 
 
 Solución: 
120 % de 450
120
450
100
375
N
N
N



 
 Rpta. El 120% de 375 es 450. 
36 
 
c. 84 es el 120%, ¿de qué número? 
Solución: 
 
 
 Rpta. 
d. ¿De qué número 200 es el 80%? 
 
 Solución: 
 
 
 Rpta. 
 
 
EJERCICIO 1 
Responda las siguientes preguntas. 
a. ¿Cuánto es el 12,5% de 450? 
 
 
 
b. ¿Qué porcentaje es 200 de 40? 
 
 
 
 
 
c. ¿El 250% de qué número es 600? d. ¿Cuánto es el 0,5% de 200? 
 
 
 
 
 
 
 
 
e. ¿18 qué porcentaje es de 72? 
 
 
 
f. ¿El 5% de qué número es 60? 
 
 
 
 
 
37 
 
Observación: 
Después de haber resuelto los ejercicios anteriores te habrás dado cuenta que cuando se 
trabajan con porcentajes se distinguen, por lo general, tres casos: 
a. Determinar cuánto es el a% de un número. 
b. Determinar qué porcentaje es un número de otro. 
c. Determinar un número conociendo un porcentaje de él. 
 
EJERCICIO 2 
Revisemos ahora ejerciciossimilares de porcentajes, que contienen enunciados. 
 
a. Si el precio de un televisor LCD Full HD de 42" Toshiba es de S/. 1650 si se sabe 
que se aplica el 18%. ¿Cuál es el importe por concepto de IGV? 
b. Juan decide retirar los 25000 dólares de su cuenta a plazo fijo para abrir una pequeña 
empresa. Si antes de hacer el retiro del dinero, realizo el pagó del ITF (0,005%) por 
dicho monto. ¿Cuál es el importe por concepto de ITF? 
 
c. En la PC1 obtuve 10 de nota y en la PC2 obtuve 14 de nota. ¿Cuántos puntos 
aumentó mi nota? ¿En qué porcentaje aumentó mi nota respecto a la nota inicial? 
d. Me vendieron un IPod valorizado en $320 a solo $280 por aniversario de la tienda. 
¿Cuál fue el descuento en dólares? ¿Cuál fue el porcentaje de descuento? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
e. Por cierra puertas, Kari Falabella hace una rebaja de 75 dólares sobre el precio de un 
Blu-ray que cuesta 540 dólares. Mientras que Riplay hace una rebaja de 60 dólares 
sobre el precio del mismo producto que cuesta 520 dólares. ¿Qué porcentaje de 
descuento me da cada tienda? 
f. Alexander recibió en la quincena de este mes el 40% de su sueldo mensual. Si al 
cobrar su quincena recibió 3400 dólares, ¿cuál es el sueldo mensual de Alexander? 
g. El sueldo de un empleado subió en 5,75%, lo que equivale a un aumento de 298 
soles. ¿Cuál es el sueldo de este empleado? 
h. Si el precio de un televisor LCD Full HD de 42" Toshiba es de S/. 1650. 
¿Cuál es el porcentaje de descuento, si por fiestas patrias se vende a S/. 1590? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://en.wikipedia.org/wiki/Blu-ray_Disc
39 
 
i. Mi profesor me va aumentar el 15% de mi promedio. Si mi promedio fue 12. ¿Cuál 
será mi nuevo promedio? 
j. Soledad y Claudia reciben sueldos mensuales de S/. 9200 y S/. 6800 
respectivamente. Entre las dos compran una refrigeradora aportando el 20% y 10% 
de sus sueldos respectivamente. ¿Cuál es el precio de la refrigeradora? 
k. Un juego de comedor de $ 1200 se rebaja en febrero en un 20%. ¿Cuál es el nuevo 
precio? Al mes siguiente se realiza un descuento del 25%. ¿Cuánto cuesta al final el 
juego de comedor? 
 
AUMENTO Y DISMINUCIÓN PORCENTUAL 
Un aumento porcentual es añadir un porcentaje a una 
cierta cantidad y una disminución porcentual es quitar 
un porcentaje a una cierta cantidad. 
Observa: 
 Es muy importante saber qué cantidad es el 100%, ya 
que todos los porcentajes lo serán respecto a ella. 
 Cuando un número cambia a otro en un determinado 
porcentaje, el 100% es siempre del número inicial. Si es un aumento, el nuevo 
representará un porcentaje mayor que 100% del número inicial. Si es una 
disminución, representará un porcentaje menor que 100%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40 
 
Ejemplo 5 
1. Responde a las siguientes preguntas: 
a. Si una cantidad disminuye en 23%, ¿qué 
porcentaje queda de dicha cantidad? 
 
b. Si una cantidad disminuye en 25%, ¿qué 
porcentaje queda de dicha cantidad? 
 
c. Si una cantidad aumenta en 28%, ¿qué 
porcentaje se obtiene? 
 
d. Si una cantidad aumenta en 18%, ¿qué 
porcentaje se obtiene? 
 
e. Si una cantidad disminuye en 36%, ¿qué 
porcentaje se obtiene? 
 
2. En la columna correspondiente al Precio Final, coloque el factor correspondiente que 
multiplica al Precio inicial, según se trate de un aumento o un descuento. 
Precio 
inicial 
Aumento 
(%) 
Precio final Descuento 
(%) 
Precio final 
(Factor)P (Factor)P 
120 18 1,18(120) 18 0,82(120) 
348 20 20 
 720 25 25 
3200 30 30 
50 100 100 
 
Descuentos sucesivos 
Supongamos que Mafalda desea comprar una falda en una 
tienda de Kari Falabella y al llegar a dicha tienda encuentra la 
siguiente oferta: 
 
¿Es posible afirmar, que un descuento del 70% más el 10% 
equivalen a un descuento único del 80%?, la respuesta es no. 
Lo que ocurre es que al precio de la falda se le aplicara 
descuentos sucesivos del 70% y 10%. Es decir, primero 
descontamos el 70% al precio inicial (Pi); con lo que nos 
queda el 30% de Pi (30%×Pi), luego en forma sucesiva, se 
aplica el segundo descuento del 10%, pero este descuento se 
aplica a lo que ha quedado del primer descuento, con lo que 
nos queda 90% del 30% de Pi (90%×30%×Pi = 27%×Pi). 
Queda el 77% de 
dicha cantidad 
 
 
 
 
0,77 de la 
cantidad 
 
 
 
 
41 
 
Para aclarar mejor el problema, veamos a cuanto equivalen dos descuentos sucesivos 
del 70% y 10% en un cuadro: 
 
Sea N el precio inicial de la falda (sin descuentos) 
 
En conclusión, dos descuentos sucesivos del 70% y 10%, equivalen a un descuento 
único del 73%. 
 
Ejemplo 6 
Si una cantidad disminuye en 30% y luego en 10%. ¿Qué porcentaje queda de dicha 
cantidad? ¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos 
anteriores? 
Solución: 
Sea N la cantidad inicial. 
 
 
En conclusión, después de dos descuentos sucesivos del 70% y 10%, queda el 63% de la 
cantidad inicial, por lo tanto los dos descuentos sucesivos equivalen a un descuento 
único del 37%. 
 
Observación. 
Cuando tengamos que hacer descuentos sucesivos, recordemos que el primer 
descuento se aplicará a la cantidad inicial, y a partir del segundo descuento, éste se 
aplicara a la cantidad que ha quedado del descuento anterior. 
De manera análoga también se hará cuando se trata de aumentos sucesivos. 
 
 
N 70%N 30%N 
100% 
–30% 
100% 
–10% 
0,90×0,70N 0,63N 
 Queda 
= 63%N 
90% 
Descuento único 
37%N 
100%63%N N
 
N 30%N 30%N 
100% 
–70% 
100% 
–10% 
0,90×0,30N 0,27N 
 Queda 
= 27%N 
90% 
Descuento único 
73%N 
100% 27%N N
 
42 
 
Aumentos sucesivos 
 
Ejemplo 7 
Si una cantidad aumenta en 30% y luego en 10%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es 
el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores? 
Solución: 
Sea N la cantidad inicial. 
 
En conclusión, después de dos aumentos sucesivos del 30% y 10%, alcanza el 143% de 
la cantidad inicial, por lo tanto los dos aumentos sucesivos equivalen a un aumento 
único del 43%. 
 
Ejemplo 8 
Si una cantidad aumenta en 25% y luego en 15%. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es 
el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores? 
Solución: 
Sea N la cantidad inicial. 
 
En conclusión, después de dos aumentos sucesivos del 25% y 15%, alcanza el 143,75% 
de la cantidad inicial, por lo tanto los dos aumentos sucesivos equivalen a un aumento 
único del 43,75%. 
 
 
N 125%N 125%N 
100% 
+25% 
100% 
+15% 
1,15×1,25N 1,4375N 
 Se obtiene 
= 143,75%N 
115% 
Aumento único 
43,75%N 
143,75% 100%N N
 
N 130%N 30%N 
100% 
+30% 
100% 
+10% 
1,1×1,3N 1,43N 
 Se obtiene 
= 143%N 
110% 
Aumento único 
43%N 
143% 100%N N
 
43 
 
Aumentos y descuentos sucesivos 
Ejemplo 9 
Si una cantidad aumenta en 20% y luego disminuye en 10%. ¿Qué porcentaje se 
obtiene? ¿A cuánto equivale un aumento en 20% y luego un descuento en 10%? 
Solución: 
Sea N la cantidad inicial. 
 
Rpta. Se obtiene 108% de la cantidad inicial. Es decir, la cantidad inicial aumenta un 8% 
 
Ejemplo 10 
Si una cantidad disminuye en 20% y luego aumenta en 10%. ¿Qué porcentaje queda de 
dicha cantidad? ¿A cuánto equivale un descuento del 20% y luego un aumento en 10%? 
Solución: 
Sea N la cantidad inicial. 
 
Rpta. Queda el 88% de la cantidad inicial. Es decir, la cantidad inicial disminuye un 
12% 
EJERCICIO 3 
a. Si una cantidad disminuye en 40% y luego en 50%, ¿Qué porcentaje se obtiene? 
¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos 
anteriores? 
 
 
 
 
 
N 80%N 80%N 
100% 
–20% 
100% 
+10% 
1,1×0,8N 0,88N 
 Queda 
= 88%N 
110% 
Disminuye 
12% N 
100% 88%N N
 
N 120%N 120%N 
100% 
+20% 
100% 
–10% 
0,90×1,2N 1,08N 
 Se obtiene 
= 108%N 
 90% 
Aumento 
8% N 
108% 100%N N
 
44 
 
b. Por la compra de 6 libros se realizan dos descuentos sucesivos del 10% y 20%. 
¿Este descuento a que descuento único equivale? 
c. Si una cantidad disminuye en 15% y luego en 36%. ¿Qué porcentaje se obtiene? 
¿Cuál es el porcentaje de descuento único equivalente a los dos descuentos 
anteriores? 
d. Si una cantidad aumenta en 20% y luego en 30%. ¿Qué porcentaje se obtiene? 
¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos aumentos anteriores? 
e. Por el buen trabajo realizado, Jenniel va a recibir dos aumentos sucesivos del 30% 
y 25% en su sueldo. ¿Qué porcentaje se obtiene? ¿Cuál es el porcentaje de aumento 
único equivalente a los dos aumentos anteriores? 
f. Durante enero la producción de hierro aumento un 6%, y disminuyo un 3% durante 
febrero. ¿Cuánto se elevó la producción en ese bimestre? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
g. Un vendedor de electrodomésticos decide aumentar los precios de sus artículos en 
8%, pero para obtener una ganancia aún mayor decide aplicarle a continuación otro 
aumento del 12%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos 
aumentos anteriores? 
h. Por promoción, en una tienda se le aplica al precio de una prenda de vestir un 
descuento del 10%, seguido posteriormente de un descuento del 20%. Si 
inicialmente la prenda costaba S/. 90. ¿Cuánto cuesta finalmente la prenda de 
vestir? 
i. Un juego de comedor de $ 1000 se rebaja en febrero en un 20%. Al mes siguiente 
baja el precio en un 25%. ¿Cuánto cuesta al final el juego de comedor? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS 2.1 – 2.2 
1. Responda a las siguientes preguntas. Justifique sus respuestas. 
a. Si la razón entre dos números a y b es como 9 a 5, ¿significa que a es 9 y b es 5? 
b. Si 
3
4
a
b
 y 21ba , ¿es cierto que 6a y 15b necesariamente? 
c. Las edades de Mariel y Karen son entre sí como 25 es a 15, ¿es posible 
determinar la diferencia de sus edades? 
d. Beatriz y Oscar discuten sobre quien tiene mejor puntería. Oscar ha dado al 
blanco 28 de 32 veces; Beatriz 30 de 36 veces. ¿Quién tiene mejor porcentaje de 
tiros al blanco? 
e. El 0,001% del precio de un terreno es S/. 720. ¿Cuál es el precio del terreno? 
f. Si aumento el precio un 15% y luego se disminuye en un 10%. ¿Qué porcentaje 
se obtiene del precio? 
2. Una prueba de matemáticas tiene 10 preguntas. Un alumno responde correctamente 
6 de estas preguntas y omite una. Escriba la razón entre: 
b. El número de preguntas correctas y el número total de preguntas. 
c. El número de preguntas incorrectas y el número de preguntas correctas. 
d. El número de preguntas omitidas y el número total de preguntas. 
3. Un país tiene una población de 7 634 000 habitantes en una extensión de 18 704 
millas cuadradas. La relación del número de habitantes a millas cuadradas se llama 
densidad y mide la cantidad de habitantes por milla cuadrada. Aproximadamente, 
¿cuál es la densidad poblacional de este país? 
4. Un Ing. de sistemas tiene dos ofertas de trabajo. La compañía “RockTeam” le ofrece 
un sueldo mensual de S/. 4800 por 30 horas de trabajo a la semana y la compañía 
“ClassTeam” le ofrece un sueldo mensual de S/. 6240 por 40 horas de trabajo a la 
semana. ¿Qué compañía le ofrece un mejor pagó por hora? 
5. Simone desea adquirir un paquete de viaje para sus 48 alumnos de promoción. En la 
agencia, le ofrecen dos paquetes: el primero de $ 482,00 para 16 personas y el 
segundo de $ 355,00 para 12 personas. ¿Cuál de la propuesta le convendría tomar a 
Simone? 
6. El supermercado La Unión, ofrece a sus clientes una promoción insuperable: Por la 
compra de 30 six pack de yogurt “La Mamis” regalan cinco cereales “El Clavel”. 
a. Expresa el enunciado anterior, mediante una proporción. 
b. Si Pablo compró 180 six pack de yogurt “La Mamis”, ¿Cuántos cereales “El 
clavel” le obsequiaron? 
7. Las edades de Juan y Pablo son entre sí como 5 es a 6. Si el menor tiene 20 años, 
¿cuántos años tiene el mayor? 
8. El mayorde dos números es 42 y la relación entre ambos es de 5 a 7. Halle el 
número menor. 
9. Dos números son entre sí como 2 es a 17. Si el menor es 14, ¿cuál es el mayor? 
47 
 
10. Adolfo ganó las elecciones para la presidencia de la Asociación de Estudiantes de 
Contabilidad por una razón de 5 a 2. ¿Cuántos votos recibió si votaron 168 
estudiantes? 
11. El perímetro de un terreno rectangular es 80 metros. Si el largo y el ancho se 
encuentran en la relación de 3 a 2. Calcular sus dimensiones. 
 
12. Faltando pocas horas para finalizar un día sábado, el número de clientes hombres y 
mujeres de una conocida pizzería está en la relación de 8 a 6, siendo el total de 
clientes igual a 350. ¿Cuántas mujeres asistieron a la pizzería? 
 
13. Tres agricultores, cuyas fincas colindan, han suprimido los linderos y unido sus 
tierras para formar una cooperativa de 240 000 m
2
. Complete la tabla adjunta: 
Agricultores m
2
 % Fracción Decimal 
Mateo 86 400 
Santiago 
Eliseo 44 
Total 240 000 
 
14. La leche da un 12,5% de su volumen en crema. Si se ha obtenido 30 litros de crema, 
¿cuántos litros de leche se ha procesado? 
15. ¿Qué porcentaje de descuento se aplica a un reloj de mano que cuesta $ 150 y está 
rebajado a $ 67,50? 
16. De los 500 alumnos del curso de Nivelación, 110 usan lentes de contacto, ¿qué 
porcentaje de los alumnos no usan lentes de contacto? 
17. Salieron de paseo el 84% de los alumnos de un colegio. Si 20 alumnos 
permanecieron en el colegio, ¿cuántos alumnos hay en el colegio? 
18. Un agente recibe $ 3640,00 de comisión por la venta de cuatro automóviles 
idénticas. Si su comisión es del 7% por cada automóvil, ¿cuál era el precio de cada 
automóvil? 
19. En un colegio de 800 alumnos el 60% son hombres. Si el 20% de los hombres y el 
10% de las mujeres usan lentes, ¿qué porcentaje del total de alumnos usan lentes? 
20. Una compañía adquiere una propiedad de 1 800 m2. Del siguiente modo: El 22% de 
la finca lo paga a $2 200,00 el metro cuadrado; el 56% a $ 800,00 el metro cuadrado 
y el resto a $500,00 el metro cuadrado. ¿A cuánto asciende la compra? 
21. En una canasta hay 75 frutas del cual el 40% es naranjas y el resto es manzanas. Si 
se aumenta 12 naranjas y se retira 12 manzanas, ¿qué porcentaje representa ahora el 
nuevo número de manzanas del total de frutas? 
 
48 
 
22. El dueño de una empresa le plantea a sus trabajadores que ganan un sueldo de 
$600,00 al mes que, por la mala situación que atraviesa la empresa, se les debe hacer 
un descuento en su sueldo del 20%, con la condición que dentro de tres meses 
recibirán un aumento del 30%. ¿Cuál es el sueldo final de los trabajadores después 
de los tres meses? ¿En qué porcentaje se incrementa su sueldo final respecto a los 
$600,00? 
23. Un vendedor de electrodomésticos decide aumentar los precios de sus artículos en 
12%, pero para obtener una ganancia aún mayor decide aplicarle a continuación otro 
aumento del 15%. ¿Cuál es el porcentaje de aumento único equivalente a los dos 
aumentos anteriores? 
24. Por promoción, en una tienda se le aplica al precio de una prenda de vestir un 
descuento del 18%, seguido posteriormente de un descuento del 5%. Si inicialmente 
la prenda costaba S/. 90. ¿Cuánto cuesta finalmente la prenda de vestir? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
2.3 APLICACIONES ECONÓMICAS DE PORCENTAJES 
Los porcentajes se utilizan en las operaciones comerciales, como por ejemplo: variación 
porcentual, merma, comisiones sobre las ventas, descuento de precios, margen de 
ganancia, monto del impuesto general a las ventas, gastos de envío, interés simple, 
compuesto o continuo, etc. 
1. VARIACIÓN PORCENTUAL (VP) 
El cálculo de variaciones es sumamente útil para ver el crecimiento o decrecimiento 
porcentual de algún factor en comparación a un comportamiento anterior. 
 
Ejemplo 1 
Variación de peso. En el mes de enero, Juan pesaba 80 kg y, luego de dos meses, su 
peso es de 88 kg. Calcule la variación porcentual del peso de Juan. 
 
Solución: 
Peso inicial : 80 kg. 
Peso final : 88 kg. 
Luego, en los dos meses el peso final menos el peso inicial es igual a 8 kg. 
¿Qué porcentaje representa 8 kg del peso inicial? %10%100
80
8
 
Respuesta: Juan tuvo una variación del 10% de su peso. 
 
Observación: 
Para determinar cuánto varió una cantidad Vf respecto a otra cantidad Vi , se 
debe realizar la siguiente operación: 
 
 Variación porcentual 100%
f i
i
V V
V

  
 
 
EJERCICIO 1 
a. Una empresa Textil vendió en el año 2011 $125 000 y en el año 2012 vendió 
$183000 
i. ¿Cuál será la variación de ventas? 
ii. ¿Cuál será la variación porcentual de ventas del año 2011 al 2012? 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
b. Rebeca quiere comprar dólares hoy siendo el tipo de cambio (venta) de S/. 2.80, al 
día siguiente vuelve a comprar dólares y se da con la sorpresa que el tipo de cambio 
(venta) ha bajado a S/. 2.76 ¿Cuál fue la variación porcentual en el tipo de cambio? 
 
2. APLICACIONES DE MERMA 
Una merma es una pérdida o disminución en el número o en el tamaño de una cosa. Por 
ejemplo, al secar cierta cantidad de arroz, ésta se ve disminuida en su peso debido a la 
humedad que presentaba. 
 
Ejemplo 2 
Un agricultor acaba de cosechar 50 000 kg de arroz, pero por efectos de la humedad se 
obtuvo al final 48 500 kg del producto. ¿De cuánto fue la merma por efectos de la 
humedad? ¿Cuál fue el porcentaje de merma? 
Solución: 
Si inicialmente se tiene 50 000 kg de arroz, luego 
 
Tenemos que calcular el porcentaje de merma: 
 % de 50000 1500
(50000) 1500
100
3
a
a
a



 
Rpta: La merma por efectos de la humedad fue de 1500 kg, que representa un 3% de 
merma de la cosecha. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 000 kg 48 500 kg 
100% 
– 1500 kg 
51 
 
Ejemplo 3 
Merma en la fabricación de una mesa de madera. ¿Cuánto de madera se necesita 
para fabricar una mesa que pesa 60 kg, sabiendo que en el proceso productivo se 
produce una merma del 15%? 
Solución: 
Sea N la cantidad inicial de madera prima que había al inicio. 
 
 Por lo tanto 
85% 60
0,85 60
70,588
N
N
N



 
Rpta: Se necesita aproximadamente 70,588 kg de madera. 
 
EJERCICIO 2 
a. Un agricultor acaba de cosechar 64 000 kg de trigo, pero por efectos de la humedad 
se obtuvo al final 63 150 kg del producto. ¿De cuánto fue la merma por efectos de 
la humedad? ¿Cuál fue el porcentaje de merma? 
b. Merma de instalación. Se tiene que tapizar una sala de 68 m2. Si se sabe que en el 
proceso de instalación hay una merma del 15%, ¿cuántos m
2
 de tapizón se debe 
comprar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
N 85%N 
100% 
– 15% 
 Peso de la mesa 
= 60 kg 
52 
 
c. Merma en la fabricación de tela. Si se tiene que fabricar 1500 kg de tela de 
algodón, ¿cuántos kg de hilo se tienen que comprar para fabricar esta tela, si se sabe 
que al finalizar el proceso hay una merma del 7,8%? 
 
 
3. IMPUESTO GENERAL A LAS VENTAS (IGV) 
 
En el Perú la tasa del impuesto general a las ventas es del 18%; esto significa que