Álgebra 5 clases

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Índice general
1. FUNCIONES 2
2. OPERADORES 7
3. POLINOMIOS 8
4. HORNER 10
5. TEOREMA DEL RESTO 11
1
Caṕıtulo 1
FUNCIONES
№ 1 Dada la función f(x) =
x2 − nx+ 1
x2 + x+ 1
+ 2 con
Domf = R, determine todos los valores de n ∈ R
de tal manera que se cumpla Ranf ⊂ [2; 5〉.
A) ∅ B) R C) [−2; 2]
D) 〈−7; 1〉 E) [−2; 1〉
Vı́deo solución.
№ 2 Sea f la función definida por
f(x) = |x|+ xsgn(1− x), x ∈ R
Si el rango de f es el intervalo [n;m〉, determine
T = m− n.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
Vı́deo solución.
№ 3 Dadas las funciones
f = {(0; 0), (1; 0), (2; 1), (3; 2), (4; 3)} y
g : 〈−2; 2〉 → R dada por g(x) =
√
x+ 2. Si (g2 +
f)(α) = 3, halle 2α + 3.
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
Vı́deo solución.
№ 4 Dadas las funciones
f(x) =
√
x− 2 + x2 − 4x
g(x) = ax+ 3, a 6= 0
Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones:
I. f es inyectiva.
II. f ◦ g es decreciente, si a < 0.
III. Existe un único α ∈ R+ tal que f(α) = α
A) VFV B) FVF C) VVF
D) VVV E) FFF
Vı́deo solución.
№ 5 Dadas las funciones
g = {(1; 2), (2; 5), (4; 0)}
f(x) =
√
x− 2 + 1
Calcule la suma de los elementos del dominio de
f ∗ ◦ g.
A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1
№ 6 Dada la gráfica de la función f
Señale la gráfica que mejor se aproxima a g(x) =
f(|x|+ 2).
A)
3_3_
B) 3
_3_
C)
3
_3_
D)
3_3_
E)
№ 7 Dado X = {1, 2, 3}, se define el conjunto
P = {f : X → X | f es biyectiva }
Siendo la composición de funciones una operación
binaria en P.
Si f, g ∈P tal que
f(1) = 2 , f(2) = 3 , f(3) = 1
g(1) = 1 , g(2) = 3 , g(3) = 2
Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones
I. “ ◦ ” es asociativa.
II. “ ◦ ” es conmutativa.
2
https://youtu.be/SInJ-fB6VLA
https://youtu.be/FMBo1-txDIU
https://youtu.be/c6dJYizIlIo
https://youtu.be/RZS7H8M_iaA
III. g ◦ g = f ◦ f ◦ f .
IV. Existe f ∈P, f 6= I tal que f ◦ f = I
A) VFFF B) FVFV C) FVVF
D) VFVV E) VVFV
№ 8 Siendo f, g funciones reales, indique el valor
de verdad del as siguientes proposiciones:
I. Si f 2 es inyectiva, entonces f es inyectiva.
II. Si f es acotada (e invertible), entonces f ∗ es
acotada.
III. Si f ◦ g∗(x) = 3x, entonces
g(x) =
1
3
f(x) (g biyectiva).
A) VFV B) FFV C) VFF
D) FVV E) VVF
№ 9 Sea f una función definida por
f(x) =
x2 + 3x+ 2
x+ 1
,
x ∈ [−2;−1〉 ∪ 〈−1; 0]. Indique la gráfica de la
función g(x) = f(|x|)
A) B)
C) D)
E)
№ 10 Sea f : 〈1; 3]→ 〈1; 2〉∪[4; 6〉∪{9} la función
definida por
f(x) = xJxK para todo x ∈ 〈1; 3] .
Determine T = f ∗(9) + f ∗(5) + f ∗
(
3
2
)
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
№ 11 Dada la función f : N→ Z definida por
f(x) =

x
2
, si x es par
1− x
2
, si x es impar
Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones:
I. f es una función inyectiva.
II. f no es una función sobreyectiva.
III. f es una función biyectiva.
A) VVF B) VFV C) FVV
D) FVF E) VFF
№ 12 Halle la inversa de la función f definida por
f(x) = x2 − 4x+ 7 , x ∈ [−4, 0]
A) f ∗(x) = 2 +
√
x− 3, x ∈ [7, 39]
B) f ∗(x) = 2 +
√
x− 3, x ∈ [3, 7]
C) f ∗(x) = 2 +
√
x+ 3, x ∈ [7, 39]
D) f ∗(x) = 2−
√
x− 3, x ∈ [3, 7]
E) f ∗(x) = 2−
√
x− 3, x ∈ [7, 39]
№ 13 Si
f = {(2, 4), (3,−3), (5, 2), (7, 0)}
y ∀x ≥ 2, g(x) =
√
x− 2. Indique el valor de ver-
dad de las siguientes proposiciones:
I. Dom(g ◦ f) = {2, 5}.
II. g ◦ f es creciente.
III. f ◦ f es un conjunto unitario.
A) VFV B) VVF C) VVV
D) VFF E) FVV
№ 14 Sea f una función creciente en [−2, 2] y g
la función definida por g(x) = f(2− x).
Dada las siguientes proposiciones:
I. Dom(g) = [−2, 2]. 6
II. −g es una función decreciente.
III. g es una función decreciente.
Indique cuál o cuáles son verdaderas.
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D) I y III E) I, II y III
№ 15 Sea f y g funciones, determine el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
3
I. Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobre-
yectiva.
II. Si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva en-
tonces g es inyectiva.
III. Si f, g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyec-
tiva.
A) VFF B) FFF C) VVV
D) VVF E) FFV
№ 16 Sea
f : [a, b]→ [−3, 1]
la función definida por f(x) = 3
√
1− x. Si f es
biyectiva, entonces el valor de a+ b es
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28
№ 17 Dadas las funciones f, g : R → R. Indique
el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones:
I. Si (f + g) es acotada, entonces (f − g) es
acotada.
II. Si f y g son crecientes, entonces (f + g) es
creciente.
III. Si f y g son biyectivas, entonces (f + g) es
biyectiva.
A) VVV B) VVF C) FVF
D) FFV E) FFF
№ 18 Sea f la función definida por:
f(x) = x+ |x| , x ∈ R .
En cada una de las siguientes proposiciones indique
si es verdadero (V) o falso (F).
I. Existe la función inversa f ∗ de f .
II. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R.
III. f es acotada.
A) VVF B) VVV C) FVV
D) FFF E) FVF
№ 19 Dada la función
f(x) =
−5 + ax
bx+ 4
.
Si se tiene que Dom(f ∗) = R \ {−1} y además
f = f ∗. Halle M = f ∗(0) · f(1).
A) − 63
19
B) − 45
32
C)
32
45
D)
45
32
E)
45
37
№ 20 Si f es una función inyectiva definida por
f = {(x, x2 − 2x) | x ∈ 〈−∞, a− 3]} ,
entonces el máximo valor de a es
A) 7 B) 5 C) 4 D) 1 E) 0
№ 21 El dominio de f y g es el conjunto de los
números reales R, f(x) = x + 2 y (f ◦ g)(x) =
2x2 + 1. Si h(x) =
√
x, determine el dominio de
h ◦ g.
A)
[
−
√
2
2
;
√
2
2
〉
B)
〈
−1
2
;
1
2
]
C)
〈
−2; 1
2
〉
∪
〈
1
2
; +∞
〉
D)
[√
2
2
; +∞
〉
E)
〈
−∞;
√
2
2
]
∪
[√
2
2
; +∞
〉
№ 22 Determine el valor de verdad de las afirma-
ciones
I. Toda función impar es inyectiva.
II. La función f definida por
f(x) =
(
x|x|+ 1
x
)
sen(x2) es par.
III. Si la función
f : [−4;−1]→ [a; 14]
tal que f(x) = x2 + b es inyectiva, entonces
a+ b = −3.
A) FVF B) FFF C) VFV
D) FVV E) FFV
№ 23 Indique el valor de verdad de cada una de
las siguientes afirmaciones
I. Sean f, g : R→ R, si f +g es acotada, enton-
ces f y g son acotadas.
II. Sea f : R → R, si f 2 es acotada, entonces f
es acotada.
III. Si f : R → R es inyectiva, entonces f es cre-
ciente o decreciente.
A) FFV B) FFF C) FVF
D) VVF E) VFV
4
№ 24 Determine el rango de la función
f(x) = x+ 3
√
x , x ∈ 〈1; 8〉
A) 〈−1; +∞〉 B) 〈1; +∞〉 C) 〈2; 10〉
D) [1; +∞〉 E) 〈8; +∞〉
№ 25 En la figura adjunta se muestra la gráfica
de la función f , definida por f(x) = b − 2
√
a− x
con a > b > 0. Determine a+ b
A) − 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 0
№ 26 Sea la función
f =
{(
2x− 1; x
3
+ 4
)
∈ R2 | x ∈ 〈1; 2]
}
Halle su regla de correspondencia y su dominio
A) f(x) =
1
6
(x+ 25), x ∈ 〈1; 2]
B) f(x) = (2x− 1), x 〈1; 2]
C) f(x) =
1
6
(x+ 25), x ∈ 〈1; 3]
D) f(x) = (2x− 1), x ∈ 〈1; 3]
E) f(x) =
1
3
(x+ 25), x ∈ 〈1; 3]
№ 27 Determine la función inversa de
f : [1; 4]→ R
con regla de correspondencia
f(x) = x2 − 2x− 6|x− 1|+ 9.
A) f ∗(x) = 1−
√
x+ 1; x ∈ [0; 9]
B) f ∗(x) = 4 +
√
x+ 1; x ∈ [−1; 8]
C) f ∗(x) = 6x−
√
x+ 1; x ∈ [0; 9]
D) f ∗(x) = −4 +
√
x+ 1; x ∈ [−1; 8]
E) f ∗(x) = 4−
√
x+ 1; x ∈ [−1; 8]
№ 28 Indique el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
I. Sea X = Domf
M = {f : X → R | f es una funciónacotada }.
Si g, h ∈M entonces g + h ∈M y g
h
∈M .
II. Si f es una función biyectiva entoncs |f | es
también una función biyectiva.
III. Si f : Domf → Ranf es una función biyectiva
entonces Dom(f ∗ ◦ f) = Dom(f).
Nota: f ∗ es la función inversa de f .
A) VFV B) FFV C) FVV
D) FVF E) VFF
№ 29 Sea f : Domf → R una función definida
por f(x) =
mx+ 4
3x− n
que cumple:
a) Domf ∗ = R \ {4}.
b) f = f ∗.
Determine E =
1
2
(m+ n).
A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 24
№ 30 Sea A = {x ∈ Z | x2 < 25} y
f : A→ R
cuya regla de correspondencia es: f(x) = (x− 1)2,
x ∈ A se tiene que:
I. ∃x ∈ A | f(x) = 36
II. f [2 + f(0)] = 4
III. f(x+ 8) = f(x− 8)
Indique cuál(es) de los enunciados dados son co-
rrectos.
A) Solo II y III B) Solo II
C) Solo III D) Solo I y III
E) I, II y III
№ 31 Determine el rango de la función f tal que:
f(x) =
x− 1
|x− 1|
(x2 + 2|x− 1|)
A) 〈2,∞〉 B) 〈−∞,−1〉
C) R \ [−1, 1] D) R \ 〈−1, 1〉
E) 〈−1, 2〉
№ 32 Sea f una función creciente en su dominio;
x ∈ [−2, 2] y sea g una funcióndefinida por g(x) =
f(2− x). Se proponen los siguientes enunciados:
I. El dominio de g es [−2, 2]
II. −g es una función decreciente.
III. g es una función decreciente.
5
Entonces son verdaderos:
A) Solo I B) Solo I y III C) Solo III
D) Solo II E) I, II y III
№ 33 Sean las funciones f y g definidas por:
f = {(−1, 1), (1, 2), (π, 0), (4,−1)}
g(x) = x− 1 , x ∈ 〈−3, 3〉 .
Halle: f 2 − f · g
A) {(−1, 2), (1, 4)} B) {(1, 0), (−1, 4)}
C) {(−1, 3), (1, 0)} D) {(−1, 3), (1, 4)}
E) {(−1, 2), (0, 4)}
№ 34 Dadas las funciones f y g definidas por:
f = {(1, 2), (2, 3)(3, 5)(4, 7)}
g = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 4)}
Determine la suma de los elementos del rango de
la función h tal que: h = (f ◦ g) + (g ◦ f)
A) 2 B) 4 C) 7 D) 8 E) 10
№ 35 Se define la siguiente función:
f(x) = x2 − 4x+ 3 , x > 4 .
Determine la función inversa f ∗.
A) f ∗(x) =
√
x− 1− 2
B) f ∗(x) =
√
x+ 1 + 2
C) f ∗(x) =
√
x− 1 + 2
D) f ∗(x) = −
√
x+ 1 + 2
E) f ∗(x) = −
√
x+ 1− 2
№ 36 Si f y g son dos funciones tales que g(x) =
x3 + 1 y f(g(x)) = x3 + x+ 1 entonces g(f(2)) es:
A) 13 B) 28 C) 30 D) 40 E) 25
№ 37 Si f es una función definida por
f(x) =
8
x2 − 2x+ 3
− 3 , ∀x ∈ R .
Entonces el menor valor de K tal que |f(x)| ≤ K,
∀x ∈ Domf es:
A)
1
3
B)
1
2
C) 2 D) 3 E) 4
№ 38 Dadas la funciones f y g definidas por:
f(x) =
√
4− |x| , x ∈ [−2, 2]
g = {(−6, 6), (−2, 1), (0, 2), (1, 0),
(2, 3), (6,−2)} ,
calcule la suma de elementos del rango de la fun-
ción f · g.
A) 3(
√
2− 1) B) 3(
√
2 + 1)
C) 4(
√
2 + 1) D) 4(
√
2− 1)
E) 2(
√
2− 1)
№ 39 Indique cuál(es) de los siguientes enuncia-
dos son correctas.
I. La función f(x) = |x+ 1| − |x− 1| es función
impar en R.
II. La función g(x) =
x
x2 + x+ 1
es función im-
par en R.
III. Existen funciones que son pares e impares a
la vez.
A) VVV B) VFF C) FVF
D) FFF E) VFV
№ 40 Si f y g son dos funciones tales que g(x) =
x3 + 1 y f(g(x)) = x3 + x+ 1 entonces g(f(2)) es:
A) 13 B) 28 C) 30 D) 40 E) 25
№ 41 Se define la función:
f : [a, 1]→ [b, 5]
tal que f(x) = (x − 1)2 − 4 es biyectiva. Calcule
T = a+ b
A) − 2 B) − 3 C) − 4
D) − 5 E) − 6
6
Caṕıtulo 2
OPERADORES
№ 1 Se define la operación ∗ sobre R: x ∗ y = x.
Indique el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones.
I. ∗ es conmutativa.
II. ∗ es asociativa.
III. ∗ posee elemento neutro.
A) VVF B) FFF C) FVF
D) FVV E) VVV
№ 2 Se define el operador ⊕ en A = 〈−∞; 0] por
a ⊕ b = mı́n{a, b}. Indique el valor de verdad de
las siguientes proposiciones:
I. ⊕ es conmutativo.
II. ⊕ satisface le propiedad de clausura en A.
III. ⊕ tiene elemento neutro.
A) VVF B) VVV C) VFV
D) FFV E) VFF
№ 3 Se sabe que el operador ∗ definido sobre el
conjunto A = {1, 2, 3} es conmutativo y posee ele-
mento neutro e.
∗ 1 2 3
1 3 m y
2 x 2 n
3 2 z 1
Halle e + x−1 (x−1 es el inverso de x respecto al
operador ∗)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7
Caṕıtulo 3
POLINOMIOS
№ 1 Indique el valor de las siguientes proposicio-
nes:
I. Si p(x, y) es un polinomio de grado 2, enton-
ces q(x, y, z) = z2p
(x
z
,
y
z
)
es homogénea.
II. Si para todo x ∈ R, se cumple:
a(x2 + 1) + (x− 1)(bx+ c) = 5x2 − 4x+ 3 ,
entonces abc es igual a −6.
III. Siendo p(x) y q(x) polinomios tales que
gr(p(x)) = 2 y gr(q(x)) = 5, entonces
gr (p6(x)− q3(x)) = 12.
A) VFV B) VVV C) FVF
D) VVF E) FVV
№ 2 En el polinomio completo ordenado:
P (x) = xc + 2xa + 3xb + 4xm + · · ·+ 2b+ 2c− 37 .
Encuentre el valor de:
a+ b+ c
3
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
№ 3 Si el polinomio
p(x, y) = 5xm−2yn−1(x7 + 2y2n−3)
es homogéneo de grado 16, calcule p(−1,−1).
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
№ 4 Si P,Q y R son polinomios cuyos grados
(gr) son p, q y r respectivamente, siendo p, q y r
distintos entre śı. Indique la verdad (V) o falsedad
(F) de las siguientes afirmaciones:
I. gr(PQ) = p+ q
II. Si
P 4
Q
es igual a un polinomio, entonces
gr
(
P 4
Q
)
= 4p− q.
III. 3gr(P +Q+R) ≥ p+ q + r
A) VFF B) FFF C) VVV
D) FVF E) VFV
№ 5 Indique el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones:
I. P (x, y) = x2+xy es un polinomio homogéneo.
II. Si P (x, y) es un polinomio homogéneo con
grado de homogeneidad 3 y P (2,−1) = 2 en-
tonces P (−8, 4) = 128.
III. Si P (x, y) y Q(x, y) son polinomios ho-
mogéneos de grado 2, entonces P 2(x, y) +
Q2(x, y) es un polinomio homogéneo de grado
4.
A) FFF B) FFV C) VFF
D) VFV E) VVF
№ 6 Determine la suma de los coeficientes del
polinomio P (x) ordenado y completo, siendo:
P (x) = 2a+ b+ 5bxa−b − (b− a)xa2−2b + xa+b
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15
№ 7 Dados los polinomios P (x) y Q(x), halle el
grado de Q(x), si el grado de P 4(x)Q3(x) es 29 y
el grado de
P 3(x)
Q2(x)
es 9
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
№ 8 Sea {a, b, c, x, y, z} ⊂ R. Si a2 + b2 + c2 = 1
y x2 − 2ax + y2z2 = 2cz + 2by − 1. Determine el
valor de: x2 + y2 + z2.
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
№ 9 Sea P un polinomio definido por
P (x, y) = (2m+ n)xm+n−2ym−3+
(8n+ 1)xm+n+5ym−4 + 3(n−m)xm+n−6ym+2
Si el menor exponente de y es 4, además GR(x)−
GR(y) = 5, entonces la suma de coeficientes de P
es:
A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18
8
№ 10 Si (a + 1)2 = (2 +
√
6)a, entonces el valor
de M =
(a2 + 1)2
1 + a4
es:
A)
2
3
B)
3
2
C)
5
3
D) 2 E) 3
№ 11 Sea m,n y k ∈ Z (Z: conjunto de los núme-
ros enteros) tal que m < n < 9. Si
P (x; y) = xm
2+m+k − 2x
n2
5 ym+1 + 3y
n2
5
+4
es un polinomio homogéneo, entonces el valor de
la suma k + gr(P ) es:
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12
№ 12 Sea el polinomio:
P (x, y) = . . .+ xayb+2 + xrys + xbya+2 + . . .
que es completo y homogéneo de grado 8 y está or-
denado en forma creciente respecto al grado de x.
Los términos que se muestran son consecutivos.
Halle el grado, relativo a y, del término xrys.
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
№ 13 Si P,Q y R son polinomios cuyos grados
son gr(P ) = p ≥ 0, gr(Q) = q ≥ 0 y gr(R) =
r ≥ 0, siendo p, q y r distintos entre śı. Indique
la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes
afirmaciones:
I. gr(PQ) = p+ q
II. Si el cociente
P 4
Q
es igual a un polinomio,
entonces gr
(
P 4
Q
)
= 4p− q
III. 3gr(P +Q+R) ≥ p+ q + r
A) VVV B) VFV C) VVF
D) VFF E) FVF
№ 14 Si se cumple que:
(a+ 2x+ b)(a− 2x+ b) = (a− b)2
Simplifique:
E =
(x+ a)(x+ b)
a+ 2x+ b
− x
3
ab
A) − 1 B) − 1
2
C) 0 D)
1
2
E) 1
№ 15 Un polinomio mónico P (x) de grado n+1 es
divisible por el polinomio (xn + 2). Si los restos de
dividir P (x) separadamente entre (x+ 1) y (x+ 2)
son respectivamente 12 y 198, halle n.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10
9
Caṕıtulo 4
HORNER
№ 1 Si (x−k)2 es un factor del polinomio P (x) =
x5 − 5ax+ 4b, a 6= 0 y b 6= 0, entonces a
5
b4
es igual
a:
A)
1
4
B)
1
2
C)
3
4
D) 1 E) 2
10
Caṕıtulo 5
TEOREMA DEL RESTO
№ 1 Calcule la suma de los coeficientes del residuo
en la división x100 ÷ (x49 + 1)
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
№ 2 Determine el resto en la siguiente división:
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)2 + (x+ 1)2 + 8
x2 + 2x− 2
A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) 42
№ 3 Si R(x) es el resto de la siguiente división
indicada:
x34 + x2 − 1
x32 + x30 + x28 + · · ·+ x4 + x2 + 1
.
Halle el valor de R(2)
A) 4 B) 8 C) 12
D) 16 E) 132
SOLUCIÓN № 62
Denotemos
D(x) = x34 + x2 − 1
d(x) = x32 + x30 + x28 + · · ·+ x4 + x2 + 1
luego por el algoritmo de la división tenemos que,
existen Q(x) y R(x) únicamente determinados ta-
les que
D(x) = d(x)Q(x) +R(x) . (1)
Multiplicando (1) por (x− 1) tenemos
(x− 1)D(x)︸ ︷︷ ︸
D′(x)
= (x− 1)d(x)︸ ︷︷ ︸
d′(x)
Q(x) + (x− 1)R(x)︸ ︷︷ ︸
R′(x)
.
Esto es una nueva división
D′(x) = d′(x)Q(x) +R′(x)
donde
D′(x) = x35 − x34 + x3 − x2 − x+ 1
d′(x) = x33 − 1
ahora con el teorema del resto descubriremos
R′(x).
Haciendo
D′(x) = (x33)x2 − (x33)x+ x3 − x2 − x+ 1
reemplazando x33 = 1 tenemos que
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