Álgebra Inecuaciones con dos variables

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INECUACIONES CON DOS
VARIABLES
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
2 de abril de 2017
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INECUACIONES CON DOS VARIABLES
N
Ecuación de dos variables
Definición
Una solución de una ecuación de dos variables E(x; y) = 0, es
un par ordenado (r; s) ∈ R2 que satisface la ecuación, es decir
es verdad que
E(r; s) = 0.
El conjunto solución R de la ecuación de dos variables E(x; y) =
0, es el conjunto de todos los pares ordenados (r, s) ∈ R2 que
satisfacen la ecuación, esto es
R =
{
(r, s) ∈ R2 : E(r; s) = 0
}
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N
Ejemplos:
Ejemplo 1.
Resolver le ecuación |x|+ |y| = 1
Ejemplo 2.
Resolver le ecuación 2x− 3y = 6
Ejemplo 3.
Resolver le ecuación ||x+ y|+ 1| = |3 + |x− y||
Ejemplo 4.
Resolver le ecuación x2 + y2 − 2x+ 6y − 10 = 0
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N
Inecuación de dos variables
Definición
Una solución de una inecuación de dos variables E(x; y) < 0 a,
es un par ordenado (r; s) ∈ R2 que satisface la inecuación, es
decir es verdad que
E(r; s) < 0.
El conjunto solución R de la inecuación de dos variables
E(x; y) < 0, es el conjunto de todos los pares ordenados
(r, s) ∈ R2 que satisfacen la inecuación, esto es
R =
{
(r, s) ∈ R2 : E(r; s) < 0
}
aLa relación <, puede ser reemplazado por: >, ≤ 0́ ≥
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Algoritmo de solución
1 Reemplazar el signo de desigualdad por el signo de igualdad, y
dividir el plano cartesiano tomando como frontera la gráfica
determinada por la solución de la ecuación.
2 Elegir puntos de prueba en cada región del paso 1, y verificar si
satisfacen la desigualdad.
3 El conjunto solución será la unión de todas las regiones que
contienen algún punto de prueba que satisfacen la desigualdad.
4 Si la desigualdad es ≤ ó ≥ la frontera está incluida en la solución,
en caso contrario (si la desigualdad es estricta: < ó >) la frontera
no es parte del conjunto solución.
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Ejemplos:
Ejemplo 1.
Resolver la inecuación 2x+ 3y < 6
Primero graficamos la ecuación de la recta haciendo
2x+ 3y = 6
1
2
−1−2 0 1 2 3
y
x
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En este caso nuestro punto de prueba será el origen de
coordenadas (0, 0). Como 2(0) + 3(0) < 6 (¡verdadero!), el conjuto
solución es el semiplano que contiene el origen de coordenadas,
como se muestra en la figura adjunta.
y
x
0
−1
−1−2 1 2 3
1
2
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Ejemplos:
Ejemplo 2.
El conjunto solución de la inecuación x2 ≤ y2 es
x
y
1
−1 0−2
−1
−2
1
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N
Ejemplos:
Ejemplo 3.
El conjunto solución de la inecuación |x|+ |y| < 2 es
x
y
−2 −1 0
1
2
−1
−2
1 2
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N
Ejemplos:
Ejemplo 4.
El conjunto solución de la inecuación |y| ≤ x es
y
x
1
2
0−1−2
−1
−2
1 2
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Ejemplos:
Ejemplo 5.
El conjunto solución de la inecuación
x
|x|
− y
|y|
≥ −1 es
y
x
1
2
1 2−1−2
−1
−2
0
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Ejemplos:
Ejemplo 6.
Representar la graficamente el conjunto
S =
{
(x, y) ∈ R2 / |x+ y|+ 1 ≤ 3 + |x− y|
}
y
x
1
2
1 2−1−2
−2
−1
0
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Material de Estudio
Ejercicio 140
Trace la gráfica de la región determinada por
A =
{
(x, y) ∈ R2/
√
x+ y − 1 < 2
}
Ejercicio 142
Muestre la gráfica de la región determinada por
B =
{
(x, y) ∈ R2/y2 ≥ x2 ,
√
x− y ≤ 1
}
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Material de Estudio
Ejercicio 143
Trace la gráfica de la región determinada por:
C =
{
(x, y) ∈ R2/|x|+ |y| ≤ 1 , |y| − |x| ≤ 0
}
Ejercicio 145
Gráfique de la región determinada por
D =
{
(x, y) ∈ R2/x2 + y2 > 1→ y ≥ x2
}
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