Álgebra Operaciones con funciones

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Sesión 6.2 
Adición de funciones 
Operaciones con Funciones 
_____________________________________________ 
Propiedades 
Dadas las funciones 
   f : A B, g:D E, Dom(f) A, Dom(g) D
Definimos la función 𝑓 + 𝑔 como 
     (f g)(x) f(x) g(x), Dom(f g) A D
 
1. ∃𝑓 + 𝑔,   𝑓 + 𝑔 = 𝑔 + 𝑓 
2. ∃ 𝑓 + 𝑔 + ℎ,    𝑓 + 𝑔 + ℎ = 𝑓 + (𝑔 + ℎ 
 
Multiplicación de funciones 
Operaciones con Funciones 
_____________________________________________ 
Propiedades 
Dadas las funciones 
   f : A B, g:D E, Dom(f) A, Dom(g) D
Definimos la función 𝑓. 𝑔 como 
   (f.g)(x) f(x).g(x), Dom(f g) A D
 
1. ∃𝑓. 𝑔,   𝑓. 𝑔 = 𝑔. 𝑓 
2. ∃ 𝑓. 𝑔 . ℎ,    𝑓. 𝑔 . ℎ = 𝑓. (𝑔. ℎ 
3. ∃ 𝑓 + 𝑔 . ℎ,    𝑓 + 𝑔 . ℎ = (𝑓. h + (𝑔. ℎ 
 
 
División de funciones 
Operaciones con Funciones 
_____________________________________________ 
Propiedades 
Dadas las funciones 
   f : A B, g:D E, Dom(f) A, Dom(g) D
Definimos la función 𝑓/𝑔 como 
 
1. ∃ 𝑓 𝑔 ,    𝑓 𝑔 = 𝑓.
1
𝑔
 
 
2. ∃ 𝑓 𝑔   ∧   ℎ 𝑔 ,    𝑓 + ℎ 𝑔 = 𝑓 𝑔    + ℎ 𝑔 
 
(𝑓 𝑔 (𝑥 = 𝑓(𝑥 𝑔 (𝑥 ,   𝐷𝑜𝑚(𝑓 𝑔 = 𝐴 ∩ 𝐷 \ 𝑥 ∈ 𝐷       𝑔(𝑥 = 0 
Composición de Funciones 
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Propiedades 
Dadas las funciones 
   f : A B, g:D E, Dom(f) A, Dom(g) D
Definimos la función 𝑓 ∘ 𝑔 como 
 
1. Si ∃  𝑓 ∘ 𝑔   𝑦   ∃𝑔 ∘ 𝑓, en general  𝑓 ∘ 𝑔 ≠ 𝑔 ∘ 𝑓 
 
2. Si ∃  𝑓 ∘ 𝑔   𝑦   ∃𝑔 ∘ 𝑓, entonces  ∃ 𝑓 + 𝑔 ∘ ℎ y 𝑓 + 𝑔 ∘ ℎ= 𝑓 ∘ ℎ + 𝑔 ∘ h 
 
(𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥 ,   𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥 ∈ 𝐴       𝑔(𝑥 ∈ 𝐷 
Ejercicios 
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Respuesta. E 
Ejercicio 178. Sean 𝑓, 𝑔:ℝ → ℝ funciones conocidas. Determine el valor 
verdad de las siguientes proposiciones: 
 
I Si ƒ es par y 𝑔 es impar, entonces 𝑓 ∘ 𝑔 es par. 
 
II Si ƒ y 𝑔 son impares, su producto ƒ. 𝑔 es impar. 
 
III Si ƒ y 𝑔 son pares, entonces ƒ + 𝑔 es par. 
 
Ejercicios 
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Ejercicio 178. Sean 𝑓, 𝑔, ℎ funciones reales de variable real, indique el valor 
verdad de las siguientes proposiciones: 
 
I ℎ ∘ (𝑓 + 𝑔 = ℎ ∘ 𝑓 + ℎ ∘ 𝑔 
 
II 𝐷𝑜𝑚(𝑓 = 𝐷𝑜𝑚(𝑔 ,   entonces    Dom(g ∘ f = R 
 
III 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ = 𝑓 ∘ (𝑔 ∘ ℎ 
 Respuesta FVF 
Ejercicio 184. Dadas las funciones: 
 
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1  ,   𝑥 < 2 y 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 1  ,   𝑥 < −1 
 
Determine el rango de f/g . Respuesta 1,+∞ 
Operaciones 
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1. Si ƒ 𝑦 𝑔 son funciones crecientes y ∃ƒ𝑜𝑔, entonces ƒ𝑜𝑔 es creciente. 
 
2. Si ƒ 𝑦 𝑔 son funciones decrecientes y ∃ƒ𝑜𝑔, entonces ƒ𝑜g es decreciente. 
 
3. Si ƒ 𝑦 𝑔 son funciones impares y ∃ƒ𝑜𝑔 , entonces ƒ𝑜g es impar. 
 
4. Si ƒ es una función impar , 𝑔 es una función par y ∃ƒ𝑜𝑔 , entonces ƒ𝑜g es par. 
 
5. Si ƒ, 𝑔 ∶ ℝ → ℝ 𝑦 𝑔 𝑜 ƒ es sobreyectiva, entonces 𝑔 es sobreyectiva. 
 
6. Si ƒ, 𝑔: ℝ → ℝ 𝑦 son inyectivas, entonces ƒ o 𝑔 es inyectiva. 
 
7. Si ƒ, 𝑔 ∶ ℝ → ℝ 𝑦 ƒ 𝑜 𝑔 es inyectiva, entonces g es inyectiva. 
 
Propiedades: