Álgebra Bal_Bim_18

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5.o
gradoBALOTARIO
PRIMER EXAMEN BIMESTRAL
1SISTEMA HELICOIDAL
1. En el polinomio completo
P(x)=nx4+x+n3–xn–xn+5x3
calcule la suma de sus coeficientes.
A) 17 B) 16 C) 14
D) 15 E) 13
Resolución:
Se tiene:
P(x)= nx4+x1+n3x0–xn+5x3
→ n=2
Luego
∑coef=n+1+n3–1+5
∑coef=2+1+8–1+5
∑coef=15
 Rpta.: 15
2. Se tiene el polinomio homogéneo
P(x, y)=x5m+1yn+xmy9n+1
calcule el valor de m/n.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Resolución:
Por ser homogéneo se cumple 
5m+1n = m+9n+1
5m+n=m+9n
4m=8n
m=2n
m/n=2
 Rpta.: 2
ÁLGEBRA
3. Si P(x–3)=x2–5x+9. Determine P(x).
A) x2–x–2 B) x2–x+3
C) x2–x+2 D) x2+2x–1
E) x2+x+3
Resolución:
Sea: y=x–3
 x=y+3
Reemplazando
P(x–3)=x2–5x+9
P(y)=(y+3)2–5(y+3)+9
P(y)=y2+6y+9–5y–15+9
P(y)=y2+y+3
P(y)=x2+x+3
 Rpta.: x2+x+3
4. Si x+y=6 y xy=4. Calcule el valor de 
x4+y4.
A)	816	 B)	 784	 C)	752
D)	742	 E)	 680
Resolución:
(x+y)2 = (6)2
x2+2xy+y2=36
x2+8+y2=36
x2+y2=28		...(α)
Luego
(x2+y2)2	=	(28)2
x4+2x2y2+y2=784
x4+2(xy)2+y4=784
x4+32+y4=784
x4+y4=752
 Rpta.: 752
Balotario - Primer examen Bimestral 5o grado (B-18)
2 SISTEMA HELICOIDAL
5. Si x+x–1=3 2. Calcule el valor de 
x6+x–6.
A) 2024 B) 2424 C) 4096
D)	4048	 E)	 1012
Resolución:
(x+x–1)2=(3 2)2
x2+2x⋅x–1+x–2=18
x2+x–2 = 16 ...(α)
Luego
(x2+x–2)3 = (16)3
(x2)3 + (x–2)3 + 3x2x–2(x2+x–2)=4096
x6+x–6+3x0(16)=4096
x6+x–6=4096–48
x6+x–6=4048
 Rpta.:	4048
6. Si a+b+c=12 y a2+b2+c2=30. Calcu-
le T=(a+b)2+(a+c)2+(b+c)2.
A)	184	 B)	 174	 C)	144
D) 124 E) 114
Resolución:
Desarrollando en T.
T=a2+2ab+b2+a2+2ac+c2+b2+2bc+c2
Agrupando convencionalmente
T=(a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc)+a2+b2+c2
T= (a+b+c)2 +a2+b2+c2
T=(12)2+30
T=144+30=174
 Rpta.: 174
7. Si la siguiente división es exacto
5 3 2
3 2
8 2
2 3
x x ax bx c
x x
+ + + +
+ −
Calcule el valor de a+b–c.
A) 2 B) 4 C) 6
D)	8	 E)	 10
Resolución:
Por Horner (completando los polinomios)
2 8			0			2 a b c
–1
0
+3
 –4 0
 2
 
 12
 0 –6
 –2 0 6
4 –2 2 0 0 0
Dato
a=–10; b=6; c=–6
Piden:
a+b–c
–10+6–(–6)
–10+12
2
 Rpta.: 2
8. A dividir
4 3 23 2 3 10 8 3 10
3
x x x x
x
+ − − +
−
Indique el término lineal del cociente.
A) 2x B) 3x C) 5x
D) 4x E) –2x
Resolución:
x= 3
3 2 3			–10			–8 3
↓ 3 3 15 5 3
10
–9
3 5 3 5 –3 3 1
q(x)=3x3+5 3x2+5x–3 3
Término lineal (cociente) = 5x
 Rpta.:
9. Si la división es exacta
4 3 2
2
A B 18 18
2 3
x x x x
x x
+ − + −
− +
calcule el valor de A+B.
A) 9 B) 10 C) 11
D) 12 E) 13
Balotario - Primer examen Bimestral 5o grado (B-18)
3SISTEMA HELICOIDAL
Resolución:
Por Horner invertido
3 –18			18			–1 B A
+1
–2
 –6 12
 4
 
 
		–8
 5 –10
–6 4 5 0 0
Luego: A=10 y B=13
∴ A+B=13
 Rpta.: 13 
10. Si un polinomio de segundo grado se di-
vide entre (x–3) y (x+1), sus residuos 
respectivos son 24 y 4. Indique el polino-
mio si su término independiente es 3.
A) 2x2–x–3 B) x2–5
C) 2x2+x+3 D) 2x2+x–3 
E) x2–x+3
Resolución:
Por dato: 
P(x)=ax2+bx+3 ...(α)
También
R1(x)=P(3)=9a+3b+3=24
 3a+b=7 ...(I)
R2(x)=P(–1)=a–b+3=4
 a–b=1 ...(II)
4a=8
a=2
b=1
∴ En α:
 P(x)=2x2+x+3
 Rpta.: 2x2+x+3
11. Si un polinomio se divide entre (x+4) y 
(x+2) se obtiene como resto común 7. 
Indique el residuo al dividir dicho poli-
nomio entre x2+6x+8.
A)	5	 B)	 7	 C)	8
D) 9 E) 10
Resolución:
P( )
R( ) 7
4
x
x
x
⇒ =
+
P( )
R( ) 7
2
x
x
x
⇒ =
+
Luego
( ) ( )2
P( ) P( )
2 46 8
x x
x xx x
=
+ ++ +
Por teorema
R(x)=7
 Rpta.: 7 
12. Si el número de términos del cociente no-
tables es 12. Calcule el valor de m–n.
5 4
3 5
m nx y
x y
− +−
−
A) 15 B) 12 C) –12
D) –15 E) 6
Resolución:
5 4
# términos 12
3 5
m n− +
= = =
5
12 41
3
m
m
−
= → =
4
12 56
5
n
n
+
= → =
∴ m–n=–15
 Rpta.:
13. Determine el décimo término en el desa-
rrollo del CN.
56 42
4 3
x y
x y
−
+
A) –x4y9 B) x4y9 
C) x16y27 D) –xy10
E) –x16y27
Balotario - Primer examen Bimestral 5o grado (B-18)
4 SISTEMA HELICOIDAL
Resolución:
Se tiene
( ) ( )
( ) ( )
14 144 3
4 3
x y
x y
−
+
se tiene n=14
Piden
T10=–(x
4)14–10–(y3)10–1
T10=–(x
4)4(y3)9
T10=–x
16y27
 Rpta.:–x16y27 
14.	 Calcule	el	GA	del	término	de	lugar	18	en	
el cociente notable.
46 115
2 5
x y
x y
−
−
A)	32	 B)	 81	 C)	95
D)	98	 E)	 78
Resolución:
Se tiene
( ) ( )
( ) ( )
23 232 5
2 5
x y
x y
−
−
Se tiene n=23
Luego:
T18=+(x
2)23–18–(y5)18–1
T18=+(x
2)5–(y5)17
T18=x
10y85
Piden:
GA=10+85=95
 Rpta.: 95
15. Halle el término central en el desarrollo 
del CN.
16 4 42
1 2
a
a
x y
x y
+
−
+
+
A) –x40y20 B) x40y20
C) x20y40 D) x10y40
E) x20y20
Resolución:
16 4 42
# términos
1 2
a
a
+
= =
−
16 4
# términos 21
1
a
a
+
= =
−
16a+4=21a–21
a=5
Luego reemplazando
( ) ( )
( ) ( )
21 214 284 42
4 2 4 2
x yx y
x y x y
++
=
+ +
Piden:
( ) ( )21 11 11 14 2C 21 1 11
2
T T T x y
− −
+= = =
TC=T11=(x
4)21–11(y2)11–1
TC=x
40y20
 Rpta.: x40y20