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ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 – FEBRERO DE 2009 
 
“CÁLCULO DE RAÍCES” 
AUTORÍA 
PATRICIA PÉREZ ORTIZ 
TEMÁTICA 
MATEMÁTICAS 
ETAPA 
ESO Y BACHILLERATO 
 
Resumen 
Los métodos aproximativos y recursivos no están muy presentes en la Enseñanza Secundaria. Sin 
embargo estos métodos permiten ejercitar el conocimiento de las desigualdades, las acotaciones y 
el cálculo de errores. 
Este artículo encierra un intento de utilización de las hojas de cálculo como vehículo de introducción 
a tales métodos. Y lo hará a través del cálculo concreto de raíces cuadradas, cúbicas, séptimas… 
Palabras clave 
Raíces, Hoja de Cálculo 
1. ANTECEDENTES HISTÓRICOS 
El origen de las técnicas aproximativas se remonta al menos a la civilización babilónica y entre los 
matemáticos de nombre conocido a los griegos Arquitas (428-365 a.C.) y Herón de Alejandría (ca. 
100 d.C.). Sorprende que algunas cuestiones relacionadas, como el método iterativo y el estudio de 
las aproximaciones, no sugiriese a los matemáticos babilónicos o posteriores nuevos análisis sobre 
el concepto de número. En su lugar, como buenos ingenieros y astrónomos, construyeron tablas de 
multiplicar, de inversos, tablas de cuadrados y de cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, escritas en 
el sistema sexagesimal cuneiforme. 
El descubrimiento y desarrollo del análisis infinitesimal en los siglos XVI y XVII introdujo nuevas 
herramientas al incluir las ecuaciones dentro de la teoría general de funciones y al aproximar éstas 
localmente mediante las funciones lineales y su correlato geométrico: las rectas tangentes. 
2. ANTECEDENTES METODOLÓGICOS 
El recurso a las raíces permite resolver sencillas ecuaciones polinómicas. Las ecuaciones de la 
forma nx a con a>0, una vez que se dispone de las funciones inversas de las funciones 
potenciales, son resolubles de forma exacta o algebraica y su única solución positiva se designa por 
n a . 
 
 
 
 
 
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En la enseñanza no universitaria los alumnos principalmente acceden al conocimiento matemático 
de forma práctica. Así no parece lógico enseñar las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir 
aparte de sus algoritmos de cálculo. Las potencias al apoyarse en la multiplicación no necesitan 
algoritmos especiales, lo que a la larga permite la familiaridad con las funciones potenciales. Tal 
hecho no ocurre con las funciones radicales, inversas de aquellas. A los alumnos en general no se 
les enseña a calcular raíces, simplemente se les asegura su existencia. El profesor o la calculadora 
asegurarán que la raíz quinta de 7 es 1,4757732…pero el alumno tiene todo el derecho a 
preguntarse cómo demonios lo habrá calculado. Es como si puesto que ya se ha enseñado a 
multiplicar no se enseñaran los algoritmos de la división y ésta se despachara afirmando que es la 
operación inversa de la multiplicación. 
Los métodos aproximativos aplicados al cálculo de raíces permiten rellenar el vacío anteriormente 
aludido y poner a los alumnos por vez primera en contacto con nuevas y potentes herramientas. En 
el mencionado cálculo podrán probar su utilidad así como muchas de las dificultades que guardan en 
su seno. 
3. LA RAÍZ CUADRADA DE 2 
Es éste un número especialmente querido por los matemáticos, que tiene en su haber ser uno de los 
primeros “monstruos” irracionales o uno de los números que no son razón de números enteros. 
Geométricamente la raíz cuadrada de 2 “mide” la diagonal del cuadrado de lado unidad, así como el 
lado del cuadrado cuya superficie es 2 unidades cuadradas. Al obtenerse ésta elevando el lado al 
“cuadrado” (nombre que por ello recibe la potencia de exponente 2), la medida del lado del cuadrado 
de superficie 2 es el número 2 . 
Superficie= 2
 
El cálculo de su expresión decimal puede llevarse a cabo mediante los pasos siguientes: 
Paso 1: Donde entra en escena un nuevo personaje: el rectángulo de área 2 unidades cuadradas, 
uno de cuyos lados mide 1. 
 
 
 
 
 
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Intenta imitar al cuadrado, pero evidentemente es un mal imitador. El tal rectángulo no es un 
cuadrado, y lo que se busca es un cuadrado de área 2 unidades cuadradas, no un rectángulo. 
El rectángulo es más alargado y más estrecho que el cuadrado, lo que permite deducir que el lado 
del cuadrado está comprendido entre los lados del rectángulo: 1 2 2  . Uno se queda corto, el otro 
se pasa. 
Paso 2: El rectángulo se transforma, se muda. 
Se construye un nuevo rectángulo, también de área 2, uno de sus lados sea la media de la medida 
de los lados del rectángulo anterior. El lado del nuevo rectángulo estará así comprendido entre los 
lados del rectángulo anterior, no medirá ni tanto como su lado mayor ni tan poco como su lado 
menor. Su medida será  1 1 2
2
 =1’5. Al mantenerse constante el área el otro lado medirá 
aproximadamente 1’33 (
3
4 para los amantes de la exactitud). Esta vez se han cambiado la tornas: el 
primer lado, 1’5, se ha pasado y el segundo, 1’33, se ha quedado corto: 1'33 2 1'5  
 
¡El nuevo rectángulo se va pareciendo más al cuadrado! 
Paso 3: El proceso se repite cuantas veces se desee 
El recurso a las hojas de cálculo aporta sin duda claridad y sencillez al proceso de generación de los 
sucesivos rectángulos. 
Cálculo de la raíz cuadrada de 2 
 rectángulo 
1 
rectángulo 
2 
rectángulo 
3 
rectángulo 
4 
rectángulo 
5 
rectángulo 
6 
lado 1 1 1,5 1,4166666
7 
1,4142156
9 
1,4142135
6 
1,41421356 
 
 
 
 
 
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lado 2 2 1,3333333
3 
1,4117647
1 
1,4142114
4 
1,4142135
6 
1,41421356 
He aquí la misma hoja con las fórmulas que contiene. 
 A B C D E F G 
1 Cálculo de la raíz cuadrada de 2 
2 rectángulo 1 rectángulo 2 rectángulo 3 rectángulo 4 rectángulo 5 rectángulo 6 
3 lado 1 1 =0,5*(B3+B4) =0,5*(C3+C4) =0,5*(D3+D4) =0,5*(E3+E4) =0,5*(F3+F4) 
4 lado 2 =2/B3 =2/C3 =2/D3 =2/E3 =2/F3 =2/G3 
Las celdas de la fila 3 contienen la media de los lados del rectángulo anterior y las celdas de la fila 4 
calculan el otro lado del rectángulo de forma que el producto de ambos sea 2. 
El contenido de las celdas B4 y C3 es el núcleo del diseño de esta hoja de cálculo pues ambas 
definen el proceso de generación de los lados de los rectángulos. El resto de la hoja resulta de 
aplicar el proceso anterior de forma iterativa, para la cual basta con arrastrar (o copiar) la celda B4 a 
la celda C4, arrastrando a continuación el bloque C3:C4 sobre el bloque D3:G4. 
El proceso antes descrito de manera geométrica y recurriendo a las hojas de cálculo podría también 
describirse mediante el lenguaje más críptico de las sucesiones: 







 
1n para 2 , 2
1n para)(
2
1,),(
2
1,1
1
1
111121
n
n
nnn
a
b
a
b
baabaaa 
 
La sucesión primera ‘a’ define el lado 1 del rectángulo, la sucesión segunda ‘b’ el lado 2 del mismo. 
La hoja de cálculo se presta a plantear ciertas cuestiones y actividades: 
1) Antes de cualquier otra consideración es necesario comprender y explicar su diseño y 
funcionamiento, para lo que sin duda ayudará el enfoque geométrico. 
2) En el primer rectángulo el lado 1 es menor que el lado 2, en el segundo rectángulo el lado 1 
está comprendido entre los lados del rectángulo precedente, en el tercer rectángulo el lado 1 
está comprendido entre los lados del rectángulo precedente… ¿Por qué? 
3) ¿Por qué 2 está atrapado entre las medidas de los lados de cada rectángulo? 
4) ¿Por qué las diferencias entre el lado 1 y el lado 2 de cada rectángulo disminuyen? 
4. LA RAÍZ CÚBICA 
¿Es aplicable la técnica anterior al cálculo de raíces cúbicas? Intentemos calcular por ejemplo la raíz 
cúbica de 6: 3 6 . 
Paso 1: Entre en escena un nuevo personaje: el paralelepípedo recto de volumen 6 unidades 
cúbicas. 
 
 
 
 
 
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3 6 es la medida del lado del cubo de volumen 6 unidades cúbicas. Al igual que en el cálculo de la 
raíz cuadrada la aproximación se producía mediante rectángulos el cálculo de la raíz cúbica puede 
hacerse mediante paralelepípedos o cajas rectas. Para que no intervengan muchas variables éstas 
pueden considerarse de base cuadrada y de volumen constante 6 unidades cúbicas. 
Para empezar el proceso iterativo puede tomarse un valor sencillo, por ejemplo 2, como medida de 
la base de la primera caja. Su altura sería, pues, 
2
35'1
2
6
2  . 
Al igual que ocurría en el ejemplo de la raíz cuadrada, el número 3 6 estaría comprendido entre 2 y 
1’5, ya que 23 es 8, y 1’53 = 3’375, números respectivamente mayor y menor que 6. 
Paso 2: El paralelepípedo recto se transforma 
Se construye una nueva caja recta de base cuadrada y de volumen 6, en la que el lado de la base 
sea la media entre la medida de la base y de la altura de la caja inicial. La base de la nueva caja 
será 1 (2 1'5) 1'75
2
  , estando así comprendida entre base y la altura de la caja inicial. Al 
mantenerse constante el volumen la altura medirá aproximadamente 1’96. Otra vez se han 
cambiado la tornas: el primer lado, 1’75, se ha quedado corto y el segundo, 1’96, se ha pasado. 
31'75 6 1'96  
Paso 3: El proceso se repite cuantas veces se desee 
De nuevo recurrimos a las hojas de cálculo. 
 
Cálculo de la raíz cúbica de 6 
 caja 1 caja 2 caja 3 caja 4 caja 5 caja 6 
base 2 1,75 1,85459184 1,79951296 1,82618368 1,81265641 
altura 1,5 1,95918367 1,74443408 1,8528544 1,79912913 1,82608198 
He aquí la misma hoja con las fórmulas que contiene. 
 A B C D E F G 
1 Cálculo de la raíz cúbica de 6 
2 caja 1 caja 2 caja 3 caja 4 caja 5 caja 6 
3 base 2 =0,5*(B3+B4) =0,5*(C3+C4) =0,5*(D3+D4) =0,5*(E3+E4) =0,5*(F3+F4) 
4 altura =6/B3^2 =6/C3^2 =6/D3^2 =6/E3^2 =6/F3^2 =6/G3^2 
La única diferencia importante con la hoja en la que se calculaba la raíz cuadrada de 2 está en que 
en el cálculo de la altura de las cajas se eleva la base al cuadrado. 
Al contrario de lo que ocurría con la 2 los pares base y altura de cada caja convergen mucho más 
lentamente a 3 6 . Serán necesarias más iteraciones para encontrar una aproximación aceptable, en 
la que el error sea menor que una milésima, por ejemplo. 
 
 
 
 
 
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La convergencia mejoraría considerablemente si en el diseño de la hoja se introdujera una pequeña 
variación: en vez de apoyarse en la media de la base y la altura se hiciera sobre la media de las 3 
dimensiones de la caja 
Nuevo cálculo de la raíz cúbica de 6 
 caja 1 caja 2 caja 3 caja 4 caja 5 caja 6 
base 2 1,83333333 1,81726354 1,8171206 1,81712059 1,81712059 
altura 1,5 1,78512397 1,81683472 1,81712057 1,81712059 1,81712059 
He aquí la misma hoja con las fórmulas que contiene. 
 A B C D E F G 
1 Nuevo cálculo de la raíz cúbica de 6 
2 caja 1 caja 2 caja 3 caja 4 caja 5 caja 6 
3 base 2 =1/3*(2*B3+B4) =1/3*(2*C3+C4) =1/3*(2*D3+D4) =1/3*(2*E3+E4) =1/3*(2*F3+F4) 
4 altura =6/B3^2 =6/C3^2 =6/D3^2 =6/E3^2 =6/F3^2 =6/G3^2 
En las hojas que han permitido calcular la raíz cúbica de 6 nuevamente aparecen algunas de las 
características observadas en la hoja que calculaba la raíz cuadrada de 2. 
El valor a calcular, 3 6 , está siempre comprendido entre la base y al altura de cada caja. 
Cada iteración permite estrechar más el cerco o, en lenguaje más matemático, la diferencia entre 
ambos valores, base y altura, disminuye con cada nueva iteración. 
 
5. UN ÚLTIMO EJEMPLO 
Vamos a calcular la raíz séptima de 10, 7 10 , generalizando el método anterior. Tomemos 1 como 
valor inicial que permita arrancar el proceso. Al igual que en el cálculo de la raíz cúbica para calcular 
el par asociado al valor inicial se dividía el radicando entre el cuadrado del valor inicial, en el cálculo 
de la raíz décima el par asociado se obtendrá dividiendo 10 entre la potencia sexta del valor inicial. 
Mediante el recurso del lenguaje de las sucesiones: 







 
1n para 10 , 10
1n para)6(
7
1,),6(
7
1,1
66
1
1
111121
n
n
nnn
a
b
a
b
baabaaa 
 
Traslación de las sucesiones anteriores a una hoja de cálculo e introducción de una nueva variable 
que mida la cota de error, para lo cual se recurre a la función valor absoluto (ABS): 
Cálculo de la raíz séptima de 10 
 caja 1 caja 2 caja 3 caja 4 caja 5 caja 6 
 
 
 
 
 
ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 – FEBRERO DE 2009 
base 1 2,285714286 1,969201426 1,712386656 1,524421867 1,420481038 
altura 10 0,070124269 0,171498036 0,396633133 0,796836062 1,217271226 
cota error 9 2,215590017 1,79770339 1,315753523 0,727585805 0,203209812 
 
Cálculo de la raíz séptima de 10 
 caja 1 caja 2 caja 3 caja 4 caja 5 caja 6 
base 1 =1/7*(6*B3+B4) =1/7*(6*C3+C4) =1/7*(6*D3+D4) =1/7*(6*E3+E4) =1/7*(6*F3+F4) 
altura =10/B3^6 =10/C3^6 =10/D3^6 =10/E3^6 =10/F3^6 =10/G3^6 
cota error =ABS(B3-B4) =ABS(C3-C4) =ABS(D3-D4) =ABS(E3-E4) =ABS(F3-F4) =ABS(G3-G4) 
La convergencia es muy lenta, los términos de la sucesión fluyen lentamente a su destino, 7 10 . Si 
el valor inicial hubiera sido otro la convergencia podría haber mejorado como se puede comprobar a 
partir de las tablas que siguen en la primera de las cuales se ha tomado como valor inicial 2, y en la 
segunda 1’3. 
 
Cálculo de la raíz séptima de 10 
 caja 1 caja 2 caja 3 caja 4 caja 5 caja 6 
base 2 1,736607143 1,540602985 1,427362668 1,392379505 1,389513353 
altura 0,15625 0,364578037 0,747920764 1,182480528 1,372316445 1,389388345 
cota error 1,84375 1,372029106 0,792682221 0,244882139 0,02006306 0,000125009 
 
Cálculo de la raíz séptima de 10 
 caja 1 caja 2 caja 3 caja 4 caja 5 caja 6 
base 1,3 1,41025173 1,390389818 1,389497218 1,389495494 1,389495494 
altura 2,07176 1,271218349 1,384141617 1,389485151 1,389495494 1,389495494 
cota error 0,77176 0,139033381 0,006248202 1,20672E-05 4,49121E-11 1,33227E-15 
Diseño de un modelo para el cálculo de raíces 
El diseño de un modelo genérico obliga a discernir las variables que intervienen en el cálculo de 
raíces: 
 Índice de la raíz (m) 
 Radicando (R) 
 Semilla generadora o valor inicial (s). 
Tales variables es conveniente que estén separadas del resto de la hoja, en un lugar destacado. Las 
referencias a las mismas en los cálculos deben ser absolutas. 
Los algoritmos de generación de los sucesivos pares, o de los términos de las dos sucesiones, 
vienen dados mediante las fórmulas: 
 
 
 
 
 
ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 – FEBRERO DE 2009 
   










1n para , 
1n para)1(1,),1(1,
11
1
1
111121
m
n
nm
nnn
a
Rb
a
Rb
bam
m
abam
m
asa 
 
A continuación aparece la traslación de las fórmulas anteriores al lenguaje más vistoso de las hojas 
de cálculo. La primera de ellas visualiza las fórmulas y la segunda muestra un ejemplo concreto. Las 
fórmulas podían haberse confeccionado definiendo nombres para las variables. 
 
 
 
 
 
 
ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 Nº 15 – FEBRERO DE 2009 
índice 5
radicando 2
semilla 1
figura1 figura2 figura3 figura4 figura5 figura6
base =$B$6 =1/$B$4*(($B$4-1)*B10+B11) =1/$B$4*(($B$4-1)*C10+C11) =1/$B$4*(($B$4-1)*D10+D11) =1/$B$4*(($B$4-1)*E10+E11) =1/$B$4*(($B$4-1)*F10+F11)
altura =$B$5/B10^($B$4-1) =$B$5/C10^($B$4-1) =$B$5/D10^($B$4-1) =$B$5/E10^($B$4-1) =$B$5/F10^($B$4-1) =$B$5/G10^($B$4-1)
cota error =ABS(B10-B11) =ABS(C10-C11) =ABS(D10-D11) =ABS(E10-E11) =ABS(F10-F11) =ABS(G10-G11)
variables
Cálculo de raíces de números positivos
Tabla
 
índice 5
radicando 2
semilla 1
figura1 figura2 figura3 figura4 figura5 figura6
base 1 1,2 1,152901235 1,148728887 1,148698357 1,148698355
altura 2 0,964506173 1,132039494 1,148576237 1,148698349 1,148698355
cota error 1 0,235493827 0,02086174 0,00015265 8,11462E-09 4,44089E-16
variables
Cálculo de raíces de númerospositivos
Tabla
 
 
 
 
 
 
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 C/ Recogidas Nº 45 - 6ºA 18005 Granada csifrevistad@gmail.com 10 
6. OBJETIVOS 
El tema tratado se presta a múltiples enfoques y puede ser tratado desde diferentes puntos de vista. 
1) Comprender y analizar las hojas de cálculo dadas u otras que se propongan. 
2) Saber confeccionar y presentar hojas de cálculo de acuerdo a un esquema: título, variables, 
algoritmos. 
3) Conocer de forma práctica y algorítmica las raíces de los números. 
4) Saber utilizar las propiedades de las desigualdades y conocer el error cometido 
5) Observar regularidades en las secuencias numéricas. 
6) Razonar y si es posible demostrar las regularidades observadas. 
 
Autoría 
 Nombre y Apellidos: Patricia Pérez Ortiz 
 Centro, localidad, provincia: IES Torreblanca, Sevilla, Sevilla 
 E-mail: patruki957@yahoo.es