algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-96

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(a + b)2 
x = ––––––––
a - b
a - b (a + b)2 2 a (a + b)2
R = (–––––) [–––––– ] - –– ––––––2ab a - b b (a - b)
b (a + b)2 (a + b)(a2 - b2)
- –– –––––– + –––––––––––––
a (a - b) 2ab
Simplificando y agrupando:
(a + b)4 (a + b)2 a bR = ––––––––– - ––––––– [–– + ––]2ab(a - b) a - b b a
(a + b)(a2 - b2)
+ –––––––––––––
2ab
Efectuando el corchete y multiplicando numerador
y denominador por 2:
(a + b)4 2(a + b)2(a2 + b2)
R = ––––––––– - –––––––––––––––
2ab(a - b) 2ab(a - b)
(a + b)(a + b)(a - b)(a - b)
+ –––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
(a + b)4 - 2(a + b)2(a2+ b2) + (a + b)2(a - b)2
R = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
Sacando el factor común (a + b)2:
(a + b)2 [(a + b)2 - 2(a2 + b2) + (a - b)2]
R = –––––––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
Aplicando Legendre a los términos señalados:
(a + b)2 [2(a2 + b2) - 2(a2 + b2)]
R = ––––––––––––––––––––––––––––
2ab(a - b)
(a + b)2 [0]
R = –––––––––––
2(ab)(a - b)
R = 0
9.- Hallar el resto en:
(x - 1)n + 2 + x2n + 1
–––––––––––––––––––––
x2 - x + 1 
Solución:
Aplicando la regla práctica del resto:
• x2 - x + 1 = 0
• x2 = x - 1
Reemplazando en el denominador esta equivalencia:
D = (x - 1)n+2 + (x-1)n . x 
sacando factor común (x - 1)n:
D = (x - 1)n [(x - 1)2 + x]
D = (x - 1)n [x2 - 2x + 1 + x] = (x - 1)n[x2 - x + 1]
Sustituyendo: 
x2 = x - 1
se tiene:
• R = (x - 1)n (x - 1 - x + 1) = (x - 1)n (0) = 0
R = 0
10.- Hallar el resto de la división:
(x + y)4m - (x - y)4m
–––––––––––––––––––
(8xy) (x2 + y2)
Solución:
Transformando el divisor mediante la aplicación
de productos notables e identidades:
8xy(x2 + y2) = [4xy][2(x2 + y2)]
= [(x + y)2 - (x - y)2] [(x + y)2 + (x - y)2]
= (x + y)4 - (x - y)4
Haciendo: (x + y)4 = a, (x - y)4 = b, se obtiene:
am - bm
–––––––––
a - b
Para hallar el resto se sigue la regla práctica:
• a - b = 0
• a = b
• R = am - am
R = 0
α
α α
Algebra 27/7/05 16:04 Página 108