algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-320

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9 - 3m + 9m - 3m2
––––––––––––––––– = 2m + 1
4m
9 - 3m2 + 6m = 8m2 + 4m
11m2 - 2m - 9 = 0
factorizando por el método del aspa simple:
(11m + 9)(m - 1) = 0
9Rpta.: m1 = 1 ; m2 = - –––11
13.- Si “z1” y “z2” son raíces de la ecuación:
_______
z2 - 2z √p2 - 2q + p2 - 2q = 0
además “x1” y “x2” son las raíces de:
x2 + px + q = 0, hallar el valor de:
(z1)
2 + (z2)
2
E = –––––––––––
(x1)
2 + (x2)
2
Solución:
De la primera ecuación, por propiedades de las
raíces de una ecuación de segundo grado:
______
z1 + z2 = 2 √p2 - 2q (α)
z1z2 = p
2 - 2q (β)
de la segunda ecuación:
x1 + x2 = -p (γ)
x1x2 = q (φ)
el numerador de la expresión pedida es:
2 2 2 
(z1) + (z2) = (z1 + z2) - 2z1z2 (1)
remplazando(α) y (β)
2 2
______
(z1) + (z2) = (2√p2 - 2q )
2
- 2(p2 - 2q)
= 4(p2 - 2q) - 2(p2 - 2q)
2 2
∴ (z1) + (z2) = 2(p
2 - 2q)
El denominador de la expresión pedida es:
2 2 2 
(x1) + (x2) = (x1 + x2) - 2x1x2 (2)
(γ) y (φ) en (2):
2 2(x1) + (x2) = (-p)
2 - 2q = p2 - 2q
Sustituyendo:
2(p2 - 2q)
E = ––––––––– = 2
p2 - 2q
Rpta.: E = 2
14.- Hallar la ecuación de segundo grado cuyas
raíces son:
__
√a
––––––––––––––__ _____
√a ± √a - b
Solución:
Las raíces de la ecuación pedida son:
__ __
√a √a
x1 = –––––––––––––– ; x2 = ––––––––––––__ ____ __ ____
√a + √a - b √a - √a - b
Racionalizando las raíces:
__ __ ____ ______
√a (√a - √a - b ) a - √a2 - ab
x1 = ––––––––––––––––– = ––––––––––––
a - (a - b) b
__ __ ____ ______
√a (√a +√a - b ) a +√a2 - ab
x2 = ––––––––––––––––– = ––––––––––––
a - (a - b) b
La suma de raíces:
______ ______
a - √a2 - ab a + √a2 - ab 2ax1 + x2 = –––––––––– + –––––––––– = –––b b b
El producto de las raíces:
___ ____
a + √a2 - ab a - √a2 - abx1x2 = (––––––––––)(––––––––––)b b
a2 - (a2 - ab) ab a
= ––––––––––– = ––– = ––
b2 b2 b
Para hallar la ecuación de segundo grado se
utiliza las propiedades de las raíces:
x2 - (x1 + x2) x + x1x2 = 0
sustituyendo:
2a ax2 - (–––) x + –– = 0b b
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α
α α
Algebra 27/7/05 16:42 Página 332