algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-342

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α
α α
Solución:
Multiplicando miembro a miembro (1), (2) y (3)
se tiene:
(x + y)2 (x + z)2 (y + z)2 = 30 . 15 . 18 = 152 . 62
Extrayendo raíz cuadrada:
(x + y)(x + z)(y + z) = ± 15 . 6 (4)
Sustituyendo (3) en (4):
18(x + y) = ± 15 . 6 
x + y = ± 5 (I)
Sustituyendo (2) en (4):
15(x + z) = ± 15 . 6 
x + z = ± 6 (II)
Sustituyendo (1) en (4):
30(y + z) = ± 15 . 6 
y + z = ± 3 (III)
De (I), (II) y (III) se obtiene:
x1 = 4 , y1 = 1 , z1 = 2
Rpta.: { x2 = -4 , y2 = -1 , z2 = -2
8.- Resolver el sistema:
y2 + yz + z2 = 49 (1)
z2 + zx + x2 = 19 (2)
x2 + xy + y2 = 39 (3)
Solución:
Restando (1) - (2):
y2 - x2 + yz - zx = 30
(y + x) (y - x) + z(y - x) = 30
(y - x)(y + x + z) = 30 (4)
Restando (1) - (3):
z2 - x2 + yz - xy = 10
(z - x)(z + x) + y(z - x) = 10
(z - x)(z + x + y) = 10 (5)
Dividiendo (4) por (5):
y - x
––––– = 3
z - x
y - x = 3z - 3x
y = 3z - 2x (6)
Sustituyendo (6) en (3):
x2 + x(2z - 2x) + (3z - 2x)2 = 39
x2 + 3xz - 2x2 + 9z2 - 12xz + 4x2 = 39
3x2 - 9xz = 9z2 = 39
x2 - 3xz + 3z2 = 13 (7)
Como (7) y (2) son homogéneas, se puede hacer
el siguiente artificio: x = mz, y remplazar:
En (2): z2 + mz2 + m2z2 = 19 (α)
En (7): m2z2 - 3mz2 + 3z2 = 13 (β)
Dividiendo (α) por (β):
1 + m + m2 19
–––––––––– = –––
m2 - 3m + 3 13
19m2 - 57 m + 57 = 13 = 13m + 13m2
6m2 - 70m + 44 = 0
3m2 - 35m + 22 = 0
(3m - 2)(m - 11) = 0 
2∴ m = –– , m = 11
3
2a) Si m = ––: 
3
2x = –– z (γ)
3
Algebra 27/7/05 16:46 Página 354