algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-352

Vista previa del material en texto

5º Si se multiplica o divide miembro a miembro dos
o varias desigualdades del mismo sentido, cuyos
miembros son positivos, se obtiene una desigual-
dad del mismo sentido.
Sea: a > b, y c > d.
Multiplicando:
ac > bd
Dividiendo:
a b
–– > ––
c d
a > 0, b > 0, c > 0, d > 0
6º Si a ambos miembros de una desigualdad se eleva
a una misma potencia impar, el sentido de la
desigualdad no varía.
Sea: a > b
se tiene: a2m+1 > b2m+1
7º Si a ambos miembros de una desigualdad se eleva
a una misma potencia par, siendo los dos miem-
bros negativos, se obtiene una desigualdad de
signo contrario.
Sea: a > b
entonces : a2n < b2n
a < 0, b < 0
8º Si a ambos miembros de una desigualdad se le
extrae una misma raíz de índice impar se obtiene
una desigualdad del mismo sentido.
Sea: a > b
entonces: 
2m+1 ––– 2m+1 –––
√a > √b
EJERCICIOS SOBRE DESIGUALDADES
___
a + b1.- Demostrar que ––––– > √ ab
2
Solución:
Si a ≠ b
luego: 
(a - b)2 > 0
(si a = b, no se cumple)
efectuando: 
a2 - 2ab + b2 > 0
Sumando a ambos miembros 4ab:
a2 - 2ab + 4ab + b2 > 4ab
a2 + 2ab + b2 > 4ab
(a + b)2 > 4ab
si son positivos ambos:
___
a + b > 2√ab
de donde:
___
a + b∴ ––––– > √ab 
2
2.- Demostrar que:
a3 + b3 + c3 > 3abc; a, b, c son positivos.
Solución:
Si a, b, c, son positivos, entonces:
a + b + c > 0 (1)
también: 
(a - b)2 > 0
luego:
a2 + b2 - 2ab > 0 (2)
además:
(a - c)2 > 0
luego:
a2 + c2 - 2ac > 0 (3)
y:
(b - c)2 > 0
luego: 
b2 + c2 - 2ab > 0 (4)
Sumando (2), (3) y (4):
2(a2 + b2 + c2) - 2(ab + ac + bc) > 0
- 364 -
α
α α
Algebra 27/7/05 16:51 Página 364