algebra-manual-de-preparacion-preuniversitaria-385

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Solución:
Se sabe que:
__
b = 
r
√q (1)
Para la P.G. :
1––
9
q = –––– = 9
1–––
81
Para la P.A.:
r = -4 - (-8) = 4
sustituyendo en (1): 
__
b = 
4
√ 9 
__
∴ b = √3 
PROPIEDADES
1º Hay infinitos sistemas de logaritmos.
2º En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de
“1” es cero y el logaritmo de la base es la unidad.
3º Los números negativos no tienen logaritmos en el
campo de los números reales.
4º Si las dos progresiones son crecientes en el mis-
mo sentido, los números mayores que “1”, tienen
logaritmos positivos, y los menores que “1”, loga-
ritmos negativos.
SISTEMA DE LOGARITMOS NEPERIANOS
Se denomina sistema de logaritmos neperianos, natu-
rales o hiperbólicos, al sistema que tiene como base
el número trascendente “e” definido así:
n
1 e = lim (1 + –– ) = 2,718281…n → ∞ n
o:
1––
e = lim (1 + α) α = 2,718281… 
α → 0
Este sistema viene definido por las expresiones
siguientes:
decreciente
: : … (1 + α)-n : … :(1 + α)-1
creciente
: 1 : (1 + α) : (1 +α)2 : … : (1 + α)n
: … . -nα … -2α . -α . 0 . α . 2α . 3α … nα…
decreciente creciente
donde al ser infinitamente pequeño, real y posi-
tivo; la primera progresión contiene todos los
números y en la segunda están sus logaritmos.
CÁLCULO DE “e”.- Por definición:
1––
e = lim (1 + α) α
α → 0
desarrollando por Binomio de Newton:
1 1
–– 1 –– - 1e = lim [(1)α + (––)(1) α (α) + …α
1 1 (––)(–– - 1) 1α α –– - 2
+ ––––––––––– (1) α (α)2 + …
2 
1 1 1 1 (––)(–– -1)(–– - 2) (–– - k + 1)α α α … α
+ ––––––––––––––––––––––––––––––
k
1–– - 2
(1) α (α)k + …]
estableciendo el límite:
1 1 1e + (1) + (1) + –– + –– + –– + …
2 3 4
1 1 1e = 2 + –– + –– + –– +…
2 3 4
e = 2,718281 …
El logaritmo de un número “N” en base “e” se
representa por:
1n N
Á L G E B R A
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Algebra 27/7/05 16:51 Página 397