Tema 14 - Sumatorias y productoras trigonométricas

Vista previa del material en texto

45UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 14
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS
TRIGONOMÉTRICAS
TRIGONOMETRÍA
I. SUMA DE SENOS DE ÁNGULOS EN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
 
 
Senx Sen(x r) Sen(x 2r) ... Sen(x (n 1)r)
nrSen (P U)2 Sen
2rSen
2
        

Denominándose a:
P = primer ángulo
U = último ángulo
r = razón de la progresión
n = número de términos
Demostración
Llamemos "S" a la suma de la serie de senos:
S = Senx + Sen(x + r) + Sen(x + 2r) + ... + Sen[x +
(n – 1)r]
Multiplicamos a ambos miembros por  r2Sen 2
   r r2Sen S 2Sen [Senx Sen(x r) Sen(x 2r) ...2 2
Sen(x (n 1)r)]
      
 
Cada término del segundo miembro vamos a trans-
formarlo en una diferencia de cosenos, así:
   r r r2Senx Sen Cos x Cos x2 2 2   
 r r2Sen(x r) Sen Cos x2 2    3rCos x 2 
   r 3r2Sen(x 2r) Sen Cos x2 2    5rCos x 2 
   
   r 32Sen(x (n 1)r).Sen Cos x n r2 2         1Cos x n r2     
Sumando todos los términos en columnas, obtenemos:
     r r 12Sen S Cos x Cos x n r2 2 2       
2  rSen .S 22 
     1 r 1 rx n r x x n r x2 2 2 2Sen .Sen
2 2
             
      
  (x) (x (n 1)r)r nr2Sen .S 2Sen Sen2 2 2      
Hacemos los siguientes cambios:
P = x; U = x + (n – 1)r
Reemplazando:
 r P U nr2Sen .S 2Sen Sen2 2 2    
 
 
 
nrSen (P U)2S Sen
2rSen
2
 
Ejemplos:
1. Calcular la suma de la siguiente serie:
S = Senx + Sen2x + Sen3x + ... + Sen nx
Resolución:
Aplicamos la propiedad:
DESARROLLO DEL TEMA
46UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMÉTRICAS
TEMA 14
Exigimos más!
 
 
nrSen (P U)2S Sen
2rSen
2
 
Identificamos:
P = x; U = nx; r = x
Reemplazamos:
 
 
nxSen x nx2S Sen
2xSen
2
    

 
 
nxSen (n 1)2S Sen x
2xSen
2
 
2. Calcular la suma de la siguiente serie:
S = Sen1 + Sen3 + Sen5 + ... + Sen45
Resolución:
 
 
nrSen P U2S Sen
2rSen
2
    

 
 
2Sen23 1 452S Sen
21Sen
2
    

Sen23S
1Sen Sen23
2


2Sen 23S
1Sen
2

II. SUMA DE COSENOS DE ÁNGULOS EN
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Cosx Cos(x r) Cos(x 2r) ... Cos(x (n 1)r)
nrSen (P U)2 Cos
r 2Sen
2
        

Denominándose:
P = Primer ángulo
U = Último ángulo
r = Razón de la progresión
n = Número de términos
Ejemplos:
1. Calcular la suma de la siguiente serie:
S = Cos2x + Cos4x + Cos6x + ... + Cos2nx
Resolución:
Identificamos:
P = 2x; U = 2nx; r = 2x
 
 
nrSen (P U)2S Cos
2rSen
2
 
 
 
n.2xSen 2x 2nx2S Cos
22xSen
2
    

Sen(nx)S Cos(n 1)x
Senx
 
2. Calcular la suma de la siguiente serie:
S = Cos1 + Cos3 + Cos5 + ... + Cos31
Resolución:
 
 
nrSen (P U)2S Cos
2rSen
2
 
 
 
16.2Sen (1 31)2S Cos
22Sen
2
 
Sen16S Cos16
Sen1
 
2Sen16 Cos16S
2Sen1
 
2Sen32S
2Sen1

III. PROPIEDADES
1. Si A + B + C = 180°;
se cumple:
47UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA TEMA 14
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMÉTRICAS
Exigimos más!
A B CSenA SenB SenC 4Cos .Cos .Cos
2 2 2
  
A B CCosA CosB CosC 4Sen .Sen .Sen 1
2 2 2
   
2. Si A + B + C = 360°; se cumple:
A B CSenA SenB SenC 4Sen .Sen .Sen
2 2 2
  
A B CCosA CosB CosC 4Cos .Cos .Cos 1
2 2 2
    
3. Sen(x 120 ) Senx Sen(x 120 ) 0      
Cos(x 120 ) Cosx Cos(x 120 ) 0      
Tan(x 120 ) Tanx Tan(x 120 ) 3Tan3x      
4.
2 2 2 3Sen x Sen (60 x) Sen (60 x)
2
      
2 2 2 3Cos x Cos (60 x) Cos (60 x)
2
      
4 4 4 9Sen x Sen (60 x) Sen (60 x)
8
      
4 4 4 9Cos x Cos (60 x) Cos (60 x)
8
      
5.
2 4 6 1Cos Cos Cos
7 7 7 2
     
3 5 1Cos Cos Cos
7 7 7 2
    
6.
2 4 2 6 4 6 1Cos .Cos Cos .Cos Cos .Cos
7 7 7 7 7 7 2
        
3 5 3 5 1Cos .Cos Cos .Cos Cos .Cos
7 7 7 7 7 7 2
        
7.
2 3 7Sen .Sen .Sen
7 7 7 8
   
2 3 1Cos .Cos .Cos
7 7 7 8
   
2 3Tan .Tan .Tan 7
7 7 7
   
8. 516Sen x 10Senx 5Sen3x Sen5x  
516Cos x 10Cosx 5Cos3x Cos5x  
Problema 1
Calcular la suma de la serie:
S = Sen1º + Sen2º + Sen3º + ... + Sen180º
A)  o1cot 2
B)  o1sen 2
C) sen 1°
D) cos 2°
E) cot 180°
Resolución:
Identificamos:
P = 1º ; U = 180º.
r = 1°; 180 1n 1 180
1
    

Aplicando la fórmula, se tiene:
1sen180 (180 1 )2S sen
1 2sen
2

  


 sen90 1S sen 901 2sen
2
    


1 1S cos
1 2sen
2
 


 o1S cot 2 
Respuesta: A)  o1cot 2
Problema 2
Determinar la suma de la serie:
S = cos2° + cos4° + cos6° + ... + cos180°
A) 1 B) –1
C) 90 D) cos1
E) cos90
Resolución:
Identificamos que: P = 2°, U = 180°
r = 2; 180 2n 1 90
2
    

Aplicamos la fórmula:
 
2sen90 180 22S cos
2 2sen
2
   



problemas resueltos
48UNI SEMESTRAL 2013 - III TRIGONOMETRÍA
SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS TRIGONOMÉTRICAS
TEMA 14
Exigimos más!
sen90S cos(90 1 )
sen1
    


1S sen( 1 )
sen1
   


S 1  
Respuesta: B) –1
Problema 3
E = cos2 1° + cos2 2° + cos2 3° + ...
+ cos2 90°
A) 89 B) 90
C) 44,5 D) 50
E) 44,3
Resolución:
Multiplicamos por 2 ambos miembros:
2E = 2cos21° + 2cos22° + 2 cos23°
 + ... + 2cos290°
2E = 1 + cos2° + 1 + cos4° + 1 +
 cos6° + ... + 1 + cos180°
2E = 90 + cos 2 cos 4 cos 6 ... cos180
( 1)problema anterior
       


2E = 90 – 1 89E
2
 
E 44, 5 
Respuesta: C) 44,5